MEKANIKA

Penyusun:

Hidjan AG, MSc.EngJurusan Teknik SipilNo. Diktat : 14/K7.A/UP2AIPOLITEKNIK NEGERI JAKARTA

Komunikasi HP. : 082124368899

DAFTAR ISI

Prakata...............................................................................................................i

Daftar Isi.......................................................................................................................ii

01. Pendahuluan.................................................................................................1

02. Sistim Satuan dan Analisis Vektor................................................................303. Kinematika.................................................................................................1904. Gravitasi dan Gaya.....................................................................................3005. Gesekan......................................................................................................3606. Energi .........................................................................................................4107. Mesin-mesin Angkat...................................................................................4508. Momentum dan Tumbukan........................................................................5609. Elastisitas..............................................................................................................67

10. Getaran Mekanis........................................................................................7011. Gelombang Mekanis...................................................................................8612. Momen Inersia...........................................................................................9313. Fluida........................................................................................................9914. Keseimbangan.....11515. Panas dan Perpindahan Panas..................................................................11916. Atom dan Molekul...................................................................................130ii

1. PENDAHULUAN

1.1. Gambaran umum mata kuliah Fisika Terapan Fisika merupakan Basic Science yang terkait erat dengan banyak disiplin ilmu yang lain terutama bidang teknik dan rekayasa. Hampir seluruh kemajuan teknologi yang ada di dunia ini tak terlepas dari kontribusi Ilmu Fisika. Adanya pesawat terbang, kapal laut, komputer, gedung pencakar langit, jembatan, dan sebagainya pada dasarnya semua dibuat berasaskan teori teori dan konsep konsep ilmu fisika. Mengingat materi ilmu fisika begitu luas maka topik topik tertentu dipilih agar sesuai dengan bidang ilmu lain yang ditunjangnya. Untuk jurusan teknik sipil, dipilih topik topik fisika yang terkait erat dengan disiplin ilmu teknik sipil, dan dalam buku ini pembahasan ditekankan kepada mekanika, serta sedikit teori panas dan pengetahuan atom-molekul. Mekanika ditujukan untuk mendasari matakuliah Mekanika Teknik, Mekanika Fluida, dan Teori Gempa, sedang teori panas dan pengetahuan atom-molekul ditujukan untuk mendasari Ilmu Bahan. 1.2. Tujuan Pembelajaran Umum Buku ini disusun dengan tujuan agar para mahasiswa jurusan Teknik Sipil mampu memahami prinsip-prinsip dan konsep konsep dasar Ilmu Fisika sebagai pengetahuan fundamental untuk menunjang beberapa matakuliah lain yang terkait kemudian dapat menerapkannya di lapangan sesuai dengan keperluan. 11.3. Gambaran Umum Isi Diktat Diktat ini berisi topik topik yang terdiri dari Kinematika, Dinamika, Statika, Teori Panas, serta Atom dan Molekul. Kinematika, merupakan ilmu mengenai gerak tanpa pembahasan terhadap massa dari benda yang bergerak maupun gaya penyebab geraknya. Sub topiknya mengenai : Gerak lurus, Gerak lurus dengan kecepatan konstan, Gerak lurus dengan kecepatan berubah, Gerak Parabola, Gerak melingkar, Gerak berputar, dan Gerak berputar dengan kecepatan berubah.

Kemudian Dinamika, ilmu mengenai gerak dengan pembahasan terhadap massa dari benda yang bergerak dan gaya penyebabnya. Sub topiknya adalah : Gesekan, Kerja dan Energi, Momentum dan Tumbukan, Mesin mesin Angkat, Momen Inersia, Getaran Mekanis, dan Gelombang Mekanis. Adapun Statika, merupakan ilmu yang membahas benda yang berada dalam keseimbangan mekanis. Kemudian juga dibahas topik topik mengenai Panas dan Perpindahan Panas serta Atom-Molekul yang terkait dengan disiplin ilmu Teknik Sipil. 1.4. Proses Pembelajaran Pembelajaran dilakukan dengan kombinasi dari metode konvensional dan SCL (Student Centered Learning). Metode SCL dimaksudkan agar para mahasiswa lebih aktif dan terlatih mandiri didalam proses pembelajaran, pengembangan ilmu dan penerapannya di lapangan sesuai dengan bidang mereka.2

2. SISTIM SATUAN DAN ANALISIS VEKTOR

2.1. Sistim Satuan Sistim satuan yang digunakan dalam buku-buku Fisika sering berbeda satu sama lain. Oleh karena itu, mengenali bermacam-macam sistim satuan yang telah disepakati secara internasional dan dapat melakukan konversi antar sistim satuan, menjadi hal yang penting. Ada tiga sistim satuan yang telah dipakai secara universal dan diakui penggunaannya diseluruh dunia yakni :

1. CGS (centimeter gram second) : sistim satuan ini berdasarkan pengukuran terhadap besaran panjang, massa, dan waktu. Satuan panjang dalam sistim ini adalah centimeter, satuan massa adalah gram, dan satuan waktu adalah sekon.

2. MKS (meter, kilogram, second) : sistim satuan ini berdasarkan pengukuran terhadap besaran panjang, massa, dan waktu. Satuan panjang dalam sistim ini adalah meter, satuan massa adalah kilogram, dan satuan waktu adalah sekon. Sistim satuan MKS ini kemudian dikembangkan, disempurnakan, dan disepakati secara internasional menjadi Sistim Internasional SI (Le Systeme International dUnites). Untuk selanjutnya, seluruh pembahasan dalam buku ini menggunakan sistim SI. 3. FPS (foot, pound, second): sistim ini berdasarkan pengukuran terhadap besaran panjang, gaya, dan waktu. Satuan panjang dalam sistim ini adalah foot, satuan gaya adalah pound, dan satuan waktu adalah sekon. Dalam sistim satuan FPS terdapat dua macam satuan pound yakni pound massa (untuk satuan massa), dan pound gaya (untuk satuan gaya). Sistim satuan FPS ini juga dinamakan sistim Inggeris ( English System/British System) dan banyak digunakan di Eropa.. 3Setiap satuan dalam suatu Sistim Satuan dapat dikonversikan menjadi satuan dalam Sistim Satuan lain. Maka, 1kilogram (SI) = 1000gram (CGS) = 2,205 pound massa (FPS). Demikian pula, 1meter (SI) = 100centimeter (CGS) = 3,281feet (FPS) = 39,37 inches (FPS). Dengan mengenali dan memahami satuan-satuan yang ada dalam tiap sistim maka akan mempermudah proses pengkonversian pada saat diperlukan. Contoh Satuan dalam Sistim Satuan CGS:BESARAN NAMA SATUAN SIMBOL SATUAN

Panjang centimeter cm

Massa gram gr

Gaya dyne dyne Energi erg erg

Waktu sekon s

Suhu celcius oCContoh Satuan dalam Sistim Satuan FPS (British System):

BESARAN NAMA SATUAN SIMBOL SATUAN

Panjang foot ft

Panjang inch in

Massa pound mass lbm Massa slug slug

Gaya pound force lbf

Energi British Thermal Unit Btu

Waktu sekon s

Suhu Fahrenheit oF4Sistim Satuan Internasional SIBesaran-besaran fisika dalam SI dibagi menjadi dua macam yakni :

Besaran Pokok (BesaranDasar) dan Besaran Turunan.

1. Besaran Pokok (Dasar) :

BESARAN NAMA SATUAN SIMBOL SATUAN

1.Panjang meter m

2.Massa kilogram kg

3.Temperatur (Suhu) kelvin K

4.Waktu sekon s

5.Kuat arus listrik ampere A

6.Jumlah zat mole mol

7.Intensitas cahaya candela cd

Satuan Pelengkap (Supplementary Unit) Satuan Pokok : a. Sudut Bidang radian rad

b.Sudut Ruang steradian sr

KETERANGAN :

a. Pengertian Sudut Bidang Ditinjau sebuah lingkaran dimana panjang dari keliling lingkaran berjari jari R adalah 2R. Apabila diambil busur lingkaran S yang panjangnya sama dengan R, kemudian dari kedua ujungnya ditarik garis ke pusat lingkaran, maka akan terbentuk sudut bidang yang besarnya 1 radian. Dengan demikian maka dalam sebuah lingkaran penuh, besar sudut totalnya = 2radian. Karena dalam sebuah lingkaran besar sudutnya adalah 360o, berarti 360o = 2 radian, sehingga 1 rad = 360/2360/2.3,141592654 = 57,3o Busur tebal S = R

Sudut 1rad Gambar 2.1. Lingkaranb.Pengertian Sudut Ruang :Ditinjau sebuah benda berbentuk bola. Luas permukaan bola berjari-jari R adalah 4R2. Apabila diambil sembarang luasan pada permukaan bola seluas R2 (apapun bentuknya), kemudian dari seluruh pinggir luasan tersebut ditarik garis ke pusat bola, maka akan terbentuk sudut ruang yang besarnya 1 steradian. Dengan demikian maka dalam suatu bola, besar sudut ruangnya adalah 4steradian.

Luas permukaan = R2 Besar sudut ruang =1sr Gambar 2.2. benda berbentuk bola

Perlu diperhatikan bahwa sesuai dengan peraturan internasional, suatu nama orang yang digunakan untuk satuan dari suatu besaran, maka huruf awalnya harus ditulis dengan huruf kecil, misalnya satuan untuk kuat arus listrik maka harus ditulis ampere dan bukan Ampere, satuan untuk daya adalah watt dan bukan Watt, demikian pula satuan untuk temperatur harus ditulis kelvin dan bukan Kelvin. 62. Besaran Turunan : Karena merupakan turunan, maka satuan dari besaran turunan dapat dinyatakan dengan satuan dari besaran dasar. Terdapat banyak sekali besaran-besaran turunan, berikut adalah beberapa contoh : Besaran Nama Satuan Simbol Satuan Pernyataan dalam Satuan DasarGaya (F) newton N Kg.m.s-2

Tekanan(P) pascal Pa Kg.m-1.s-2Energi(E) joule J Kg.m2.s-2 Daya(P) watt W Kg.m2.s-3 Daftar konversi beberapa satuan dari Sistim lain ke SI

SATUAN LAIN SATUAN (SI)

1 foot (ft) 0,3048 m

1 inch (in) 0,0254 m

1 mile (mil) 1609,3 m

1 mile laut (nautical mile) 1852,0 m

1 yard (yd) 0,9144 m 1 pound gaya (lbf) = 0,4536 kgf 4,4482 N

1 pound massa (lb.m) 0,4536 kg

1 slug 14,594 kg 1British Thermal Unit (Btu) 1055 J 1 Psi (lbf.in-2 ) 6894,8 N.m-2

1 knot 0,5144 m.s-1 1 mach (velocity of sound in air) 350 m.s-1

7 Proses Konversi dari suatu Sistim Satuan ke Sistim Satuan yang lainApabila perlu dilakukan konversi satuan dari suatu sistim ke sistim yang lain, misalnya akan dilakukan konversi dari SI ke FPS atau dari FPS ke SI, maka dapat dilakukan dari pengkonversian satuan panjang, satuan gaya, dan satuan massa. Satuan waktu untuk seluruh sistim satuan adalah sama yakni sekon, maka tidak perlu dikonversi. Dari FPS ke SI Dari SI ke FPS

Satuan Panjang : 1 ft = 0,3048 m Satuan Panjang : 1 m = 3,281 ft : 1 inch = 0,0254 m : 1 m = 39,37 inch

Satuan Massa : 1 slug = 14,59 kg Satuan Massa : 1 kg = 0,06854 slug : 1 pound (lbm) = 0,4536 kg : 1 kg = 2,2046 lbm

Satuan Gaya : 1 pound (lbf) = 4,448 N Satuan Gaya : 1 N = 0,22482 lbfContoh Pengkonversian dari FPS ke SI :Contoh 1: Torka = Momen Gaya = Gaya F x d (dari gaya ke titik acuan):

Torka dalam FPS misal dinyatakan sebagai : 1 lbf.in 1 lbf.in = 1(4,448N) x (0,0254m) = 0,11298 N.m

Contoh 2: Daya = Usaha per Waktu = U/t

Daya dalam FPS misal besarnya dinyatakan sebagai : 1 pound force foot per minutes = 1(lb.f)(ft)/(min), dimana : 1lb.f = 4,4482 N ; 1ft = 0,3048m ; 1min= 60 s ; maka daya dalam SI = (4,4482)(0,3048)/(60) = 0,022597 watt.

8Contoh Pengkonversian dari SI ke FPS :

Contoh 1: Torka = 1 N.m = 1(0,22482 lbf)(39,37 in) = 8,8512 lbf.in

Contoh 2 : Tekanan = Gaya per Luas = F/ATekanan dalam SI misal besarnya: 1N/m2 dimana 1N = 0,2248 pound force (lbf), sedang 1m = 3,281 ft, yang berarti 1m2 = 10,765 ft2 maka tekanan dalam FPS = (0,2248)/(10,765) = 0,021 lbf/ft2 .

2.2. Skalar dan Vektor Skalar adalah suatu kwantitas yang hanya mempunyai besar saja dan tidak mempunyai arah. Misalnya : panjang, massa, waktu, suhu, jarak, energi, usaha (kerja), bilangan riil, dan lain-lainnya. Skalar ditunjukkan dengan huruf biasa, dan operasi perhitungan skalar menggunakan aljabar biasa.Vektor adalah suatu kwantitas yang mempunyai besar dan arah. Misalnya : kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, lintasan, posisi, momentum, torka, berat, dan lain-lain.Vektor dapat dinyatakan secara grafis maupun secara trigonometris.

Secara grafis, vektor digambarkan sebagai anak panah dengan arah tertentu. Ujung ekor O dinamakan titik asal vektor, sedang ujung kepala P dinamakan titik terminal. O P

F (dengan tanda anak panah diatasnya) atau F Gambar 2.3. Vector

Panjang anak panah menyatakan besar vektor, sedang arah anak panah, menyatakan arah vektor. Apabila vektor masuk bidang, digambarkan dengan tanda silang (x), sedang apabila vektor keluar bidang, digambarkan dengan tanda titik (.) 9Secara trigonometris, vektor digambarkan dengan huruf yang diberi gambar anak panah diatasnya, atau huruf tebal tanpa anak panah diatasnya, sebagai contoh : F (gaya), v (kecepatan), a (percepatan), r (posisi), P (momentum linier), dan sebagainya.Vektor Satuan : adalah vektor yang mempunyai besar satuan. Jika F adalah vektor yang besarnya F (huruf tidak tebal) dan bukan nol, maka F / F adalah vektor satuan yang mempunyai arah seperti arah F. suatu vektor F dapat dinyatakan dengan vektor satuan a dalam arah F dikalikan besar F tersebut, jadi F = Fa. Vektor satuan pada sumbu x, y, dan z, masing-masing dilambangkan dengan i, j, dan k. dengan demikian maka Fx = Fx i ; Fy = Fy j ; Fz = Fz k2.2.1. Aljabar VektorOperasi perhitungan vektor yang banyak digunakan dalam aplikasi adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. F

F1 F2 -F Gambar 2.4. Vektor F1 dan F2 Gambar 2.5. Sebuah vector samabesar Sama besar dan searah, maka dan sejajar dengan A tetapi berlawanan

F1 = F2 arah, maka A = -A2.2.1.a. Penguraian VektorSebuah vektor dapat diuraikan menjadi beberapa vektor lain. Misal, jika vektor F dalam bidang (2dimensi) diuraikan ke sumbu x dan y, masing-masing menjadi Fx dan Fy maka Fx dan Fy adalah komponen-komponen dari vektor F (Gambar 2.6). 10Demikian pula jika sebuah vektor F dalam ruang (3dimensi) diuraikan ke sumbu x, y, dan z maka komponen-komponen dari vektor F adalah Fx, Fy, dan Fz Gambar 2.7)Keterangan : Fx = Fx i ; Fy = Fy j ; Fz = Fz k , dimana : i, j, dan k disebut vektor satuan dan masing-masing mempunyai harga = 1.

Fy j F F Fzk

Fy j Fx i Fx i Gambar 2.6. Gambar 2.7.

2.2.1.b. Penjumlahan VektorPenjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis ataupun analitis. Penjumlahan antara dua buah vektor secara grafis adalah dengan meletakkan ekor dari salah satu vektor di kepala vektor yang lain, dimana besar dan arah vektor harus tetap. Kemudian tarik anak panah dari titik asal O ke ujung akhir seperti pada gambar 2.8. F2 F1 FR F1 + F2 = FR = F1 O O F2Gambar 2.8. Penjumlahan vektor 112.2.1.c. Pengurangan Vektor

Mengurangkan suatu vektor F1 dengan vektor lain F2 sama dengan menjumlahkan vektor F1 dengan negatif dari vektor F2 , jadi F1 - F2 = F1 + (-F2 ) , sehingga dengan membalikkan arah panah dari F2 hasilnya seperti pada gambar 2.9

F1 F1 - = F2 F1 - F2 F2Gambar 2.9. Pengurangan vektor

Apabila Fx dan Fy pada gambar 2.8 dijumlahkan secara trigonometris, maka diperoleh resultan F yang besar dari nilai resultan tersebut adalah :

F = F = Fx 2+ Fy2 + 2 Fx.Fy cos sudut antara Fx dan FyKarena sudut antara Fx dan Fy adalah 90o dimana cos 90o = 1, maka persamaan tersebut dapat ditulis : F = F = Fx2 + Fy2

Demikian pula apabila Fx, Fy, dan Fz pada gambar 2.7 dijumlahkan secara vektor maka diperoleh resultan F yang besar harganya : F = F = Fx2 + Fy2 + Fz2Contoh Soal 1 :

Z+ Y- Jika b x a = c , tentukan besar dan arah a vektor c , dan gambarkan vektornya ! X- b X+ ( Besar b = 3 sedang a = 2 ) Y+ Z-

12Contoh Soal 2: Gaya-gaya berikut bekerja pada sebuah titik, dimana besar dan arah masing-masing gaya adalah: F1= 40N, F2 =70N, F3 = 40N, F4 = 30N, F5 = 80N, F6 = 60N (gambar 2.10).Tentukan besar dan arah gaya resultan FR baik secara grafis maupun trigonometris !

y F2 F5 F4 F3 F3 F2 60 30 30 F4 y FR 30 F1 x F6 F5 F1 x F6 Gambar 2.10 Gambar 2.11 Jawab : a). Secara Grafis dilakukan dengan meletakkan ekor dari vektor tiap gaya yang dijumlahkan ke kepala vektor yang lain secara simultan (tidak harus berurutan, yang penting besar dan arahnya tetap), kemudian tarik anak panah dari titik asal ke kepala vektor terakhir, dan hasilnya seperti pada gambar 2.11.b). Secara trigonometris, dapat dilakukan dengan menguraikan tiap gaya menjadi komponen komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y, kemudian dijumlahkan secara vektor.Pada arah sumbu x, maka :

Fx = F1 cos 0o + F2 cos 30o + F3 cos 60o + F4 cos 90o + F5 cos 120o + F6 cos 210o = 40 cos 0o + 70 cos 30o + 40 cos 60o + 30 cos 90o + 80 cos 120o + 60 cos 210o = 40.1+70.0,866+40.0,5+30.0+80.-0,5+60.-0,866 = 40+60,62+20+0-40-51,96 = 28,66N

13Pada arah sumbu y,

Fy = F1 sin 0o + F2 sin 30o + F3 sin 60o + F4 sin 90o + F5 sin 120o + F6 sin 210o = 40 sin 0o + 70 sin 30o + 40 sin 60o + 30 sin 90o + 80 sin 120o + 60 sin 210o = 40.0+70.0,5+40.0,866+30.1+80.0,866+60.-0,5 = 0+35+34,64+30+69,28-30 = 138,92NJadi besar gaya resultan FR = Fx 2 + Fy 2 = 28,662+138,922 = 141,85NArah gaya resultan : tg = Fy/Fx = 138,92/28,66 = 4,8472Maka besar sudut = 78,34o (terhadap sumbu x)2.2.1.d. Perkalian Skalar dan VektorSuatu vektor apabila dikalikan dengan skalar, atau sebaliknya, maka hasilnya adalah vektor. Jadi apabila m adalah skalar, sedang F adalah vektor maka mF = Fm = vektor. Perkalian Skalar (Perkalian Titik) dari dua buah vektor A dan B dituliskan A.B dan dibaca A dot B, didefinisikan sebagai perkalian antara besar harga A dan besar harga B dan cosinus sudut () yang diapit oleh kedua vektor tersebut.

A.B = AB cos = sudut yang diapit oleh A dan B

dan besarnya : 0 <

Disebut perkalian skalar karena hasil dari perkalian dua buah vektor A dan B tersebut adalah skalar.

Contoh Soal 3 : Gaya F = 100N, bekerja terhadap suatu benda sehingga bergerak dengan lintasan d = 5 m dalam arah gaya, maka F.d = W = Fd cos 0o = 100.5.1 = 500 N.m (W = 500 N.m tidak mempunyai arah karena skalar)14Hukum-hukum pada perkalian skalar :

1. A.B = B.A2. A. ( B+C ) = A.B + A.C

3. m ( A.B ) = ( mA ).B = A.( mB ) = ( A.B ) m

4. i.i = j.j = k.k = 1 ; i.j = j.k = k.i = 05. Jika : A = Ax i + Ay j + Az k dan B = Bx i + By j + Bz kmaka : A.B = AxBx + AyBy + AzBz

A.A = A2 = Ax2 + Ay2 + Az2 B.B = B2 = Bx2 + By2 + Bz2 6. Jika A dan B masing-masing bukan vektor nol, sedang A.B = 0, maka berarti A dan B saling tegak lurus Perkalian vektor (Perkalian silang) dari vektor A dan vektor B dituliskan A x B

(dibaca A cross B) = C , didefiniskan sebagai hasil perkalian antara besar harga

vektor A dan besar harga vector B dan sinus sudut ( ) yang diapit oleh kedua

vektor tersebut. A x B = AB sin u = C 0 < < u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari hasil perkalian tersebut, yakni arah dari vektor C. Menentukan arah hasil perkalian vektor

Untuk menentukan arah dari vektor C, maka dapat digunakan aturan putaran sekrup. Apabila A dan B berada pada suatu bidang maka arah C selalu tegak lurus terhadap bidang tersebut. Jika A diputar ke B (melalui sudut yang lebih kecil) dan menghasilkan putaran yang searah jarum jam maka arah C adalah masuk bidang, sedang apabila putaran berlawanan dengan arah putaran jarum jam berarti arah C keluar bidang.15Contoh Soal 4: Suatu gaya F =1000 N, bekerja terhadap sebuah roda pada posisi r = 0,4m terhadap acuan O (pusat roda) dalam arah membentuk sudut 30o terhadap garis posisi, maka F x r = =1000.0,4 sin 30o = 200 N.m, dimana arah adalah tegak lurus terhadap bidang dimana F dan r berada. Apabila F yang diputar ke r searah putaran jarum jam maka arah masuk bidang, sedang apabila berlawanan dengan arah putaran jarum jam maka arah keluar bidang.

z z D

-y -y A -x B x -x A x

B

y C y -z -z

(a) (b)Gambar 2.12. Pada gambar 2.12 (a) Dinyatakan A x B = C =AB sin 90o. Jika besar A = 2, dan besar B = 2 maka besar C = 2.2.1 = 4 (arah C kebawah) ; Pada gambar 2.12 (b) Dinyatakan B x A = D = BA sin 90o. Jika besar B = 3, dan besar A = 2 maka besar D = 3.2.1 = 6 (arah D keatas). 16Contoh Soal 5 :

4m/s

30o

A 400 m B

3m/sLebar suatu sungai 400m. Sebuah kapal menyeberang dari sisi A ke sisi B dengan kecepatan tetap 5m/s. Karena arah arus air yang kecepatannya 3m/s membentuk sudut 90o terhadap arah dari A ke B dan mempengaruhi gerak kapal, maka nakhoda mengarahkan kapalnya dengan membentuk sudut 30o terhadap arah A ke B dengan harapan kapal akan merapat di suatu tempat yang tidak terlalu jauh dari B (Lihat gambar). Hitung ditempat mana kapal merapat, diukur dari tempat B! Jawab : 5m/s

5sin30o 30o 400 m A 5cos30o B

3m/s

Vektor kecepatan kapal dapat diuraikan menjadi komponen kecepatan dalam arah sumbu x (5cos30o) dan komponen kecepatan dalam arah sumbu y (5cos30o).

5sin30o = 5.0,5= 2,5m/s

5cos30oIni menjadi : 5cos30o =4,33 m/s

0,5m/s

3m/s tg = 0,5/4,33 = 0,1154734 ; jadi = 6,587o tg = tg 6,587o =0,1154734 = BC/400, maka jarak BC = 0,1154734 x 400 = 46,2 m

17 Jadi kapal akan sampai dan merapat di tempat C yang berjarak 46,2m dari tempat B

5 m/s 4,33m/s 400m A 6,587 o B 0,5m/s C

Hukum-hukum pada perkalian vektor :1. A x B = - B x A2. A x (B + C) = A x B + A x C

3. m(A x B) = (mA) x B = A x (mB) = ( A x B )m 4. i x i = j x j = k x k = 0 ; i x j = k, j x k = i, k x i = j

5. jika : A = Ax i + Ay j + Az k dan B = Bx i + By j + Bz kmaka : i j k A x B = Ax Ay Az = (AyBz AzBy) i Bx By Bz + (AzBx AxBz) j + (AxBy AyBx) k

6. Jika A dan B bukan vektor nol, sedang A x B = 0,

maka A sejajar B.

18

3. KINEMATIKA3.1. Gerak Lurus Sebuah benda dikatakan bergerak apabila ada perubahan posisi pada waktu tertentu terhadap acuan tertentu, dan dikatakan diam bila tidak ada perubahan posisi pada setiap waktu. Benda yang bergerak dikatakan mempunyai kecepatan v (velocity) yakni harga perubahan perpindahan sebagai fungsi waktu, terhadap sekitarnya. Apabila besar kecepatan benda berubah dalam waktu tertentu dikatakan mempunyai percepatan a (acceleration). Pada bab ini pembahasan hanya untuk percepatan seragam (uniform acceleration) dimana besar percepatan disetiap waktu adalah tetap. Percepatan adalah harga perubahan kecepatan per interval waktu t.Gerak Lurus : adalah gerak yang lintasannya lurus. Dapat dibagi menjadi 2 :

1. Gerak Lurus dengan kecepatan konstan (tetap) : Apabila benda bergerak dengan kecepatan v dalam waktu t, maka Lintasan benda adalah : s = v.t v v

s Gambar 3.1 Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) : ada 2 macam :

3.1.1.a. GLBB HorizontalApabila benda bergerak pada arah horizontal dengan kecepatan awal vo , kemudian dalam waktu t kecepatannya berubah menjadi vt , berarti ada percepatan a yang besarnya : a = vt - vo ( t = vt - vo .(1) t a Persamaan tersebut dapat ditulis : vt - vo= a.t ( vt = vo + a.t

Besar kecepatan rata-rata v = vt + vo ( s = v.t = (vt + vo )t , 2 219 s = perpindahan (displacement) s = ( vo + vo + a.t ) t ( sehingga s = vo . t + a.t 2 ..(2) 2 Apabila persamaan (1) di substitusikan ke persamaan (2) maka diperoleh : s = vo.t = vo (vt - vo ) + a. (vt - vo ) 2 ( vt 2 = vo 2 + 2 a.s

a a2 vo vt

s Gambar 3.2Keterangan :

Percepatan a diberi tanda positif jika kecepatan benda bertambah, dan diberi tanda negatif bila kecepatan berkurang. 3.1.1.b. GLBB Vertikal Sebuah benda yang bergerak pada arah vertikal, misal suatu benda yang dilemparkan dari permukaan bumi ke atas atau sebaliknya, maka akan dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi g yang besar rata-ratanya di permukaan bumi = 9,8 m/s2.

Benda yang dilemparkan dari permukaan bumi ke atas dengan kecepatan awal vo mempunyai persamaan sebagai berikut : Kecepatan pada saat ke t : vt = vo gt Besar lintasannya : s = vo.t 1/2 gt 220

vts = h vo g

Gambar 3.3 (Tanda g negatif karena arah gerak benda berlawanan dengan arah g)2. Benda yang dilemparkan dari ketinggian tertentu dengan kecepatan awal vo kearah permukaan bumi mempunyai persamaan :

Kecepatan pada saat ke t : vt = vo + gt Besar lintasannya : s = vo.t + 1/2 gt 2 vo s = h vt g

Gambar 3.4 (Tanda g positif karena arah gerak benda sama dengan arah g)

Benda dilepas dari ketinggian tertentu kearah permukaan bumi (tidak diberi kecepatan awal), disebut gerak jatuh bebas, mempunyai persamaan : Kecepatan pada saat ke t : vt = gt Besar lintasannya : s = 1/2 gt 221

vo = 0 s = h

vt g

Gambar 3.5Contoh Soal 1 : Seorang pengendara motor melaju dengan kecepatan konstan 10 m/s melewati sebuah pos polisi. Karena kecepatan pengendara motor itu melebihi batas kecepatan maksimum yang diperbolehkan, maka tepat ketika ia melewati pos tersebut, seorang polisi mengejarnya dengan mobil patroli dengan percepatan 2 m/s2. tanpa kecepatan awal. Tentukan dimana pengendara motor berhasil ditangkap polisi !

Jawab : Dimanapun pengendara motor ditangkap, besar lintasan yang ditempuh oleh keduanya sama. Lintasan oleh pengendara motor yang melaju dengan kecepatan konstan mempunyai persamaan : s = v.t, sedang lintasan oleh mobil patroli polisi yang melaju dengan percepatan dan tanpa kecepatan awal, persamaannya : s = a.t2. Dengan demikian maka : v.t = at2 ( 10.t = .2.t2 ( 10 = .2.t ( Waktu yang ditempuh : t = 10 s ( Maka pengendara motor tersebut ditangkap ditempat yang berjarak s = a.t2 = .2.102 = 100 m, diukur dari pos polisi.

Contoh Soal 2 : Sebuah lift yang bagian atasnya terbuka, bergerak vertikal keatas dengan kecepatan tetap 10m/s terhadap acuan bumi. Ketika sudah berada pada ketinggian 100m, seorang didalam lift melemparkan bola keatas dengan kecepatan 20m/s relatif terhadap lift, sementara lift terus bergerak keatas dengan kecepatan tetap. Hitung tempat tertinggi dari bola yang dilempar, tentukan pula berapa lama waktu yang diperlukan oleh bola sejak dilempar sampai jatuh kembali ke tempat semula di lift tersebut (g = 9,8m/s2).22

v = g.t 10 m/s

s = g.t2 v = 10m/s 15,32m

s = v.t

45,92m 10 m/s 30,6m

20m/s (thd.lift)

=30m/s(thd.bumi)

v =10 m/s 100m

Jawab : Bola dilempar keatas (Dari tempat berketinggian 100m) dengan kecepatan relatif 20m/s terhadap lift, sedang lift sendiri mempunyai kecepatan 10m/s terhadap bumi, berarti kecepatan bola terhadap bumi adalah = 20m/s +10m/s =30m/s.Karena arah bola melawan arah gravitasi bumi maka persamaan untuk kecepatan bola : vt = vo g.t ; Pada titik tertinggi kecepatan bola vt = 0 sehingga : 0 = vo g.t0 = 30 9,8.t ; Maka waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi adalah t = vo/g = 30/9,8 = 3,06 sekon. Adapun lintasan bola yang ditempuh untuk mencapai titik tertinggi = s = vo.t g.t2 ; s = 30.3,06 .9,8.3,062 = 45,92 m, atau apabila diukur dari permukaan bumi, tempat tertinggi bola = 45,92+100 = 145,92m.23Ketika bola sedang bergerak keatas, lift juga tetap bergerak keatas dengan kecepatan tetap 10m/s sehingga ketika bola mencapai titik tertinggi, lintasan yang ditempuh oleh lift adalah s = v.t = 10.3,06 = 30,6m, atau apabila diukur dari permukaan bumi = 30,6 + 100 = 130,6m. Ketika selisih jarak antara posisi lift dan bola 15,32m, lift sedang bergerak keatas dengan persamaan lintasan s = v.t, sedang bola mengalami gerak jatuh bebas dengan persamaan lintasan s = g.t2 dan keduanya bertemu pada suatu tempat dimana total jarak keduanya = v.t + g.t2 , ini = 15,32m sehingga : v.t + g.t2 = 15,32 , atau : 10.t + .9,8.t2 15,32 = 0 ( ini adalah bentuk persamaan kwadrat dalam t: 4,9 t2 + 10.t -15,32 = 0 ( Gunakan rumus : t 1,2 = (-b+b2-4.a.c)/2a Diperoleh harga t =1,07 sekon. Dengan demikian, waktu yang diperlukan bola sejak dilempar sampai mencapai titik tertinggi kemudian kembali ke lift = 3,06 + 1,07 = 4,13 sekon.

3.2. Gerak Parabola Sebuah benda yang dilemparkan atau ditembakkan dengan kecepatan awal vo dan sudut kemiringan tertentu misal maka lintasannya berbentuk parabola (lengkung) akibat pengaruh gravitasi bumi. Apabila komponen kecepatan ini diuraikan ke sumbu x dan sumbu y maka komponen kecepatan yang dipengaruhi oleh percepatan gravitasi g adalah komponen kecepatan yang berada pada sumbu y yakni vy. voy = vosin y vo

vox = vocosg x Gambar 3.624Kecepatan awal benda vo dapat diuraikan menjadi komponen kecepatan pada sumbu x dan y dengan persamaan gerak pada masing-masing sumbu sebagai berikut :

Pada sumbu x : Pada sumbu y :Kecepatan vx = voxcos Kecepatan vy = voysing.tLintasan sx = vxcost Lintasan sy = vysint g.t2Contoh Soal : Seorang pengendara mobil berpetualang di lereng sebuah bukit. Sesampai diujung jalan yang terjal, ia sengaja menginjak pedal gas untuk me lompatkan mobilnya ke tempat yang lebih rendah dengan kecepatan 9m/s. Tentukan posisi mobil, jarak dari tempat ia menginjak pedal gas, dan kecepatan nya, setelah 1 sekon. y

vo O y vx=vo

x

vy=-g.t vJawab : Ketika mobil akan dilompatkan, posisi mobil adalah xo=0, dan yo=0. Kecepatan awal hanya kearah horizontal saja yakni vox = 9m/s2, sedang voy = 0Setelah bergerak selama 1 sekon, posisi pada sumbu x = vox.t = 9.1 = 9 m, sedang posisi pada sumbu y (gerakan mobil ini pada sumbu y merupakan gerak jatuh bebas) adalah : y = -1/2g.t 2 = -1/2.9,8.12 = - 4,9 m. Tanda negatif menunjukkan bahwa posisi mobil sekarang berada dibawah posisi mula-mula. 25Jarak mobil setelah dilompatkan 1 sekon diukur dari posisi mula-mula adalah : s = x2+y2 = (9)2+(-4,9)2 = 10,25 m. Kecepatan mobil setelah 1 sekon adalah merupakan jumlah vektor dari komponen kecepatan pada arah sumbu x dan komponen kecepatan pada arah sumbu y, dimana vx = vox = 9 m, sedang vy = -g.t = - 9,8.1 = -9,8 m/s. Maka besar kecepatan mobil setelah 1 sekon adalah : v = vx2+vy2 = (9)2+(-9,8)2 = 177,04 = 13,3 m/s.3.3. Gerak Melingkar Suatu benda yang bergerak melingkar dengan jari-jari r, meskipun kecepatannya tetap, arahnya setiap saat berubah. Dikatakan bahwa ada percepatan a yang berperan merubah arah kecepatan tersebut dan disebut percepatan centripetal ac karena arahnya selalu menuju ke pusat lingkaran. Besar lintasan S yang ditempuh oleh benda per waktu disebut kecepatan linier v, sedang besar sudut yang ditempuh oleh benda per waktu disebut kecepatan sudut Apabila suatu saat besar kecepatan benda berubah maka dikatakan bahwa benda mengalami percepatan tangensial atau juga disebut percepatan normal at . Waktu yang diperlukan oleh benda untuk ber gerak melingkar 1 kali disebut periode = T.

v Apabila benda bergerak melingkar 1 kali, v maka kecepatan linier v = panjang keliling lingkaran per T, jadi v = 2r/T (m/s). Besar sudut ( yang ditempuh oleh benda pada saat bergerak melingkar 1kali adalah 2rad. sehingga kecepatan sudut = 2/T (rad/s). Gambar 3.7 Maka diperoleh hubungan bahwa : v = r. Percepatan centripetal ac = v2/r = 2r rad/s2 26Adapun besar percepatan tangensial at = r ; (Percepatan centripetal () arahnya menuju ke pusat lingkaran yang berfungsi merubah arah kecepatan v, sedang percepatan tangensial (at) searah dengan arah kecepatan linier v)Gerak Rotasi dengan Percepatan/Perlambatan:

Jika sebuah roda berjari-jari r berputar dengan kecepatan sudut o, kemudian dalam waktu t kecepatan sudutnya berubah menjadi t , berarti ada percepatan sudut yang besarnya : ( Perhatikan : kondisi disini identik sekali dengan persamaan pada GLBB!) = t - o ( t = t - o .(1)

t Persamaan tersebut dapat ditulis :t - o = a.t ( t = o + .t

Besar kecepatan rata-rata = t + o ( ( = .t = (t + o )t , maka 2 2

( = perpindahan sudut (angular displacement)

( = (o +o + .t ) t ( sehingga ( = o. t + .t 2 ..(2)

2 Apabila persamaan (1) di substitusikan ke persamaan (2) maka diperoleh :

( = o.t = o (t - o ) + . (t - o ) 2 ( t2 = o2 + 2 .(

2Energi Kinetik Rotasi : Suatu benda yang berputar merupakan massa yang bergerak, maka mempunyai energi kinetik rotasi. 27Misal benda tersebut berputar dengan kecepatan sudut . Apabila tiap elemen benda bermassa mi bergerak dengan kecepatan linier vi maka energi kinetik totalnya adalah Ek = 1/2mi.vi2 ( Karena v = r , maka besar Energi Kinetiknya adalah : Ek = m.2.r 2 ( Harga m.r2 disebut momen inercia I, maka I = m.r2, sehingga Ek = I.2Contoh hubungan antar roda :

RPM = Rotation Per Minutes, dimana : 1RPM = 2/60 rad/s

Disini : vA = vB A B (Kecepatan linier A = kecepatan linier B)

A B vA = vB

(Kecepatan linier A = kecepatan linier B)

A A =B B (Kecepatan sudut A = kecepatan sudut B)Contoh Soal 1: Apabila Jari-jari RA = 0,8m, RB = 0,2m, sedang RC = 0,5m, sedang roda C berputar dengan kecepatan sudut sebesar 1000RPM, tentukan kecepatan linier roda C!

A C B28Contoh Soal 2. Sebuah roda berputar dengan kecepatan sebesar 1800 RPM. Jika direm selama 1 menit, kecepatannya berubah menjadi 1200 RPM. Apabila roda tersebut terus di rem sampai berhenti.

a) Tentukan besar perlambatan sudutnya t b). Jika terus direm dengan perlambatan tersebut sampai berhenti, hitung lama (t) pengereman 1menit c). Hitung jumlah putaran roda sejak direm o sampai berhenti !(Ingat, setiap berputar 1 kali, besar sudutnya ( = 2rad, berarti untuk menghitung jumlah putaran, sama dengan besar sudut ( dibagi 2, jadi: Jumlah putaran = (/2Contoh Soal 3 :Rancanglah sebuah tikungan jalan miring yang jari-jari kelengkungannya 100m. Apabila mobil yang melewati tikungan tersebut berkecepatan 25 m/s, berapa sudut kemiringan jalan agar mobil tersebut dapat berlalu dengan aman? Contoh Soal 4 : Jari-jari roda A = 0,5m sedang roda B = 0,2m

B Apabila roda B berputar dengan kecepatan sudut

A 1000 RPM, tentukan besar kecepatan linier dari

Roda A !294. GRAVITASI DAN GAYA4.1. Gravitasi

Gravitasi merupakan efek universal sebagai akibat adanya gaya tarik menarik antara suatu benda dengan benda lainnya, yang secara kwantitatif dinyatakan dalam hukum gravitasi universal yang dikemukakan oleh Newton. Setiap gaya yang beraksi terhadap benda menentukan geraknya. Dibedakan dua macam gaya yakni : Gaya fundamental (Fundamental force) dan gaya turunan (Derived force). Gaya fundamental adalah gaya yang sudah ada dialam, ada 4 macam yakni : gaya gravitasi, gaya elektromagnetik, gaya nuklir kuat, dan gaya nuklir lemah. Adapun gaya turunan merupakan hasil dari operasi gaya fundamental. Sebagai contoh, gaya gesek dan gaya pegas, keduanya adalah gaya turunan. Dalam analisis terahir, kedua gaya ini adalah merupakan hasil dari gaya-gaya diantara molekul-molekul, dan gaya-gaya ini merupakan keluaran dari gaya elektromagnetik yang adalah merupakan gaya fundamental. Adapun gaya tarik menarik yang terjadi antara suatu benda bermassa m dengan bumi yang bermassa M merupakan gaya gravitasi yang bukan gaya turunan.Hukum Gravitasi Universal

Newton menyatakan bahwa : Gaya gravitasi yang bekerja pada suatu titik bermassa m terhadap titik massa lain yang bermassa M adalah merupakan gaya tarik menarik yang besarnya berbanding terbalik dengan kwadrat jarak r antar kedua benda tersebut.F = - (G.m.M)/r2F = gaya tarik menarik

G = Konstanta gravitasi universal = 6,67.10 -11 Nm2/kg2m = massa benda bermassa m (kg)M = massa benda bermassa M (kg)

r = jarak antara dua benda (meter)

30 Tanda negatif (-) menunjukkan bahwa gayanya adalah bersifat tarik menarik.

Karena besar gaya gravitasi yang dialami oleh benda bermassa m akibat adanya percepatan gravitasi g adalah F = m.g, sedang harga ini = Gm.M/r2 , maka : m.g = Gm.M/r2 , dengan demikian besar g = G.M/r2 G = konstanta gravitasi yang harganya diperoleh berdasarkan data eksperimen. Konstanta ini mencirikan kekuatan gaya gravitasi dan hanya bisa diketahui harganya jika kedua massa yang tarik menarik diketahui.. Energi potensial terkait dengan gaya gravitasi : Gaya gravitasi tergantung kepada jarak dari benda yang dipengaruhinya dari pusat gaya. Oleh karena itu merupakan gaya konservativ dan dapat diturunkan dari fungsi energi potensialnya. Besar energi potensial gravitasi Ep = - F.dr = - -Gm.M.dr/r2 = - G.m.M/r ( Ep = - G.m.M/r.Apabila persamaan F =G.m.M/r2 didiferensialkan ke r diperoleh: dF=-2G.m.M.dr/r3 sehingga dF/F = - (2G.m.M.dr/r3 ) / G.m.M/r 2 , atau : dF/F = -2dr/r ..................(1)

Apabila persamaan F = m.g juga didiferensialkan maka diperoleh dF = m.dg, atau dF/F = dg/g ........(2) maka diperoleh : dg/g = -2 dr/rKETERANGAN : dg = perubahan besar percepatan gravitas dr = perubahan besar jarak (ketinggian) r 4.2. Gaya Hukum Newton :

1. Suatu benda yang diam akan terus diam, sedang suatu benda yang bergerak lurus dengan kecepatan konstan akan terus bergerak dengan kecepatan konstan, jika tidak ada gaya yang mempengaruhinya.312. Jika sebuah benda dikenai gaya F maka akan mengalami percepatan a yang besarnya berbanding lurus dengan gaya tersebut dan arahnya sama. F = m x a3. Sebuah benda yang dikenai gaya aksi akan melakukan perlawanan dengan gaya reaksi yang sama besar,sedang arahnya berlawanan dengan gaya aksi tersebut.Gaya Aksi = - Gaya Reaksi, jadi FAksi = - F Reaksi Cara Menentukan Besar Gaya :1. CARA STATIK :Jika benda berada dalam keadaan diam, maka gaya resultant (gaya netto) yang bekerja pada benda = 0 ; jadi F = 0Fx =0Fy =0Fz =0)

Benda diam Gambar 4.1 2. CARA DINAMIK :

a). Jika benda bergerak dengan kecepatan konstan, berarti pada benda tidak ada percepatan linier a, berarti juga gaya resultant yang bekerja pada benda = 0 Jadi F = 0Fx =0Fy =0Fz =0)

v v Benda bergerak dengan v konstan Gambar 4.2

b). Jika benda bergerak dengan kecepatan berubah, berarti ada percepatan a, maka : F = m x a32 a vo vt Benda bergerak dengan percepatan a Gambar 4.3Contoh Soal 1(Cara Statik ): Sebuah benda berat 1000 newton digantung dengan dua tali seperti pada gambar. Tentukan besar gaya tegangan tali TA dan TB ! 30 60 TA TB

1000N Contoh Soal 2(Cara Dinamik dengan percepatan a ): Tentukan besar gaya percepatan a dan gaya tegangan tali T sistim sebagai berikut, dimana g = 9,8m/s2 : (TA = TB = T)!

Contoh Soal 3 : Berapa gaya yang diperlukan oleh mesin TA TB untuk mengangkat beban bermassa 1000kg

dengan percepatan 2m/s2 ( g = 9,8m/s2 )

F = ?

a

A B

100kg 500kg 800kg g = 9,8m/s2 1000kg 33Contoh Soal 4 : (Cara Dinamik dengan percepatan a ): Hitung percepatan sistim dan gaya tegangan tali T! 100kg T Licin Sempurna T a 10 kgContoh Soal 5 :

Sebuah lift sewaktu masih kosong , bermassa F=6000N sama dengan beban penyeimbangnya =1000kg

Kemudian beberapa orang masuk lift, setelah a=2m/s2 itu mesin lift bekerja dan mengangkat lift ke

atas dengan gaya 6000N sehingga lift bergerak

dengan percepatan 2m/s2. Tentukan massa total para penumpang lift tersebut !

( g = 9,8m/s2) 1000 kg Contoh Soal 6 :. F=100N

Sebuah benda ditarik dengan gaya 100N 45o membentuk sudut 45o terhadap horizontal

Tentukan besar gaya normalnya ! g = 9,8m/s2

34Dinamika Gerak Melingkar :

Contoh Soal 1 : Sebuah peti bermassa 100 kg bergerak melingkar beraturan diatas papan licin sempurna (tanpa gesekan) karena diikat dengan tali yang panjangnya 5 m. Jika peti menjalani 2 putaran per sekon, hitung besar gaya yang dialami oleh tali!

Jawab : Frekwensi f = 2 maka periode T = 1/f = =0,5 s. Percepatan centripetal ac = v2/r = R/T2 = 4.(3,14) 2.5 / 0,52 =789,57m/s2 .Gaya pada tali merupakan gaya centripetal Fc = m.v2/R = m.ac = 100.789,57 = 78957 N.Contoh Soal 2 : Sebuah bola bermassa m digantung dengan tali yang panjangnya L kemudian bola diputar sehingga bergerak melingkar dengan jari-jari R seperti pada gambar. Hitung besar gaya tegangan pada tali dan sudut nya !Jawab :

F F L Fcos F A Fsin W = m.gDisini tidak ada gaya vertikal, Fy = 0 ; Gaya horizontal mengarah ke pusat lingkaran, ini pasti harus sebanding dengan m.v2/R sehingga Fx = F sin = m.v2/R F sin - m.v2/R = 0, sedang pada arah vertikal, Fy = F cos - m.g = 0 (F = m.g/cos( Masukkan harga F ke persamaan Fx ( (m.g/cos)sin=m.v2/Rm.g.tg =m.v2/R ( tg= v2/g.R ( R = L sin sehingga : v = R/T = Lsin

tg= v2/g.R = (Lsing.R ( sin /cos = 4Lsing.R ( 1 /cos = 4RL g.R = 4L g. ( cos = g./ 4L ( T = 2 L cos /g35

5. GESEKAN

N Gesekan (Gaya Gesek) f, merupakan gaya yang melawan gerak relative dari dua permukaan yang bersinggungan Benda yang belum dikenai gaya kesamping, belum meng W alami gaya gesek apapun, baik statik maupun kinetik. Gambar 5.1 Ada dua macam gaya gesek :1. Gaya gesek statik fs: adalah gesekan antara dua permukaan yang diam2. Gaya gesek kinetik fk : adalah gesekan antara dua permukaan yang bergerak N=W N=W N=W

F F F fs fs max fk

W W W

Gambar 5.2

1. Benda yang diberi gaya 2. Benda diberi gaya F yang 3. Benda sedang dalam F relativ kecil dan benda cukup besar sehingga benda keadaan bergerak,maka masih diam, sudah timbul tepat akan bergerak, maka berlaku persamaan : gaya gesek statis dimana : berlaku persamaan : fk = k.N f s fk mk benda sedang bergerak dg percepatana36Koefisien gesek adalah angka perbandingan antara gaya gesek dengan gaya normalKoefisien gesek s adalah angka perbandingan antara gaya gesek statik maximum dengan gaya normal

Koefisien gesek k adalah angka perbandingan antara gaya gesek kinetik dengan gaya normal

Contoh Soal 1: 1.a). Apabila benda R yang tidak diketahui massanya menarik benda P dan Q sehingga semua bergerak bersama-sama dengan kecepatan konstan, tentukan massa R b). Jika massa benda R diganti dengan benda lain yang besar massanya 300kg, hitung besar percepatan bersama a NQ T Np

P Q

R

WQ Npsin30 Npcos30 WP WR = mR.g 100kg Q 100kg P 0,5

0,5 30o g = 9,8 m/s2 v konstan

R37 Contoh Soal 2:

Jika benda A,B, dan C bergerak bersama-sama dengan percepatan a = 2m/s2, tentukan besar massa benda A yang belum diketahui!

100kg

C

B A =0,2 30o 200kg =0,4 Contoh Soal 3:

. Benda P,Q, dan R bergerak bersama-sama dengan kecepatan v konstan, tentukan massa benda Q seperti pada gambar berikut :

200kg Q P v konstan R 60o 200kg 30o38Tikungan Datar Mobil bergerak melingkar pada suatu tikungan datar berjari-jari R. Jika koefisien gesekan statik antara roda dan jalan adalah s , berapa kecepatan maksimum (v max m) mobil agar tetap pada jalur tikungan tersebut dengan tidak tergelincir ?Jawab : Anggap gambar kotak kecil adalah mobil yang sedang berbelok di tikunganW = Berat mobil ; N = Gaya Normal ; f = Gaya Gesek mobil pada jalan, dimana arahgaya gesek menuju ke pusat kelengkungan tikungan berjari-jari R.

N Percepatan ac = v2/R kearah pusat kelengkungan harus disebabkan oleh gaya gesek f = s.N, maka f Fx = f = s.N m.v2/R , sedang Fy=N-m.g =0 Disini f diperlukan untuk menjaga agar mobil tetapW = m.g bergerak dalam lintasan lingkaran.

Besar gaya gesek f akan bertambah dengan bertambahnya kecepatan, tetapi gaya gesek maksimum yang tersedia adalah f max = s.m.g yang mana merupakan harga konstan, dan ini menentukan kecepatan maksimum mobil agar tidak tergelincir. Maka jika f max disubstitusikan ke persamaan f dan v maximum ke persamaan v diperoleh : s.m.g = m.v2max / R ( Diperoleh : v max = s.g.RTikungan Miring. Apabila sebuah mobil bergerak melingkar pada suatu tikungan miring, meskipun jalan licin (tanpa gesekan), mobil dengan kecepatan tertentu bisa berbelok tanpa tergelincir. Jadi terdapat korelasi antara kecepatan mobil v dengan sudut kemiringan suatu tikungan. Jelaskan korelasi v dan sudut !39 Ncos N

Nsin

W=m.g

Kotak kecil ditengah tikungan jalan miring adalah mobil yang sedang melaju dengan kecepatan v, sedang N adalah gaya normal pada mobil yang arahnya tegak lurus terhadap permukaan jalan miring. Secara trigonometris dapat dibuktikan bahwa besar sudut pada mobil sama dengan sudut kemiringan jalan. Pada keadaan disini, penyebab gaya m.v2/R adalah : N sin jadi : Fx = N sin = m.v2/R ......(1)Fy Ncos m.g( N = m.g/cos Harga N ini dimasukkan ke persamaan (1) diperoleh : (m.g / cos sin = m.v2/R , maka diperoleh : tg v 2/ g.RDalam merancang jalan mobil ataupun kereta api, tikungan sering dimiringkan untuk kendaraan dengan kecepatan rata-rata. Jadi jika jari-jari kelengkungan tikungan R = 230 m dan kecepatan v = 25m/s maka sudut kemiringannya adalah :

tg v 2/ g.R ( = arc tg {(25)2/ 9,8.230} = 15o 40

6. ENERGI DAN KERJA

6.1. Energi (E) Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan kerja (usaha). Berbagai macam bentuk energi antara lain: energi mekanik, kimia, elektromagnetik, panas, nuklir, cahaya, dan sebagainya. Disini hanya akan dibahas energi mekanik. Energi suatu benda diukur berdasarkan kemampuan kerja yang dapat dilakukan, oleh karenanya satuan energi sama dengan satuan kerja yakni joule (J)

Energi Mekanik banyak macamnya, ada dua yang penting yakni :

6.1.1. Energi Potensial Energi Potensial merupakan energi yang dimiliki oleh benda karena posisinya, contoh: 1. Benda yang berada pada ketinggian tertentu diatas permukaan bumi :

Ep = m.g.h

Ek = 0 Ep = m.g.h

Ek = m.v2 h h v

Ek = m.v2max Ep = 0 Gambar 6.1 vmax 2. Pegas yang ditarik atau ditekan dengan gaya F tertentu sejauh x :

x

F Ep = k.x2

Gambar 6.2

k = konstanta pegas ; x = simpangan dari posisi mula-mula 416.1.2. Energi Kinetik Energi Kinetik merupakan energi yang dimiliki oleh benda akibat geraknya. Semua

benda bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v, mempunyai energi kinetik

yang besarnya mv2

Gambar 6.3 v Ek = mv26.2. Kerja (W)

Kerja didefinisikan sebagai hasil perkalian antara gaya F yang beraksi terhadap

Suatu benda dengan lintasan s dari benda tersebut dalam arah yang sama.

Bila sebuah benda ditarik dengan gaya F sejauh s, maka besar kerjanya adalah : F W = F coss Fcos s Gambar 6.4Hubungan antara Kerja dan EnergiJika sebuah benda bermassa m ditarik dengan gaya F dalam arah horizontal sejauh x dengan kecepatan awal vo, kemudian mendapat percepatan a sehingga dalam waktu t kecepatannya berubah menjadi vt, maka Kerja W = F.x = m.a.x

x = v.t = (vo+vt) t ; a = vt-vo ; maka W = m(vt-vo)(vo+vt) t sehingga :

2 t t 2

Kerja W = m.vt2 - m.vo2

(Kerja = Energi Kinetik akhir Energi Kinetik awal)Untuk sebuah benda jatuh, besar energi kinetik maupun energi potensialnya akan berubah-ubah pada setiap tempat sebagai fungsi dari ketinggian. Ketika energi kinetiknya membesar maka energi potensialnya mengecil, demikian pula sebaliknya sehingga besar rata-rata Energi Kinetik = rata-rata Energi Potensial. Dengan demikian maka besar kerja yang dilakukan oleh benda juga dapat dinyatakan : 42 Kerja : W = m.g.h2 m.g.h1

(Kerja = Energi Potensial ditempat 2 Energi Potensial ditempat 1)Demikian pula pada gerak pegas maka : Kerja W = k.x22 - k.x12 ( kx22 = Energi Potensial ditempat 2, sedang kx12 = Energi Potensial ditempat 1)Contoh Soal 1 :

Sebuah mobil menarik beban bermassa 2000kg dengan gaya F sejauh 4000m dan melaju dengan kecepatan konstan. Jika koefisien gesek kinetik sepanjang jalan 0,4 dan g =9,8m/s2, tentukan besar kerja yang dilakukan oleh mobil ; hitung pula besar kerja oleh gaya gesek!

F

30o

Contoh Soal 2 :

Seorang dari helikopter berketinggian 200m menarik beban bermassa 100kg dari permukaan bumi kearah atas sehingga beban bergerak dengan percepatan 4m/s2. Tentukan : a. Kerja yang dilakukan oleh penarik

b. Kerja yang dilakukan oleh bumi

c. Kerja yang dijalani oleh beban tsb

d. Kecepatan akhir beban tersebut. 43

.

a = 4m/s2 200m

g=9,8m/s2 Contoh Soal 3 : F Sebuah benda bermassa 200kg ditarik dengan

v konstan gaya F sejauh 500m dengan membentuk sudut

60o terhadap bidang horizontal. Jika besar

60o koefisien gesek kinetik k = 0,2 hitung besar kerja yang dilakukan oleh penarik!

k=0,2 ( g = 9,8m/s2 )

Contoh Soal 4 : B Jarak dari A ke B adalah 200m

F Seseorang menarik peti dengan gaya F

dengan kecepatan konstan dari A ke B

100kg Tentukan besar kerja (usaha) yang di k=0,5 lakukan oleh orang tersebut !

30o ( g = 9,8m/s2 ) A

44 7. MESIN-MESIN ANGKAT

7.1. Pengantar

Mesin didefinisikan sebagai alat untuk transformasi gaya, yakni merubah besar maupun arah gaya. Pada masa sekarang, penggunaan mesin sangat mendominasi berbagai kegiatan manusia di berbagai bidang, seperti : Industri, Transportasi, Pertanian, bahkan Kedokteran dan Pendidikan, serta banyak bidang yang lain. Di dunia Teknik Sipil, mesin pada umumnya digunakan sebagai alat penunjang untuk melaksanakan kegiatan pembangunan suatu obyek, misalnya gedung, jembatan, jalan raya, terminal, dan sebagainya. Sesuai dengan kebutuhan di lapangan, mesin mesin yang banyak diperlukan adalah berupa mesin yang berfungsi mengangkat dan memindahkan benda-benda bermassa besar seperti beton, baja, balok kayu, batu, lempengan besi, dan bahan-bahan bangunan lainnya. Oleh karena itu, digunakan mesin angkat yang berfungsi untuk kelancaran dan kemudahan pelaksanaan suatu bangunan. Terdapat banyak jenis mesin angkat, semakin besar nilai efisiensi suatu mesin yang digunakan, tentu semakin baik.

Ada beberapa besaran yang digunakan untuk menunjukkan ukuran kemampuan mesin, yakni :

7.2. M.A.(Mechanical Advantage): merupakan harga perbandingan antara besar gaya beban yang diangkat dengan gaya yang digunakan untuk mengangkat .

Fo = Gaya beban yang diangkat

(Gaya output = berat beban)

Fi = Gaya yang digunakan untuk

mengangkat (Gaya inp

7.3. D.R.(Distance Ratio): merupakan harga perbandingan antara panjang yang

digunakan untuk mengangkat, dengan panjang yang ditempuh oleh beban 45 Si = Panjang yang digunakan

untuk mengangkat

(Panjang input)

So = Panjang yang ditempuh

oleh beban (Panjang output)

Menurut hukum kekekalan energi, apabila suatu kerja diberikan kepada sebuah sistim (kerja input) maka kerja yang dihasilkan oleh sistim tersebut (kerja output) besarnya haruslah sama, tentu dengan catatan tidak ada energi yang hilang dalam proses tersebut (Sebenarnya tidak ada energi yang hilang, hanya berubah menjadi bentuk energi lain yang dalam kondisi tertentu merugikan fungsi mesin, misalnya: berubah menjadi panas akibat gesekan). Sehingga apabila dalam proses tersebut dianggap tidak ada energi yang hilang (mesin dianggap ideal), maka berlaku persamaan :

FoSo = Kerja output

Fi.Si = Kerja input

Persamaan ini bentuknya dapat dirubah menjadi :

Sehingga :

Efisiensi didefinisikan sebagai harga perbandingan antara besar kerja output dengan

besar kerja input (dinyatakan dalam persen), sehingga :

0 < 46Suatu kenyataan bahwa pada sebuah mesin, senantiasa terdapat faktor-faktor yang merugikan kerja mesin, misalnya gesekan, panas, kelembaban, korosi, dan lain sebagainya yang tidak diinginkan, sehingga menyebabkan efisiensi mesin tidak pernah dapat mencapai 100 %, sebagaimana yang dinyatakan dalam hukum thermodinamika. Hal-hal yang merugikan kerja mesin akan merubah besarnya harga M.A., tetapi tidak berpengaruh terhadap harga D.R. (Penjelasan dari pernyataan ini dapat dibaca pada pembahasan terhadap katrol tunggal di halaman selanjutnya).

7.4. Macam macam mesin angkat

Beberapa jenis mesin angkat yang akan dibahas dan banyak digunakan untuk menunjang kegiatan dalam bidang teknik sipil adalah : Katrol tunggal ; Katrol Ganda, meliputi : Katrol Sistim Pertama, Katrol Sistim Kedua, dan Katrol Sistim Ketiga ; Katrol diferensial Weston ; Roda Poros ; Roda Poros Diferensial ; Dongkrak Sekrup Sederhana ; Bidang Miring ; Kerekan Ketam Tunggal ; Kerekan Ketam Ganda ; Roda Cacing.

a. Katrol Tunggal

Mesin sederhana ini dalam keadaan ideal mempunyai

harga M.A = 1, yang diperoleh dari Fo / Fi , dimana : besar gaya Fi yang digunakan untuk mengangkat beban W (sebagai gaya output Fo) besarnya sama dengan besar So Si Fo . Demikian pula harga D.R. juga = 1 yang diperoleh dari Si/So, karena untuk menaikkan W setinggi So= x m Fo harus menarik Si sepanjang x m juga. Dalam keadaan Fi seperti ini maka M.A. = D.R. (Perhatikan: Fo = W) 47Tetapi keadaan menjadi lain apabila kondisi mesin tidak ideal, misalnya katrol

tersebut sudah karatan yang menyebabkan roda sukar berputar akibat gesekan.

Dalam keadaan demikian maka bisa terjadi bahwa untuk mengangkat beban W

yang beratnya misal 1000N ( sebagai Fo ), diperlukan gaya Fi yang lebih besar

dari 1000N karena sebagian gaya Fi digunakan untuk melawan gaya gesek pada

roda. Namun meski kondisi katrol demikian, tidak mempengaruhi harga D.R.

karena, jika tali Si bisa ditarik sepanjang x m, maka beban W tetap naik setinggi

x m. Dikatakan bahwa, gaya luar hanya berpengaruh terhadap harga M.A. saja.b. Katrol GandaSistim Pertama :

DR = Jarak yang digerakkan oleh kerja Jarak yang dijalani oleh beban 4 T3 DR = 2n ; dimana n = jumlah roda katrol T2 3 3 Fi bebas, disini n ada 3 buah ( Katrol tetap yakni no.4, tidak dihitung) T1 2 Dalam keadaan ideal, MA = DR, maka MA = Fo/Fi = W/Fi = Si/So = 2n 1 Jika massa katrol bebas (nomor 1,2,dan 3) cukup besar, maka perlu dihitung juga! Katrol tetap ( nomor 4) tidak berpengaruh 48Perhatikan, jika mesin ideal maka MA=DR, tetapi jika mesin tidak ideal, maka :

hubungan antara MA dan DR adalah : fisiensiM.A. x 100% ( 0 2 : maka (r2 2) adalah real dan lebih kecil dari r, menyebabkan

pangkat r + (r2 2) dan r (r2 2) persamaan (3) adalah negatif, iniberarti perpindahan simpangan x secara kontinyu berkurang dengan waktu.

Simpangan partikel akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa terjadi getaran.

Gerak seperti ini dinamakan OVER DAMPEDJika r2 = 2 : maka (r2 2) = 0, harga ini tidak memenuhi persamaan (3), oleh

karena itu kita asumsikan bahwa (r2 2) mempunyai harga, meskipun sangat kecil, ini menyebabkan pangkat r + (r22) dan r(r2 2) persamaan (3)juga berharga negatif, dan lebih negatif dari jika r2 > 2 Maka simpangan daripartikel akan kembali ke posisi seimbangnya lebih cepat dari jika r2 > 2 dan

tanpa terjadi getaran. Gerak seperti ini disebut CRITICAL DAMPED.Jika r2 < 2 : maka harga (r2 2) adalah imajiner, disini terjadi getaran bolak

balik yang makin lama makin lemah. Maka disini terjadi GETARAN TERREDAM. (r2 2) adalah imajiner, jadi (r2 2) = i (2 r2) ( i = bilangan imajiner75i = -1 ; (2 r2) = ( ini dinamakan : frekwensi sudut getaran teredam =2/T=2f ( T=periode getaran teredam ; f=frekwensi getaran teredam

Sehingga periode getaran teredam : T = 2/ = 2 (2 r2)

Maka (r2 2) = i ( = (2 r2) ; Harga ini dimasukkan ke persamaan (3)maka : x = C1.e (r + i.) t + C2.e (r i.) t = e r.t (C1.e + i.. t + C2.e ( i.) t)

Jadi : x = e r.t (C1.e + i.. t + C2.e ( i.) t)..(4)Berdasarkan teori matematik, e +i. cos i sin , dan e -i.cosi sinMaka pers. (4) menjadi : x = e r.t (C1(cost + i.sint) + C2(cost - i.sint))

Dapat ditulis : x = e r.t (C1+C2)cost i(C1-C2) sint)

Ambil C1+C2 = a sindan i(C1-C2) = a cosdimana a dan adalah konstantaMaka : x = e r.t (a.sincost a.cossint) ( sehingga dari persamaan iniDiperoleh persamaan Simpangan Getaran Terredam x pada waktu t :

x = a. e r.t sin (t ) .(5)

a. e r.t = amplitudo getaran terredam ; e r.t = faktor redaman ; e = 2,71828

(t ) = fase getaran terredam ; r = konstanta redaman Apabila persamaan ini didiferensialkan ke t menghasilkan persamaan KecepatanGetaran Teredam pada saat t , jadi :

v = dx/dt = ra. e r.t sin (t +a. e r.t cos (t + untuk r 2 ( Dimana : r2 < 2 ) a +a. e r.t

t

a. e r.t -a

Gambar 10.4Dissipasi (hamburan) Daya P dalam Getaran Terredam :Ketika sebuah benda mengalami getaran teredam maka energi total (ET) nya lambat laun akan terus berkurang, yang berarti mengalami dissipasi daya, yakni ada daya yang terhambur keluar sistim. Daya P merupakan diferensial dari energi terhadap waktu, jadi P = dET/dt ( ET = Energi potensial (Ep) + Energi kinetic Ek) ( ET = Ep + Ek

Ep = k.x 2 , sedang Ek = m.v2 ; Dari sini masing-masing energi dapat ditulis : Ep = k.x 2 = k(a. e r.t sin (t ))2 = k.a2. e r.t sin 2(t ) Ek = m.v2= m.(a. e r.t cos (t + 2 = m.a2. e r.t ()2cos 2(t + Untuk r 0 ( Beda harga dari berat balok g.h.Adikurangi F netto dikenal sebagai Gaya Apung (Buoyant force). Jaqi Gaya Apung Fapung = F berat benda F netto. Untuk kasus balok yang tenggelam sebagian maka Fapung = g.h.A 0 = .g.h.A = a.g.y.A. Adapun jika balok tenggelam secara kesdeluruhan, dimana y >=h maka gaya apungnya :

F apung = .g.h.A ( .g.h.A - a.g.h.A) = a.g.h.A ( Apabila V adalah volume benda dibawah permukaan air ( V = y.A atau h.A tergantung apakah benda tenggelam sebagian atau secara keseluruhannya ke dalam air) maka kita bisa mengkombinasikan hasil kita ke satu pernyataan tunggal yakni : F apung = a.g.V ; Gaya apung melawan gaya gravitasi pada benda ( .g.h.A) ; Archimides mengemukakan prinsip yang berbunyi : Besar gaya apung pada benda yang tercelup sama dengan besar berat zat cair yang dipindahkan oleh benda tersebut.(a) F netto = 0; V a

F keatas

F kebawah y +yKeterangan:

V = Volume total benda : V = Volume bagian benda yang tercelup dalam air = Volume air yang dipindahkan oleh benda

Contoh Soal 1 : Suatu bak mandi segi empat yang terbuat dari plastik mempunyai panjang L= 1m, lebar W = 0,8m, tinggi t = 0,6m, dan massa M =200kg. Bak tersebut terapung di danau. Berapa banyak orang yang bermassa masing masing m = 50 kg dapat naik ke bak tersebut sebelum tenggelam? 102 ?

t

y W LJawab : Misalkan jumlah orang yang naik sebanyak x sedang rapat massa air a = 1000 kg/m3. Jika bak tersebut tenggelam sedalam y, maka volume air yang dipindahkan = gaya apung Fapung = air.L.W.y.g . Adapun gaya kebawah dengan sejumlah x orang = Fkebawah = (M+x.m)g . Bak terapung dengan kedalaman y dimana : F apung = F kebawah . Bak akan tenggelam pada saat y = t. Sebelum tenggelam, persamaan keseimbangannya adalah : air.L.W.t.g = (M+x.m)g. ( air.L.W.t.g = M.g+x.m.g ( Harga g dikiri dan kanan persamaan dapat dicoret sehingga banyaknya orang = x =(air.L.W.t.- M)/m = (1000.1.0,8.0,6 200) / 50 = 280/50 = 5,6. Ini berarti jika bak dinaiki oleh 5 orang (berarti massanya cuma 250 kg) bak masih terapung, tetapi jika dinaiki oleh 6 orang (berarti massanya 300 kg) maka bak akan tenggelam.Contoh Soal 2 : Suatu balon timah dengan rapat massa = 11300kg/m3 yang berisi udara berjari-jari R = 0,1m secara total tercelup dalam tangki air seperti pada gambar dibawah. Berapa ketebalan t dari kulit timah balon jika balon tersebut tidak terapung juga tidak tenggelam? (Anggap t sangat tipis dibanding jari-jari R!) ( t