Perturbaciones en el efecto Casimir

Perturbaciones en el efecto Casimir

Pedro Morales-Almazan

Department of MathematicsThe University of Texas at Austin

[email protected]

ECFM, USACGuatemala, 5 de agosto de 2016

Pedro Morales-Almazan Math Department

Perturbaciones

mailto:[email protected]


Perturbaciones

Casimir

Hendrik Casimir


Perturbaciones

Efecto Casimir, 1948

• Vacıo

• Placas conductoras perfectas

• Fluctuaciones de vacıo

• Presion de atraccion entreplacas


Perturbaciones

70 anos despues

• De la teorıa a la experimentacion (1997)

• No solo atraccion sino tambien repulsion (1961)

• Dependiente de la geometrıa (forma y condiciones de frontera)

• Manejo de cantidades infinitas (regularizacion)


Perturbaciones

Regularizacion: Funcion Zeta

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns

Bernhard Riemann Leonhard Euler


Perturbaciones

Regularizacion: Funcion Zeta

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns,<(s) > 1

Continuacion anaıtica:

ζ(s) = 2sπs−1 sin(πs

2

)Γ(1− s)ζ(1− s)

ζ(s) , s ∈ C


Perturbaciones

Regularizacion en el Efecto Casimir

Energıa Casimir

E =1

2

∑n

ωn

Problema: ¡Diverge!Solucion: Ver el significado, no el valor.


Perturbaciones

Funciones Zeta

• Frecuencias fundamentales ωn

• Ecuacion de Klein-Gordon

�ψ = ω2ψ

• Funcion Zeta asociada

ζ(s) =∑ω

ω−2s

• Energıa de vacıo

E =1

2ζ

(−1

2

)Pedro Morales-Almazan Math Department

Perturbaciones

Superficies de Revolucion

f (x) > 0 , x ∈ [a, b]M: Superficie de revolucion

• Inmerso en R3

• Metrica inducida del espacioEuclideano

• Funcion Zeta asociada


Perturbaciones

Funcion Zeta en M

Metrica inducida

g =

(1 + f ′(x)2 0

0 f 2(x)

)

Laplaciano

∆ψ =1

1 + f ′2

(∂2ψ

∂x2+

(f ′

f− f ′f ′′

1 + f ′2

)∂ψ

∂x+

1 + f ′2

f 2

∂ψ

∂θ

)


Perturbaciones

Funcion Zeta en M

Problema de valores propios

∆ψ(x , θ) = ω2ψ(x , θ)

Con: x ∈ [a, b] , θ ∈ [0, 2π)Condiciones de Dirichlet: ψ(a, θ) = ψ(b, θ) = 0


Perturbaciones

Funcion Zeta en M

ζ(s) =Z0(s) + A0(s)

Z6=(s) + A6=(s) .

donde las partes finitas Z0 y Z6= dependen de las soluciones delproblema de valores propios, y las partes sintoticas A0 y A6=dependen solamente de f (x).


Perturbaciones

Perturbacion en la Energıa

FP ζ∆(−1/2) = −1

π

∫ 1

0dλλ

d

dλlog X0(b; ıλ)

−1

π

∫ ∞1

dλλd

dλ

log X0(b; ıλ) − log A+ −2∑

i=−1

λ−i∫ b

adt si (t)

−

1

8π

(f ′2(a) + f ′4(a) − 2f (a)f ′′(a)

f 2(a)(1 + f ′2(a))2+

f ′2(b) + f ′4(b) − 2f (b)f ′′(b)

f 2(b)(1 + f ′2(b))2

)

−2

π

∞∑k=1

k

∫ ∞0

du ud

du

log Xk (b; ıuk) − log B+ −2∑

i=−1

k−i∫ b

adt wi (t)

+

1

2π

∫ b

adt√

1 + f ′(t)2 −1

π+ζ′R (−2)

π

∫ b

adt f−2

√1 + f ′2

+1

24(f−1(a) + f−1(b)) +

1

16

∫ b

adt f−1 f ′f ′′

(1 + f ′2)4.


Perturbaciones


Original Perturbacionpositiva

Perturbacionnegativa


Perturbaciones


f (x) 7→ f (x) + εg(x)

Donde ε es pequeno y g(x) es

• No-negativa

• Suave

• Concentrada alrededor de un punto

• Cero en x = a y x = b


Perturbaciones


Plan:

• Calcular la funcion Zeta al hacer el cambio

f (x) 7→ f (x) + εg(x)

• Calcular el cambio en la Energıa calculando la derivada conrespecto de ε

• Obtener el cambio instantaneo al calcular la derivada en ε = 0


Perturbaciones


Cambio instantaneo en Zeta

d

dε

∣∣∣ε=0

ζε

(−1

2

)


Perturbaciones


Parte asintotica

A0 y A6= se calculan reemplazando formalmentef (x) 7→ f (x) + εg(x)

Parte finita

Z0 y Z 6= se calculan analizando el cambio en las funciones propiasenla ecuacion de valor propio al hacer f (x) 7→ f (x) + εg(x)


Perturbaciones

Perturbacion: Terminos asintoticos

• Sustituir f (x) con f (x) + εg(x) en las expresiones asintoticas

• Expandir en serie de potencias en ε

• Tomar el coeficiente lineal


Perturbaciones


FP ζ∆(−1/2) = −1

π

∫ 1

0dλλ

d

dλlog X0(b; ıλ)

−1

π

∫ ∞1

dλλd

dλ


i=−1

λ−i∫ b

adt si (t)

−

1

8π

(f ′2(a) + f ′4(a) − 2f (a)f ′′(a)

f 2(a)(1 + f ′2(a))2+

f ′2(b) + f ′4(b) − 2f (b)f ′′(b)

f 2(b)(1 + f ′2(b))2

)

−2

π

∞∑k=1

k

∫ ∞0

du ud

du


i=−1

k−i∫ b

adt wi (t)

+

1

2π

∫ b

adt√

1 + f ′(t)2 −1

π+ζ′R (−2)

π

∫ b

adt f−2

√1 + f ′2

+1

24(f−1(a) + f−1(b)) +

1

16

∫ b


(1 + f ′2)4.


Perturbaciones

Perturbacion: Terminos finitos

X ′′ +

(f ′

f− f ′f ′′

1 + f ′2

)X ′ + (1 + f ′2)

(λ2 − k2

f 2

)X = 0

• Reemplazar f (x) por f (x) + εg(x)

• Expandir en serie de potencias en ε hasta O(ε2)

• Escribir la solucion del sistema perturbado como X = X + εX

• Encontrar X utilizando variacion de parametros


Perturbaciones


FP ζ∆(−1/2) = −1

π

∫ 1

0dλλ

d

dλlog X0(b; ıλ)

−1

π

∫ ∞1

dλλd

dλ


i=−1

λ−i∫ b

adt si (t)

−

1

8π

(f ′2(a) + f ′4(a) − 2f (a)f ′′(a)

f 2(a)(1 + f ′2(a))2+

f ′2(b) + f ′4(b) − 2f (b)f ′′(b)

f 2(b)(1 + f ′2(b))2

)

−2

π

∞∑k=1

k

∫ ∞0

du ud

du


i=−1

k−i∫ b

adt wi (t)

+

1

2π

∫ b

adt√

1 + f ′(t)2 −1

π+ζ′R (−2)

π

∫ b

adt f−2

√1 + f ′2

+1

24(f−1(a) + f−1(b)) +

1

16

∫ b


(1 + f ′2)4.


Perturbaciones

Perfil constante

Cilindro: f (x) = cIntervalo [0, 1]



Perturbaciones

Perfil constante




Perturbaciones

Conclusiones

• Los bordes son la principal influencia en el efecto Casimir

• Perturbaciones alejadas de los bordes no se ven afectadas

• El Casimir busca que la curvatura del borde sea normal a lasuperficie


Perturbaciones

Referencias

Morales-Almazan P., Zeta function for perturbed surfaces ofrevolution, arXiv:1412.8575

Jeffres, T. et al. Zeta Function on Surfaces of Revolution,arXiv:1211.4043


Perturbaciones

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