Pertemuan04 & 05_Uji Normalitas & Homogenitas

PERTEMUAN 4

UJI NORMALITAS

Uji normalitas adalah suatu uji yang digunakan untuk melihat apakah data yang diteliti

memiliki sebaran normal atau tidak, atau dengan istilah lain apakah data diambil dari

populasi yang mempunyai sebaran normal.

Kenapa dilakukan uji normalitas? Karena untuk menentukan teknik statistika apa yang

akan digunakan dalam analisa data, yaitu dengan menggunakan statistika parametrik

atau nonparametrik.

Dalam kemajuan teknologi, normalitas suatu data dapat dicari dengan menggunakan

bantuan software computer, seperti halnya Calc, PSPP, SPSS dan lain sebagainya yang

sejenis, akan tetapi sebagai scientist maka anda juga dituntut untuk menguasai

perhitungan secara manualnya.

Ada beberapa jenis uji normalitas yang digunakan dalam penelitian, yaitu Chi-Square,

Kolmogorof Smirnov, Lilliefors, Shapiro Wilk, Geary.

Dalam pertemuan ini, anda akan mengenal uji normalitas dengan menggunakan chi

square dan Kolmogorov smirnov.

A. CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT)

Quotes:

"...it is important that the particular goodness of fit test used be selected without consideration of the sample at hand, at least if the calculated significance level is to be meaningful. This is because a measure of discrepancy chosen in the light of an observed sample anomaly will tend to be inordinately large." H.T. David, 1978

Uji Chi Square biasa juga dikenal uji 2(dibaca kai square).

Metode ini menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan dari data hasil

observasi tiap kelompok/kelas dengan nilai yang diharapkan.

2 = ( )

2

=1

Keterangan:

2 = Nilai dari 2

= Nilai observasi/frekuensi yang diperoleh (diamati)

= Nilai ekspektasi/harapan atau frekuensi yang diharapkan

= Banyaknya angka pada data (total frekuensi).

Karakteristik/ciri dari distribusi chi square adalah:

1) Nilai Chi Square selalu positif.

2) Bentuk distribusi chi square adalah menjulur positif, semakin besar derajad

kebebasannya ( atau atau ) maka semakin mendekati distribusi normal

(contoh pada gambar 4.1).

3) = 1 di mana adalah banyaknya kategori.

4) Bentuk distribusi chi square tidak ditentukan banyaknya sampel melainkan

ditentukan oleh banyaknya derajad kebebasannya ().

Gambar 4.1. Contoh grafik distribusi chi square

Syarat menggunakan Chi Square,

1) Data disusun secara berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi

frekuensi.

2) Cocok dengan data dengan sampel lebih dari 30.

3) Setiap sel harus terisi, data yang kurang dari 5 digabungkan.

Signifikansi,

Signifikansi uji adalah nilai 2 hitung dibandingkan dengan 2 tabel (Chi-Square).

1) Jika nilai 2 hitung < 2 tabel, maka terima dan tolak .

2) Jika nilai 2 hitung > 2 tabel, maka tolak dan terima .

Bagaimana melakukan uji normalitas dengan menggunakan Chi Square?

Perhatikan contoh soal berikut.

Dipunyai data berat badan 100 orang mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut

seperti pada tabel 4.1:

No jumlah

1 40 - 44 4

2 45 - 49 6

3 50 - 54 12

4 55 - 59 25

5 60 - 64 14

6 65 - 69 10

7 70 - 74 12

8 75 - 79 8

9 80 - 84 6

10 85 - 89 3

100

berat badan (kg)

jumlah

Tabel 4.1. Data berat badan 100 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut.

Dengan menggunakan uji Goodness of fit test, selidiki dari data pada tabel 4.1. dengan

menggunakan = 5%, apakah data tersebut berdistribusi normal atau tidak?

Secara manual.

Penyelesaian:

1) Tentukan Hipotesis:

: Sampel berat badan mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut berasal

dari populasi yang berdistribusi normal.

: Sampel berat badan mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika lanjut tidak

berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

2) Cari rata-rata (Means) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi).

No jumlah Xi Xi .f

1 40 - 44 4 42 168

2 45 - 49 6 47 282

3 50 - 54 12 52 624

4 55 - 59 25 57 1425

5 60 - 64 14 62 868

6 65 - 69 10 67 670

7 70 - 74 12 72 864

8 75 - 79 8 77 616

9 80 - 84 6 82 492

10 85 - 89 3 87 261

100 6270

berat badan (kg)

jumlah

=

=6270

100

= 62,7

Jadi Mean/rata-rata berat badan 100 mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika

lanjut adalah 62,7 kg.

No

( )

Nilai tengah

kelas

interval

2 =

210=1

(

10=1

)

2

=405380

100 (

6270

100)

2

=405380

100

393129

100

=405380 393129

100

= 122,51

= 122,51

= 11,07

Jadi simpangan baku/deviasi standar berat badan 40 mahasiswa yang mengikuti

kuliah statistika lanjut adalah 11,07.

3) Uji Normalitas dengan Chi-Square adalah,

2 = ( )

2

=1

1 42 4 1764 168 7056 28224

2 47 6 2209 282 13254 79524

3 52 12 2704 624 32448 389376

4 57 25 3249 1425 81225 2030625

5 62 14 3844 868 53816 753424

6 67 10 4489 670 44890 448900

7 72 12 5184 864 62208 746496

8 77 8 5929 616 47432 379456

9 82 6 6724 492 40344 242064

10 87 3 7569 261 22707 68121

jumlah 100 43665 6270 405380 5166210

= =

No Kelas IntervalBatas bawah kelas

interval (xi)Zhitung pi Oi Ei=pi x d

1 40 - 44 39.5 -2.10 0.0277 4 2.77

2 45 - 49 44.5 -1.64 0.0224 6 2.24

3 50 - 54 49.5 -1.19 0.2015 12 20.15

4 55 - 59 54.5 -0.74 0.1563 25 15.63

5 60 - 64 59.5 -0.29 0.0505 14 5.05

6 65 - 69 64.5 0.16 0.1655 10 16.55

7 70 - 74 69.5 0.61 0.1286 12 12.86

8 75 - 79 74.5 1.07 0.078 8 7.8

9 80 - 84 79.5 1.52 0.0399 6 3.99

10 85 - 89 84.5 1.97 0.0166 3 1.66

11 90 89.5 2.42

Jumlah 100

Keterangan:

d = jumlah frekuensi.

Ei = nilai ekspektasi atau harapan (frekuensi yang diharapkan)

z = angka baku

pi = luas daerah antara dua harga

xi = batas bawah kelas

Statistik Uji:

2 = ( )

2

10

=1

=(4 2.77)2

2.77+

(6 2.24)2

2.24+

(12 20.15)2

20.15+

(25 15.63)2

15.63+

(14 5.05)2

5.05+

(10 16.55)2

16.55+

(12 12.86)2

12.86+

(8 7.8)2

7.8+

(6 3.99)2

3.99+

(3 1.66)2

1.66

= 36.38

Derajad kebebasan (dk)

Derajad kebebasan adalah

= 1

Luas daerah yang

dihitung dari nilai

|2,10 1,64|

= |0.4821 0.4495|

= 0.0277

= 10 1

= 9

Di mana = banyak kelas

Sehingga 2

= 2(9,0.05) = 16.919

Karena 2

> 2

maka ditolak dan diterima.

Dengan kata lain bahwa sampel berat badan mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika

lanjut tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

Derajad kebebasan menurut Walpole (1992), Derajad kebebasan dalam Chi Square

sama dengan banyaknya sel dikurangi dengan banyaknya besaran yang diperoleh dari

data pengamatan digunakan dalam perhitungan frekuensi harapannya.

Gambarannya begini, ketika anda mempunyai buah data maka anda hanya

mempunyai k1 buah data yang bebas anda pilih. Sebagai contoh misalkan anda

mempunyai sepeda motor merk A, B, C, D, ketika suatu hari anda ingin memilih motor

mana yang akan anda kendarai maka anda hanya bisa memilih 3 sepeda motor dengan

merek tersebut, misalkan pilihan pertama anda memilih sepeda motor merk B, pilihan

kedua merk A, pilihan ketiga D maka yang keempat tentu saja anda tidak bisa memilih

lagi, jadi pilihan yang ke empat sudah bukan pilihan bebasa lagi.

Hal ini kenapa = 1.

METODE KOLMOGOROV SMIRNOV

Konsep dasar uji normalitas dengan kolmogorov smirnov adalah membandingkan

sebaran data yang akan diuji normalitasnya dengan sebaran normal baku.

Untuk perhitungan secara manual bagaimana uji normalitas dengan kolmogorov

smirnov, dapat disusun seperti dalam tabel 3.2.

No =

| |

1

2

dan seterusnya

Tabel 3.2. Tabel uji normalitas melalui kolmogorov smirnov

Keterangan:

= angka pada data ke

= transformasi dari angka ke notasi pada sebaran normal, tabel baku yaitu area

dibawah kurva normal baku dari 0 sampai .

= peluang kumulatif normal

=Peluang kumulatif empiris

=

Signifikansi

Signifikansi uji normalitas dengan menggunakan kolmogorov smirnof, nilai dari

| | terbesar yang dihitung dibandingkan dengan nilai pada tabel kolmogorov

smirnov.

Jika | | hitung terbesar < nilai tabel kolmogorov smirnov, maka terima 0 dan

tolak .

Jika | | hitung terbesar > nilai tabel kolmogorov smirnov, maka tolak 0 dan

terima .

Contoh:

Suatu penelitian mengenai tinggi badan mahasiswa yang mengikuti perkuliahan

statistika lanjut dengan sampel sebanyak 25 mahasiswa diambil secara acak diperoleh

data sebagai berikut (dalam satuan cm): 150, 143, 153, 155, 167, 170, 151, 147, 165,

161, 163, 148, 155, 158, 170, 171, 145, 160, 158, 162, 164, 166, 158, 155, 149. Selidiki

dengan menggunakan = 5%, apakah data tersebut diambil dari populasi yang

berdistribusi normal?

Penyelesaian:

Hipotesis:

0: data tidak berbeda dengan populasi yang berdistribusi normal (data sampel normal)

: Data berbeda dengan populasi yang berdistribusi normal (data sampel tidak normal)

Langkah-langkah:

1) Urutkan data dari yang terkecil sampai terbesar.

2) Carilah rata-rata dan simpangan baku/standar deviasi nya

No Tinggi badan (cm) (xi-mean)^2

1 143 217.8576

2 145 162.8176

3 147 115.7776

4 148 95.2576

5 149 76.7376

6 150 60.2176

7 151 45.6976

8 153 22.6576

9 155 7.6176

10 155 7.6176

11 155 7.6176

12 158 0.0576

13 158 0.0576

14 158 0.0576

15 160 5.0176

16 161 10.4976

17 162 17.9776

18 163 27.4576

19 164 38.9376

20 165 52.4176

21 166 67.8976

22 167 85.3776

23 170 149.8176

24 170 149.8176

25 171 175.2976

Jml 3944 1600.56

mean 157.76

SD 8.166394553

3) Sekarang akan dicari score, , dan | |

No score | |

=

25=1

25

=3944

25

= 157.76

= ( )2

25=1

25 1

= 1600.56

24

= 8.166

(1.81) = 0.4649 Karena negatif, maka = 0.5 (1.81) = 0.5 0.4649 = . (mencari yang lain analog)

1 143 -1.81 0.0351 0.04 0.0449

2 145 -1.56 0.0594 0.08 0.0577

3 147 -1.32 0.0934 0.12 0.0689

4 148 -1.20 0.1151 0.16 0.0767

5 149 -1.07 0.1423 0.2 0.039

6 150 -0.95 0.1711 0.24 0.0731

7 151 -0.83 0.2033 0.28 0.0731

8 153 -0.58 0.2810 0.32 0.0731

9 155 -0.34 0.3669 0.44 0.048

10 155 -0.34 0.3669 0.44 0.048

11 155 -0.34 0.3669 0.44 0.048

12 158 0.03 0.5120 0.56 0.0054

13 158 0.03 0.5120 0.56 0.0154

14 158 0.03 0.5120 0.56 0.0185

15 160 0.27 0.6054 0.6 0.0189

16 161 0.40 0.6554 0.64 0.0164

17 162 0.52 0.6985 0.68 0.0133

18 163 0.64 0.7389 0.72 0.0038

19 164 0.76 0.7764 0.76 0.0092

20 165 0.89 0.8133 0.8 0.0268

21 166 1.01 0.8438 0.84 0.0268

22 167 1.13 0.8708 0.88 0.0526

23 170 1.50 0.9332 0.96 0.0449

24 170 1.50 0.9332 0.96 0.0577

25 171 1.62 0.9474 1 0.0689

Jml 3944

mean 157.76

SD 8.166

4) Cari nilai terbesar dari | |, misalkan beri nama D, bandingkan dengan tabel

kolmogorov smirnov.

= | | terbesar adalah 0.0767.

= ; = 0.05;25 = 0.23768

Karena < maka terima 0 dan tolak .

Dengan kata lain bahwa data tidak berbeda dengan populasi yang berdistribusi

normal (data sampel normal).

Latihan 1.

Dipunyai suatu tabel sebaran yang menggambarkan nilai pelajaran bahasa Indonesia

dari 55 mahasiswa adalah sebagai berikut,

No Nilai banyak

1 0 - 9 2

2 10 - 19. 1

3 20 - 29 3

4 30 - 39 5

5 40 - 49 9

6 50 - 59 11

7 60 - 69 16

8 70 - 79 4

9 80 - 89 3

10 90 - 99 1

Periksa apakah data pada latihan 1 berdistribusi normal atau tidak1

Latihan 2.

Dipunyai data banyaknya kendaraan beroda 2 yang melintas di wilayah kelapa dua

serpong merk ABRAKADABRA selama satu bulan adalah sebagai berikut,

Hari ke

banyak

kendaraan

(buah)

Hari ke

banyak

kendaraan

(buah)

Hari ke

banyak

kendaraan

(buah)

1 7 11 22 21 8

2 24 12 13 22 20

3 21 13 9 23 17

4 15 14 6 24 20

5 12 15 22 25 22

6 9 16 20 26 18

7 9 17 17 27 14

8 24 18 16 28 8

9 21 19 20 29 25

10 20 20 11 30 16

Selidiki apakah data pada latihan 2 berdistribusi normal atau tidak!

Pertemuan 5

UJI HOMOGENITAS

Uji homogenitas dimaksudkan untuk memperlihatkan bahwa dua atau lebih kelompok

data sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi yang sama. UJI HOMOGENITAS juga

biasa disebut dengan UJI KESAMAAN DUA VARIANSI, uji ini digunakan untuk mengetahui

apakah sebaran data homogen atau tidak, artinya apakah data yang dianalisa berasal dari

populasi yang tidak jauh berbeda keragamannya.

Uji homogenitas dilihat dengan cara membandingkan variansi-nya. Jika dua buah data

atau lebih memiliki variansi yang sama, maka uji homogenitas tidak perlu dilakukan.

Uji homogenitas dilakukan apabila kondisi data adalah mempunyai sebaran normal.

Pengujian homogenitas varians suatu kelompok data, dapat dilakukan dengan cara:

1) Uji Fisher ( Uji F ), dan

2) Uji Bartlett.

3) Levene

Pada pertemuan ini, kita akan mempelajari penggunaan uji Fisher dan Bartlett.

Uji Fisher (Uji F)

Uji Fisher atau dikenal dengan uji F digunakan untuk menguji hipotesis dari dua kelompok

data.

Rumus Uji F

=

(5.1. )

di mana:

12 = varians kelompok 1

22 = varians kelompok 2.

Catatan :

N 2

j j

j 1

f . A X

sN 1

, atau

2N N

2

j 1 j 1s

N N 1

j j j jN f . X f . X

Hipotesis pengujian adalah:

0 = 12 = 2

2 (variansi data homogen)

0 = 12 2

2 (variansi data tidak homogen)

Kriteria pengujian,

Jika (1

1

2); (1; 2)

< < 12

(1;2) maka terima 0, dan sebaliknya

Jika (112

); (1; 2) atau 1

2(1;2)

maka tolak 0.

di mana 1 = 1 1; 2 = 2 1

Catatan :

(1

12

); (1; 2)=

1

12

; (2; 1)

(1

12

.0.10)(9;12)= (.)(;) =

1

0.05; (;)=

1

3,07= 0,328

Note : untuk menghitung nilai dalam tabel, nilai di tabel hanya pada = 0.01 dan =0.05; Bagaimana jika tidak ada pada tabel? untuk menentukan nilai lainnya dapat digunakan rumus

=

(; )

Ada dua macam pengukuran kelembaman suatu zat. Cara ke I dilakukan dengan 10

kali yang menghasilkan 2 = 24,7 dan cara ke II dilakukan 13 kali dengan 2 = 37,2.

Dengan = 0,10 tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai

varians yang homogen?

Penyelesaian:

Diketahui : 1 = 10; 1 = 9 ; 12 = 24,7

2 = 13 ; 2 = 12; 22 = 37,2

Ditanya : Apakah varians homogen?

Jawab :

Kita hitung tabel

=24,7

37,2= 0,663

Sekarang kita hitung tabel

(0,05); (;) = 3,07

(10.05)(9;12) = (.)(;) =1

0.05; (;)=

1

3,07= 0,328

12

(0.10)(9;12)= (0,05);(9;12) = 2,80

Contoh 5.1

Karena (0.95)(9;12) < < (0,05);(9;12) yaitu 0,328 < 0,663 < 2,8 berarti

terima .

Jadi kedua cara pengukuran mempunyai varians yang homogen.

Suatu penelitian, untuk untuk mengetahui kinerja dosen berdasarkan latar belakang

pendidikan disusun. Oleh karena itu dibuatlah sebuah alat ukur yang bisa digunakan

untuk mengetahui skor kinerja dosen. Terdapat 70 responden sebagai subyek

penelitian tersebut. Adapun ringkasannya dapat dilihat dari tabel 5.1. Diketahui juga

= 10%.

Pendidikan Terakhir

Jml.Responden Jml.Skor Kinerja

Rata-rata skor

Varians data

S2 20 1849 92,45 8,23

S3 50 4634 92,68 8,46

Tabel 5.1. ringkasan data kinerja dosen

Hipotesis pengujian:

0: 12 = 2

2 (varians data homogen)

: 12 2

2 (varians data tidak homogen)

Langkah pengujian:

1. Varians data dari setiap kelompok sampel

Varians dari golongan S2

12 = 8,23 dengan 1 = 20 1 = 19

Varians golongan S3

22 = 8,46 dengan 2 = 50 1 = 49

2. Menghitung nilai , yaitu

=1

2

22 =

8,23

8,46= 0,973

3. Melihat nilai , dengan 1 = 19; 2 = 49 pada = 5% diperoleh

(10.05)(19;49) = (0.95)(19;49) =1

0.05; (49;19)=

1

2,00= 0,50

Contoh 5.2

(0,05; 19; 49) = 1,803

4. Karena (10.05)(19;49) < < (0,05; 19; 49) maka terima

5. Artinya varians skor kinerja guru kelompok 3A dengan kelompok 3B

homogen pada taraf 10% (selang kepercayaan 90%).

Ujian akhir mata kuliah A telah diberikan kepada kelompok mahasiswa dan

mahasiswi. Dalam ujian tersebut telah diikuti 68 mahasiswa dan 46 mahasiswi,

setelah dinilai ternyata untuk mahasiswa mencapai rata-rata 84 dengan simpangan

baku 9 dan untuk mahasiswi mencapai rata-rata 80 dengan simpangan baku 10.

ujilah homogenitas kedua varians dengan taraf nyata 0,10 yang diasumsikan bahwa

varians kedua populasi sama dengan alternatif tidak sama !

Penyelesaian:

Diketahui : n1 = . ; dk1 = . ; s12 = .

n2 = . ; dk2 = . ; s22 = .


Jawab :

1. Formulasi hipotesis

Ho : ..

Ha : ..

2. Taraf nyata () dan nilai Ftabel

: 0,10

s12 = ..

Contoh 5.3

s22 = ..

Ftabel = (12

); (1; 2)= (..); (; ), dan

(1

1

2); (1; 2)

=

2 1

1 ( ; )

2

1

dk dkF

= ....... (....... ; .......)

1

F

3. Kriteria pegujian

Ho diterima, jika ...

Ho ditolak, jika ...

4. Uji Statistik

S12 = ...

S22= ...

Fhitung =

5. Kesimpulan

Karena

.......................................................................................................................

,maka

.......................................................................................................................

.

Jadi,

.......................................................................................................................

...

Pertanyaannya sekarang, bagaimana apabila uji yang dihadapi ternyata uji satu pihak,

yaitu

Uji Pihak Kanan yaitu untuk hipotesis dengan tandingan , dan

{: 1

2 = 22

: 12 > 2

2

Kriteria pengujian :

Jika < (1;2) Terima , sedangkan sebaliknya

Jika (1;2) Tolak .

Uji Pihak Kiri:

{: 1

2 = 22

: 12 < 2

2

Kriteria pengujian :

Jika > (1)(1;2) maka Terima , sedangkan sebaliknya

Jika (1)(1;2) maka Tolak

Note : Nilai F tabel anda bisa peroleh dengan menggunakan bantuan software excel atau

calc dengan kata kunci = (, 1, 2). 1 juga biasa disebut derajad kebebasan varians kelompok 1. 2 juga biasa disebut derajad kebebasan varians kelompok 2.

Ujian akhir m Penelitian terhadap dua metode belajar menghasilkan 12 = 25,4 dan

22 = 30,7. masing-masing dilakukan sebanyak 13 dan 11 kali. Dengan menggunakan

= 5%, ada anggapan bahwa metode pertama menghasilkan varians lebih kecil.

Apakah betul anggapan tersebut?

Penyelesaian:

Contoh 5.4

Diketahui : 12 = 25,4

22 = 30,7

1 = 13; 2 = 11

1 = 12; 2 = 10

Ditanya : Akan diperiksa 12 > 2

2

Jawab :

Yang akan diuji

{: 1

2 = 22

: 12 > 2

2

Kita cari hitung

=25,4

30,7= 0,827

Kit cari tabel

0,05(12;10) = 2,913.

Karena 0,827 < 2,913 maka terima .

Artinya metode ke I mempunyai varians lebih kecil daripada metode II.

Terdapat sebuah penelitian berjudul Pengaruh Penggunaan Alat Peraga Terhadap

Hasil Belajar Matematika. Dalam penelitian ini, peneliti ingin mencari

kehomogenitasan dari variabel bebas antara penggunaan alat peraga manual sebagai

kelas kontrol terhadap penggunaan alat peraga multimedia sebagai kelas ekspriment.

Perhitunganya mengacu kepada langkah-langkah di atas, adalah sebagai berikut:

No

Siswa

Kelas

Eksperiment

Kelas

Kontrol

No Siswa

Kelas

Eksperiment

Kelas

Kontrol

1 100 91 11 96 87

2 100 91 12 96 87

3 100 91 13 91 87

4 100 91 14 91 83

5 96 91 15 91 83

6 96 87 16 91 83

7 96 87 17 91 83

8 96 87 18 87 83

9 96 87 19 87 83

10 96 87 20 87 78

Jika Rata-rata dan simpangan baku kelas eksperiment adalah : 94,2 dan 4,396. Sedangkan

Rata-rata dan simpangan baku kelas kontrol adalah : 86,35 dan 3,617.

Contoh 5.4

Penyelesaian:

Diketahui : n1 = . ; dk1 = . ; s12 = .

n2 = . ; dk2 = . ; s22 = .


Jawab :

1. Formulasi hipotesis Ho : .. Ha : ..

2. Taraf nyata () dan nilai Ftabel

: 0,10 s12 = ..

s22 = ..

Ftabel = (12

); (1; 2)= (..); (; ), dan

(1

1

2); (1; 2)

=

2 1

1 ( ; )

2

1

dk dkF

= ....... (....... ; .......)

1

F

3. Kriteria pegujian

Ho diterima, jika ...

Ho ditolak, jika ...

4. Uji Statistik

S12 = ...

S22= ...

Fhitung =

5. Kesimpulan

Karena

.......................................................................................................................

,maka

.......................................................................................................................

.

Jadi,

.......................................................................................................................

...

1. Ujian mata kuliah STATISTIKA DASAR telah diberikan kepada kelompok mahasiswa

dan mahasiswi. Dalam ujian tersebut diikuti 68 mahasiswa dan 46 mahasiswi.

Setelah dinilai ternyata untuk mahasiswa mencapai rata-rata 84 dengan

simpangan baku 9 dan untuk mahasiswi mencapai rata-rata 80 dengan simpangan

baku 10. Ujilah homogenitas kedua varians dengan taraf signifikansi 10%.

2. Diberikan dua buah sampel dengan data

Sampel I : 87, 79, 65, 92, 80, 98, 83

Sampel II : 96, 67, 72, 83, 78

Yang masing-masing diambil dari populasi I dengan simpangan baku 1 dan ari

populasi II dengan simpangan baku 2. Dengan menggunakan = 5% supaya diuji

hipotesis : 12 = 2

2 melawan : 12 > 2

2.

Latihan 5.1

Apabila kelompok data yang akan diuji kehomogenannya lebih dari dua, maka

digunakan uji Bartlett. Pada pengujian ini terdapat syarat data bahwa data harus

berdistrbusi normal

Kita misalkan masing-masing sampel berukuran 1, 2, , dengan data ( =

1, 2, , = 1,2, , ) dan hasil pengamatan disusun dalam tabel 5.2.

Selanjutnya dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah

12, 2

2, 32, ,

2.

Dari populasi ke

1 2 k

Data hasil pengamatan

1 1

1 2

1 3

1 1

2 1

2 2

2 2

1 2

1

2

3

Tabel 5.2. data sampel dari buah populasi

Untuk memudahkan perhitungan satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett

lebih baiknya disusun dalam sebuah daftar seperti dalam tabel 5.3.

Sampel ke

()

1

1 1

1

1 1

1

2 log 12 (1 1) log 1

2

2

2 1

1

2 1

2

2 log 22 (2 1) log 2

2

k 1 1

1

2 log 2 ( 1) log

2

Uji Bartlett

Jumlah ( )

=

=

- - ( )

=

Tabel 5.3. harga-harga yang diperlukan untuk uji Bartlett : 12 = 2

2 = = 2

Dari tabel 5.3. kita hitung harga-harga yang diperlukan, yaitu

1) Varians Gabungan dari semua sampel

2 = ( 1)

2=1

1=1

2) Harga Satuan yang kita namakan dengan rumus

= (log 2) ( 1)

=1

Rumus uji Bartlet adalah dengan menggunakan statistika Chi Square, dengan

2 = ( 10) ( ( 1) log 2

=1

)

dimana,

ln 10 = 2,3026, ini disebut logaritma asli dari bilangan 10.

= jumlah data

2 = variansi data untuk setiap kelompok ke

= ( 1) = derajad kebebasan.

Hipotesis pengujian,

0: 12 = 2

2 = = 2

: paling sedikit salah satu tanda tidak sama.

Kriteria pengujian

Jika 2

2(1;=1)

maka tolak 0.

Jika 2

< 2(1;=1)

maka terima 0.

Misalkan pertambahan berat badan kambing karena disebabkan empat macam

makanan dirangkum dalam tabel 5.4.

Pertambahan berat karena makanan ke

1 2 3 4

Data hasil pengamatan

12 20 23 10 17

14 15 10 19 22

6 16 16 20

9 14 18 19

Tabel 5.4. pertambahan berat badan (dalam kg) lambing setelah percobaan dilakukan

Penyelesaian:

Hipotesis :

0: 12 = 2

2 = 32 = 4

2

: keempat ragam populasi adalah tidak homogen (dalam contoh ini tidak

semuanya sama)

Kita hitung varians untuk tiap sampel, diperoleh

12 = 29,3 ; 2

2 = 21,5 ; 32 = 35,7 ; 4

2 = 20,7

Kemudian dirangkum dalam tabel 5.5 sesuai acuan dari tabel 5.3, diperoleh harga-

harga yang dibutuhkan adalah,

Contoh 5.5

Sampel ke

()

1 4 0,25 29,3 1,4669 5,8676

2 4 0,25 21,5 1,3324 5,3296

3

3

0,25 35,7 1,5527 4,6581

4 3 0,25 20,7 1,3160 3,9480

Jumlah , - - ,

Varians gabungan dari empat sampel adalah

2 =4(29,3) + 4(21,5) + 3(35,7) + 3(20,7)

4 + 4 + 3 + 3= 26,6

sehingga

log 2 = log(26,6) = 1,4249

dan

= (1,4249)(14) = 19,9486

sehingga

2 = ( 10) ( ( 1) log 2

=1

)

= (2,3026)(19,9486 19,8033)

= 0,063

Misalkan yang dipakai adalah 5%, dari daftar tabel Chi Square diperoleh dengan

= 3 diperoleh 2(0,95)(3)

= 7,81.

Ternyata bahwa 2 = 0,063 < 7,81 ehingga terima

Suatu penelitian tentang perbedaan hasil belajar siswa akibat dari suatu perlakuan

(eksperimen). Adapun perlakuan yang diberikan adalah perbedaan strategi/metode

pembelajaran pada siswa. Adapun strategi/ metode pembelajaran yaitu:

Kelompok 1 : Metode A (Diskusi kelompok besar)

Kelompok 2 : Metode B (Diskusi kelompok kecil)

Kelompok 3 : Metode C (Ceramah dengan media)

Kelompok 4 : Metode D (Ceramah tanpa media)

Adapun data hasil belajar siswa berdasarkan skor tes yang diperoleh dan jumlah siswa

untuk setiap kelompok disajikan pada tabel berikut:

No Kel.1 Kel. 2 Kel. 3 Kel. 4

1 23 17 15 28

2 20 22 15 24

3 21 27 14 21

4 21 25 20 23

5 24 20 21 22

6 18 17 18 26

7 13 20 19 20

8 17 22 21 22

9 22 23 15 24

10 14 25 20 23

11 18 28 19 24

12 22 26 18 21

13 21 27 14 19

14 18 18 18 22

15 19 22 25 24

16 17 25 26

17 18 24 28

18 15 16

19 24 20

20 23 24

21 19 19

Contoh 5.6

22 22 17

23 20 18

24 19

25 15

Jumlah

483

399

435 397

N 25 15 23 17

Rerata

19,32

22,60

18,91

23,35

Untuk menguji homogenitas varians data dari keempat kelompok digunakan teknik

Bartlett. Berdasarkan data di atas dapat dihitung nilai varians setiap kelompok seperti

pada tabel berikut.

Statistik Kelompok Perlakuan

Kel. 1 Kel. 2 Kel. 3 Kel. 4

Rata-rata (X) 19,32 22,60 18,91 23,35

S.Deviasi (s) 3,06 3,68 3,36 2,57

Varians (s2) 9,39 13,54 11,26 6,62

Jumlah data (n) 25 15 23 17

Hipotesis statistik untuk pengujian homogenitas varians, adalah

0 12 = 2

2 = 32 = 4

2

keempat ragam populasi adalah tidak homogen (dalam contoh ini tidak

semuanya sama)

Langkah-langkah perhitungan :

1. Varians dari setiap kelompok sampel :

Varians dari Kel. 1 s12 = 9,39; dengan dk = 25 1 = 24.




2. Tabel homogenitas varians :

Tabel Penolong untuk Uji Homogenitas Varians

Sampel .dk 1/dk si2 dk. si2 .log si2 (dk)log si2

Kel. 1 24 0,04 9,39 225,44 0,97 23,35

Kel. 2 14 0,07 13,54 189,60 1,13 15,84

Kel. 3 22 0,05 11,26 247,83 1,05 23,14

Kel. 4 16 0,06 6,62 105,88 0,82 13,13

76 40,82 768,75 3,98 75,46

3. Menghitung varians gabungan

2 = ( 1) .

2=1

( 1)=1

=

= =10,12

4. Menghitung nilai B

= (log 2) ( 1)

=1

B = ..

= ..

= ..

5. Menghitung harga chi-kuadrat :

2 = ( 10) ( ( 1) log 2

=1

)

2 = ..

2 = ..

2 = ..

Untuk = 5%, dari daftar distribusi dengan dk = .

didapat 2

= ..

ternyata bahwa 2

. 2

sehingga hipotesis yang menyatakan varians homogen di dalam taraf =

5%.

1. Selidikilah homogenitas varians tiga metode yang digunakan untuk mengajar

Matematika dengan = 5% yang telah diberikan kepada tiga kelompok anak-

anak SD. Hasil ujian pada akhir pengajaran berdaarkan metode tersebut dirangkum

dalam tabel berikut.

metode dk 2

1

2

3

8

5

6

180,11

101,37

94,48

Latihan 5.2

2. Berikut ini adalah data hasil nilai posttest dari hasil penelitian terhadap

perbandingan 3 buah metode.

TES HASIL BELAJAR MATEMATIKA

TIGA METODE PEMBELAJARAN

Praktek Diskusi Ceramah

No Xi Xi2 Xi Xi2 Xi Xi2 1 64 4096 64 4096 36 1296

2 36 1296 81 6561 9 81

3 81 6561 81 6561 4 16

4 64 4096 81 6561 9 81

5 81 6561 36 1296 81 6561

6 81 6561 64 4096 36 1296

7 64 4096 81 6561 81 6561

8 36 1296 9 81 81 6561

9 64 4096 81 6561 36 1296

10 64 4096 64 4096 36 1296

11 36 1296 81 6561 53 2809

12 49 2401 81 6561 9 81

13 81 6561 36 1296 25 625

14 49 2401 49 2401 25 625

15 36 1296 64 4096 25 625

16 64 4096 36 1296 25 625

17 36 1296 36 1296 100 10000

18 36 1296 81 6561 100 10000

19 36 1296 81 6561 25 625

20 36 1296 9 81 100 10000

21 81 6561 64 4096 25 625

22 81 6561 81 6561

1256 79112 1341 93837 921 61685

12 =

n xi2 ( xi)

2

n(n 1)= 352,66

22 =

n xi2 ( xi)

2

n(n 1)= 576,05

32 =

n xi2( xi)

2

n(n1)=1064,63

Ujilah kemohogenan varians dari kelompok-kelompok tersebut!

3. Suatu penelitian tentang perbedaan hasil belajar akibat dari tiga perlakuan

dirangkum dalam tabel berikut,

No Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

23 21 20 21 24 22 14 18 22 18 21 19 17 15 20

17 22 27 25 20 19 23 21 17 20

23 21 21 20 19 17 15 20 21 19 23 23 19

Ujilah kemohogenan varians dari kelompok-kelompok tersebut!

4. Sembilan belas ekor sapi dibagi ke dalam 4 kelompok dan tiap kelompok diberikan

makanan yang berbeda. Data yang digunakan berat dalam kg, dan diharapkan

melalui pengujian diperoleh berat yang sama untuk semua sapi. Dan dirangkum

dalam tabel berikut, ujilah kehomogenan dari varinsi kelompk-kelompok tersebut!

Makanan 1 Makanan 2 Makanan 3 Makanan 4

60,8

57

65

58,6

61,7

68,7

67,7

74

66,3

69,8

102,6

102,1

100,2

96,5

87,9

84,2

83,1

85,7

90,3

Uji Levene juga merupakan metode pengujian homogenitas varians yang hampir sama

dengan uji Bartlet. Perbedaan uji Levene dengan uji Bartlett yaitu bahwa data yang diuji

dengan uji Levene tidak harus berdistribusi normal, namun harus kontinue. Pengujian

hipotesis yaitu :

H0 : 12 = 2

2 = = 2 (data homogen)

H1 : paling sedikit ada satu 2 yang tidak sama

Statistik uji : = ()

(1)

(=1 ..)

2

(=1

=1 )

2

adalah rata-rata grup

.. adalah rata-rata seluruh data

Dimana dapat diperoleh dari :

= | | dimana : adalah rata-rata sub grup ke-i

= | | dimana : adalah median sub grup ke-i

= | 1

| dimana : 1 rata-rata dari 10% data sub grup ke-i

Kriteria Pengujian : Ho ditolak jika ),1,( kNkFW .

Dimana :

adalah rata-rata grup

.. adalah rata-rata seluruh data

Dimana dapat diperoleh dari :

= | | dimana : adalah median sub grup ke-i

Tolak H0 jika : W > F(, k-1, N-k)

Uji LEVENE

Berikut ini adalah hasil nilai tes siswa

TES HASIL BELAJAR MATEMATIKA

TIGA METODE

Praktek Diskusi Ceramah

No Xi Xi2 Xi Xi2 Xi Xi2 1 64 4096 64 4096 36 1296

2 36 1296 81 6561 9 81

3 81 6561 81 6561 4 16

4 64 4096 81 6561 9 81

5 81 6561 36 1296 81 6561

6 81 6561 64 4096 36 1296

7 64 4096 81 6561 81 6561

8 36 1296 9 81 81 6561

9 64 4096 81 6561 36 1296

10 64 4096 64 4096 36 1296

11 36 1296 81 6561 53 2809

12 49 2401 81 6561 9 81

13 81 6561 36 1296 25 625

14 49 2401 49 2401 25 625

15 36 1296 64 4096 25 625

16 64 4096 36 1296 25 625

17 36 1296 36 1296 100 10000

18 36 1296 81 6561 100 10000

19 36 1296 81 6561 25 625

20 36 1296 9 81 100 10000

21 81 6561 64 4096 25 625

22 81 6561 81 6561

1256 79112 1341 93837 921 61685

12 =

n xi2 ( xi)

2

n(n 1)= 352,66

22 =

n xi2 ( xi)

2

n(n 1)= 576,05

Contoh 5.7

32 =

n xi2( xi)

2

n(n1)=1064,63

1). = | | dimana : adalah median sub grup ke-i

= |64 64|

= 0

64 merupakan median dari group metode praktek (X1) 64 merupakan median dari group metode diskusi (X2)

36 merupakan median dari group metode ceramah (X3)

Dst..

Tabel 4

HASIL DATA MEDIAN DAN Zij

No Praktek

Group

Median Zij

Diskusi Group

Median Zij

Ceramah Group

Median Zij

X1 X2 X3

1 64 64 0 64 64 0 36 36 0

2 36 64 28 81 64 17 9 36 27

3 81 64 17 81 64 17 4 36 32

4 64 64 0 81 64 17 9 36 27

5 81 64 17 36 64 28 81 36 45

6 81 64 17 64 64 0 36 36 0

7 64 64 0 81 64 17 81 36 45

8 36 64 28 9 64 55 81 36 45

9 64 64 0 81 64 17 36 36 0

10 64 64 0 64 64 0 36 36 0

11 36 64 28 81 64 17 53 36 17

12 49 64 15 81 64 17 9 36 27

13 81 64 17 36 64 28 25 36 11

14 49 64 15 49 64 15 25 36 11

15 36 64 28 64 64 0 25 36 11

16 64 64 0 36 64 28 25 36 11

17 36 64 28 36 64 28 100 36 64

18 36 64 28 81 64 17 100 36 64

19 36 64 28 81 64 17 25 36 11

20 36 64 28 9 64 55 100 36 64

21 81 64 17 64 64 0 25 36 11

22 81 64 17 81 64 17 - - -

2). Zi adalah rata-rata grup Zij

Zi = Zij

N, dari goup masing-masing, dengan N = jumlah sampel dalam group

HASIL DATA Zij DAN Zi_bar ()

Praktek Zij Zi_bar

Diskusi Zij Zi_bar

Ceramah Zij Zi_bar

X1 X2 X3

64 0 16,182 64 0 18,5 36 0 24,905

36 28 16,182 81 17 18,5 9 27 24,905

81 17 16,182 81 17 18,5 4 32 24,905

64 0 16,182 81 17 18,5 9 27 24,905

81 17 16,182 36 28 18,5 81 45 24,905

81 17 16,182 64 0 18,5 36 0 24,905

64 0 16,182 81 17 18,5 81 45 24,905

36 28 16,182 9 55 18,5 81 45 24,905

64 0 16,182 81 17 18,5 36 0 24,905

64 0 16,182 64 0 18,5 36 0 24,905

36 28 16,182 81 17 18,5 53 17 24,905

49 15 16,182 81 17 18,5 9 27 24,905

81 17 16,182 36 28 18,5 25 11 24,905

49 15 16,182 49 15 18,5 25 11 24,905

36 28 16,182 64 0 18,5 25 11 24,905

64 0 16,182 36 28 18,5 25 11 24,905

36 28 16,182 36 28 18,5 100 64 24,905

36 28 16,182 81 17 18,5 100 64 24,905

36 28 16,182 81 17 18,5 25 11 24,905

36 28 16,182 9 55 18,5 100 64 24,905

81 17 16,182 64 0 18,5 25 11 24,905

81 17 16,182 81 17 18,5 - - -

3). Z adalah rata-rata seluruh data Zij

Z = Zij

N, dari seluruh group dalam hal ini data yang diuji terdiri dari tiga

metode praktek, diskusi, dan ceramah. Dengan N=65.

4). Tentukan besaran dari ( )2

5). Lanjutkan dengan ( )2

6). Uji Statistik:

= ( )

( 1)

( =1 . . )

2

( =1

=1 )

2

Tabel 5

HASIL DATA UJI LEVENA

Praktek Group

Median Zij Zi_bar Z_bar

(Zij-Zi)2 (Zi-Z)2 Diskusi Group Median

Zij Zi_bar Z_bar (Zij-Zi)2 (Zi-Z)2 Ceramah Group

Median Zij Zi_bar Z_bar

(Zij-Zi)2 (Zi-Z)2

X1 bar bar X2 bar bar X3 bar bar

64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 9 36 27 24,905 19,785 4,390 26,2159

81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 4 36 32 24,905 19,785 50,342 26,2159

64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 9 36 27 24,905 19,785 4,390 26,2159

81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 81 36 45 24,905 19,785 403,819 26,2159

81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159

64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 81 36 45 24,905 19,785 403,819 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 9 64 55 18,5 19,785 1332,25 1,65024 81 36 45 24,905 19,785 403,819 26,2159

64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159

64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 36 36 0 24,905 19,785 620,247 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 53 36 17 24,905 19,785 62,485 26,2159

49 64 15 16,182 19,785 1,39669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 9 36 27 24,905 19,785 4,390 26,2159

81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159

49 64 15 16,182 19,785 1,39669 12,9801 49 64 15 18,5 19,785 12,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159

64 64 0 16,182 19,785 261,851 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 36 64 28 18,5 19,785 90,25 1,65024 100 36 64 24,905 19,785 1528,438 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 100 36 64 24,905 19,785 1528,438 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159

36 64 28 16,182 19,785 139,669 12,9801 9 64 55 18,5 19,785 1332,25 1,65024 100 36 64 24,905 19,785 1528,438 26,2159

81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 64 64 0 18,5 19,785 342,25 1,65024 25 36 11 24,905 19,785 193,342 26,2159

81 64 17 16,182 19,785 0,66942 12,9801 81 64 17 18,5 19,785 2,25 1,65024 - - - - - - -

2695,27 285,563

4771,5 36,3052

9563,810 550,534

38

= ( )

( 1)

( =1 . . )

2

( =1

=1 )

2

= (65 3)

(3 1)

872,40

17030,58

W = 1,587995

SS df

Between Group 872,4024 2

Within Group 17030,58 62

Levene's Statistic 1,587995

Critical Value (=0.05) 3,145258

P-value 0,212533

Tolak H0 jika : W > F(, k-1, N-k)

Dari hasil yang didapat W=1,588

38

TABEL KURVA NORMAL

38

TABEL DISTRIBUSI Z

38

TABEL DISTRIBUSI F

Pertemuan04 & 05_Uji Normalitas & Homogenitas

Documents

Transcript of Pertemuan04 & 05_Uji Normalitas & Homogenitas