Phương pháp giải Hình Học Không Gian hiệu quả

Trường THPT Krông Nô

Giaùo vieân: Nguyeãn Höõu Phöôùc Trang

Mục Lục Đề mục Trang I. Tóm tắt đề tài...........................................................................................02 II. Giới thiệu ................................................................................................02 1. Hiện trạng ..........................................................................................02 2. Giải pháp thay thế .............................................................................02 3. Xác định vấn đề nghiên cứu ..............................................................03 4. Giả thuyết nghiên cứu........................................................................03 III. Phương pháp ........................................................................................03 1. Khách thể nghiên cứu .......................................................................03 2. Lựa chọn thiết kế................................................................................03 3. Quy trình nghiên cứu .........................................................................04 IV. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả .................................................05 V. Kết luận và khuyến nghị ........................................................................05 1. Kết luận ...............................................................................................05 2. Khuyến nghị ........................................................................................05 Tài liệu tham khảo ......................................................................................06 Phụ lục ........................................................................................................07

Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng


I. Tóm tắt đề tài Hình học không gian nghiên cứu về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong

không gian, nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về hình học không gian, giới thiệu về quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Dựa vào các hệ tiên đề Ơclit đã hình thành nên bộ môn này. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh e ngại bộ môn hình học nói chung và hình học không gian càng mơ hồ. Vì các em cho rằng nó quá trừu tượng, thiếu thực tế nên gặp nhiều lúng túng khi làm bài tập. Giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt phần này, mặt khác các bài tập sách giáo khoa cũng hạn chế không có nhiều bài tập cơ bản, bài tập tương tự để giáo viên giới thiệu học sinh.

Từ những khó khăn trên, dựa trên cơ sở lí luận và một số biện pháp đổi mới phương pháp dạy học. Giải pháp của tôi là sử dụng “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian”. Ý tưởng của đề tài này là phân loại và giải một số bài tập về quan hệ song song trong không gian qua đó cho hệ thống bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyện.

Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: hai lớp 11 trường THPT Krông Nô năm học 2011 - 2012. Lớp 11B3 là lớp thực nghiệm và 11B5 là lớp đối chứng. Lớp thực nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế khi dạy “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian”. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: lớp thực nghiệm đã có kết quả cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm bài kiểm tra của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là 8,5; điểm bài kiểm tra của lớp đối chứng là 7,6. Khi kiểm chứng T-Test cho thấy p<0,05 tức là đã có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình giữa hai lớp. Điều đó chứng minh rằng sử dụng “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian” đã nâng cao kết quả học tập của học sinh. II. Giới thiệu đề tài 1. Hiện trạng:

Trong SGK hình học 11 phần lớn kiến thức là lý thuyết, bài tập lại rất ít, thời gian tiết dạy 45 phút, phân phối chương trình nhiều phần chưa hợp lý. Qua thăm lớp, dự giờ khảo sát trước tác động, tôi thấy giáo viên đa phần là dạy lý thuyết, học sinh tích cực suy nghỉ, trả lời các câu hỏi của giáo viên. Kết quả học sinh thuộc bài nhưng khi vận dụng vào giải các bài tập thì kết quả chưa cao. Để ngày càng nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tôi xin đưa ra đề tài nghiên cứu sử dụng “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian” 2. Giải pháp thay thế:

Đưa “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian”nhằm mục đích tạo ra sự tác động tối đa của chủ thể (học sinh) đối với đối tượng nhận thức bằng cách nêu phương pháp giải từng dạng toán sau đó cho học sinh làm bài tập tương tự từ cơ bản đến nâng cao qua đó tạo sự hứng thú cho học sinh và cho học sinh có cơ sở để mở rộng tư duy. Ngoài ra ứng dụng



công nghệ thông tin vào giảng dạy. Để học sinh dễ quan sát hình trong không gian. 3. Vấn đề nghiên cứu:

Sử dụng “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian”có nâng cao chất lượng học tập của học sinh trường THPT Krông Nô hay không? 4. Giả thuyết nghiên cứu:

Sử dụng “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian” sẽ nâng cao chất lượng học sinh khi giải các bài tập hình học không gian. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Khách thể nghiên cứu:

Tôi lựa chọn học sinh lớp 11B3,11B5 tại Trường THPT Krông Nô vì tôi đã giảng dạy các lớp nói trên.

Về ý thức học tập, hầu như các em học sinh trình độ cơ bản đồng đều, có ý thức học tập chủ động, tích cực. 2. Lựa chọn thiết kế:

Chọn các cặp thực nghiệm: Qua kết quả điều tra tình hình học tập môn hình học của học sinh từ đó chọn ra các cặp để tiến hành thí nghiệm, trong đó một lớp tiến hành dạy thực nghiệm và một lớp đối chứng. Lớp thực nghiệm và lớp đối chứng có trình độ học lực tương đương nhau. Bảng 1 : Giới tính và thành phần dân tộc của học sinh lớp 11 trường THPT Krông Nô.

Số HS các nhóm Dân tộc Tổng

số Nam Nữ Kinh Ê Đê M’Nông Thái Tày Khác

Lớp 11B3 40 15 25 38 0 0 2 0 0 Lớp 11B5 41 22 19 39 0 0 1 1 0

Về ý thức học tập các em đều chịu khó, tích cực, chủ động. Về thành tích học tập của năm học trước, hai lớp tương đương nhau về

điểm số của tất cả các môn học. Qua trực tiếp giảng dạy và dựa vào kết quả học tập môn hình học của hai

lớp 11B3 và 11B5 năm học 2011 – 2012. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình môn của hai nhóm khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T- Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai nhóm trước khi tác động. Bảng 2 : Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương (trước tác động)

Đối chứng Thực nghiệm TBC 6,6 6,5 p = 0,24

p = 0,24> 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.



Sau đó, tôi thiết kế kiểm tra trước và sau tác động với các nhóm tương đương Bảng 3 : Thiết kế nghiên cứu

Lớp Kiểm tra trước tác

động Tác động

Kiểm tra sau

tác động

Thực nghiệm O1

Có sử dụng : Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong

không gian. O3

Đối chứng O2

Không sử dụng: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong

không gian. O4

Ở thiết kế này, tôi sử dụng phép kiểm chứng T- Test độc lập. 3. Quy trình nghiên cứu a. Chuẩn bị bài của giáo viên:

Tìm đọc các tài liệu có liên quan như: SGK, SGV hình học 11; bài tập tuyển chọn hình học 11 nhà xuất bản giáo dục và một số tài liệu tích lũy trong nhiều năm giảng dạy. b. Tiến hành dạy thực nghiệm:

Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và theo thời khóa biểu đảm bảo tính khách quan. c. Đo lường:

Sau khi thực hiện dạy xong, tôi tiến hành bài kiểm tra 15 phút ( nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục). Sau đó tôi chấm bài theo đáp án đã xây dựng. IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ Bảng 5: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động

Đối chứng Thực nghiệm Điểm trung bình 7,6 8,5 Độ lệch chuẩn 0,73 0,79

Gía trị p của T-Test 0,0008 Chênh lệch giá trị TB

chuẩn(SMD) 1,23

Kết quả hai nhóm trước tác động là tương đương nhau. Nhưng sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T- Test cho kết quả

p = 0,0008< 0,05. Điều này cho thấy kết quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.

Ta có độ lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 73,0

6,75,8 = 1,23

Theo bảng tiêu chí Cohen, chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 1,23 cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học phương pháp giải nhanh một số dạng toán trắc nghiệm thường gặp của quy luật phân li độc lập đến kết quả học tập của lớp thực nghiệm là rất lớn.



Như vậy, giả thiết của đề tài sử dụng “phương pháp giải nhanh một số dạng toán trắc nghiệm thường gặp của quy luật phân li độc lập” đã được kiểm chứng.

6.5

8.5

6.6

7.6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Trước tác độngSau tác động

Biểu đồ 1: So sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận: Việc sử dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá, trung bình đã có tăng lên mặc dù chưa nhiều, số lượng yếu, kém giảm tuy vẫn còn. Nhưng đối với tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ môn hình học, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học môn hình học, đã tích luỹ một số kĩ năng để giải bài tập: xác định được giao điểm, giao tuyến... Các em không còn thấy ngại khi làm bài tập hình học không gian. 2. Kiến nghị:

Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn môn học, cá nhân tôi có kiến nghị với Ban giám hiệu, phòng thiết bị nên có kế hoạch mua bổ sung một số mô hình không gian mới phù hợp hơn với bài dạy, các phòng học tiện nghi hơn nữa để thuận lợi cho việc ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy.

Trong quá trình làm đề tài, tôi đã cố gắng tổng hợp nhiều tài liệu, tuy nhiên không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của

11B3 11B5



các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Trần Văn Hạo: Hình học 11- Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007 [2]. Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 11 – Nhà xuất bản Đại học quốc gia

TP.HCM, năm 2007. [3]. Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11 – Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007. [4]. Nguyễn Cam – Nguyễn Văn Phước – Nguyễn Hoàng Nguyên – Tuyển chọn

400 bài tập tự luận và trắc nghiệm – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2007.

[5]. Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học toán – Nhà xuất bản giáo dục, năm 2000.

[6]. Mạng Internet: www.google.com.vn.



PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng

Nếu

A P Q

B P Q

thì AB P Q

Cách 2: Xác định một điểm chung và một đường thẳng song song với một đường thẳng. Dựa vào các định lý sau: * Định lý 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu

a

b

c

thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.

Hệ quả.

Nếu

/ /,

a ba b

d

thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng b

* Định lý 2: (SGK trang 61)

B

A

QP

c b a

c I

b a

b a

d

b

a

d



Nếu

/ /a

a

b

thì a // b

Hệ quả.

Nếu

/ /

/ /

a

d

a

thì a // d

Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta dựa vào hình vẽ, tùy vào hình mà vận dụng linh hoạt hai cách trên Ví dụ 1. Cho hình chóp hình chóp S. ABCD, đáy là tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: a) (SAB) và (SCD) b) (SAC) và (SBD) c) (SEF) và (SAD) Nhận xét:

b

a

d a

b

a

A

D

E

S

B

C Hình 1

F

A

D

E

S

B

C Hình 2



Học sinh mới nhập môn hình học không gian nên vẽ hinh chưa xác định được nét liền, nét đứt . Giáo viên cần hướng dẫn và kiểm tra học sinh vẽ hình cẩn thận, chính xác. Với câu a học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là S và E (Hình 1). Tương tự với câu b giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SF (Hình 2) Với câu c giáo viên cần gợi ý để học sinh phát hiện ra điểm chung thứ 2 bằng cách kéo dài EF hỏi có cắt AD không? Tại sao? (Hình 3) Bài giải a) Ta có 1S SAB SCD ; E AB CD Nên E SAB SCD (2) Từ (1) và (2) ta có SAB SCD SE . b) Ta có: S SAC SBD (3)

F AC BD F SAB SCD (4) Từ (3) và (4) SF SAB SCD c) Ta có: EFS SAD S (5) Gọi Q BC EF Nên EFQ SAD S (6) Từ (5) và (6) ta có EFSQ SAD S Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi M, N là trung điểm của BC, CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:

a) (SAC) và (SBD) b) (SMN) và (SAD) c) (SAB) và (SCD) d) (SAD) và (SBC) e) (SMN) và (SBD)

Nhận xét: Với câu a) học sinh dễ dàng tìm giao tuyến là SO (Hình 4) Câu b) học sinh thường sai lầm vẽ MN không song song với BD. Trong mp(ABCD) kéo dài MN cắt AD tại E vậy giao tuyến là SE. (Hình 5)

j

Q

P

F

A

D

E

S

B

C

Hình 3



Câu c) học sinh dễ dàng tìm giao tuyến là SF. (Hình 6) Câu d) theo thói quen học sinh tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng mà không để ý AD // BC. Giáo viên gợi ý học sinh sẽ tìm ra được giao tuyền là đường thẳng đi qua S và song song với AD hoặc BC (Hình 7) Câu e) tương tự câu d. Bài giải

Tương tự gọi học sinh giải dưới sự hướng dẫn của giáo viên.

N O

A D

B

S

C M

Hình 4

N

E O

A D

B

S

C M

Hình 5

N

E

F

O A

D

B

S

C M

Hình 6

N

E

F

O A

D

B

S

C M

Hình 7



BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC), (ABD), (BCD), (ACD).

Bài 2. Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA, d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau: (SAB); (SAC); (SBC).

Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của:

a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD)

c) (SAD) và (SBC) Bài 4. Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng

(SAC) với các mặt phẳng (SAD); (SCE). Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi; M là điểm

trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: a) (SAM) và (SBD) b) (SBM) và (SAC).

Bài 6. Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong mp(ABC); N là điểm nằm trong mp(ACD). Tìm giao tuyến của: a) (AMN) và (BCD)

b) (CMN) và (ABD) Bài 7. Cho tứ diện ABCD. M nằm trên AB sao cho AM =

41 MB; N nằm

trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong mp(BCD). Tìm giao tuyến của: a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI)

và (ACD) Bài 8. Cho tứ diện ABCD gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của: (IBC) và (JAD). b) M là điểm trên AB, N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

Bài 9. Cho hai đường thẳng a, b (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S.

Bài 10. Cho tứ diện ABCD trên AB, AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho:

NCAN

MBAM

. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD).

Bài 11. Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng, gọi I, K là trung điểm AD, BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

Bài 12. Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB, CD, S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của

a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) Bài 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD; BC.

Gọi M, N là trung điểm AB, CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của: a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)



DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG * Phương pháp Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp(P) ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên (P).

Tóm tắt: Nếu

A dA a mp P

thì A d P

Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ ta xác định a bằng cách: - Tìm mp (Q) chứa d sao cho dễ tìm giao tuyến với mp(P).

- Tìm giao tuyến a P Q . Khi đó A d a

Ví dụ 1.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD, N là một điểm trên SC sao cho 1

4CN SC .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng JN với mp(ABC) b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC) c) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC) d) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét:

- Học sinh thường vẽ sai hình là IJ không song song với AB. - Với câu a) (Hình 7) nên hỏi học sinh kéo dài JN có cắt DC không? Và mp (ABC) và (ABCD) có khác nhau không? Cần lưu ý cho học sinh điều kiện hai đường thẳng cắt nhau là cùng nằm trong mặt phẳng và không song song với nhau.

- Câu b) (Hình 8) dựa vào hình ta chưa xác định được đường thẳng a. Nếu không khéo léo hướng dẫn học sinh sẽ nhầm lẫn BM cắt SC. Nên giáo viên gợi ý học sinh biết cách chọn mp(SDB) chứa BM.

d

P

A a

Q

d

A P a



Khi đó giao điểm là P BM SAC

- Câu c) theo hình vẽ (Hình 9) giả thiết cho ta không thấy mối liên hệ giữa IM với (SBC). Nhưng lại dễ tìm giao tuyến giữa (SAD) và (SBC) mà IM nằm trong mp(SAD). Nên dễ dàng tìm được giao điểm F IM SBC - Câu d) (Hình 10) mp(IJP) với mp(IJM) là một nên dễ dạng tìm được giao

điểm là H Bài giải a) ,JN BC SBC nên gọi P JN BC vậy P JN ABC b) Ta có BM SAC Ta tìm mp(SAC) và (SBD) Có S SAC SBD Gọi O AC BD nên O SAC SBD

I

P

A B

D

S

C

M

N

J

Hình 8

P

O

I

P

A B

D

S

C

M

N

J

Hình 8

E

S

F

O

I

P

A B

D C

M

N

J

Hình 9

H

F

E

O

I

P

A B

D

S

C

M

N

J

Hình 10



Vậy SO SAC SBD khi đó gọi P SO BM thì P BM SAC c) Ta có IM SAD Xét mp(SAD) và (SBC) có S SAD SBC Gọi E AD BC nên E SAD SBC vậy SE SAD SBC Gọi F IM SE F IM SBC d) Dễ dàng tìm được IJH SC M

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Cho tứ diện SABC. Các điểm M, N lần lượt là các điểm nằm trong tam giác SAB, SBC. Đường thẳng MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P. Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Điểm M là trung điểm AB, N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC, AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm

a) MN với (BCD). b) BD với (MNP). c) Gọi Q là trung điểm NP. Tìm giao điểm của MQ với (BCD).

Bài 3. Cho A, B, C, D là bốn điểm không đồng phẳng. M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :

a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) Bài 4. Cho hình chóp SABC, O là điểm trong tam giác ABC, D và E là các điểm nằm trên SB, SC. Tìm giao điểm của

a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)

Bài 5. Cho tứ diện SABC. Với I, H lần lượt là trung điểm SA, AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK). b) Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC).

Bài 6. Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. Biết I, J, K là ba điểm trên SA, SB, SC. Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD, SC. Bài 7. Gọi I, J lần lượt là hai điểm nằm trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) Bài 8. Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD

a) Tìm giao điểm I của BM và (SAC). Chứng minh: BI = 2IM. b) Tìm giao điểm J của của SA và (BCM). Chứng minh J là trung điểm SA. c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC).



DẠNG 3: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA DIỆN

Phương pháp:

Xác định thiết diện bằng cách kéo các giao tuyến.

Nhận xét: Dạng toán tìm thiết diện là tìm giao tuyến của mp với các mặt của khối đa diện.

Ví dụ 1.

Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm DC, AD, BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp.

Phân tích Để tìm thiết diện ta tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt của hình hộp,

ta có ngay MN MNP ABCD . Giáo viên gợi ý cho học sinh chọn mp tiếp theo của hình hộp để tìm giao với (MNP) có thể là mp (BB’C’C) đến đây bài toán được giải quết.

Bài giải Ta có MNP ABCD MN Xét mp (MNP) và (BB’C’C) ta có: ' 'P MNP BB C C Gọi ' 'K MN BC K MNP BB C C Nên ' 'PK MNP BB C C Tương tự ta có: AA ' 'PH MNP B B Gọi ' ' 'E PK CC ME MNP CC D D

A

B

D

C

E F

C

E

F

H

K

N

B' C'

D'

B

A D

A'

M

P



Gọi AA ' AA ' 'F PH NF MNP D D Vậy thiết diện là hình ngũ giác MNFPE.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, K

lần lượt là trung điểm của SA, AB, BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E, F, K.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp

Bài 3. Cho tứ diện ABCD điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB.

M, N là hai điểm thuộc cạnh AD, DC sao cho MA = 12

MD, ND = 12

NC.

a) Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC). b) Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện. c) Chứng minh MN, PQ, AC đồng qui.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD, điểm I, J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và DBC, M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M, N, K trên SA, BC, SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp.

. Bài 6. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy. Gọi

M, N là trung điểm SB, SC. a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN). c) Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp.

Bài 7. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC

a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh IA = 2IM. b) Tìm giao điểm F của SD với (AMB). Chứng minh F là trung điểm SD. c) Xác định hình dạng thiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp. d) Gọi N là một điểm trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC.

a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC). b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp. c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA, BC, CD. ĐS: c) 3:1 ; 1:1 ; 1:1

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm SAD.

a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD. c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA. d) Dựng thiết diện của (CGM) với hình chóp.



Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I, J là trọng tâm SAB, SAD

a) Tìm giao điểm của JI với (SAC). b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp.

Bài 11. Cho hình chóp SABCD. Gọi I, M, N là ba điểm trên SA, AB, CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM). b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Cho tứ diện ABCD, I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng () qua I cắt AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q.

a) Chứng minh I, M, Q thẳng hàng và ba điểm I, N, P cũng thẳng hàng. b) Chứng minh MN, AC, PQ đồng qui Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung

điểm SD, E là điểm trên cạnh BC. a) Tìm giao điểm N của SC với (AME). b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC). c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC). Chứng minh K là trung điểm

SA. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. F là trung

điểm CD, E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC.Tìm thiết diện tạo bởi (AEF).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I là trung điểm SD, E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB.

a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE). b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC). c) Chứng minh BC, AF, d đồng qui.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. F là trung điểm SC, E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC.

a) Tìm thiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp. b) Tìm giao điểm của SB với (AEF).

Bài 6. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm SB, G là trọng tâm SAD.

a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID.

b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính tỉ số JAJD

.

c) Tìm giao điểm K của (OMG) với SA. Tính KAKS

. HD: b) 2 c) 2



DẠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

* Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 16)

Tóm tắt: Nếu

/ /

dd aa

thì / /d

Nhận xét:

Các bài tập thường bắt ta đi tìm đường thẳng a (thỏa yêu cầu như hình vẽ), vấn đề ở đây dựa vào giải thiết của từng bài tập đường thẳng a đã có trên hình vẽ chưa, nó được xác định thế nào, làm sao để xác định nó. Giáo viên cần định hướng giải quyết của bài toán dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp. Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho 1 1,

3 3AM AE BN BD . Chứng minh MN song song với mp(CDEF).

Nhận xét: - Với câu a) học sinh dễ phát hiện đường thẳng a cần tìm là CE đối với mp(BCE), DF đối với mp(ADF). - Còn câu b) học sinh khó phát hiện đường thẳng a, vì phải kẻ thêm đường phụ và ta phải đi chứng minh nên học sinh sẽ gặp khó khăn. Giáo viên gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của hai mp(AMN) và (CDFE) qua đó học sinh dễ nhìn thấy vấn đề hơn. Bài giải: a) * Chứng minh OO '/ / ADF Ta có: OO’ là đường trung bình của tam giác BDF nên OO '/ /DF mà DF ADF nên OO '/ / ADF * Chứng minh OO '/ / BCE tương tự b) * Chứng minh / /MN CDFE Tìm giao tuyến của mp(AMN) và (CDFE)

a

d

J

I

O O'

F

A

E

B

C

D

M N



Ta có E AMN CDFE Gọi I AN CD

I AMN CDFE Vậy IE AMN CDFE Chứng minh / /MN CDFE

Ta có: 1 13

AM AE

Trong tam giác ABC có: 1 23 3

BN BD BO và BO là đường trung tuyến.

Nên N là trọng tâm của tam giác ABC Gọi J AI BC nên J cũng là trung điểm của AI

2 1AJ 23 3

AN AI

Từ (1) và (2) / /MN IE mà CE CDFE suy ra đpcm

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh MN // mp SBC và MN // mp SAD . b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC song song với

mp(MNP). c) Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2//mp(SAC)

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, M trên BC sao cho

MB = 2MC. Chứng minh MG//mp(ACD). Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi O và O’ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp

các tam giác ABC và ABD. Chứng minh: a) Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) là BC AB AC

BD AB AD

.

b) Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) và mp(ACD) là BC = BD và AC = AD

Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE).

b) Trên AE và BD lấy M và N sao cho 1 1AM AE; BN BD

3 3 . Chứng minh

MN//mp(CDEF). Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy trung điểm M, trên BC lấy

điểm N bất kì. Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD.

a) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với ().



b) Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành. Bài 6. Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là

AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB. () là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.

a) Mặt phẳng () cắt SABCD theo thiết diện là hình gì. b) Chứng minh SA // ().

Bài 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng () di động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC.

a) Mặt phẳng () cắt các cạnh SA, SB, SD lần lượt tại A’, B’, D’ thiết diện A’B’C’D’ là hình gì.

b) Chứng minh rằng () khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định.



DẠNG 5: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG * Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 64)

Tóm tắt: Nếu

,

/ / , / /

a ba b Ia b

thì / /mp

Nhận xét:

Tương tự bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phằng, vấn đề là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trong mp hay . Giáo viên cần hướng dẫn, gợi mở cho học sinh phát hiện ra được vấn đề bài toán. Ví dụ 1.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh hai mặt phẳng (MNP) và mp(BCD) song song. Nhận xét:

Nếu học sinh biết cách vẽ hình dựa vào các tinh chất đã học trong hình học phẳng thì dễ dàng xác định được đường thẳng a, b. Cách xác định trọng tâm không nên vẽ quá nhiều đường trung tuyến nhìn hình rối mắt. Bài giải Gọi I, J, K lần lượt trung điểm BC, CD, BD Ta có: 2 / /IJ

AJ 3AM AN MNAI

Mà IJ BCD nên MN // (BCD) Tương tự ta có NP // (BCD) Ta có:

NP, MN

/ /

MNP

MNP BCD

Ví dụ 2.

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AC và BF lấy M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD; AF tại M’, N’. a) Chứng minh: (CBE) // (ADF) b) Chứng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’) Nhận xét: - Với câu a) học sinh dễ dàng chứng minh - Với câu b) Giáo viên gợi ý cho học sinh (DCEF) chứa (DEF), học sinh thường sai lầm khi chứng minh là MM’ // (DEF) và NN’ // (DEF) suy ra đpcm. Nên giáo viên gợi ý sử dụng giả thiết AM = BN.

b a

P

N

K J

B

C

A

D

I

M



Bài giải: a) Dễ dàng chứng minh. b) Ta có: NN’ // AB mà AB // EF Mà EF EF ’ / / DEFD NN Mặt khác

'' / / 1

'' / / 2

AM AMMM CDAD AC

AN BNNN ABAF BF

Mà AM = BN, AC = BF

' 3AN BNAF BF

Từ (1), (2) và (3) ' ' ' '/ /AM AN M N DE DFEAD AF

Suy ra đpcm Một số chú ý khi vẽ hình Để giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc nắm vững các phương pháp, kỹ năng giải toán thì vẽ hình đóng vai trò quan trọng, hình vẽ dễ nhìn giúp ta hướng giải quyết, phát hiện ra vấn đề của bài toán. Một số chú ý khi vẽ hình: - Đảm bảo các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian - Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ. - Biết cách xác định các đối tượng vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu bài toán. Nếu vẽ hình mà không nhìn thấy được yêu cầu bài toán thì nên vẽ lại ở góc nhìn khác.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC). b) I là trung điểm của SC và J là điểm nằm trên mp(ABCD) cách đều AB

và CD. Chứng minh IJ // mp(SAB) c) Giả sử các tam giác SAB và ABC cân tại A. Gọi AE và AF là các đường

phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // mp(SAD) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của các góc · · ·BAC, CAD, DAB đồng phẳng.

Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, SD.

a) Chứng minh mp(OMN) // mp(SBC). b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ //

mp(SBC)

M'

N' A

F

D C

E

B M

N



Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là hai điểm di động lần lượt trên AD và BC sao cho

IA JB

ID JC. Chứng minh IJ luôn song song với một mặt phẳng cố

định. Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD =

2a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A. Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a). Mặt phẳng qua M và song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD tại N, P, Q.

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M chạy trên AD. c) Tính diện tích MNPQ theo a và x.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.

a) Chứng minh (HIK) // (ABCD). b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI .Chứng

minh (SMN) //(HIK). Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C). b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD.

a) Chứng minh: (OMN) // (SBC). b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB . Chứng minh: EF //(SAD). III. BẢNG ĐIỂM CỦA LỚP THỰC NGHIỆM( LỚP 11B3)

TT Họ và tên Điểm kiểm tra trước tác động

Điểm kiểm tra sau tác động

1 NGUYỄN THỊ KIM ANH 6 8 2 PHAN THỊ KIM ANH 6 9 3 NGUYỄN NGỌC CHÂU 6 9 4 NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO 6 8 5 VŨ THỊ BÍCH ĐOAN 6 7 6 NGUYỄN THỊ HÀ 6 9 7 VI THỊ HẰNG 6 8 8 NGUYỄN THỊ HIỀN 7 9 9 NGUYỄN THỊ THU HIỀN 6 8 10 TRẦN THỊ HIỆP 6 8 11 ĐOÀN VĂN HÓA 6 8 12 PHẠM THU HUYỀN 7 8 13 NGUYỄN THỊ HƯƠNG 6 8 14 LANG THỊ HƯƠNG 5 7



15 PHAN THỊ ÁNH KIỀU 6 7 16 ĐẶNG THỊ LAN 6 8 17 VŨ THỊ KIM LAN 6 8 18 NGUYỄN THỊ NHẬT LỆ 6 8 19 HUỲNH THỊ MAI 5 9 20 HÀ THỊ NGA 5 8 21 PHẠM THỊ NGÂN 6 9 22 TRƯƠNG THỊ THẢO NHI 6 7 23 TRƯƠNG ĐÌNH NHỰT 5 9 24 TRẦN THỊ KIM PHÚ 6 8 25 PHẠM THỊ NHƯ QUỲNH 6 9 26 ĐỖ THỊ SÁU 6 7 27 LÝ SƠN 6 7 28 NGUYỄN THỊ BÍCH THẢO 7 7 29 HOÀNG THỊ THOA 7 7 30 ĐINH CÔNG THÔNG 7 7 31 NGÔ THỊ THU 7 9 32 PHẠM THỊ THU 7 7 33 NGUYỄN THỊ THU 7 9 34 NGUYỄN THỊ MINH THÚY 8 9 35 LƯƠNG THỊ NĂM THƯƠNG 7 9 36 NGUYỄN THỊ TUYẾN 7 9 37 TRẦN THỊ THÚY VY 7 9 38 VŨ HOÀI NAM 7 8 39 NGUYỄN QUÝ DƯƠNG 8 8 40 LANG THỊ THỦY 7 9

GTTB 6.3 8.1 Mode 6 8

Độ lệch chuẩn 0.73 0.79 Trung vị 6 8

IV.BẢNG ĐIỂM CỦA LỚP ĐỐI CHỨNG ( LỚP 11B5)

TT Họ và tên Điểm kiểm tra trước tác động

Điểm kiểm tra sau tác động

1 NGUYỄN THỊ KIM ANH 8 7 2 LÊ HOÀNG ANH 8 8 3 LÝ VĂN BÉ 9 6 4 NGUYỄN VIẾT CA 8 7 5 PHAN VĂN CHÍNH 8 8 6 TRẦN VĂN DUY 5 8 7 MỄ THỊ ĐIỂM 5 7 8 NGUYỄN THỊ THU HÀ 6 8 9 TRẦN THỊ MINH HẰNG 6 7



10 PHẠM VĂN HIẾU 4 8 11 TRẦN THÀNH HIẾU 6 6 12 PHÙNG THỊ HOA 8 8 13 TRƯƠNG THỊ LỆ HOA 5 9 14 ĐẶNG THỊ THANH LAM 6 8 15 LÊ THỊ LÂM 5 8 16 CHUNG VĂN LỄ 7 8 17 NGUYỄN NGỌC LONG 6 7 18 NGÔ VĂN NAM 8 9 19 NGUYỄN THỊ KIM NGA 4 7 20 VÕ THỊ THÙY NGA 4 9 21 THÁI THỊ NGÂN 7 8 22 VŨ MINH NGỌC 8 8 23 VŨ THỊ NHƯ 7 8 24 LÊ THỊ TÂM 7 7 25 TRẦN VĂN THÔNG 6 8 26 NGUYỄN THỊ LỆ THỦY 7 7 27 LÝ VĂN THƯƠNG 5 8 28 THÁI THỊ KIỀU TIÊN 8 8 29 MAI VĂN TIẾN 5 8 30 LUÂN THỊ TRANG 6 9 31 NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG 9 7 32 DƯƠNG THỊ LỆ TRINH 6 8 33 VÕ THỊ TRINH 7 7 34 NGUYỄN KIỀU TÚ 7 7 35 HUỲNH ANH TUẤN 8 7 36 NGUYỄN ĐỨC TUẤN 7 8 37 NGUYỄN MINH TUẤN 6 8 38 ĐẶNG ANH VŨ 8 7 39 CHÂU NGỌC NHƯ Ý 7 7 40 LÊ THANH TÙNG 8 8 41 TRẦN VĂN LƯU 6 6

GTTB 6,6 7.6 Mode 8 8

Độ lệch chuẩn 1.4 0.77 Trung vị 7 8

Phương pháp giải Hình Học Không Gian hiệu quả

Education

Transcript of Phương pháp giải Hình Học Không Gian hiệu quả