TNG HP KIN THC C BN VÀ NÂNG CAO
GII TÍCH 12 (Theo chng trình phân ban THPT)
NHÀ XUT BN I HC S PHM
3
LI NÓI U
Tip theo “Tng hp kin thc c bn và nâng cao Toán 10”, “Tng hp kin thc c bn và nâng cao Gii tích 11” – nhng cun sách c hc sinh, thy cô giáo và các v ph huynh ánh giá tt, chúng tôi biên son cun “Tng hp kin thc c bn và nâng cao Gii tích 12” nhm giúp cho hc sinh lp 12 có thêm iu kin thun li trong hc tp và ôn thi tt nghip THPT và thi i hc, Cao ng.
Cun sách c chia thành hai phn chính:
Phn I : Lí thuyt và bài tp;
Phn II: Li gii - Hng dn - áp s.
Ni dung trên tng ng vi các chng mc ca sách giáo khoa Gii tích 12 phân ban mi.
Phn Lí thuyt và bài tp – gm 4 chng (có bài ôn tp cui mi chng), trong các chng có mc I, II,… mi mc gm 3 ni dung:
A. Lí thuyt cn nh;
B. Các ví d mu;
C. bài tp.
Trong ni dung A. Lí thuyt cn nh: Ngoài các kin thc c bn và nâng cao c tóm tt y , k lng, iu quan trng là còn nêu ra các chú ý, các quy trình và phng pháp gii các bài toán theo tng mc, nhm giúp hc sinh bit cách vn dng gii c các bài tp c th. Trong Các ví d mu là các dng bài toán in hình thng c cp n trong sách giáo khoa, trong các kì thi tt nghip THPT và i hc, Cao ng. ây, chúng tôi trình bày t m, y cách làm và kt qu (áp s) cho tng ví d, qua ây hc sinh nm vng thêm lí thuyt và hoàn toàn có th gii c các bài tp tng t.
Phn Li gii - Hng dn - áp s bao gm các li gii, hng dn gi ý và áp s các bài tp ni dung C. bài tp, nhm giúp cho hc sinh sau khi ã nm vng lí thuyt, tham kho các ví d mu, t gii các bài tp này có kt qu i chiu, so sánh; hoc i vi nhng bài tp khó thì có th tham kho tìm c cách gii phù hp.
4
Ngoài hai phn chính trên, trong cun sách còn có phn “Ôn tp cui nm và ôn thi tt nghip”- mt ln na khái quát li các ni dung c bn nht ca lí thuyt cn nh và các dng bài tp (26 bài), chúng không ch n thun theo tng chng mà nhiu bài mang tính tng hp kin thc ca các chng có liên quan, nhiu bài là các dng bài tp thi tt nghip THPT và thi vào i hc, Cao ng trong nhng nm gn ây.
Chúng tôi mong mun cun “Tng hp kin thc c bn và nâng cao Gii tích 12” s góp phn quan trng giúp hc sinh lp 12 hc tt môn Gii tích, ng thi nó còn là tài liu tin cy cho các v ph huynh có thêm iu kin kim tra, hng dn con em mình hc và thi môn hc này t kt qu cao nht.
Các tác gi
PHN I. LÍ THUYT VÀ BÀI TP
Chng I. NG DNG O HÀM KHO SÁT VÀ V TH CA HÀM S
I. S NG BIN, NGHCH BIN CA HÀM S
A. Lí thuyt cn nh
1. Khái nim hàm s ng bin, nghch bin
Gi s J là mt tp hp nào ó trên (J có th là mt khong (a;b) (có th a = -∞; b = +∞) hoc on [a; b] (a, b u hu hn) hoc các na on (a; b]; [a;b)). Hàm s y = f(x) xác nh trên J c gi là:
a) ng bin (tng) trên J nu vi mi x1, x2 ∈ J mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Khi ó th ca y = f(x) i lên t trái sang phi (H1.1a).
b) Nghch bin (gim) trên J nu vi mi x1, x2 ∈ J mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Khi ó th ca y = f(x) i xung t trái sang phi (H1.1b).
Hàm s ng bin hay nghch bin trên J c gi chung là hàm s n iu.
H1.1a H1.1b
2. Quan h gia tính n iu và du ca o hàm
a) Gi s hàm s y = f(x) có o hàm f'(x) trên tp hp J (gi chung là khong J).
• Nu f'(x) > 0, ∀ x ∈ J thì f(x) ng bin trên J.
• Nu f'(x) < 0, ∀ x ∈ J thì f(x) nghch bin trên J.
• Nu f'(x) = 0, ∀ x ∈ J thì f(x) là hng s trên J.
• Nu f'(x) ≥ 0 (hoc f'(x) ≤ 0) ∀x ∈ J trong ó f'(x) = 0 ch ti mt s hu hn im thuc J thì f(x) ng bin (nghch bin) trên J.
y
6
Vic tìm các khong n iu ca hàm s còn c gi là xét chiu bin thiên ca hàm s.
b) Quy tc xét tính n iu ca hàm s.
• Tìm tp xác nh (TX). .
• Tính y' = f'(x).
• Tìm các im xi ti ó f'(x) bng 0 (tc là gii phng trình f'(x) = 0) hoc ti ó f'(x) không xác nh.
• Lp bng xét du o hàm (hay còn gi là bng bin thiên) gm 3 dòng: dòng trên cùng ghi x, các mc ca tp xác nh và các im xi theo th t tng dn; dòng gia ghi y' và du ca y'; dòng cui cùng ghi y và các mi tên biu th s tng (gim) ca y theo du ca y'.
• T bng này nêu ra các kt lun v khong ng bin, nghch bin ca hàm s.
B. Các ví d mu
Ví d 1: Tìm các khong n iu ca hàm s
y = 5 -2x x 2 3 x
3 1 23 ++
Gii: TX x ∈

x - ∞ -2 -1 +∞
y' + 0 − 0 +
y
Vy hàm s ng bin trên các khong (-∞; -2) và (-1; +∞), nghch bin trên khong (-2; -1).
Ví d 2: Xét s ng bin, nghch bin ca hàm s:
7
+
= ±
x - ∞ -1 0 1 +∞
y' − 0 + 0 − 0 +
y
Vy hàm s ng bin trên (-1; 0) và (1; +∞), nghch bin trên (-∞; -1) và (0; 1).
Ví d 3: Xét chiu bin thiên ca hàm s
y = 5 -x 1 3x +
Gii: TX: \ {5}
Bng xét du o hàm:
x -∞ 5 +∞
⇒ Hàm s nghch bin trên (-∞; 5) và (5 ; +∞).
Ví d 4: Tìm các khong n iu ca hàm s
y = 2x + x 18 .
2
8
x -∞ -3 0 3 +∞
y
Hàm s ng bin trên (-∞; -3) và (3; +∞); nghch bin trên (-3; 0) và (0; 3).
Ví d 4: Xét s ng bin, nghch bin ca hàm s
y = 3 x
m x 2 +
Gii: TX:
3 22 ++
• m < 0 thì y' = 0 ⇔ x = m 3
Bng xét du o hàm:
x -∞ m 3 +∞
∞

∞+ ;
Bng xét du o hàm:
x - ∞ m 3 +∞
∞

∞+ ;
m 3 .
Ví d 5: Tìm giá tr ca m hàm s
y = m x
4 3m mx +
Gii: TX: \{-m}
2 2
+ + =
+ + .
• y' > 0 ∀x ≠ - m ⇔ m2 - 3m - 4 > 0 ⇔ m < - 1 hoc m > 4.
• y' < 0 ∀x ≠ - m ⇔ m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4.
Do ó:
- Vi m < - 1 hoc m > 4, hàm s luôn luôn ng bin. - Vi -1 < m < 4, hàm s luôn luôn nghch bin.
Ví d 6: a) Chng minh vi mi x∈

b) Vi nhng giá tr m nào thì hàm s
y = sin4x - sin3x + 2sin2x + m2 + 4m + 3 > 0 ∀x ∈ .
Gii:

2+ > 0 ∀x∈
x 0 2 π




t t = sinx
⇒ -1 ≤ t ≤1 và y = y(t) = t4 - t3 + 2t2 + m2 + 4m + 3, t ∈ [-1; 1]
Ta có : y > 0 ∀x ∈ ⇔ y(t) > 0 ∀t ∈[-1; 1]
y'(t) = 4t3 - 3t2 + 4t = t(4t2 - 3t + 4) = 0 ⇔ t = 0
(do 4t2 - 3t + 4 > 0 ∀t)
Bng xét du o hàm:
t -1 0 1
y
Do ó y(t) > 0 ∀t∈[-1; 1] ⇔ y(0) > 0 ⇔ m2 + 4m + 3 > 0
⇒ m < -3 hoc m > -1.
Vy vi m < -3 hoc m > -1 thì hàm s y = sin4 x - sin3x + 2sin2 x + m2 + 4m + 3 > 0 ∀x ∈ .
C. bài tp
1. Tìm các khong n iu ca các hàm s
a) y = x3 - 2x2 + x + 1 ;
b) y = x4 + 8x3 + 7 ; c) y = 2x - 9 ;
d) y = x - 3 5 - 2x ; e) y =
2 -x 1 x x2 ++ .
2. Chng minh rng:
3 2x - x- 2
+ + nghch bin trên mi khong xác nh ca nó.


.
a) sinx < x ∀x > 0 và sinx > x ∀x < 0 ;
b) cosx > 1- 2 x2
∀x ≠ 0 ;

;
∀x > 0 và sinx < x - 6 x3
∀x < 0.
4. Tìm giá tr ca m hàm s luôn luôn ng bin
a) y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x + 5 ;
b) y = (2m + 3)cosx - (m - 9)x + 5m -2.
5. a) Tìm m hàm s y = - 3 x3
+ (m - 1)x2 + (m + 3)x - 4 ng
bin trên (0; 3);
b) Vi m nào thì hàm s y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghch bin trên (-1; 1).
6. Khoanh tròn áp s úng trong các áp s A), B), C), D)
a) f(x) = x3 - 3x2 + 4x - m2 +3m - 6 ≥ 0 ∀x ≥ 2 thì m là
A) 1 < m < 2; B) 1 ≤ m ≤ 2;
C) m ≤ 1 hoc m ≥ 2; D) -1 < m < 2.
b) f(x) = 2x
1xcos − −α nghch bin trên TX ca nó thì α là
12
+ < < + ;
3 π- +≤≤+ k ∈ .
A. Lí thuyt cn nh
1. Khái nim cc tr ca hàm s
Gi s hàm s y = f(x) xác nh trên tp hp J và x0∈ J.
a) x0 c gi là mt im cc i ca f(x) nu tn ti mt khong (a; b) cha im x0 sao cho (a; b) ⊂ J và f(x) < f(x0) ∀x ∈ (a; b) \ {x0}.
Khi ó f(x0) c gi là giá tr cc i ca hàm s f(x).
b) x0 c gi là mt im cc tiu ca f(x) nu tn ti mt khong (a; b) cha x0 sao cho (a; b) ⊂ J và f(x) > f(x0) ∀x ∈ (a; b) \{x0}. Khi ó f(x0) c gi là giá tr cc tiu ca hàm s f(x).
Giá tr cc i và giá tr cc tiu c gi chung là cc tr ca hàm s và im M(x0; f(x0)) c gi là im cc i (hay im cc tiu) ca th.
c) Chú ý là hàm s f có th có nhiu cc tr trên tp hp J và nói chung cc tr không phi là giá tr ln nht hay nh nht ca hàm s f trên J mà ch là giá tr ln nht hay nh nht trên mt khong (a; b) nh (gi là lân cn) ca x0.
2. iu kin cn hàm s t cc tr
• Nu hàm s y = f(x) t cc tr ti im x0 và có o hàm ti x0 thì f'(x0) = 0
• Chú ý là hàm s có th t cc tr ti im không có o hàm (xem ví d 1.d).
     
13
a) Quy tc 1. Gi s hàm s y = f(x) liên tc trên (a; b), x0 ∈ (a;b) và có o hàm trên các khong (a; x0) và (x0; b). Khi ó tìm cc tr ca hàm s f ta có th thc hin theo quy tc sau:
• Tính f'(x) và tìm các im xi (i = 1, 2,…) mà ti ó o hàm f'(x) bng 0 (tc là gii phng trình f'(x) = 0) hoc ti ó hàm s f không có o hàm.
• Xét du ca f'(x) (lp bng bin thiên). Nu f'(x) i du t dng (+) sang âm (-) khi x i qua im xi thì xi là im cc i; nu f'(x) i du t âm (-) sang dng (+) khi x i qua xi thì xi là im cc tiu.
b) Quy tc 2. Gi s hàm s y = f(x) có o hàm cp hai trên (a; b). Khi ó có th tìm cc tr theo quy tc sau:
• Tính f'(x) và tìm các giá tr xi (i = 1, 2…) là nghim ca phng trình f'(x) = 0.
• Vi mi i, tính f''(xi). Nu f''(xi) < 0 thì xi là im cc i; nu f''(xi) > 0 thì xi là im cc tiu.
B. Các ví d mu
Ví d 1: Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a) y = x3 - 3x2 - 24x + 7 b) y = x4 - 5x2 + 4
c) y = cosx + 2 1 cos2x d) y = 3 4x - x2 +
e) y = 2x - 16
x
Gii:
= =
x -∞ -2 4 +∞
y' + 0 - 0 +
y 35 -73
14
Hàm s t cc i (C) ti x = -2 vi yC = 35 và t cc tiu (CT) ti x = 4 vi yCT = -73.
im (-2; 35) là im cc i và im (4; - 73) là im cc tiu ca th:
b) y = x4 - 5x2 + 4 ⇒ x' = 4x3 - 10 x = 2x (2x2 - 5)
y' = 0 ⇔ x = 0, x = ± 2 5
y" = 12x2 - 10. Ta có y"

±
2 5 = 20 > 0 nên hàm s t cc tiu ti
x = - 2 5 và x =
2 5 ; còn y"(0) = -10 < 0 nên hàm s t cc i ti x = 0
yC = y(0) = 4; yCT = y 4 9-
2 5
=

±

=+ =
Tc là y t cc i ti x = kπ và:
yC = coskπ + 2 1 cosk2π ⇔



còn y"
t cc tiu ti x = ± 3
2π + k2π và yCT = cos 4 3-
3 4cos
2 1
3 2
d) y = 3 4x x2 ++
Ta có y = 0 ⇔ x = 1 và x = 3 và ti các im này không có o hàm
Xét hàm g(x) = x2 - 4x + 3 có g'(x) = 2x - 4
15
g'(x) = 0 ⇔ x = 2. Do ó bng bin thiên ca g(x) và ca y là: x -∞ 1 2 3 +∞ g'(x) − − 0 + + g(x) 0 -1 0 y' − + 0 − + y 0 1 0
T bng này ⇒ hàm s y t cc tiu ti x = 1 và x = 3 vi yCT = 0 và t cc i ti x = 2 vi yC = 1.
e) y = 2x16
2 2
x16x16 16
x16 x16
+− 2
y' > 0 ∀x ∈ (-4; 4) nên hàm s ng bin và do ó không có cc tr.
Ví d 2:
a) Tìm giá tr ca m hàm s y = 1x
mx2mx 222
+ ++ có cc tr
b) Tìm m hàm s y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 có ba im cc tr.
c) Tìm m hàm s y = (1- m)x4 - mx2 + 2m + 1 ch có mt cc tr.
Gii:
1 x m 2x x
+ ++ nên hàm s có cc tr ⇔ x2 + 2x + m2 = 0 có hai
nghim phân bit ⇔ ' = 1 - m2 > 0 ⇔ - 1< m < 1.
Vy vi -1 < m < 1, hàm s y có cc tr.
b) y' = 4mx3 + 2(m2 -9)x = 2x(2mx2 + m2 - 9) = 0 ⇔

=+
=
22
16
⇔

−
≠
3 m 0 3- m
<< <
c) y' = 4(1 - m)x3 - 2mx = 2x(2(1-m)x2 - m) = 0
⇔ 2 x 0 2(1-m)x - m 0 (*) =
=
⇔ m 1 m 0 m 1 m 0
8m(1- m) 0
vµ vµ ⇔
≠ = = ≠ < >
vµ vµ hoÆc
⇒ Vi m ≤ 0 hoc m ≥ 1 thì hàm s ch có mt cc tr.
Ví d 3:
a) Tìm m hàm s y = 2x3 + 3x2 + mx t cc i, cc tiu ti các im có hoành x > m.
b) Cho hàm s y = x3 + ax2 + bx + c. Xác nh a, b, c hàm s t cc tr bng 0 ti x = -2 và th hàm s i qua im A(1; 0).
Gii:
a) y' = 6x2 + 6x + m. hàm s có cc i, cc tiu thì y' = 0 có hai
nghim phân bit x1, x2 (x1 < x2) ⇔ ' = 9 - 6m > 0 ⇔ m < 2 3 (1).
Bng xét du o hàm:
x -∞ x1 x2 +∞
y' + 0 − 0 +
y C CT
m < x1< x2 ⇔ 6y'(m) > 0 (6 là h s ca x2 trong y')
17
⇔

>
>+
⇔ m < - 6 7 (2)
Kt hp (1) và (2) ta c vi m < 6 7- hàm s t cc tr ti các im
có hoành x > m.
b) y' = 3x2 + 2ax + b. Ta có
y'(-2) = 3(-2)2 + 2a(-2) + b = 12 - 4a + b = 0
y(-2) = (-2)3 + a(-2)2 + b(-2) + c = -8 + 4a - 2b + c = 0
y(1) = 13 + a.12 + b.1 + c = a + b + c + 1 = 0
Gii h này ta c a = 3; b = 0; c = -4.
C. bài tp
a) y = x3 - 9x2 + 15x - 2
b) y = x - sin2x trên [0; 2π]
c) y = 1 x
e) y = 6 - x
f) y = 5 - 2x 1 3x+
8. Tìm m hàm s y = (m - 1) 4 x2 + +3x + 2 tha mãn vi m < 1 có cc tr ti im x0 > 6.
18
m - 2 1)x-2(m x2 ++ có cc i, cc tiu và
các giá tr cc i, cc tiu cùng du.
10. Xác nh giá tr ca m hàm s y = 1 x
m x x2
+ ++ có các im cc
i và cc tiu nm v hai phía ca trc tung.
11. Tìm m hàm s y = 1x
1 2m 3mx mx2
tiu nm v hai phía ca trc Ox.
12. Tìm m hàm s y = 2 - x
1 6m - 3)x - (2m - x2 + có cc i, cc tiu,
ng thi hai im cc i, cc tiu nm v hai phía ca ng thng y = -x + 7.
13. Khoanh tròn áp án úng trong các áp s A); B); C); D) :
a) hàm s y = x3 - mx2 + (m+2)x + 2m có cc i và cc tiu thì m tha mãn:
A) m < 2
2 33
+<< .
1 mx x2
+ ++ i cc i ti x = 2 thì m là:
A) m = - 1; B) m = -2; C) m = -3; D) m = -4.
c) hàm s y = mx
1mxx2
− ++ có hai giá tr cc tr trái du nhau thì m
tha mãn:
A) - 2 < m < 2; B) - 2< m < 0; C) 0 < m < 2; D) 1 < m < 2
19
III. GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM S
A. Lí thuyt cn nh
1. nh ngha và tính cht
Gi s hàm s f(x) xác nh trên tp J (J ⊆ )
a) Nu tn ti x0 ∈ J sao cho f(x) ≤ f(x0) vi mi x ∈ J thì f(x0) c gi là giá tr ln nht (GTLN) ca hàm s f trên J, ký hiu là (x);maxf
J x∈
b) Nu tn ti x0 ∈ J sao cho f(x) ≥ f(x0) vi mi x ∈ J thì f(x0) c gi là giá tr nh nht (GTNN) ca hàm s f trên J, kí hiu là
x J min f(x); ∈
c) Khi nói GTLN hay GTNN ca hàm s (không nói gì thêm) thì hiu là GTLN hay GTNN ca hàm s ó trên tp xác nh ca nó.
d) Nu hàm s f(x) liên tc trên [a; b] thì luôn tn ti f(x)max b] [a;
và
[a; b] min f(x).
2. Cách tìm GTLN và GTNN ca hàm s trên tp hp J
a) J là on [a; b] thì cách tìm nh sau:
• Tính f'(x) và tìm các nghim xi (i = 1,2,…) ca phng trình f'(x) = 0
• Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1,2…)
• GTLN = f(x)max b] [a;
GTNN = f(x)min b] [a;
= min{f(a), f(b), f(xi), i = 1, 2…}
Chúng ta có th lp bng bin thiên tìm GTLN và GTNN. c bit nu hàm s f ng bin trên [a; b] thì f(x)max
b] [a; = f(b) và f(x)min
b] [a; = f(a), còn
nu hàm s f nghch bin trên [a; b] thì f(x)max b] [a;
= f(a) và f(x)min b] [a;
= f(b).
b) J là (a; b). Ta ch xét trng hp tn ti ch mt im x0 ∈ (a; b) sao cho f'(x) i du khi x i qua x0 (ti x0 có th f'(x0) = 0 hoc không tn ti f'(x0)). Khi ó GTLN (hoc GTNN) là cc i (hoc cc tiu) ca hàm s trên khong (a; b) ó. Bng bin thiên là:
20
y' + - y' - +
y GTLN y GTNN
c) i vi nhiu hàm s, c bit là các hàm s lng giác, có th tìm tp giá tr ca hàm s ó ch ra GTLN hoc GTNN ca nó, hoc có th nh mt s bt ng thc ã bit nh Côsi, Svac (Côsi - Bunhiacôpski) tìm GTLN và GTNN ca hàm s.
B. Các ví d mu
Ví d 1: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca các hàm s sau:
a) y = 3x2 - 4x + 8 trên [0;1] ; b) y = 6 5x - x2 + trên [-3; 3] ;
c) y = 2x - 36 trên [- 4; 4] ; d) y = cosx
1 trên
Gii:
a) y = 3x2 - 4x + 8 ⇒ y' = 6x - 4, y' = 0 ⇔ x = 3 2
f(0) = 8, f(1) = 7; f

9 60 .
Hình 1.2
b) y = 6 5x - x2 + ≥ 0 ∀x và y = 0 ⇔ x = 2
hoc x = 3. th hàm s có dng nh hình 1.2
Do ó [ ]
fmax 3;3−
[ ]