Phần 1: Giải tích Fourier - hcmut.edu.vndqtuan/Toan KT/Chuong 1_1.pdf1.1 Hàm tu ần hoàn...

Phần 1: Giải tích Fourier

Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014

Chương 1 : Chuỗi Fourier

Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier

1

Chương 1 Chuỗi Fourier


1.1 Hàm tuần hoàn 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier 1.4 Khai triển bán kỳ 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier 1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier

2

1.1 Hàm tuần hoàn


Định nghĩa 1.1hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho

f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)

T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn ) Phân loại: f(t) tuần hoàn sin f(t) tuần hoàn không sin

3

Ví dụ

Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 4


1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn

00 0

1( ) ( cos sin )

2 n nn

af t a n t b n tω ω+∞

=

= + +∑

Vôùi : n = 1,2 …ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûna0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .

Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :

Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh2 2

0 0

2 2

2

0 0

2

2

0 0

2

2

0 0

2

cos( ) sin( ) 0 ,

cos( )sin( ) 0 ,

0cos( )cos( )

20

sin( )sin( )2

T T

T T

T

T

T

T

T

T

m t n t dt m n

m t n t dt m n

m nm t n t dt T m n

m nm t n t dt T m n

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

− −

−

−

−

= = ∀

= ∀

≠=

=≠

= =

∫ ∫

∫

∫

∫

Caùc heä soá khai trieån Fourier


2

0

2

2 ( )T

T

a f t dtT

−

= ∫

2 2

0 0

2 2

cos( ) sin( ) 0 ,T T

T T

m t n t dt m nω ω− −

= = ∀∫ ∫



00 0

1( ) ( cos sin )

2 n nn


=

= + +∑

2

0

2

2 ( ) cos( )T

nT

a f t n t dtT

ω−

= ∫



00 0

1( ) ( cos sin )

2 n nn


=

= + +∑2

0 0

2

2

0 0

2

cos( )sin( ) 0 ,

0cos( )cos( )

2

T

T

T

T

m t n t dt m n

m nm t n t dt T m n

ω ω

ω ω

−

−

= ∀

≠=

=

∫

∫

2

0

2

2 ( )sin( )T

nT

b f t n t dtT

ω−

= ∫



00 0

1( ) ( cos sin )

2 n nn


=

= + +∑2

0 0

2

2

0 0

2

cos( )sin( ) 0 ,

0sin( )sin( )

2

T

T

T

T

m t n t dt m n

m nm t n t dt T m n

ω ω

ω ω

−

−

= ∀

≠=

=

∫

∫

● nếu f liên tục tại t.

● nếu f gián đoạn tại t.

Điều kiện tồn tại


Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet)

Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng IThì chuỗi Fourier của f hội tụ về :

( )f t1 ( ) ( )2 k kf t f t+ − +

Ví dụ tìm chuỗi Fourier


a) Xác định chuổi Fourier ?b) Kiểm lại dùng MATLAB ?

Giải

Chu kỳ và tần số cơ bản:

Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2,

1

3 4 2 3 4 2( ) 1 sin cos 1 cos sin3 3 3 3n

n n t n n tf tn n

π π π ππ π

∞

=

= + + − ∑


pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1;w0 = 2*pi/T;t = linspace(0,2*T,600);for n=1:N

a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3);b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));

endfor i=1:length(t)

f(i) = a0;for n=1:length(a)

f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i));

endendplot(t,f,'black');xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');




Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau

2

0 0) ( ) ; 2

sin 0

) ( ) 4 2 2 ; 4

ta f t T

t t

b f t t t T

ππ

π− ≤ ≤

= = ≤ ≤= − − ≤ ≤ =

21

1

2 21

1 sin 2 cos 2) ( )2 4 1

8 16 ( 1)) ( ) cos3 2

nn

n

t nta f tn

n tb f tn

π ππ

π

+∞

=

++∞

=

= + −−

−= +

∑

∑ Kết quả

1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier

Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0 Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0


Bước nhảy của một hàm:

Định nghĩa :Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk

+) – f(tk-)

a bt2t1

f(a+)

f(t1-)f(t1+)

f(t2-)

f(t2+)

f(b-)

t

f(t)

Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier


Định lý 1.2:

Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichletvà có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạnt1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:

( n = 1, 2, … ) ( bn’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)

'0

10

1 1 sin( )m

n n k kk

a b J n tn n

ωω π =

−= − ∑

Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier


Định lý 1.3:

Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichletvà có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạnt1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:

( n = 1, 2, … )

( an’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)

'0

10

1 1 cos( )m

n n k kk

b a J n tn n

ωω π =

= + ∑

Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp


Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà định nghĩa trong 1 chu kỳ là

1 2 10 1 0

( )1 0 10 1 2

tt

f ttt

− − < < − − < <= < < < <

-2 -1 0 1 2

1

-1

f(t)

t


Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk


-2 -1 0 1 2

1

-1

f(t)

t -2 -1 0 1 2

f'(t)

t

k 1 2 3 4tk -2 -1 0 1Jk -1 1 1 -1

f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0



k 1 2 3 4tk -2 -1 0 1Jk -1 1 1 -1

'0

10

'0

10

'

'

1 1 sin( )

1 1 cos( )

2 1 ( 2) ( 1) (0) (1)( 1)sin (1)sin (1)sin ( 1)sin2 2 2 2

2 1 ( 2) ( 1) (0)( 1)cos (1)cos (1)cos ( 1)cos2 2 2

m

n n k kk

m

n n k kk

n n

n n

a b J n tn n

b a J n tn n

n n n na bn n

n n nb an n

ωω π

ωω π

π π π ππ π

π π ππ π

=

=

−= −

= +

− − − = − − + + + − − −

= + − + + + −

∑

∑

(1)2

nπ



2 sin ( 2 1)2

2 ( 2 1)

n

n

na n kn

b n kn

ππ

π

= = +

= = +

Đối với a0 ta tính trực tiếp1 1

02 0

1 ( 1) (1) 02

a dt dt−

−

= − + =

∫ ∫

Chuỗi Fourier của f(t) là :

12 1

2 1( ) sin cos sin2 2 2n

n k

n n t n tf tn

π π ππ

+∞

== +

= + ∑



Xác định f’(t), tk và Jk:

Xác định các hệ số chuỗi Fourier dùng công thức lặp ?

Giải0

10

π 2π

f(t)

0

T

π 2π

f’(t)

0

T

t1

10

π 2πt2

f(t) tk t2 = πt1 = 0

Jk 10 – 10



Xác định các hệ số chuỗi Fourier dùng công thức lặp ?

Giải0

10

π 2π

f(t)

Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0

0

1 ( ) 52

Ta f t dtT

= =∫

1n nπa [10.sin(0) 10sin( )] 0nπ= − − =

1 20(n:odd)n nπ nπb [10.cos(0) 10cos( )]nπ= − =



Sóng vuông

1 01

2 1

4( ) sin( )n

n k

Af t n tn

ωπ

+∞

== +

= ∑

( )

( )

/2/20

00

2

0 0

1

cos( )4sin( )

2 cos( ) 1 4

4TT

n

n k

n tAb A n t dtT T n

A n An n

ωω

ω

ππ π = +

−= =

− += =

∫

f1A

-A

T/2-T/2 T

f1(t) hàm lẻ

Ví dụ tìm chuỗi FourierSóng tam giác f2(t) hàm lẻ

f2A

-A

T/2-T/2 TT/4

-T/4

2 022 21

2 1

8( ) sin( )sin( )n

nn k

Af t n tn

π ωπ

+∞

== +

= ∑

24Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014

Ví dụ tìm chuỗi FourierSóng răng cưa

3 01

2( ) cos( )sin( )n

Af t n n tn

π ωπ

+∞

=

−=∑

f3(t) hàm lẻ

f3A

-A

T/2-T/2 T

25Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014



0 02( )

sin 02

T tf t

TA t tω

− ≤ ≤= ≤ ≤

Chỉnh lưu bán kỳA

T/2 T-T/2

f4

4 0 022

( 2 )

2 2( ) sin( ) cos( )2 1n

n k

A A Af t t n tn

ω ωπ

+∞

==

= + +−∑



( ) sinf t A tω=

Chỉnh lưu toàn kỳA

T 2T-T

f5

Tần số cơ bản ω0 = ?

Các chuỗi Fourier thông dụng

3 01

2( ) cos( )sin( )n

Af t n n tn

π ωπ

+∞

=

−=∑

f3A

-A

T/2-T/2 T

2 022 21

8( ) sin( )sin( )n

n

Af t n tn

π ωπ

+∞

=

=∑f2

A

-A

T/2-T/2 TT/4

-T/4

1 01

2 1

4( ) sin( )n

n k

Af t n tn

ωπ

+∞

== +

= ∑f1A

-A

T/2-T/2 T

0 01 0

sin(3 ) sin(5 )4( ) sin( ) ...3 5

t tAf t t ω ωωπ

= + + +

0 02 02 2 2

sin(3 ) sin(5 )8( ) sin( ) ...3 5

t tAf t t ω ωωπ

= − + −

0 03 0

sin(2 ) sin(3 )2( ) sin( ) ...2 3

t tAf t t ω ωωπ

= − + − 28

Tổ hợp các khai triển cơ bản


4

1 5-3

f6

21

-13

3

2-2t [s]

-1

f2A

-A

T/2-T/2 TT/4

-T/4

f1A

-A

T/2-T/2 T

Khai triển chẵn lẻ


A

f(t)

-A

T/2-T/2-T T

0 0c

nc

l

n

n n

a aa ab b

===

0( ) ( )( ) ;

2( ) ( )( )

2

c n

l n

c c

l

f t f tf t a a

f t f tf t b

+ −= →

− −= →

Khai triển chẵn lẻ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2c l

f t f t f t f tf t f t+ − − −= =

A

f(-t)

-A

T/2-T/2

A

f(t)

-A

T/2-T/2

A/2

fc(t)

-A/2

T/2-T/2

A/2

fl(t)

-A/2

T/2-T/2

31

Phần 1: Giải tích Fourier - hcmut.edu.vndqtuan/Toan KT/Chuong 1_1.pdf1.1 Hàm tu ần hoàn...

Documents

Transcript of Phần 1: Giải tích Fourier - hcmut.edu.vndqtuan/Toan KT/Chuong 1_1.pdf1.1 Hàm tu ần hoàn...