Phương pháp số và lập trình - Giải phương trình vi phân
-
Upload
hajunior9x -
Category
Education
-
view
1.286 -
download
2
Transcript of Phương pháp số và lập trình - Giải phương trình vi phân
PHƯƠNG PHÁP SỐPHƯƠNG PHÁP SỐVÀ LẬP TRÌNH
GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
1. Giới thiệu
Vấn đề giải số phương trình vi phân
Các loại phương trình vi phân và cách giải.
1. Các phương pháp giải bài toán Cauchy
Phương pháp chuỗi lũy thừa
Giải gần đúng phương trình vi phân thường
Phương pháp chuỗi lũy thừa
Phương pháp Euler
Phương pháp Runge-Kutta
3. Các phương pháp giải bài toán điều kiện biên hai điểm
1. Biết một số cách giải phương trình vi phân bậc
nhất.
2. Hiểu giải thuật và vẽ được lưu đồ tương ứng
Mục tiêu
2. Hiểu giải thuật và vẽ được lưu đồ tương ứng
cho từng phương pháp.
3. Viết được chương trình giải bài toán Cauchy.
- Đại đa số các bài toán khoa học kỹ thuật đều có thể mô tảqua các phương trình vi phân và các điều kiện cụ thể.
- Các phương trình vi phân đặc trưng cho mối quan hệ giữacác đại lượng.
- Khó tìm lời giải giải tích do ngày càng phức tạp.
���� Giải số
Giới thiệu
���� Giải số
Có thể chia thành 2 loại:1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng.2. Phương trình vi phân thường.
Phương trình vi phân thường bậc cao
Bài toán Cauchy
Các phương pháp giải bài toán Cauchy
Khai triển Taylor hàm y(x) tại lân cận của điểm x0:
Ta có:
Phương pháp chuỗi lũy thừa
( ) ( ) ( ) ( )2
0 0 0 0 0 0 0
1 1( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( ) ...
2! !nny x y x y x x x y x x x y x x x
n= + − + − + + − +
Về nguyên tắc, có thể tính với n bất kì =>
Phương pháp chuỗi lũy thừa
Phương pháp chuỗi lũy thừa
Phương pháp Euler hiện bậc nhấtCông thức sai phân hữu hạn
Công thức tổng quát:
Phương pháp Euler
y
' 11
'1 1
n nn
n n n
y yy
x
y y xy
−−
− −
−=∆
→ = + ∆
( ),y y xf x y= + ∆
0x n x+ ∆0x x
( )1 1 1,n n n ny y xf x y− − −= + ∆
Quy trình:
- Xác lập công th ức đạo hàm f(x,y),
- Nhập vào các biên x 0, x1, số điểm n cần tính, điều ki ện đầu y0
- Tính
- For i=1, n: Tính và
( )1 0 /h x x n= −
1i ix x h−= + ( )1 1 1,i i i iy y hf x y− − −= +
Phương pháp Euler
Phương pháp Euler ẩn bậc nhất
Sử dụng công thức sai phân hữu hạn tại điểm yn
' 1n nn
y yy
x−−=
∆
Công thức tổng quát
( )1 ,n n n ny y xf x y−= + ∆
Phương pháp Euler
Phương pháp Euler cải tiến
Sử dụng công thức sai phân hữu hạn tại điểm giữa
Công thức tổng quát
1 21 2n n
k ky y −
+= +
\ với
1 1 1/2,2n n n n
xy y xf x y− − −
∆ = + ∆ +
2
( )1 n 1 1
12 n 1 1
,
,2 2
n
n
k hf x y
khk hf x y
− −
− −
=
= + +
Phương pháp Runge-Kutta
Khai triển Taylor bậc bốn quanh điểm ta thu đượccông thức Runge-Kutta bậc bốn:
+ = + + + +
=
1 1 2 3 4
1
1( 2 2 )6
( , )
k k
k k
y y K K K K
K hf x y
Kh
/ 2x h+
= + +
= + +
= + +
12
23
4 3
( , )2 2
( , )2 2
( , )
k k
k k
k k
KhK hf x y
KhK hf x y
K hf x h y K