PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI...

/15

PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL

BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1. Kỹ thuật ép hệ phƣơng trình: Cho hệ thức , ,f x dx f a b c

, muốn tìm , ,a b c thỏa

mãn hệ thức , ,h a b c m . Ta sẽ tính giá trị tích phân f x dx

rồi lưu vào A .

Vậy ta sẽ ép được hệ phương trình

, ,

, ,

f a b c A

h a b c m

. Để giải hệ phương trình này ta sẽ sử

dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy

tính Casio

(Xem ví dụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6)

2. Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc f x dx và nguyên hàm hệ quả

f u t dt qua phép đổi biến x u t . Để sử dụng được máy tính Casio ta ép hệ số cho

nguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định f x dx

. Vì nguyên hàm gốc và nguyên

hàm hệ quả là tương đương nên '

'

f x dx f u t dx

( ', ' là 2 cận mới)

(Xem ví dụ minh họa 7,8,9)

2) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1. Biết 4

2

3

ln 2 ln3 ln5dx

a b cx x

với , ,a b c là các số nguyên. Tính S a b c

A. 6S B. 2S C. 2S D. 0S (Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017)

Lời giải:

Tính tích phân 4

2

3

dx

x x và lưu vào biến A

) )y a 1 R Q d + Q R 3 E 4 = q J z

Khi đó 16

ln 2 ln3 ln5 ln 2 .3 .5 2 .3 .515

a b c a b c AA a b c A e

Q K ^ Q z =

/15

Dễ thấy 4 1 116 2.2.2.22 .3 .5 2 .3 .5 4; 1; 1 2

15 3.5

a b c a b c S

Đáp số chính xác là B

VD2. Cho 2

1

ln 1 ln3 ln 2I x dx a b c , ,a b c Z . Tính giá trị của biểu thức

A a b c

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)

Lời giải:

Tính giá trị tích phân 2

1

ln 1I x dx rồi lưu giá trị này vào biến A

y h Q + 1 R 1 E 2) ) = q J z

Khi đó ln3 ln 2 ln(3 .2 . ) ln 3 .2 . 3 .2A

a b c A a b c A a b

c

ea b c A e e e e

e

Để tính được 3 .2a b ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm 3 .2A

a b

c

ef X

e

w 7 a Q K Q z R Q K Q ) = = p 9^ ^ = 1 0 = 1 =

Quan sát màn hình xem giá trị nào của f X (cũng là của 3 .2a b ) là số hữu tỉ thì nhận

Dễ thấy với 1X c thì 3 2273 .2 6.75 3 .2

4

a b 3; 2a b

Tóm lại 3 2 1 0a b c

Đáp án A là đáp án chính xác.

VD3. Cho 2

4

sin cosln 3 ln 2

sin cos

x xI dx a b c

x x

, ,a b c Q . Tính giá trị của biểu thức :

A a b c

A. 0 B. 1

2 C.

1

3 D. 2


Lời giải:


4

sin cos

sin cos

x xI dx

x x

rồi lưu giá trị này vào biến A

y a j Q p k Q R) ) ) ) ) )j Q + k Q ) ) R

/15

a q K R 4 E E a q K R 2 = q J z

Khi đó ln3 ln 2 ln(3 .2 ) lna b c Aa b c A e . Mà ta tính được 2Ae

Q K ^ Q z =

1

0 21

3 .2 2 3 .2 0;2

a b c a b c

Tóm lại 1 1

02 2

a b c

Đáp án B là đáp án chính xác.

VD4 . Cho 4

4

0

sinI xdx a b

,a b Q . Tính giá trị của biểu thức A a b

A. 11

32 B.

5

32 C. 4 D. 7


Lời giải:


1

ln 1I x dx rồi lưu giá trị này vào biến A

y j Q ) ) ^ 4 R 0 E a q K R 4 = q J z

Khi đó a b A . Nếu đáp số A đúng thì hệ 11

32

a b A

a b

có nghiệm hữu tỉ (thuộc

Q )

= = $ $ R p 5 P 3 2 = =

Rõ ràng 3 1

;32 4

a b là các số hữu tỉ

B là đáp án chính xác

/15

VD5. Cho 24

0

1 sin 2a

I x x dxb

, ,a b c Z với

a

b là phân số tối giản. Tính biểu

thức A a b

A. 20 B. 40 C. 60 D. 10


Lời giải:


0

1 sin 2I x x dx

rồi lưu giá trị này vào biến A

) ) )y Q ( 1 + j 2 Q ) R 0 E a q K R 4 = q

J z

Khi đó 2 a

Ab

. Nếu đáp số A đúng thì 20 20a b b a

2

20

aA

a

Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm a (với a là số nguyên )

Q z Q r a q K d + Q R 2 0 p Q q) ) r =

1 0 =

Kết quả không ra một số nguyên Đáp số A sai

Nếu đáp số B đúng thì 40 40a b b a 2

40

aA

a

$ $ $ $ R $ 4 q r = 2 0 =

Vậy 8 32a b

Đáp án A là đáp án chính xác

VD6. Cho

2 43 2

1

lnae b

I x xdxc

, ,a b c Z với ;

a b

c c là các phân số tối giản. Tính biểu

thức A a b

A. 15 B. 28 C. 36 D. 46


Lời giải:

Tính giá trị tích phân

2

3 2

1

lnI x xdx rồi lưu giá trị này vào biến A

/15

y Q ( 1 + j 2 Q ) R 0 E a q K R 4) ) ) =

q J z

Khi đó 4ae b

Ac

. Nếu đáp số A đúng thì 15c a b

415 . . .A a A b A a e b 415 . .

1

A a A a eb

A

Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm a (với a là số nguyên )

w 7 a 1 5 Q z p Q z Q ) p Q K ^ 4 $ Q ) R

Q z + 1 = = p 9 = 1 0 = 1 =

Kết quả không tìm ra một số nguyên Đáp số A sai

Tương tự như vậy với đáp số C đúng thì 436 . .

1

A a A a eb

A

C $ $ $ o o 3 6 = = = = =

Ta tìm được nghiệm 129a là một số hữu tỉ

Đáp án C là đáp án chính xác

VD7. Cho tích phân 2

sin

0

sin 2xI e xdx

. Nếu đổi biến số sint x thì :

A.

2

0

. .tI e t dt B. 1

0

. .tI e t dt C. 1

0

2 . .tI e t dt D.

2

0

2 . .tI e t dt

(Trích đề thi ĐH khối B năm 2005)

Lời giải:


sin

0

sin 2xI e xdx

y Q K ^ j Q ) ) $ j 2 Q ) ) R 0 E a q K R

2 =

/15

Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài và

cùng bằng 2. Tính

2

0

. .tI e t dt

y Q K ^ Q ) $ Q ) R 0 E a q K R 2 =

Kết quả ra một số khác 2 Đáp số A sai

Tương tự như vậy với đáp số C thì 1

0

2 . . 2tI e t dt

2 y Q ) Q K ^ Q ) R 0 E 1 =

Đáp án C là đáp án chính xác

Chú ý : Đổi cận thì phải đổi biến Dễ dàng loại được đáp án A và D

VD8. Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân

4

0

4 1

2 1 2

xI dx

x

thành tích phân

5

3

f t dt . Khi đó f t là hàm nào trong các hàm số sau ?

A.

22 3

2

tf t

t B.

22 8 3 2t t tf t

t

C.

22 3

2 2

tf t

t D.

22 8 3 2

2

t t tf t

t

(Trích đề thi ĐH khối D năm 2011)

Lời giải:


4

0

4 1

2 1 2

xI dx

x

) )y a 4 Q p 1 R s 2 Q + 1 $ + 2 R 0 E 4 =

/15

Nếu đáp án A đúng thì

22 3

2

tf t

tvà giá trị tích phân

5 2

3

2 36.2250...

2

tI dt

t

điều này là sai vì

5 2

3

2 39.6923...

2

tI dt

t

y a 2 Q d p 3 R Q + 2 R) ) 3 E 5 =


Tương tự như vậy với đáp số B chính xác

y a ( 2 Q ) d p 8 Q + 5 ( Q )) ) p 2 ) R Q

) R 3 E 5 =

VD9. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt 3 1 lnt x thì nguyên hàm

của 3ln . 1 lnx x

dxx

có dạng :

A. 3 33 1t t dt B. 3 3 1t t dt C. 3 33 1t t dt D. 3 3 1t t dt

Lời giải:

Để có thể sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích

phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận là 1 và 7e .


3

1

ln . 1 ln43.1785...

ex x

dxx

a h Q ) ) O q ^ 3 $ 1 + h Q ) ) R Q ) R 1 E

Q K ^ 7 =

Khi tiến hành đổi biến thì ta phải đổi cận :

3

37 7

1 1 ln1 1

1 ln 3 2

x t

x e t

Nếu đáp án A

đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài . Tính

2

3 3

1

3 1I t t dt

y Q K ^ Q ) $ Q ) R 0 E a q K R 2 =

/15


Tương tự như vậy với đáp số C thì 1

0

2 . . 2tI e t dt

y 3 Q ) ^ $ ( Q ) ^ 3 $ p 1 ) R3 1 E 2 = n

Đáp án A là đáp án chính xác

Chú ý : Ta có thể chọn cận nào cũng được không nhất thiết phải là 1 và 7e (chỉ cần

thỏa mãn tập xác định của hàm số là được)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

/15

Bài 1. Cho tích phân 4

2

0

tan xdx a b

,a b Q . Tính giá trị của biểu thức P a b

A. 5

4P B.

3

4P C.

1

4P D.

11

4P

(Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)

Bài 2. Cho tích phân ,a b Q

2

2

2

1

1. .xx

e dx a e b ex

,a b Q . Tính giá trị của biểu thức

P a b

A. 1P B. 0.5P C. 1P D. 2P



0

cos3 2cosln 2 ln 3

2 3sin cos 2

x xdx a b c

x x

, ,a b c Z . Tính

P a b c

A. 3P B. 2P C. 2P D. 1P


Bài 4. Cho tích phân

4

2

1

ln 2 ln5 ln112 5 3

dxa b c

x x

, ,a b c Z . Tính giá trị của biểu

thức P a b c

A. 1P B. 3P C. 2 D. 0



2 2

2

1

2 2ln 2 ln3

x xdx a b c

x x


thức P a b c

A. 3P B. 2P C. 4 D. 1


Bài 6. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 2 1t x đưa tích phân 2

22

3

1

dxI

x x

thành tích phân nào sau đây ?

A.

2

22

3

1

dt

t B.

1

21

3

1

dt

t C.

2

22

3

1

dt

t t D.

1

21

3

1

dt

t t


Bài 7. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 1 3cost x đưa nguyên hàm

sin 2 sin

1 3cos

x xI dx

x

thành nguyên hàm nào sau đây ?

A.

22 1tdt

t B.

21 2 1

9

tdt

t C.

2 1tdt

t D.

1 2 1

9

tdt

t


/15


sin 2 sin

1 3cos

x xI dx

x


A.

22 1tdt

t B.

21 2 1

9

tdt

t C.

2 1tdt

t D.

1 2 1

9

tdt

t


/15

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN


2

0

tan xdx a b

,a b Q . Tính giá trị của biểu thức P a b

A. 5

4P B.

3

4P C.

1

4P D.

11

4P


Lời giải:


2

0

tan xdx

rồi lưu vào biến A

q w 4 y l Q d R 0 E a q K R) ) 4 = q J z

Nếu đáp số A đúng ta có hệ phương trình 5

4

a b A

a b

1.7334...a không phải là số

hữu tỉ Đáp số A sai

w 5 1 1 = q K = Q z = 1 = 1 = 5 P 4 = =

Tương tự như vậy với đáp án B ta có hệ phương trình 3

4

a b A

a b

1

2

a

b

. B là đáp số

chính xác

= = $ $ R 3 P 4 = = =

Bài 2. Cho tích phân ,a b Q

2

2

2

1

1. .xx

e dx a e b ex

,a b Q . Tính giá trị của biểu thức

P a b

A. 1P B. 0.5P C. 1P D. 2P


Lời giải:


2

2

1

1 xxe dx

x


y a 1 p Q ) R Q ) d $ Q K ^ Q ) R 1 E 2 = q J z

/15

Với đáp số A ta có hệ phương trình 2

0.5

ae be A

a b

0.5

1

a

b

w 5 1 Q K d = Q K = Q z = 1 = 1 = 0 . 5 = = =

Đáp số A chính xác


0

cos3 2cosln 2 ln 3

2 3sin cos 2

x xdx a b c

x x

, ,a b c Z . Tính

P a b c

A. 3P B. 2P C. 2P D. 1P


Lời giải:


0

cos3 2cos

2 3sin cos 2

x xdx

x x


) ) ) )y a k 3 Q + 2 k Q R 2 )+ 3 j Q ) p k 2

Q R 0 E a q K R 2) ) = q J z

Vậy ln2 ln3 ln 2 .3 . lna b c Aa b c A e e 2 .3A

a b

c

e

e . Tìm 2 .3a b bằng chức

năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến X c

w 7 a Q K ^ Q z R Q K ^ Q ) = = p 9 = 1 0 = 1 =

Ta được 2 .3 18a b với 2X c . Vậy 218 2.3 2 .3 1; 2a b a b

1 2 2 1P a b c Đáp số chính xác là D


4

2

1

ln 2 ln5 ln112 5 3

dxa b c

x x


thức P a b c

A. 1P B. 3P C. 2 D. 0


Lời giải:

/15


4

2

12 5 3

dx

x x


) )y a 1 R 2 Q d + 5 Q + 3 R 1 E 4 = q J z

Vậy ln2 ln5 ln11 ln 2 .5 .11 lna b c Aa b c A e

2 1 125 5.52 .5 .11 5 .2 .11

22 2.11

a b c Ae .

Rõ ràng 1; 2; 1a b c 1 2 2 1P a b c

Đáp số chính xác là D


2 2

2

1

2 2ln 2 ln3

x xdx a b c

x x


thức P a b c

A. 3P B. 2P C. 4 D. 1


Lời giải:


4

2

12 5 3

dx

x x


y a Q d + 2 Q + 2 R Q) ) ) )d + Q R 1 E 2 = q

J z

Vậy ln2 ln3 ln 2 .3 . lna b c Aa b c A e e 2 .3 . 2 .3A

a b c A a b

c

ee e

e . Tìm 2 .3a b

bằng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến X c .

w 7 a Q K ^ Q z R Q K ^ Q ) = = p 9 = 1 0 = 1 =

Ta được 3 182 .3 2.66 6 2 .3 3; 1

3

a b a b với 1X c .

3 1 1 3P a b c Đáp số chính xác là A

Bài 6. Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 2 1t x đưa tích phân

2

22

3

1

dxI

x x

thành tích phân nào sau đây ?

/15

A.

2

22

3

1

dt

t B.

1

21

3

1

dt

t C.

2

22

3

1

dt

t t D.

1

21

3

1

dt

t t


Lời giải:


2

22

3

121

dxI

x x

y a 1 R Q s Q d p 1 R a 2 R s) ) 3 E E s 2 =

Tích phân nào có giá trị bằng 12

thì đó là đáp án đúng. Ta có đáp án B có giá trị :

1

21

3

121

dt

t

q w 4 y a 1 R Q d + 1 R a 1 R s) 3 E E 1 =

Đáp số chính xác là A

Chú ý : Giá trị tích phân không thay đổi theo phép đổi biến (đặt ẩn phụ)


sin 2 sin

1 3cos

x xI dx

x


A.

22 1tdt

t B.

21 2 1

9

tdt

t C.

2 1tdt

t D.

1 2 1

9

tdt

t


Lời giải:

Chọn cận 0 và 2

. Tính giá trị tích phân

2

0

sin 2 sin

1 3cos

x xI dx

x

y a j 2 Q + j Q R s 1 + 3 k Q) ) ) ) ) ) R 0 E

a q K R 2 =

Tiến hành đổi biến thì phải đổi cận

0 1 cos3 4

12

x t x

x t

/15

Với đáp số D ta có

1

4

1 2 1

9

tdt

t

a 1 R 9 $ y a p 2 Q p 1 R s Q R 4) ) E 1 = n n

Đáp số chính xác là D

Chú ý : Chọn cận thế nào cũng được tuy nhiên nên chọn cận x sao cho t đẹp.

PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI...

Documents

Transcript of PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI...