PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
Transcript of PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX I. LÝ THUYẾT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:
DẠNG:
a sin u bcos u c
a sin u bcos u c
a cos u bsin u c
Điều kiện để phương trình có nghiệm là : 2 2 2a b c
Giả sử giải phương trình: a sin u bcos u c *
Cách giải chia hai vế của (*) cho 2 2a b
Ta được : 2 2 2 2 2 2
a b csin u cos u
a b a b a b
Đặt 2 2 2 2
a bcos sin
a b a b
.
2 2
csin u.cos sin .cos u
a b
2 2
csin u
a b
(**)
Đặt 2 2
csin
a b
.
(**) sin u sin . Giải phương trình cơ bản.
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1: Giải các phương trình sau:
1). cos x 3 sin x 2 2). 3sin x 4cos x 5
3). 3 sin x cos x 2 4). sin x cos x 1
5). 6
sin x cos x2
6). 5sin 2x 12cos 2x 13
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
7). sin 8x cos6x 3 sin 6x cos 8x 8). sin x cos x 2 2 sin x.cos x
9). 22 sin x 3 sin 2x 3 10). 2
3cos x 4sin x 33cos x 4sin x 6
11). 3 2
2sin x sin x4 4 2
LỜI GIẢI
1). cos x 3 sin x 2 (1)
Ta có 2 2a 1,b 3 ,c 2 a b 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:
1 3 2
1 cos x sin x2 2 2
2
cos x.cos sin x.sin3 3 2
cos x cos3 4
7x k2 x k2
3 4 12 , k
x k2 x k23 4 12
Kết luận nghiệm của phương trình: 7x k2 ,x k2 , k
12 12
2). 3sin x 4cos x 5 1 . Ta có 2 2a 3,b 4,c 5 a b 5 . Chia hai vế của (1) cho 5 được:
3 4
1 sin x cos x 15 5
. Đặt 3 4
cos sin5 5
sin x.cos cos x.sin 1 sin x 1 x k2 x k22 2
Vậy nghiệm
của phương trình: x k2 , k2
3). 3 sin x cos x 2 1 .
Ta có 2 2a 3 ,b 1,c 2 a b 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:
3 1 2
1 sin x cos x2 2 2
2
sin x.cos cos x.sin6 6 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
sin x sin6 4
5x k2 x k2
6 4 12 , k11
x k2 x k26 4 12
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 5 11x k2 ,x k2 , k
12 12
4). sin x cos x 1 (1)
Ta có 2 2a 1,b 1,c 1 a b 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:
1 1 11 sin x cos x
2 2 2
1sin x.cos cos x.sin
4 4 2
sin x sin4 4
x k2x k24 4 , k2x k2x k2
4 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k2
5). 6
sin x cos x (1)2
Ta có 2 26a 1,b 1,c a b 2
2 . Chia hai vế của (1) cho 2
được: 1 1 3
1 sin x cos x22 2
3
sin x.cos cos x.sin4 4 2
sin x sin4 3
x k2 x k24 3 12 , k
5x k2 x k2
4 3 12
Vậy nghiệm của phương trình: 5x k2 ,x k2 , k
12 12
6). 5sin 2x 12cos 2x 13 (1) .Ta có 2 2a 5,b 12,c 13 a b 13 . Chia hai vế của (1) cho 13
được: 5 12
1 sin 2x cos 2x 113 13
. Đặt 5 12
cos sin13 13
.
sin 2x cos sin cos 2x 1 sin 2x 1 2x k2 x k2 2 4
.
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k2 4
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
7). sin 8x cos 6x 3 sin 6x cos8x 1
1 sin 8x 3 cos 8x 3 sin 6x cos 6x
1 3 3 1sin 8x cos 8x sin 6x cos 6x
2 2 2 2
sin 8x.cos cos 8x.sin sin 6x.cos cos 6x.sin3 3 6 6
sin 8x sin 6x3 6
8x 6x k2 x k3 6 4
k8x 6x k2 x
3 6 12 7
8). sin x cos x 2 2 sin x.cos x (1)
1 sin x cos x 2 sin 2x 1 1
sin x cos x sin 2x2 2
sin x.cos cos x.sin sin 2x4 4
2x x k2 x k2
4 4sin x sin 2x , kk24
2x x k2 x4 4 3
Vậy nghiệm của phương trình: k2
x k2 ,x , k4 4 3
9). 22 sin x 3 sin 2x 3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2x cos 2x 2
3 1sin 2x cos 2x 1
2 2 sin 2x.cos cos 2x.sin 1
6 6
sin 2x 16
2x k2 x k
6 2 3
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k3
10). 2
3cos x 4sin x 3 13cos x 4sin x 6
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt t 3cos x 4sin x 6 3cos x 4sin x t 6
2 t 121 t 6 3 t 3t 2 0
t 2t
Với t 1 3cos x 4sin x 5 3 4
cos x sin x 15 5
. Đặt 3 4
cos sin5 5
.
cos x.cos sin x.sin 1
cos x 1 x k2 x k22 2
.
Với 3 4 4
t 2 3cos x 4sin x 4 cos x sin x5 5 5
. Đặt 3 4
cos sin5 5
.
cos x.cos sin x.sin sin cos x sin
cos x cos2
x k2 x 2 k22 2 , k
x k2 x k22 2
.
Nghiệm phương trình: x k22
, x 2 k2 ,x k2 , k
2 2
11). 3 2
2sin x sin x4 4 2
.
sin x cos x sin x cos x 3 22. 3sin x cos x 3
22 2
3 1 3
sin x cos x10 10 10
. Đặt 3 1
cos sin10 10
sin x.cos cos x.sin cos sin x sin2
x k2 x 2 k2
2 2 , k
x k2 x k22 2
Nghiệm phương trình: x 2 k2 ,x k2 , k2 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Câu 2: Giải các phương trình sau:
1). 3 3 cos 2x
cos x2sin x
. 2). 2 x
tan .sin x 2cos 27 2
3). 4 42 cos x sin x sin x cos x
4). 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 26
5). 3 sin 7x cos7x 2sin 5x6
6). sin 2x 3 sin 2x 2
2
7). cos x 3 sin x 2cos 2x 03
8). 2cos 2x 1 3 cos x sin x
9). 3 1 sin x 3 1 cos x 1 3 . 10). 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x
LỜI GIẢI
1). 3 3 cos 2x
cos x 12sin x
. Điều kiện sin x 0 x k
1 3 3 cos 2x 2sin xcos x 3 cos 2x sin 2x 3
3 1 3cos 2x sin 2x
2 2 2
3cos 2x.cos sin 2x.sin
6 6 2
2x k2
x k6 6cos 2x cos , k66 6
x k2x k26 6
So với điều kiện thì nghiệm x k loại.
Vậy nghiệm phương trình: x k , k6
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2). 2 xtan .sin x 2cos 2
7 2
tan .sin x 1 cos x 2
7
sin7 sin x cos x 1
cos7
sin sin x cos cos x cos7 7 7
cos x cos
7 7
2x k2x k27 7
7x k2x k2
7 7
Nghiệm phương trình: 2x k2 ,x k2 , k
7
3). 4 42 cos x sin x sin x cos x
2 2 2 22 cos x sin x cos x sin x sin x cos x
2 cos 2x 2 cos x4
x k22x x k2
44cos 2x cos x , kk24
x2x x k212 34
Nghiệm của phương trình: k2
x k2 ,x , k4 12 3
4). 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 26
3 1cos 2x sin 2x sin 2x 2
2 2 6
cos 2x.cos sin 2x.sin sin 2x 26 6 6
cos 2x sin 2x 26 6
1 1cos 2x sin 2x 1
6 62 2
cos 2x .cos sin 2x sin 16 4 6 4
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
cos 2x 16 4
52x k2 x k
6 4 24
.
Nghiệm của phương trình: 5
x k24
.
5). 3 sin 7x cos7x 2sin 5x6
3 1sin7x cos7x sin 5x
2 2 6
sin7xcos cos7x sin sin 5x sin 7x sin 5x6 6 6 6 6
7x 5x k2 x k6 6
kx7x 5x k2 9 66 6
6). sin 2x 3 sin 2x 22
cos 2x 3 sin 2x 2
1 3cos 2x sin 2x 1
2 2
cos 2x.cos sin 2x.sin 13 3
cos 2x 1
3
2x k2 x k , k3 6
7). cos x 3 sin x 2cos 2x 03
1 3cos x sin x cos 2x
2 2 3
cos xcos sin xsin cos 2x
3 3 3
4cos x cos 2x
3 3
4 52x x k2 x k23 3 3
4 k22x x k2 x
3 3 3
8). 2cos 2x 1 3 cos x sin x
2 22 cos x sin x 1 3 cos x sin x
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 cos x sin x cos x sin x 1 3 cos x sin x
cos x sin x 2 cos x sin x 1 3 0
2 cos x 0 cos x 0 1cos x sin x 0 4 4
2 cos x sin x 1 3 0 1 3 1 32 cos x cos x 2
4 2 4 2 2
Giải (1): x k x k4 2 4
.
Giải (2): x k2x k2
34 12cos x cos4 12
x k2 x k24 12 6
Vậy nghiệm của phương trình: x k4
, x k2
3
, x k2 , k
6
9). 3 1 sin x 3 1 cos x 1 3 .
Ta có 2 2a 3 1,b 3 1,c 1 3 a b 2 2
3 1 3 1 1 3 5 5 1 3sin x cos x sin x.cos cos x.sin
12 122 2 2 2 2 2 2 2
5x k2x k2
5 312 12sin x sin5 312 12
x k2 x k212 12 2
Vậy nghiệm của phương trình: 3
x k2 ,x k2 , k3 2
10). 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x
33sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos 9x 1
1 3 1sin 9x cos9x
2 2 2
1sin 9x.cos cos9x.sin
3 3 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
sin 9x sin3 6
k29x k2 x
3 6 18 97 k2
9x k2 x3 6 54 9
Vậy nghiệm của phương trình: k2 7 k2
x ,x , k18 9 54 9
Câu 3: Giải các phương trình sau:
1). 2cos 2x 4sin xcos x 1 06
2). 4sin x 2cos x 3 2 04 4
3). 8sin x sin 2x 6sin x cos 2x 5 7 cos x4 4
4). 22 3 sin x cos x 2cos x 3 18 8 8
5). 2
1 cos x cos 2x cos 3x 23 3 sin x
32cos x cos x 1
6). 3 1
8sin xcos x sin x
7). 3 3 2 22cos x 2sin x 2sin xcos x 2cos xsin x 2 0
8). 5 cos x sin x sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x
LỜI GIẢI
1). 2cos 2x 4sin xcos x 1 06
2 cos 2x cos sin 2xsin 2sin 2x 1 06 6
3 cos 2x sin 2x 1
3 1 1 1cos 2x sin 2x cos 2xcos sin 2x sin
2 2 2 6 6 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2x k2 x k
6 3 4cos 2x cos , k6 3
2x k2 x k6 3 12
Vậy nghiệm của phương trình: x k ,x k , k4 12
2). 4 sin x 2cos x 3 2 04 4
sin x cos x sin x cos x4. 2. 3 2
2 2
sin x cos x 1 2 sin x 1
4
1sin x
4 2
x k2x k24 4
x k2x k2 2
4 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k2
3). 8 sin x sin 2x 6sin x cos 2x 5 7 cos x4 4
4 cos x cos 3x 3 sin 3x sin x 5 7 cos x2
4 cos x cos 3x 3 sin 3x cos x 5 7 cos x 3sin 3x 4cos 3x 5
3 4
sin 3x cos 3x 1 sin 3x.cos cos 3x.sin 1 sin 3x 15 5
k23x k2 x
2 3 6 3
. (Với
3 4cos , sin
5 5 )
Vậy nghiệm của phương trình:k2
x3 6 3
4). 22 3 sin x cos x 2sin x 3 18 8 8
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Áp dụng công thức nhân đôi: 2sin x cos x sin 2x8 8 4
, và hạ bậc
22 sin x 1 cos 2x8 4
ta được:
3 sin 2x 1 cos 2x 3 14 4
3 sin 2x cos 2x 34 4
3 1 3sin 2x cos 2x
2 4 2 4 2
3sin 2x cos cos 2x sin
4 6 4 6 2
32x k2 x k
4 6 3 8sin 2x sin134 6 3
2x k2 x k4 6 3 24
Vậy nghiệm của phương trình: 3 13
x k ,x k , k8 24
5). 2
1 cos x cos 2x cos 3x 23 3 sin x *
32cos x cos x 1
. Điều kiện 22cos x cos x 1 0
2
1 cos 2x cos 3x cos x 23 3 sin x
32cos x 1 cos x
22cos x 2cos 2x.cos x 2
3 3 sin xcos 2x cos x 3
2cos x cos 2x cos x 2
3 3 sin xcos 2x cos x 3
22cos x 3 3 sin x
3 3 cos x sin x 3
3 1 3cos x sin x
2 2 2
3cos x.cos sin xsin
6 6 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
cos x cos6 6
x k2x k26 6
3x k2x k2
6 6
Thay hai họ nghiệm của x vào điều kiện ta thấy thỏa.
Vậy nghiệm của phương trình: x k23
, x k2 .
6). 3 1
8sin xcos x sin x
. Điều kiện sin x 0
cos x 0
Quy đồng mẫu được: 28sin xcos x 3 sin x cos x
Hạ bậc 2sin x được: 4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x
4cos x 4 cos 2xcos x 3 sin x cos x
4cos x 2 cos x cos 3x 3 sin x cos x
cos x 3 sin x 2cos 3x 1 3
cos x sin x cos 3x2 2
cos x.cos sin x.sin cos 3x3 3
3x x k2 x k3 6cos x cos 3x
k33x x k2 x
3 12 2
So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k6
,
kx
12 2
.
7). 3 3 2 22cos x 2sin x 2sin xcos x 2cos xsin x 2 0
2 22 cos x sin x sin x sin x cos x cos x 2sin x cos x sin x cos x 2 0
2 cos x sin x 1 sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x 2 0
2 cos x sin x 2 2 2 cos x 24
1cos x
4 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
cos x cos4 3
7x k2 x k2
4 3 12
x k2 x k24 3 12
So với điều kiện nghiệm của phương trình: 7x k2 ,x k2 , k
12 12
8). 5 cos x sin x sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x
3 35 cos x sin x 3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 2 2 2 sin 2x
3 38 cos x sin x 4 sin x cos x 2 2 2 sin 2x
8 cos x sin x 4 sin x cos x 1 sin xcos x 2 2 2 sin 2x
4 sin x cos x 2 1 sin x cos x 2 2 2 sin 2x
14 sin x cos x 1 sin 2x 2 2 2 sin 2x
2
2 sin x cos x 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x
sin x cos x 2 ( vì 2 sin 2x 0 ).
2 sin x 2 sin x 1 x k2 x k24 4 4 2 4
Câu 4: Giải các phương trình sau:
1). sin x sin 2x 3 cos x cox2x [Dự bị 1 ĐH A04]
2). 2 sin 2x 4sin x 1 06
[Dự bị 2 ĐH A06]
3). 2
x xsin cos 3 cos x 2
2 2
[ĐH D07]
4). 22cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x) [Dự bị 2 ĐH A07]
5). 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin x cos x [ĐH B08]
6). sin 3x 3 cos 3x 2sin 2x [CĐ 08]
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
7). 1
2sin x sin 2x3 6 2
[Dự bị 1 ĐH B08]
8).
1 2sin x cos x3 1
1 2sin x 1 sin x
[ĐH A09]
9). 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0 [ĐH D09]
LỜI GIẢI
1). sin x sin 2x 3 cos x cox2x [Dự bị 1 ĐH A04]
LỜI GIẢI
sin x sin 2x 3 cos x 3 cos 2x sin x 3 cos x 3 cos 2x sin 2x
1 3 3 1sin x cos x cos 2x sin 2x
2 2 2 2 sin x cos 2x
3 6
sin x sin 2x sin x sin 2x3 2 6 3 3
x 2x k2 2 k2
x3 3, k9 3
x 2x k2 x k23 3
2). 2 sin 2x 4sin x 1 06
[Dự bị 2 ĐH A06]
LỜI GIẢI
2 sin 2x cos cos 2xsin 4sin x 1 06 6
3 sin 2x cos 2x 4sin x 1 0 3 sin 2x 1 cos 2x 4sin x 0
22 3 sin x cos x 2sin x 4sin x 0 2sin x 3 cos x sin x 2 0
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
x k x ksin x 0
, k7cos x 1 x k23 cos x sin x 2 0
6 6
Kết luận nghiệm của phương trình: x k , 7
x k26
k
3). 2
x xsin cos 3 cos x 2
2 2
[ĐH D07]
LỜI GIẢI
1 3 11 sin x 3 cos x 2 sin x 3 cos x 1 sin x cos x
2 2 2
x k2 x k2
1 3 6 6sin x sin , k53 2 6
x k2 x k23 6 2
Kết luận nghiệm của phương trình x k26
, x k2
2
, k
4). 22cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x) [Dự bị 2 ĐH A07]
LỜI GIẢI
1 cos 2x 3 sin 2x 1 3(sin x 3 cos x)
cos 2x 3 sin 2x 2 3(sin x 3 cos x)
1 3 1 3cos 2x sin 2x 1 3 sin x cos x
2 2 2 2
cos 2x 1 3cos x3 6
cos 2 x 1 3cos x
6 6
22cos x 3cos x 06 6
cos x 2cos x 3 0
6 6
3cos x 0 cos x
6 6 2
(loại)
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Với 2cos x 0 x k x k , k
6 6 2 3
Kết luận nghiệm của phương trình 2
x k , k3
5). 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin x cos x [ĐH B08]
LỜI GIẢI
2 2 2 2sin x(cos x sin x) 3 cos x(cos x sin x) 0 cos 2x(sin x 3 cos x) 0
kcos 2x 0 xcos 2x 0 4 2 , ksin x 0sin x 3 cos x 0
x k33
6). sin 3x 3 cos 3x 2sin 2x [CĐ 08]
LỜI GIẢI
1 3sin 3x cos 3x sin 2x
2 2
3x 2x k2 x k2
3 3sin 3x sin 2x , k4 k23
3x 2x k2 x3 15 5
7). 1
2sin x sin 2x3 6 2
[Dự bị 1 ĐH B08]
LỜI GIẢI
3 1 1sin x 3 cos x sin 2x cos 2x
2 2 2
21 2sin x 1sin x 3 cos x 3 sin x cos x
2 2
3 cos x 1 sin x sin x 1 sin x 0 (1 sin x)( 3 cos x sin x) 0
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
x k2 x ksin x 1 2 3 , k
3 cos x sin x 0 sin x 0 x k23 2
Kết luận nghiệm của phương trình x k3
, x k2 , k
2
8).
1 2sin x cos x3 1
1 2sin x 1 sin x
[ĐH A09]
LỜI GIẢI
Điều kiện : sin x 1
1sin x
2
(1) 1 2sin x cos x 3(1 sin 2x)(1 sin x)
2cos x sin 2x 3 1 sin x 2sin x cos x sin 2x 3 cos 2x sin x
cos x 3 sin x sin 2x 3 cos 2x
1 3 1 3cos x sin x sin 2x cos 2x
2 2 2 2
2x x k2 x k2
6 3 2cos x cos 2x , kk23 6
x2x x k218 36 3
So với điều kiện nghiệm x k22
loại.
Kết luận nghiệm của phương trình: k2
x , k18 3
9). 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0 [ĐH D09]
LỜI GIẢI
3 cos 5x sin 5x sin x sin x 0
3 13 cos 5x sin 5x 2sin x cos 5x sin 5x sin x
2 2
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
kx 5x k2 x
3 18 3sin 5x sin x , k2 k3
x 5x k2 x3 6 2
Kết luận nghiệm của phương trình: k k
x ,x , k18 3 6 2