página 51

página 52

CONCEPTO

Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebrai-cas se realizan bajo los mismos principios que en la aritmética se utilizan, o sea, para la suma y resta, sa-cando común denominador; para la multiplicación, multiplicando numeradores con numeradores y denomi-nadores con denominadores; y para la división, multiplicando “en cruz”.

Por esta razón, para el estudio de cada una de estas operaciones con fracciones algebraicas, se hará unrecordatorio del proceso respectivo que se emplea en la aritmética, para que el alumno traslade cada unode los procesos aritméticos a los algebraicos, respetando simplemente las reglas del álgebra ya conocidas.

SUMA ARITMÉTICA

La suma de fracciones está basada en la ley fundamental de la suma que dice que solamente cosasiguales se pueden sumar y el resultado debe ser de esas mismas cosas. O sea que cosas diferentes no sepueden sumar. Es de sentido común que no se pueden sumar cuadernos más piojos. Además, que si sesuman plumas más plumas el resultado son plumas, no camiones.

Por esa razón, de entrada no se puede sumar un medio más un tercio porque son cosas diferentes: laprimera son mitades y la otra son terceras partes, que al final de cuentas son cosas diferentes. Para poderefectuar esta suma, la aritmética hace un truco muy simple para reducir ambas fracciones a “cosas iguales”(fracciones equivalentes).

Se sabe que , y por otra parte , de manera que sumar (cosas1

2

32

4 6

1

3

2

6 1 1

2 3

diferentes) es lo mismo que sumar (ya cosas iguales). 3 2

6 6

El proceso conocido como “sacar común denominador” es un procedimiento mecanizado para reducirlas fracciones que se desean sumar a fracciones equivalentes; en otras palabras, es convertir cosas diferen-tes que no se pueden sumar a cosas iguales que ya se puedan sumar.

Cuando se tienen dos fracciones como las anteriores y , entre ellas hay un número infinito de1

2

1

3

comunes denominadores, como son, por ejemplo, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, etc. Pero de todos ellos hay unoque es el más pequeño, el 6, por lo que a éste se le llama mínimo común denominador.

Se procura entonces obtener el mínimo común denominador, en vez de cualquier otro común denomina-dor, solamente porque al trabajar con cantidades más pequeñas el trabajo se minimiza, pero no porque seafalso ni incorrecto. Es decir, se podría hacer la suma de la siguiente forma:

página 53

1 1 12 8

2 3 24 24

5

1 1 20

2 3

24

6

1 1 5

2 3 6

lo cual es verdadero, solamente que es más complicado que haciéndolo con el mínimo común denomi-nador, el 6:

1 1 3 2

2 3 6 6

1 1 5

2 3 6

Para facilitar el proceso, en vez de se acostumbra escribirlo así: 1 1 3 2

2 3 6 6

1 1 3 2

2 3 6

Un común denominador es al final de cuentas un múltiplo de todos los denominadores, por lo que setrata de un común múltiplo. Si se refiere al mínimo común denominador entonces se habla del mínimocomún múltiplo (se abrevia m.c.m.) de todos esos denominadores.

COMÚN DENOMINADOR: REGLA ARITMÉTICA

Para sacar el mínimo común denominador de fracciones aritméticas (o mínimo común múltiplo de todoslos denominadores):

# Cada denominador se factoriza en sus factores primos;

# el mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores primos diferentesque hayan aparecido, con su máximo exponente.

Ejemplo 1: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones 5 17 13

24 60 225

página 54

Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas

# Cada denominador se factoriza (factorización total);

# El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferen-tes que hayan aparecido, con su máximo exponente.

Solución: * Los factores primos de 24 son 23 × 3.* Los factores primos de 60 son 22 × 3 × 5.* Los factores primos de 225 son 32 × 52.* Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 23, 32 y 52

* El mínimo común denominador es 23 × 32 × 52 = 1800.

Ejemplo 2: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8, 12 y 18.

Solución: * Los factores primos de 8 son 23.* Los factores primos de 12 son 22 × 3.* Los factores primos de 18 son 2 × 32.* Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 23 y 32

* El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 23 × 32 = 72.

REGLA ALGEBRAICA

Por lo que se dijo en la página anterior, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio quese emplea en la aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas delálgebra ya conocidas.

De manera que para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas (que es lo mismoque el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores), por translación de la regla aritméticase obtiene la siguiente regla algebraica:

Ejemplo 3: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones 4 2

5 7

2 6a ab

Solución: * Los factores de 2a 4 (primer denominador) son 2 × a 4.* Los factores de 6ab 2 (segundo denominador) son 2 × 3 × a × b 2.* Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 2, 3, a 4 y b 2

* El mínimo común denominador es 2 × 3 × a 4 × b 2 = 6a 4b 2 .

página 55

Ejemplo 4: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8abc, 6b 3 y 9a 2.

Solución: * Los factores de 8abc son 23 × a × b × c.* Los factores de 6b3 son 2 × 3 × b 3.* Los factores de 9a 2 son 32 × a 2.* Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 23, 32, a 2, b 3 y c.* El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 23 × 32 × a 2 × b 3 × c = 72a 2b 3c.

EJERCICIO 4.1

Obtener el m.c.m. de las siguientes cantidades:

1) 4a2 ; 3ab3 2) ab3; 5a3c 3) 14a3c2; 21b2c2

4) 6a; 8b; 27c 5) 10a2; 25ab2; 2a2b2 6) 63a4c2; 49a2b3; ab6

7) 125a3; 10ab; 4a2b3 8) 35b2; 25a3bc2; 7a2c4 9) 6a4c; a2b2c2; 9ab6c3

10) 16b2; 2a7b; a5b5c5 11) 81c4; 6a; 2a3b3c2 12) 5ab4; 7a4c; 3x2y7

13) 7x6 ; 11c3; a3b6 14) 27d 9; 9a8c2; a5d 5 15) 72y 2; 27a3x3; 4a6y7

página 56

SUMA DE FRACCIONES: REGLA ARITMÉTICA

Para efectuar la suma de fracciones aritméticas:

# Se obtiene el mínimo común denominador;

# Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenidose multiplica por su numerador respectivo;

# Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar;

# Se efectúa la suma del numerador obtenido.

Es indispensable que el alumno no aprenda a sumar fracciones con la mal afamada regla de la cruz queles enseñan los malos profesores de matemáticas, pues aunque ciertamente se llega a un resultado correctocuando son solamente dos fracciones las que se suman, dicha regla pierde todo sentido cuando se sumantras o más fracciones como se verá en los siguientes ejemplos que se van a estudiar.

= 18 = 4

3 1 18 4 22

4 6 24 24

Ejemplo 5: Efectuar la suma de fracciones 524

1760

13225

Solución: Aquí ya no tiene sentido la anterior regla de la cruz, por lo que debe efectuarse bajo la regla general,es decir, con el mínimo común denominador que es 23 × 32 × 52 = 1800. Se escribe:

5

24

17

60

13

225

1800

* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 1800 ÷ 24 =75

El 75 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 75 × 5 = 375.

En ese momento se lleva escrito

5

24

17

60

13

225

375

1800

página 57

Para efectuar la suma de fracciones algebraicas:

* Se obtiene el mínimo común denominador;

* Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultadoobtenido se multiplica por su numerador respectivo;

* Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar;

* Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes.

* Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 1800 ÷ 60 =30

El 30 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 30 × 17 = 510. En ese mo-mento se lleva escrito

5

24

17

60

13

225

375 510

1800

* Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador resulta 1800 ÷ 225 = 8

El 8 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 8 × 13 = 104. En ese momentose lleva escrito

5

24

17

60

13

225

375 510 + 104

1800

* Efectuando la suma del numerador obtenido:

5

24

17

60

13

225

375 510 + 104

1800

989

1800

REGLA ALGEBRAICA

Por lo que se dijo en páginas anteriores, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principioque se emplea en la aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas delálgebra ya conocidas.

página 58

Ejemplo 6: Efectuar la suma de fracciones 2

5 7

64 aba

Solución: El mínimo común denominador de 4a 2 y 6ab es 22 × 3 × a 2 × b = 12a 2b. Se escribe:

2 2

5 7

64 12aba a b

* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta

12a 2b ÷ 4a 2 = 3b.

El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b × 5. En ese momento selleva escrito

2 2

5 35 7

64 12

b

aba a b

* Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta

12a 2b ÷ 6ab = 2a.

El 2a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 2a × 7. En ese momento selleva escrito

2 2

5 3 7 25 7

64 12

b a

aba a b

* Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta

2 2

2

5 3 7 25 7

64 12

15 14

12

b a

aba a b

b a

a b

* Como no aparecieron términos semejantes, no se puede efectuar la suma del numerador obtenido,de manera que la respuesta es lo escrito en el paso anterior, es decir:

página 59

2 2

5 7 15 14

4 6 12

b a

a ab a b

Ejemplo 7: Efectuar la suma de fracciones 2

2 2

2 1 5 2

8 6

b a

b a b

Solución: El mínimo común denominador de 8b 2 y 6a 2b es 23 × 3 × a 2 × b 2 = 24a 2b 2. Se escribe:

2

2 2 2 2

2 1 5 2

8 6 24

b a

b a b a b

* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta

24a 2b 2 ÷ 8b 2 = 3a 2.

El 3a 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3a 2(2b + 1). En ese momen-to se lleva escrito

22

2 2 2 2

3 2 12 1 5 2

8 6 24

a bb a

b a b a b

* Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta

24a 2b 2 ÷ 6a 2b = 4b.

El 4b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 4b(5a 2 + 2). En ese momentose lleva escrito

2 22

2 2 2 2

3 2 1 4 5 22 1 5 2

8 6 24

a b b ab a

b a b a b

* Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta

2 22

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3 2 1 4 5 22 1 5 2

8 6 24

6 3 20 8

24

a b b ab a

b a b a b

a b a a b b

a b

página 60

* Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador,la respuesta es:

2 2 2

2 2 2 2

2 1 5 2 26 3 8

8 6 24

b a a b a b

b a b a b

Ejemplo 8: Efectuar la suma de fracciones 2 2

3 2 2

5 3 3 2

6 9 2

a b b ab a

a ab a b

Solución: * El mínimo común denominador de 6a 3, 9ab 2 y 2a 2b es 2 × 32 × a 3 × b 2 = 18a 3b 2. Se escribe:

2 2

3 2 2 3 2

5 3 3 2

6 9 2 18

a b b ab a

a ab a b a b

* Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta

18a 3b 2 ÷ 6a 3 = 3b 2.

El 3b 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b 2(5a 2 - 3). En ese momen-to se lleva escrito

2 22 2

3 2 2 3 2

3 5 35 3 3 2

6 9 2 18

b aa b b ab a

a ab a b a b

* Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta

18a 3b 2 ÷ 9ab 2 = 2a 2.

El 2a 2 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 2a 2(3b 2 - b). En ese momen-to se lleva escrito

2 2 2 22 2

3 2 2 3 2

3 5 3 2 35 3 3 2

6 9 2 18

b a a b ba b b ab a

a ab a b a b

* Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador, resulta

18a 3b 2 ÷ 2a 2b = 9ab.

El 9ab obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 9ab(ab + 2a). En ese mo-mento se lleva escrito

página 61

2 2 2 22 2

3 2 2 3 2

3 5 3 2 3 9 25 3 3 2

6 9 2 18

b a a b b ab ab aa b b ab a

a ab a b a b

* Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta

2 2 2 22 2

3 2 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2

3 5 3 2 3 9 25 3 3 2

6 9 2 18

15 9 6 2 9 18

18

b a a b b ab ab aa b b ab a

a ab a b a b

a b b a b a b a b a b

a b

* Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador,la respuesta es:

2 2 2 2 2 2

3 2 2 3 2

5 3 3 2 30 9 16

6 9 2 18

a b b ab a a b b a b

a ab a b a b

página 62

EJERCICIO 4.2

Efectuar la suma de las siguientes fracciones:

1) 2)3 2

2 5

6 9

a b

a b b

2

3 2

7

4 10

a b

b a

3) 4)2 3

2 4

5

4 18

x y

x y y

2 3

3 4

5 7

14 21

c a

ac a c

5) 6)2

2 2

1 5

2 6

a b ax

a ab x

2 2 3

2 2 5

2 3

60 15

x ab ab

b x ab

7) 8)4 2 3 2 3 2 2 4

3 2 3

8 2 9

25 35

b c b c a bc a b c

b c a bc

3 2

3 2

5 2 3

72 6

xy ax

xy ax

9)3 3 2 3 3 4 2

3 3 2 2

2 3 6 1

18 12 30

a b a b ab c b c

a b abc b c

10)2 3 2 4

2 3 4

3 4 2 2 1

50 20 10

ax y axy y a

x xy a xy

11)2 2 2 2

2 2 2

3 3 2 3 2 3

49 14 35

a b ab c c acd

ab bc cd

12)2 2

2 2

2 1 3 2 5

96 12

a ab b

aba b