PhÇn I · Web view2019/04/16 · - Xây dựng cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải...

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BỔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

“CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TOÁN

THCS, BẤT ĐẲNG THỨC Bunhiacopski ”

PHẦN I : MỞ ĐẦU

I-Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn

luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì,

tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lôgíc cho học sinh.

Đào tạo học sinh giỏi là một trong những công tác quan trọng của ngành giáo

dục. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một

nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân

tài cho đất nước. Vì vậy, trong những năm qua, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi

được ngành giáo dục hết sức coi trọng và chú trọng. Ngành mỗi năm đều tổ chức

thường xuyên kỳ thi học sinh giỏi các cấp trong đó có môn toán lớp 9.

Chương trình toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong

đó chuyên đề “Giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ, bất đẳng thức

Bunhiacopski” của toán lớp 9 giữ vai trò quan trọng. Trong quá trình giảng dạy bộ

môn toán, tôi thấy học sinh lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu, làm như thế nào,

thấy khó mà các em không tìm ra được phương pháp giải. Điều này cũng dễ hiểu và

thông cảm cho học sinh vì các em chỉ nắm vững kiến thức cơ bản sách giáo khoa và

sách bài tập chưa được tìm hiểu sâu vào các dạng toán giải phương trình bậc cao và

phương trình vô tỷ. Năm học trước, là giáo viên được giao nhiệm vụ dạy lớp chọn và

bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 tôi hiểu hơn hết về học sinh. Hy vọng rằng thông qua

chuyên đề này giúp học sinh hăng say học tập, đồng thời cung cấp những kiến thức cơ

bản cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp tính toán giải phương

trình. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận

lôgíc... tạo sự say mê cho các bạn yêu thích toán.

GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

1

II-Mục đích nghiên cứu:

1- Đối với giáo viên:

- Xây dựng cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán về “Giải phương trình

bậc cao và phương trình vô tỷ, bất đẳng thức Bunhiacopski”.

- Phân dạng, xây dựng hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối

tượng học sinh, có phương pháp giải từng dạng.

2- Đối với học sinh:

- Nhận dạng được các dạng phương trình thường gặp.

- Đứng trước một phương trình đưa ra được phương pháp giải toán đối với từng dạng

phương trình.Vận dụng tốt các phương pháp để giải bài tập. Có kỹ năng giải phương

trình thành thạo.

III- Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Phương pháp giải các phương trình bậc cao bằng cách đưa về các dạng phương trình

đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc.

- Bất đẳng thức Bunhiacopski - Các ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự.

IV- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

1- Đối tượng: Học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Hương Vỹ huyện Yên Thế Tỉnh

Bắc Giang.

2- Phạm vi: Một số bài toán : “Giải phương trình liên quan đến phương trình bậc cao

và phương trình vô tỷ, một số bài toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng bất đẳng

thức Bunhiacopski”.

V- Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu.

- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm trong quá trình dạy.

- Kiểm tra kết quả : Dự giờ, kiểm tra chất lượng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều

tra trực tiếp thông qua các giờ học.

- Đúc rút kinh nghiệm bản thân.


2

- Sinh hoạt chuyên môn theo chuyên đề.

- Thảo luận, trao đổi với đồng nghiệp, với GV THPT, giảng viên đại học.

VI- Những đóng góp của đề tài:

+ Sau khi ứng dụng đề tài giúp học sinh với học sinh lớp chọn và bồi dưỡng học sinh

giỏi trường THCS Hương Vỹ huyện Yên Thế cải thiện đáng kể về kiến thức toán và tư

duy về dạng toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ, bất đảng thức...

+ Nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi trong trường THCS.

+ Làm tài liệu để giáo viên và học sinh tham khảo trong quá trình bồi dưỡng học sinh

giỏi về dạng toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ.

PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI :

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn

luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì,

tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lô gíc cho học sinh.

Trong chương trình toán học ở bậc THCS các bài toán về phương trình giữ vai

trò quan trọng, nó rèn cho học sinh kỹ năng phân tích tổng hợp, tư duy sáng tạo, tính

độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực tư duy và sự linh

hoạt trong giải toán.

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Là giáo viên giảng dạy môn toán lớp 9; giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán

lớp 9 tôi nhận thấy: “Bài toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ, bất

đẳng thức” thường gặp nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào

THPT.

Các bài toán về phương trình khá đa dạng, để phân dạng và tìm ra phương pháp

giải cho từng dạng bài toán giải phương trình. Nhằm trang bị cho các em học sinh một


3

số phương pháp kỹ năng cơ bản khi giải các bài toán về phương trình bậc cao và

phương trình vô tỷ. Do đó tôi đã đi sâu nghiên cứu chuyên đề này.

Qua thực tiễn bồi dưỡng học sinh giỏi với đối tượng học sinh trường THCS Hương

Vỹ – Yên Thế khi chưa áp dụng đề tài để hướng dẫn các em học tập nghiên cứu dạng

toán này hầu hết các em đều lúng túng, gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết các

bài toán dạng này. Cụ thể khảo sát với 10 học sinh trong câu lạc bộ toán 9 nhà trường

về toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ cho thấy kết quả còn rất nhiều

hạn chế:

Xếp loạiTrước khi áp dụng đề tài

Số lượng Phần trăm

Giỏi 0 0%

Khá 2 20%

Trung bình 5 50%

Dưới trung bình 3 30%

Chương II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

A. KIẾN THỨC PHƯƠNG TRÌNH:

I- phương trình và nghiệm của phương trình :

1. Hai biểu thức chứa biến, nối với nhau bởi dấu “=” lập thành một phương trình. Giá

trị của biến làm cho phương trình trở thành một đẳng thức đúng được gọi là nghiệm

của phương trình.

- Biến trong phương trình được gọi là ẩn.

- Mỗi biểu thức được gọi là vế của phương trình.

- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Một phương trình có thể có 1, 2, 3...nghiệm; có thể vô số nghiệm, cũng có thể

không có nghiệm nào (vô nghiệm).

3. Định nghĩa hai phương trình tương đương:


4

- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

- Hai phương trình vô nghiệm cũng được gọi là tương đương.

4. Tập xác định của phương trình: là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức

trong phương trình có nghĩa.

II- Các phép biến đổi tương đương của phương trình:

*Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của một phương trình thì ta

được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

*Hệ quả 1: Nếu chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một phương trình, đồng

thời đổi dấu của hạng tử ấy thì ta được một phương trình mới tương đương với

phương trình đã cho.

*Hệ quả : Nếu xóa hai hạng tử bằng nhau ở hai vế của một phương trình thì ta được

một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

*Định lí 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì ta được một

phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

B /DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO:

I / PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN :

1 . Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn :

- Định nghĩa phương trình bậc nhât một ẩn :Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa

biến x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau .

- Biến x được gọi là ẩn

- Giá trị tìm được cuả ẩn gọi là nghiệm

- Mỗi biểu thức là một vế của phương trình .

- việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình .

2 . Cách giải :

- Phương trình tổng quát : ax + b = 0 ( ) (1)

- Dùng phép biến đổi tương đương, phương trình (1) trở thành :

ax = - b x = - b/a


5

Phương trình này có nghiệm duy nhất : x = (a 0)

II / PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ MỘT ẨN SỐ

1/ Định nghĩa : Phương trình bậc hai có một ẩn số có dạng :

ax 2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn số ; a, b ,c, là các hệ số ; a

- Nghiệm của phương trình là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của

phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0 .

2 / Cách giải phương trình bậc hai :

- Khi nghiên cứu về nghệm số của phương trình bậc hai ta cần đặc biệt quan tâm đến

biệt số của phương trình = b2 - 4ac ( gọi là biệt thức của phương trình bậc hai).

- Ta thấy có các khả năng sau xảy ra

a) < 0 phương trình bậc hai vô nghiệm

b) =0 phương trình bậc hai có nghiệm kép : x = x =

c) > 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x = ; x =

- Đặc biệt khi b chẵn: b= 2b ( b’ Z ) Ta có thể tìm nghiệm số của phương trình

bậc hai qua biệt số thu gọn ’ = b’ 2 – ac

- Về số nghiệm số của phương trình bậc hai xét theo biệt số ’ cũng như ở phần trên

a) ’ < 0 phương trình bậc hai vô nghiệm

b) ’ = 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)

x =x =

c) ’ > 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x = ; x =

3-Chú ý :

- Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c < 0 thì phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt

(vì a.c < 0 => b2 - 4ac > 0 hay > 0 )


6

- Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trường hợp

có nghiệm ( 0 ) ta có thể dùng định lí Vi- ét để tính nhẩm nghiệm

Định lí Vi- ét cho phương trình bậc hai được phát biểu như sau :

Định lí Vi- ét : Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (1) (a ) có hai

nghiệm là : x thì tổng và tích hai nghiệm là :

S = x = ; P = x =

Cách nhẩm nghiệm :

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có các nghiệm là

+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có các nghiệm là

- Nhờ có đình lí Vi- ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình có dạng

đặc biệt . Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài toán biện luận về số

nghệm của phương trình bậc hai

- Sau khi dạy về định lí Vi -ét tôi cho HS giải các phương trình bậc hai qua lược đồ

sau :


7

< 0

=0 > 0

=0

=0 Tính a+b+c Phương trình có 2 nghiệm x

Tính a-b+c phương trình (1) có hai nghiệm là x

Tính

a =Xác định b= c =

a x 2 + bx +c = 0 ( a )

Ví dụ : Giải các phương trình sau

a , 3x2 + 5x + 4 = 0

= 25 – 4. 3 . 4 =25 - 48 = - 23 <0

Vậy phương trình vô nghiệm

b , x2 + 2 x + 10 = 0

= (2 )2 – 4.10 = 0 nên phương trình có nghiệm kép

x = x = =

c , 3x2 + 5x - 1 = 0

= 52 - 4 . 3 .(-1) = 25 + 12 = 37 > 0

Vậy PT có hai nghiệm là : x = ; x =

d/ Giải phương trình (1)

- Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành

TXĐ: hay x 3và x - 3

MTC : (x – 3 ) ( x + 3)

- Khử mẫu ta được phương trình x 2 - 3x + 6 = x + 3

- Chuyển vế : x 2 - 3x + 6 – x – 3 = 0

x2 – 4x + 3 = 0 (2)

Vì a + b + c = 1 +(- 4) + 3 = 0

Nên x1 = 1 ; là hai nghiệm của phương trình trung gian


8

phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:

x = ; x =

phương trình (1) có nghiệm kép là

phương trình (1) vô nghiệm

- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộc

TXĐ của (1) hay không ? ở đây ta nhận thấy x1 = 1 thoả mãn điều kiện , x2 = 3

không thoả mãn điều kiện

- Do đó ta mới kết luận nghiệm của phương trình (1) là x = 1

4/ Nhận xét :

- Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều ở THCS

- Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau :

+ Tìm TXĐ của phương trình

+ Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏ

những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền xác định )

III/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA MỘT ẨN

1/ Phương trình bậc ba dạng tổng quát :

ax3 + bx2 + cx + d = 0

( trong đó x là ẩn ; a, b, c, d là các hệ số ; a 0 )

2/ Cánh giải :

+ Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích Vế trái là

tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, vế phải bằng 0. Muốn làm tốt việc

này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành

thạo

3/ Ví dụ : giải phương trình a) x3 + 5x2 + 5x + 1 = 0 (1)

Giải

Phân tích vế trái thành nhân tử ta có

VT= (x3 + 1) + (5x2 + 5 )

=(x3 + 1) + 5x (x + 1)

=(x +1)(x2 –x + 1) +5x(x + 1)

=(x + 1)[(x2 - x + 1) + 5x ]

=(x + 1) (x2 + 4x + 1)

Vậy phương trình đã cho (x + 1) (x2 + 4x + 1) = 0


9

Giải ra ta được

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 = - 1 ;

*Cách khác: (Nhận xét: Vì tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ: 1 + 5 =

5 + 1 nên phương trình (1) có x = - 1 là một nghiệm).

phương trình (1)

Từ đó giải ra ta được

b) (2)

Nhận xét: Vì 2 – 8 + 11 – 5 = 0 nên phương trình (2) có nghiệm x = 1

phương trình (2)

phương trình (3) vô nghiệm.

Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm x = 1.

c) (4)

Nhận xét: Phương trình (4) không nhẩm được nghiệm hữu tỉ. Ta đưa phương trình (4)

về phương trình tích để giải như sau: phương trình (4)

Phương trình (5) vô nghiệm

Vậy phương trình (4) có nghiệm


10

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau

a) (ĐS: 1; 2 ; 3)

b) (ĐS: )

4/ Nhận xét :

Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà

chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng

phương trình tích

- Chú ý : Tính chất của phương trình bậc ba : a x3 + bx2 + cx +d =0 (a 0 )

+ Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

+ Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = - 1

Khi đã nhận biết được một nghiệm của phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành

nhân tử.

- Phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm

nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (ĐL sự tồn tại nghiệm

nguyên của phương trình nghiệm nguyên ).

- Nếu phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3 thì 3

nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:

x1+x2+x3 = -

x1x2+ x2x3 +x1x3 =

x1x2x3 = -

IV/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 MỘT ẨN.

1/ Dạng: Phương trình trùng phương:

a) Dạng tổng quát :

Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : ax4 + bx2 + c = 0 (1)

Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 )

b) cách giải :

Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

11

x2 = t (t 0) (2)

Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian : at 2 + bt

+ c = 0 (3)

Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta được

phương trình bậc ba với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm của phương

trình trùng phương ban đầu

c) Ví dụ : Giải phương trình sau

a) 4x4 – 109x2 + 225 = 0 (1)

Giải:

Đặt x2 = t (t 0) phương trình (1) trở thành

4t2 – 109t +225 = 0 (2)

Giải phương trình (2) được nghiệm là: t1 = ; t2 = 25

Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0

+ Với t1 = ta có x2 = => .

+ Với t2 = 25 ta có x2 = 25 => x3 = 5 ; x4 = - 5

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là :

x1= 3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4 = - 5

b) (3)

Đặt x2 = t (t 0) phương trình (3) trở thành

3t2 + 5t – 8 = 0 (4)

Giải phương trình (4) được nghiệm là

+ Với t1 = 1 ta có x2 = 1 => .

+ Với không thỏa mãn điều kiện t 0

Vậy phương trình (3) có 2 nghiệm là :


12

d) Nhận xét :

* Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :

- Phương trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm .

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm .

- Phương trình trùng phương có một nghiệm khi : Phương trình bậc hai trung gian có

nghiệm duy nhất.

- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương .

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm và

một nghiệm dương .

- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm trong

đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.

- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian có hai

nghiệm dương phân biệt .

2/ Dạng: Phương trình

Phương pháp: Chia cả hai vế cho (vì x = 0 không là nghiệm), phương trình trở

thành: Đặt

VD: Giải PT

HD: Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình , nên ta chia cả hai vế cho

ta được phương trình

Đặt ta được phương trình ẩn t là:

Từ đó giải ra t và tìm được nghiệm phương trình là:

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a) (ĐS: )


13

b) (ĐS: )

V / MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO KHÁC

1/ Phương trình tam thức

Phương trình tam thức dạng : ax2n + bxn + c = 0 (1)

(a, b, c là các số thực ; n nguyên dương ; n ; a 0 )

- Nếu a, b, c đồng thời khác không và n = 2 thì phương trình (1) là phương trình

trùng phương đã nghiên cứu ở trên

- Xét trường hợp n>2

- Ta đặt xn =t

- Để tìm nghiệm của (1) ta giải hệ sau :

Ví dụ : Giải phương trình x6 – 9x3 + 8 = 0 (1)

Cách 1: Đặt x3 = t ta có phương trình

t2 – 9t + 8 = 0 có nghiệm t1 =1 ; t2 =8

-Với t1 =1 <=> x3 =1 <=> x=1

-Với t2 =8 <=> x3= 8 <=> x=2

Cách 2 : Đưa về phương trình tích

(1) <=> (x6 – x3) –( 8x3 – 8 ) = 0

Biến đổi ta được phương trình ( x3 – 1 ) (x3 – 8 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 ; x = 2

2/ Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)

Phương trình đối xứng bậc lẻ (bậc 5) có dạng :

ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0

* Ví dụ : Giải phương trình 2x5 + 3x4 – 5x3 – 5x2 + 3x + 2 = 0


14

Phương tình này có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của

các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x= - 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng

( x + 1) (2x4 + x3 – 6x2 + x + 2 ) = 0

Ngoài nghiệm x = -1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình

2x4 + x3 – 6x2 + x + 2 = 0 (2) là phương trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải

Giải (2) ta được x1 = x2 = 1 ; x3 = - 2; x4 = - 0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = x2 = 1 ; x3 = -2 ; x4 = - 0,5 ;x5 = -1

*Nhận xét : Phương trình đối xứng bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1

do đó bằng cách chia cả hai vế phương trình cho x + 1 ta hạ được bậc của phương

trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n

-Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x được đưa về phương trình bậc n đối với

t bằng cách đặt t = x+

- Nếu a là nghiệm của phương trình đối xứng thì 1/a cũng là nghiệm của phương trình

(chính vì thế phương trình đối xứng dù chẵn hay lẻ bậc còn được gọi là phương trình

thuận nghịch bậc chẵn hay bậc lẻ)

3/ Phương pháp giải các phương trình bậc cao đưa được về dạng tích

a-Ví dụ 1: Giải phương trình sau : (1)

HD: Phương trình (1) không thuộc các phương trình đã xét ở trên. Do đó đẻ giải

phương trình này ta đưa về dạng tích bằng cách thêm vào cả hai vế ta được:

Từ đó giải ra kết quả:

b-Ví dụ 2: Giải phương trình

x4 + 4x3 + 3x2 + 2x – 1 = 0 (2)

<=> (x2 + 2x)2 –(x – 1 )2 = 0


15

<=> (x2 + x + 1 )( x2 + 3x – 1 ) = 0

* x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm (Vì = -3 <0 )

* x2 + 3x – 1 = 0 có nghiệm là x1, 2 =

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1, 2 =

4/ Phương pháp giải các phương trình bậc cao đưa về lũy thừa cùng bậc:

Ví dụ: Giải phương trình : (1)

Giải: phương trình (1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : .

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a) (ĐS: )

b) cộng hai vế với (ĐS: )

c- Nhận xét :

- Đối với các phương trình bậc cao không thuộc dạng đã nêu trên . Thì cách giải thích

hợp nhất đối HS ở THCS là tìm cách đưa phương trình về dạng tích đối vế trái và vế

phải bằng 0. Như vậy các phương trình thường được đưa về tập các phương trình bậc

nhất hoặc bậc hai.

- Số nghiệm của các phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của các phương trình

con tương đương.

Chương III: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I- Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở

rộng để giải phương trình vô tỷ:


16

1. Các tính chất của lũy thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hóa các tính chất của lũy thừa bậc

chẵn và lũy thừa bậc lẻ.

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức.

3. Các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối.

4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn, cách giải hệ

phương trình.

5. Bổ xung các kiến thức để giải các phương trình vô tỷ đơn giản.

* = * *

II- Các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỷ.

1/Phương pháp 1: Nâng lên lũy thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình (thường

dùng khi 2 vế có lũy thừa cùng bậc).

*Ví dụ 1: Giải phương trình:

(1)

+ Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên

hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn. Vì vậy giáo viên cần phân tích

kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của

lũy thừa bậc 2 là: a = b a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu ).

Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương

trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.

Ở phương trình (1), VP 0, nhưng chưa chắc VT đã không âm. Vì vậy ta nên chuyễn

vế đưa về phương trình có 2 vế cùng không âm.

(1)

Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế:

(*)

Đến đây học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương hai vế ngay mà không để ý xem

hai vế đã cùng dấu hay chưa.


17

và trả lời phương trình (*) có hai nghiệm :

Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm:

+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không

đối chiếu điều kiện ở (1): ĐK: vì vậy không phải là nghiệm của PT (1).

+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện vậy

không là nghiệm của PT (1) .

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp phải, từ đó tôi cho học sinh tìm ra

cách gải đúng và không phạm sai lầm như đã phân tích.

Tìm ĐKXĐ:

Sauk hi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt them điều kiện vậy x cần thỏa

mãn hai ĐK: nên phương trình (1) vô nghiệm.

Bài tập tương tự : Giải phương trình

a) (ĐS: x = 13) b) (ĐS: x = -1)

Ví dụ 2: Giải phương trình. (2)

Ở phương trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc ba nên nghĩ đến việc lập

phương hai vế:

*Chú ý:+ ở căn bậc lẻ có nghĩa với nên không cần đặt điều kiện

+ Ở lũy thừa bậc lẻ: a=b a2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu của hai vế.

Giải: Lập phương hai vế ta được:

(**)

Đến đây có thể học sinh lung túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức

tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:

( a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = a3 + b3 + 3ab(a + b)


18

Vậy (**) có thể viết : (I)

(đến đây thay vào phương trình ) ta được:

( II)

Gải ra: thay lại vào phương trình đã cho ta thấy nghiệm đúng, nên đó là 2

nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy (2) có nghiệm

+ Ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một

cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.

Bài tập tương tự : Giải phương trình :

a) (ĐS: -6; -5; )

b) (ĐS: -3; 4)

c) (ĐS: -1)

2/Phương pháp 2: Phương pháp đưa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

*Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết dưới

dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức: để làm mất

dấu căn đưa về PT đơn giản.

Ví dụ: Giải phương trình : (3)

HD: ĐK:

PT (3)

+ Nếu x>2 phương trình không thuộc khoảng đang xét.

+ Nếu phương trình pt vô số nghiệm với

Bài tập tương tự: Giải phương trình

a) (ĐS: )

b) (Nhân 2 vế với thì trong căn xuất hiện hằng đẳng

thức)

Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ:GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

19

Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc, phương pháp đặt ẩn

phụ có thể dung để giải được rất nhiều phương trình .

Ở phương pháp này dung cách đặt ẩn phụ để đưa pt vô tỷ về dạng đơn giản.

Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ.

+ Đặt 2 ẩn phụ.

+ Đặt nhiều ẩn phụ.

1) Cách đặt 1 ẩn phụ:

C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa pt về pt có một ẩn là ẩn phụ đã đặt. Giải pt tìm ẩn

phụ, từ đó tìm ra ẩn chính.

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 +6x+12+ =9 (4)

- Nhận xét: + Ở pt này nếu bình phương hai vế sẽ đưa về một pt bậc 4 mà việc tìm

nghiệm là rất khó.

+ Biểu thức trong và ngoài dấu căn có mối lien quan:

2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8

Hướng dẫn giải: Đặt ẩn phụ là y=

+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2 có thể giải được nhưng với những bài

toán mà biểu thức trong dấu căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có

thỏa mãn ĐK hay không.

Giải: ĐK: x2+3x + 2 x+1) (x+2) Đặt :

=y

phương trình (4) 2y2+y+8=9 2y2+y -1=0

Giải ra: y1=1/2 ( Thỏa mãn ĐK); y2=-1( Loại)

Thay vào: =1/2 x2+3x+2=1/4 Giải ra: x1= ; x2=

Đối chiếu với ĐK: x= thỏa mãn nghiệm của phương trình (4)

Ví dụ 2: Giải phương trình :

Hướng dẫn: ĐK:

Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương trình :GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

20

Đặt : Ta có pt: (I)

Giải (I) tìm a từ đó tìm ra x.


HD: ở bài toán này ta tìm mói lien hệ các biểu thức bằng cách đặt:

Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong pt để đưa về pt ẩn u.

Giải: ĐK : -1 ;C1: Đặt:

+ Nếu : thỏa mãn) (thỏa mãn ĐK)

Giải ra: loại); (thỏa mãn ĐK)

Vậy là nghiệm của (5)

c2: Ở bài toán này có thể đặt : ;

Đưa về hệ phương trình:

C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ giữa

ẩn chính và ẩn phụ.

Ví dụ 4: Giải phương trình : (6)

*Nhận xét: Nếu bình phương hai vế phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô tỷ. Vì

vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa được về phương trình chỉ chứa một ẩn. Hãy

tìm cách đưa về một hệ pt có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa ẩn

chính và ẩn phụ từ đó đưa về pt đơn giản.

Giải: ĐK: Đặt: ;Ta có HPT:GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

21

Đây là hpt đối xứng:

+ Nếu x=y ta có pt: giải ra (thỏa mãn ĐK)

+ Nếu 1-x=y ta có pt: giải ra: ( thỏa mãn ĐK)

Vậy pt (6) có 2 nghiệm

Ví dụ 5: Giải phương trình:

Cách 1: Đặt ta có hpt

giải ra

từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp.

Chú ý: Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hpt đối

xứng.

Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc:

Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1.


a) ; HD: Đặt ẩn phụ ta có hpt :

b) ; HD : Đặt ẩn phụ:

c)

2) Đặt 2 ẩn phụ:

Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đưa pt về hpt 2 ẩn phụ, giải hpt tìm ra ẩn phụ, từ

mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đưa về pt đơn giản.

Ví dụ 1: Giải phương trình : (7)

Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc hai và căn bậc 3 nên việc nâng lũy thừa 2 vế để làm

mất dấu căn là rất khó.GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

22

+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2 – x + x – 1 = 1 (hằng số)

+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đua về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải.

Giải: ĐK: Đặt:

Ta có hpt: giải ra

Từ đó: ( thỏa mãn ĐK)

Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm:


HD: Đặt ; Ta có hpt:

Giải ra: a = 1; b = 1 ; từ đó tìm ra nghiệm x = 3

Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:

Ta thường đặt: Khi đó ta có hệ phương trình :

hoặc

Giải hệ phương trình này tìm ra u, v sau đó tìm ra x

Ví dụ 3: : Giải phương trình :

(9)

*Nhận xét: Nếu lập phương 2 vế thì cũng rất phức tạp vì không đưa được về dạng a.b

= 0 như ở phương trình (2)

. Nên có thể đặt 2 ẩn phụ

Giải: Đặt

(9) trở thành: Giải ra:

Vậy ta có:

Vậy (9) có nghiệm x = 0

Bài tập tương tự: Giải phương trình :

a) b)


23

Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hpt thì ta

có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ, thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đưa về pt đơn

giản. Như các ví dụ sau:

Ví dụ 4 : Giải phương trình :

(10)

*Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của pt sẽ đưa về pt bậc 4 rất khó giải:

Hướng dẫn:

+ Nhận xét gì về biểu thức ?

Có dạng HĐT: x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)

+ Tìm mối quan hệ giữa x2 + 2 và x3 + 1

x2 + 2 =(x2- x + 1) + ( x + 1)

Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: và tìm mối quan hệ a, b từ đó tìm x.

Giải:ĐK :

Đặt

Ta có: a2 = x + 1 ; b2 = x2 – x + 1 ; x2 + 2 = a2 + b2

Phương trình đã cho trở thành:

* Với a= 2b ta có:

( Thỏa mãn điều kiện)

+ Với b=2a Ta có: . Từ đó tìm ra x.

(Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng. Vì vậy

trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phương pháp giải phù hợp).



24

HD: Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:

Đặt: ;

Ta có phương trình :

Giải ra: ; Giải ra: x=0


HD: Biến đổi

Mối liên hệ: ;

Đặt:

Ta có phương trình:

Từ đó tìm a, b và tìm được x.

BT Tương tự: Giải phương trình

a)

b)

Hướng dẫn: Nhận xét:

Đặt:

Nên ta có phương trình:

Đặt: u + v = t. Ta có PT: t2 – t – 20 = 0

Giải ra: Do đó:

Đến đây dùng phương pháp 1 để giải: x= 3

Phương pháp 4: Đưa về dạng: hoặc A.B = 0

Ở phương pháp này ta sử dụng:

A.B = 0


25

Ví dụ1: Giải phương trình :

Giải: Điều kiện:

Giải ra x = -1


*Nhận xét:

+ Ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ từ đó đưa về hệ phương trình

đối xứng:

Từ đó suy ra: rồi giải ra x.

+Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng:

giải ra x = 0


HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: PT trở thành:

Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)

Ngoài ra ta có thể đặt: ; Ta có hệ phương trình :

; Từ đó giải ra a; b và tìm ra x.


a) b)

III/MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các phương trình sau:


26

a) b)

c) d)

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a) b)

c) d)


a) b)

c) d)


1/ 7/

2/ 8/

3/ 9/

4/ 10/

5/ 11/

6/ 12/

CH ƯƠ NG IV . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ®Ó chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc I. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc ñaïi soá - Ñeå chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc coù khi aùp duïng ngay vaø cuõng nhieàu khi phaûi bieán ñoåi baøi toaùn ñeå ñöa veà tröôøng hôïp thích hôïp roài môùi söû duïng. Sau daây laø 3 kyõ thuaät thöôøng gaëp:

Ñaùnh giaù töø veá lôùn sang veá nhoû vaø ngöôïc laïi. Doàn phoái hôïp. Kyõ thuaät nghòch ñaûo.

1. Ñaùnh giaù töø veá lôùn sang veá nhoû vaø ngöôïc laïi . GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

27

Ví duï 1: Cho , a,b RChöùng minh raèng: 2Lôøi giaûi:

Ta vieát a4+b4=

Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopski

(ñfcm)

Ví duï 2: cho

Chöùng minh raèng:Lôøigiaûi:Tö øgiaû thieát ta coù:

B.C.

S

Ví duï 3: cho x,y . Chöùng minh raèng neáu x,y>0 vaø x+y=1 thì

Lôøi giaûi:

Ta söû duïng

Khi ñoù ta coù:

maø


28

vaäy

2. Kyõ thuaät doàn phoái hôïpVí duï 1: Cho 3x-4y=7 Chöùng minh raèng: Lôøi giaûi:Ta vieátVí duï 2: Cho a,b,c,p,q laø 5 soá döông tuøy yù. Chöùng minh raèng

Lôøi giaûi

Goïi S laø veá traùi ta coù: (2)

Maø (3)

Vì (3)

Töø (2), (3)

(ñpcm)

Ví duï 3:

Cho Chöùng minh raèng: 222222

zyxyxz

xzy

zyx

(1)

Lôøi giaûi : Xeùt hai daõy soá: vaø

Ta coù: (2)

Xeùt hieäu


29

(3)

Töø (2), (3) suy ra ñpcm

3. Kyõ thuaät nghòch ñaûo

Daïng 1

Chöùng minh:

Ta vieát

Ví duï Chöùng minh raèng (1)

Lôøi giaûi

Ta coù 2222

)()()()( cbaba

cac

bcb

abaaccb

2)(2)( 2222 cbacba

cbaba

cac

bcb

a

Ví duï 2 Chöùng minh raèng

(1)

a,b,c laø ñoä daøi caïch cuûa ABCLôøi giaûi

Ví duï 3: Chöùng minh raèng


30

(1)

Lôøi giaûi:

Theo baát ñaúng thöùc B.C.S :

Maët khaùc ta coù:

2)(2))(()1(

222222 cbacabcab

cabcabcbaVT

Daïng 2

Chöùng minh: Theo baát ñaúng thöùc B.C.S ta coù:

Ví duï 1 Chöùng minh raèng

Lôøi giaûi:Ta vieát

(Ñpcm)

Ví duï 2: Chöùng minh raèng:

Lôøi giaûi:

Ta coù

Ta seõ chöùng minh 2)(23)32( dcbadcba

0)()()()()(

)(3)(222222

2222

dccbdacaba

dcbacdbdbcadacab

II. Sö dông bÊt ®¼ng thøc BUNHIACOPSKI ®Ó gi¶ng c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè :


31

Söû duïng keát quaû:a. Neáu , C laø haèng soá thì

Daáu “=” xaåy ra khi

b. Neáu thì

Daáu “=”xaåy ra khi

Ví duï 1: Cho tìm Lôøi giaûi:

Ví duï 2: Cho Tìm Max, Min cuûa A=(y-2x+5)Lôøi giaûi:Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacopski ta coù:

Ví duï 3: cho x,y, z thoûa maõn xy+yz+zx=4 Tìm MinA bieát A=x4+y4+z4 Lôøi giaûi: Töø giaû thieát 42=(xy+yz+zx)2 (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2)Suy ra: (x2+y2+z2)2 42


32

Ví duï 4: Cho x,y,z thoûa maõn x,y,z vaø x+y+z=1. Tìm MaxA bieát

Lôøi giaûi: Theo B.C.S ta coù

Ví duï 5: cho

Tìm Max (x+v)Lôøi giaûi: Aùp duïng baát ñaúng thöùc B.C.S ta coù:

Maët khaùc

, ,

Ví duï 6: Tìm caùc caëp soá (x,y) x,y>0 ñeå

ñaït giaù trò nhoû nhaát. Tìm giaù trò nhoû

nhaát ñoù.Lôøi giaûi:

Ñaët , GV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

33

Do C. Moät soá baøi taäp aùp duïng1. Cho (a,b,c). Chöùng minh:

2. Cho a,b,c,d >0 . Chöùng minh raèng:

3. Cho (a,b,c). Chöùng minh raèng:

4. Cho nhoïn. H laø tröïc taâm. Chöùng minh

5. Cho (a,b,c). Chöùng minh:

6. Cho 2 soá x,y thoûa maõn 2x+5y=7Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: a, A=x2+y2 b, B=2x2+5y2 7. Cho x,y,z thoûa maõn x2+y2+z2 =1. Tìm Max = x+2y+3zCho a+b+c=1 vaø veá traùi coù nghóa. Chöùng minh

8. Coù toàn taïi hay khoâng 3 soá: a 1, b 1, c 1 thoûa maõn ñieàu kieän:

9. Cho x, y, z 0 thoûa maõn ñieàu kieän x+y+z=1 . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc bieåu thöùca, A=x2+y2+z2

b, B=x4+y4+z4


34

10. Cho: a, b,c vaø a+b+c=3 . Chöùng minh:

11. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: Trong ñoù x 0, y 0, z 0, x+y+z=1.12. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá:f(x,y)=2Trong ñoù x 0, y 0,

PHẦN III :KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi sau khi dạy học sinh giải các bài

toán bồi dưỡng học sinh giỏi về “Giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ ”.

Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sau khi áp dụng chuyên đề trên thì:

+ Các em đã biết phân dạng và nhận biết được các dạng bài toán về “Giải

phương trình” một cách đúng đắn và chính xác.

+ Các em không còn ngần ngại khi thực hiện những dạng toán này.

+ Thông qua đánh giá trong quá trình ôn tập và kết quả thi thì đa số các em đã

biết phương pháp giải và giải tốt dạng toán này. Kết quả cụ thể khi khảo sát lại 10 em

học sinh lúc đầu sau khi áp dụng đề tài.

Xếp loạiTrước khi áp dụng đề tài Sau khi áp dụng đề tài

Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm

Giỏi 0 0% 3 30%

Khá 2 20% 6 60%

Trung bình 5 50% 1 10%

Dưới trung bình 3 30% 0 0%

Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề, mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng

dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy, hướng giải quyết và phát triển bài toán.


35

Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp

cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề. Và tôi tin chắc rằng toán học

sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh yêu thích.

Tuy nhiên đã rất cố gắng trong việc nghiên cứu nhưng do thời gian và kinh

nghiệm còn hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót khi viết chuyên đề này. Tôi rất

mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp, bạn đọc để chuyên

đề này hoàn chỉnh hơn nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người thực hiện

Trần Thị Huyền


36

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT Tên tài liệu Nhà xuất bản Tên tác giả

1

2

3

4

5

Bài tập nâng cao và một số chuyên

đề toán 8, 9

Nâng cao và phát triển toán 8,9

Sách giáo khoa toán 8, 9

Tài liệu chuyên toán THCS 8,9

Tài liệu tham khảo trên internet

NXB Giáo Dục

NXB Giáo Dục

NXB Giáo Dục

NXB Giáo Dục

Bùi Văn Tuyên

Vũ Hữu Bình

Phan Đức Chính

Vũ Hữu Bình

MỤC LỤC

Mục lục

Phần I –Mở đầu

I-Lý do chọn đề tài

II-Mục đích nghiên cứu

III- Nhiệm vụ nghiên cứu

IV- Đối tượng và phạm vi nghiên cứuGV: Trần Thị Huyền Trường THCS Hương Vỹ - Yên Thế - Bắc Giang

37

V-Phương pháp nghiên cứu

VI-Những đóng góp của đề tài

Phần II- Nội dung nghiên cứu và kết quả

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài

I-Cơ sở lí luận của đề tài

II-Cơ sở thực tiễn của đề tài

Chương II: Phương trình bậc cao

A-Kiến thức phương trình

B- Dạng toán và phương pháp giải phương trình bậc cao

I/. Phương trình bậc nhất một ẩn

II/. Phương trình bậc hai một ẩn

III/. Phương trình bậc ba một ẩn

IV/.Phương trình bậc bốn một ẩn

V/.Một số dạng phương trình bậc cao khác

Chương III: phương trình vô tỷ.

I/.Hệ thống hóa kiến thức

II/.Các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỷ

III/.Một số bài tập đề nghị

Chương IV: Bất đẳng thức Bunhiacopski PHẦN III: Kết luận và kiến nghị

Danh mục tài liệu tham khảo


38

PhÇn I · Web view2019/04/16 · - Xây dựng cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải...

Documents

Transcript of PhÇn I · Web view2019/04/16 · - Xây dựng cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải...