Phyllotaxis - uni-graz.at · Bild aus Gems of Geometry, S.2 Ein anderer Weg Papier zu teilen ist...

Christina Imp

Phyllotaxis

Seminararbeit

Karl-Franzens-Universitat Graz

Institut fur Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

LV-Leiterin: Univ.-Prof. Dr.phil. Karin Baur

Graz, Oktober 2014

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Der Goldene Schnitt 2

2.1 Die Goldene Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Der Goldene Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Die Goldene Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Die Fibonacci-Zahlen 10

4 Phyllotaxis 12

4.1 Wie kann so etwas funktionieren? . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Literatur 25

ii

1 Einleitung

Phyllotaxis ist ein Begriff aus der Botanik und Mathematik und bezeichnet

die Blattanordnung, die sich nach Regeln verhalt, in Pflanzen. Es gibt hier

naturlich unterschiedliche Formen, aber ich werde mich nur auf die ”ma-

thematisch Interessanten“ beschranken.

Das Phanomen der Phyllotaxis tritt z.B. bei Sonnenblumen, Ananas, Ganseblumchen,

Blumenkohl, Tannenzapfen und diversen Kakteenarten auf.

Um jedoch uberhaupt die Phyllotaxis erklaren zu konnen, mussen wir uns

zuerst den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt bzw. den damit

einhergehenden Dingen wie der Goldenen Zahl und dem Goldenen Winkel

widmen.

1

2 Der Goldene Schnitt

2.1 Die Goldene Zahl

Der Goldene Schnitt ist ein Teilverhaltnis einer Strecke oder das Teilungs-

verhaltnis einer anderen Große.

Definition: Eine Strecke ist im Verhaltnis des Goldenen Schnittes geteilt,

wenn sich die beiden Teilstucke zueinander verhalten wie die ganze Strecke

zum langeren Teilstuck.

1x−1 = x

1

Bild aus Der goldene Schnitt, S.15

2


Wobei die langere der beiden Seiten Major und die kurze Minor genannt

wird

Eine weiter Annaherung an das Gebiet des Goldenen Schnitts kann auch

uber ein Stuck Papier erfolgen. Betrachtet man zum Beispiel ein A3 Papier,

so sieht man zwei A4 Papiere in diesem A3 Papier. Das Verhaltnis der Seiten

ist bei allen Blattgroßen das selbe:

Bild aus Gems of Geometry, S.1

2xy = y

x , somit auch

( yx )

2 = 2

was√

2 = 1.414... betragt.

Wir wissen also, dass jedes kleinere Blatt genau um√

2 kurzere Seiten hat,

als das vorhergegangene (großere). Außerdem ist ein Blatt der Große A0 -

3


das großte - genau einen m2 groß.


Ein anderer Weg Papier zu teilen ist ein Quadrat am Ende wegzuschneiden.

Hierfur benotigen wir das goldene Rechteck. Dies ist ein Rechteck, bei dem

die Seitenverhaltnisse im Goldenen Schnitt sind. Ein Goldenes Rechteck

kann also in ein Quadrat und ein weiteres kleineres Goldenes Rechteck

unterteilt werden.

Nehmen wir an, das Papier hat folgende Abmessungen:

4


Bilder aus Gems of Geometry, S.3

Man bekommt also wiederrum die Gleichung

τ2 = τ + 1, wodurch man wiedderum τ2 − τ − 1 = 0 bekommt. Dies ist

aber die gleiche Gleichung, die man auch bekommt, wenn man 1x−1 = x

1

folgendermaßen auflost:

1x−1 = x

1

1 = x · (x− 1)

1 = x2 − x

0 = x2 − x− 1

Mochte man diese Gleichung nun mit Hilfe der großen Losungsformel

x1,2 = −b±√

b2−4ac2a , a 6= 0

5


losen, so erhalt man: x1,2 = 1±√

52

Da die von uns gesuchte Lange x positiv sein muss, ist die Losung also:

φ = 1+√

52 ≈ 1, 61803

Der Goldene Schnitt wird in der Literatur entweder mit φ oder τ bezeichnet

wird.

Hier die (fur unser Thema) wichtigsten Eigenschaften:

φ = 1+√

52 ≈ 1, 61803 ... die goldene Zahl

1φ = 2

1+√

5= −1+

√5

2 ≈ 0, 61803

τ = φ

ρ = 1φ

φ = 1−√

52

Weiter gelten folgende Beziehungen:

φ + 1φ =√

5

φ− 1φ = 1

φ2 − φ = 1

( 1φ )

2 + 1φ = 1

Die quadratische Gleichung x2 − x− 1 = 0 hat als Losungen x1 = φ und

x2 = − 1φ

6


und die quadratische Gleichung x2 + x− 1 = 0 hat als Losungen x1 = 1φ

und x2 = −φ.

2.2 Der Goldene Winkel

Fur die Phyllotaxis mussen wir auch den Goldenen Winkel definieren.

Eigentlich (aber eher unublich in der Verwendung) erhalt man den Goldenen

Winkel, wenn man den Vollwinkel im goldenen Schnitt teilt, was zu einem

Winkel von 222, 5◦ fuhren wurde.

Definition: Der Goldene Winkel Ψ ist die Erganzung zum Vollwinkel und

betragt daher

Ψ = 2π − 2πφ ≈ 2, 40 ≈ 137, 5◦

er wird auch der Divergenzwinkel genannt.

Die Winkel in diesem Kreis werden auch ”extreme and mean ratio“ genannt:

1 = 1φ + 1

φ2

360φ = 222, 5

360φ2 = 137, 5

7



Die Bedeutung des Goldenen Winkels fur die Phyllotaxis liegt darin, dass

durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel immer neue Positio-

nen erhalten werden, an denen sich Blattansatze bilden. Da φ eine irrationale

Zahl ist, kommt es hier also nie zu exakten Uberdeckungen und somit wird

das Risiko, dass sich uberdeckende Blatter an der Photosynthese hindern,

minimiert.

2.3 Die Goldene Spirale

Was hier auch erwahnt werden sollte ist die Goldene Spirale, auf die ich

zwar nicht mehr genau eingehen werde, die man jedoch bei diesem Thema

nicht auslassen kann: Die Goldene Spirale lasst sich nach dem gleichen

Prinzip bilden, wie wir vorher mit Goldenen Rechtecken den Goldenen

Schnitt gezeigt haben, nur das man nun Viertelkreise verwendet. Der Radius

der Viertelkreise wird bei jeder 90◦ - Drehung – also in jedem Rechteck –

um den Faktor φ verandert.

8


Bild aus Der goldene Schnitt, S.59

9

3 Die Fibonacci-Zahlen

Doch nicht nur der Goldene Schnitt und somit die goldene Zahl spielen

eine wichtige Rolle fur dieses Thema, sondern auch die Fibonacci – Zah-

len werden zur Erklarung der Phanomene benotigt. Besonders wichtig ist

hierbei der Zusammenhang zwischen der goldenen Zahl und den Fibonacci

Zahlen.

Defintion: Sei (Fn)n∈N eine Folge naturlicher Zahlen. Die Folge heißt

Fibonacci-Folge, wenn sie der Formel

Fn = Fn−1 + Fn−2

genugt, wobei F1 = 1 und F2 = 1 gilt.

Das n-te Folgeglied bezeichnet man als die n-te Fibonacci-Zahl.

Der Zusammenhang zwischen der Goldenen Zahl und den Fibonacci-Zahlen

ist, dass das Verhaltnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen

gegen φ konvergiert.

(Wir verwenden hier Identitaten, die bereits aus der Analysis bekannt

sind.)

10

3 Die Fibonacci-Zahlen

Beweis.

zu zeigen : limn→∞

Fn+1

Fn= φ

Loesungsansatz : Fn =1√5· (1 +

√5

2)n − 1√

5· (1−

√5

2)n

Fn =1√5· (φn − φ

n)

und Fn+1 =1√5· (φn+1 − φ

n+1)

Betrachte :Fn+1

Fn=

( 1√5)(φn+1 − φ

n+1)

( 1√5)(φn − φ

n)

Fn+1

Fn=

(φn+1 − φn+1

)

(φn − φn)

Fn+1

Fn=

φ− φn+1

φn

1− φn

φn

limn→∞

Fn+1

Fn= lim

n→∞

φ− φn+1

φn

1− φn

φn

= φ

11

4 Phyllotaxis

Wie schon weiter oben erwahnt, treten geregelte Blattanordnung zum Bei-

spiel bei Sonnenblumen, Ananans und Blumenkohl auf. Hier kann man

zwei Systeme von Einzelbluten, Fruchten, Zweigen, Blutenblattern usw. die

in entgegengesetzte Richtungen verlaufen erkennen. Diese spiralformige

Anordnung der Punkte nennt man Parastichen. Wenn man sich nun zum

Beispiel die Blume genauer anschaut, so erscheint sie doch sehr symmete-

risch. In Wahrheit stimmt die Anzahl der im Uhrzeigersinn verlaufenden

Spiralen nicht mit denen uberein, die gegen den Uhrzeigersinn verlaufen

Die Anzahl der Spiralen in diesem System sind aufeinanderfolgende Fibo-

nacci Zahlen.

Zum Beispiel:

Ananas: 5 und 8, 8, 13 und 21

Sonnenblume 55 und 89, 34 und 55

12

4 Phyllotaxis

Bild aus dem Internet


13

4 Phyllotaxis


4.1 Wie kann so etwas funktionieren?

Hierzu muss man zuerst einmal Wissen, wie das Wachstum bei Pflanzen

funktioniert. Dafur muss man die Spitze einer Pflanze betrachten – ihren

sogenannten Vegetationspunkt – und betrachten ihn in weiterer Folge als

Kegel, da man weiß, dass das Wachstum eben genau an dieser Stelle statt-

findet. Weiters sieht man sich an, wie sich die Knospen auf diesem Kegel

verteilen. Der Kegel kann flach sein (bei Sonnenblumen), spitz (Stengel)

oder auch etwas zwischen diesen ”Extremen“ (Ananas).

14

4 Phyllotaxis

Bild aus Zahlenzauber, S.132

In der Wachstumsphase kommt es zu einer gegenseitigen Verdrangung

der Knospen. Da die Spitze kontinuierlich vorwartsruckt bewegt sich ein

gegebener Teil der Pflanze relativ zur Spitze stetig nach unten und nach

außen.


In den Bildern werden die Knospen in der Reihenfolge ihres Auftretens

nummeriert, um den Sachverhalt besser beschreiben zu konnen.

15

4 Phyllotaxis

Den Prozess der Blutenbildung zitiere ich aus Zahlenzauber (Seite 133):

”... haben wir die Knospennummer 0 an die Uhrenposition 12 gesetzt; da diese

Knospe als erste gebildet wurde, ist sie bereits auf dem Umfang angekommen. Die

Knospen 0 und 1 trennen den Kegel in einen großeren und einen kleineren Sektor.

Knospe 2 findet es leichter, im großeren Sektor zu existieren und zwingt dadurch 3

in den kleineren. Wo ungefahr werden sie sich in diesen Sektoren aufhalten? Da die

Zahl 1 neueren Ursprungs ist und sich naher an der Spitze befindet als die Zahl

0, wird sie wahrscheinlich eine großere Hemmwirkung ausuben; daher werden die

Zahlen 2 und 3 etwas naher an der 0 als an der 1 liegen. [...] In diesem Stadium

haben wir vier Sektoren, deren großter sich zwischen den Knospen 1 und 2 befindet.

Wir erwarten, dass Nummer 4 in diesem Sektor gebildet wird und etwas naher bei

1 liegt, da 2 neueren Ursprungs ist.”

In einer perfekten Version bedeutet der Prozess, dass jede neue Knospe um

den gleichen Winkel vorruckt, wobei es sich hier genau um den Goldenen

Winkel handelt.

Zur Veranschaulichung nehmen wir das Verhaltnis von zwei aufeinanderfol-

genden Fibonacci-Zahlen, multiplizieren dieses mit 360◦ und subtrahieren

dieses von 360◦ (da wir ja den inneren Winkel genommen haben, der we-

niger als 180◦ betragt). Somit bekommen wir eine Annaherung an den

goldenen Winkel bzw. den Divergenzwinkel 137, 5◦:

360◦(1− 35) = 360◦ · 2

5 = 144◦

360◦(1− 58) = 360◦ · 3

8 = 135◦

16

4 Phyllotaxis

360◦(1− 813) = 360◦ · 5

13 = 138, 5◦

360◦(1− 1321) = 360◦ · 8

21 = 137, 1◦

360◦(1− 2134) = 360◦ · 13

34 = 137, 6◦

360◦(1− 3455) = 360◦ · 21

55 = 137, 5◦

Wenn die Anzahl der Spiralen zu klein oder zu groß ist und man somit nicht

ganz auf den Divergenzwinkel kommt, so kommt es zu kleinen Lucken und

man sieht die Spiralen nicht mehr so schon, oder gar nur eine ”Richtung“

davon.

Ein weiteres Phanomen ist: Um die mathematischen Besonderheiten besser

sehen zu konnen, betrachtet man eine idealisierte Pflanze, bei der der Kegel

fast zylindrisch ist und wickeln diesen ab, um vor uns eine Art Rechteck zu

erhalten. Bei einer naturlichen Pflanze sind klarerweise nicht alle Knospen

genau an der richtigen (berechneten) Stelle, weichen aber auch nur knapp

davon ab.

In der folgenden Abbildung sieht man auch sehr gut, dass der Prozess

der Knospenbildung – ist er einmal im Gange – kaum noch vom richtigen

Weg abkommen kann; die gestrichelten Ellipsen zeigen genau an, wo die

Knospe Nummer 25 auftauchen wird und selbst wenn sie eher am Rand

oder knapp außerhalb dieses Bereiches entsteht, so wird sie im Laufe des

Wachstums noch an ihren ”richtigen“ Platz geschoben. Die Spiralen, die

auf unserem Bild gerade verlaufen existieren aber in ihrer Anzahl und

Erscheinung hauptsachlich im Auge des Betrachters. Schaut man sich die

17

4 Phyllotaxis

erste Abbildung an, so wird man hier die Knospen intuitiv zu Geraden

mit der Differenz 3 (nach rechts aufsteigend) und mit der Differenz 5

(links aufsteigend) wahrnehmen. Schwerer zu erkennen sind hier schon die

Geraden mit der Differenz 8 und 13 (von unten nach oben verlaufend).


Die Zahlen, die man sieht, hangen davon ab, wie sehr der vertikale Maßstab

im Vergleich zum horizontalen zusammengedruckt ist. In den folgenden

Abbildungen kann man also erkennen, dass sich die Differenzen verandern

(erhohen). Das Gitter entsteht, indem man Bereiche bildet, bei denen jeder

Punkt der ihm am nachsten liegenden Knospe zugeordnet wird.

18

4 Phyllotaxis



19

4 Phyllotaxis


20

4 Phyllotaxis

Das oben gezeigte Bild erscheint uns wie das Zentrum einer Blume die in

der Natur wachsen wurde. In Wahrheit ist es aber ein computergeneriertes

Bild, bei dem nach einem bestimmten Wachstumsfaktor, nach und nach die

vertikale Stauchung verstarkt wurde.

Um noch einmal auf den Winkel zusprechen zu kommen, stellen wir uns

die Frage warum bei Pflanzen die Anzahl der Blutenblattern mit den diver-

sen Fibonacci-Zahlen ubereinstimmen. Wir wissen bereits, dass der Winkel

zwischen den auftretenden Blutenblattern ca. 137, 5◦ umfasst. Betrachten

wir zuerst eine Blume mit funf Blutenblattern und nehmen an, dass sich

die Blutenblatter im Gegensatz zu z.B. Sonnenblumen-Blutenblatter beim

Wachsen nicht verdrangen bzw. sich vom Zentrum der Knospe wegbewe-

gen, sondern rundherum um das Zentrum ohne zu uberlappen entstehen.

Wiederum werden die Blatter wie oben beschrieben gebildet.

21

4 Phyllotaxis


Das letzte (sechste) Blatt wurde nun zwischen dem ersten und dritten

Blutenblatt entstehen, hat dort aber keinen Platz mehr. Dies konnte der

Grund sein, warum so viele Blumen nur 5 Blatter haben. Nun konnte man

einwenden, dass es sehr wohl viele Blumen mit engerstehenden – und

dadurch mehr – Blutenblattern gibt.


Doch egal wie groß die Anzahl auch ist, es ist doch immer die erste Zahl, die

sich nicht mehr bilden kann, eine Zahl, die direkt auf eine Fibonacci-Zahl

folgt.

22

4 Phyllotaxis

Außerdem gibt es einen weiteren spannenden Punkt. Die Bluten der Blumen

sind meist in Paaren und Einzelnen angeordnet. Gibt es nun genau Fn Bluten,

so gibt es dazu genau Fn−2 Paare und Fn−3 Einzelne.


Dies ist deshalb so besonders, da wir ja wissen das gilt:

Fn = 2 · Fn−2 + Fn−3

Beweis. durch vollstandige Induktion:

zu zeigen Fn = 2 · Fn−2 + Fn−3

23

4 Phyllotaxis

IB: n = 4 F4 = 2 · F2 + F1 = 2 · 1 + 1 = 3

IS: es gelte die Aussage fur n, zu zeigen:

es gilt: Fn+1 = 2 · F(n+1)−2 + F(n+1)−3 = Fn+1 = 2 · Fn−1 + Fn−2

Fn+1 = Fn + Fn−1 = 2 · Fn−2 + Fn−3 + Fn−1 =

Fn−2 + Fn−2 + Fn−3 + Fn−1 = 2 · Fn−1 + Fn−2

24

5 Literatur

Adam, John A: Mathematics in Nature. New Jersey: Princeton University

Press, 2003.

Adler, Irving: Solving the Riddle of Phyllotaxis. Why the Fibonacci Numers

and the Golden Ratio Occur on Plants. Singapur, World Scientific Publishing,

2012.

Barnes, John: Gems of Geometry. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.

Conway, John: Guy, Richard: Zahlenzauber. Berlin: Birkhauser, 1997.

Crilly, Tony: 50 Schlusselideen. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag,

2009.

Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6. Auflage, Leipzig: Edition am Guten-

bergpatz, 2013.

Links zu den Bildern aus dem Internet in auftretender Reihenfolge:

http://www.redbubble.com/people/metrognome/works/1378704-phyllotaxis

25

5 Literatur

http://www.tydecks.info/online/math multi muo.html

http://www.atum-design.com/schluessel2 s2.html

http://www.j-berkemeier.de/Spiralen.html

26

Phyllotaxis - uni-graz.at · Bild aus Gems of Geometry, S.2 Ein anderer Weg Papier zu teilen ist...

Documents

Transcript of Phyllotaxis - uni-graz.at · Bild aus Gems of Geometry, S.2 Ein anderer Weg Papier zu teilen ist...