PROBABILITAS DAN ILMU STATISTIK

Oleh : Rena Amalika Asyari

Himpunan dan OperasinyaHimpunan adalah kumpulan objek atau sesuatu yang didefinisikan dengan jelas Himpunan kosongDefinisi : himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi : { } atau

Rena Amalika Asyari

2

Himpunan Bagianjika n (A) = banyaknya anggota dari himpunan A p = banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari himpunan A maka p = 2 n(A)

Himpunan KuasaDefinisi : Himpunan Kuasa dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah himpunanhimpunan bagian dari A Notasi : 2ARena Amalika Asyari 3

Operasi Operasi pada HimpunanB A B A A B

A B

A BA B A

A BB

A

A

C

A BRena Amalika Asyari

A B

4

PROBABILITAS

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingka ketidakpastian terjadinya suatu kejadian yang acak. Probabilitas biasanya dinyatakan dalam desimal atau pecahan dan besarnya antara 0 dan 1. Probabilitas sama dengan 0 berarti sesuatu tidak pernah terjadi. Probabilitas sama dengan 0 berarti sesuatu pasti terjadi. Suatu kejadian (event) adalah hasil yang mungkin dari kegiatan-kegiatan yang dinamakan percobaan (experiment). Ruang sample (sample space) adalah seluruh hasil yang diperoleh dari suatu percobaan.Rena Amalika Asyari 5

PENDEKATAN PROBABILITAS

Pendekatan Klasikyaitu jika probabilitas suatu peristiwa yang akan terjadi dapat diketahui sebelum melakukan percobaan, besarnya berdasarkan pemikiran logis. contoh : Probabilitas munculnya mata dadu 5 adalah 1/6 karena sebuah dadu terdapat 6 mata. Jika probabilitas terjadinya peristiwa A adalah P(A) maka probabilitas tidak terjadinya peristiwa A adalah P(A)Rena Amalika Asyari 6

Pendekatan frekuensi relatifsering dinamakan probabilitas empiris karena besarnya ditentukan melalui percobaan, dirumuskan sbb:P = Jumlah frekuensi terjadinya peristiwa jumlah observasi

Contoh: Dalam pelemparan sebuah uang logam dilihat probabilitas empiris munculnya sisi muka.Rena Amalika Asyari 7

Pendekatan subyektifDidasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan berdasarkan fakta yang ada. Biasanya terjadi dalam bentuk opini atau pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas. Misalnya : dalam pemilihan seorang pegawai dari 3 calon yang sama-sama pandai, lincah dan tanggung jawab.

Rena Amalika Asyari

8

Ruang sampel dan Peristiwa

Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan. Sedangkan peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Syarat ruang sampel: a. Dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan. Misalnya, melempar mata uang sekali hasilnya B/B, tidak bisa BB. Jika melempar dua kali hasilnya BB/BB/BB/BB. b. Harus terbagi habis artinya harus memuat seluruh kemungkinan hasil. Misal, jika melempar dadu sekali maka S adalah (1; 2; : : : ; 6).Rena Amalika Asyari 9

Hasil eksperimen berbeda-beda sehingga bersifat acak, biasanya digunakan istilah variabel acak dengan simbol X. Misal uang logam Rp50 dilempar tiga kali. Jika keluar gambar burung, B, diberi nilai 1 dan jika keluar bukan burung, B, diberi nilai 0. maka ruang sampelnya S = {BBB; BBB; BBB;BBB;BBB; BBB; BBB;BBB} n = 8. Jika X menyatakan jumlah gambar burung untuk 3 kali lemparan maka : X = 3 adalah BBB X = 2 adalah BBB;BBB;BBB X = 1 adalah BBB;BBB;BBB X = 0 adalah BBB Jadi, X = [0; 1; 2; 3].Rena Amalika Asyari 10

Peristiwa Bersama

Terjadinya 2 atau lebih peristiwa dalam percobaan. Notasi yang berkaitan dengan peristiwa bersama X dan Y adalah P(X U Y)= Probabilitas terjadinya X atau Y P(XY)= Probablitas terjadinya X dan Y bersama-sama P(X) = Probabilitas terjadinya X P(Y) = Probabilitas terjadinya Y

Rena Amalika Asyari

11

Permutasi - Kombinasi

Untuk mempermudah mencari peristiwa-peristiwa yang terjadi dalam ruang sampel dapat digunakan pendekatan perhitungan dengan konsep permutasi dan kombinasi dengan kaidah-kaidah sebagai berikut: Jika suatu operasi A dapat dibentuk dengan n cara dan suatu operasi B dapat dibentuk dengan m cara maka operasi A&B dapat dibentuk bersama-sama dalam jumlah nm cara. Jumlah permutasi dari sebanyak n elemen adalah n! = n(n - 1)!.

Rena Amalika Asyari

12

Jumlah permutasi yang dibentuk dari r elemen yang diambil dari n elemen maka jumlah permutasinya Pn-r = n! (n - r)! ; n r . Jumlah kombinasi yang dapat dibentuk dari r elemen yang dipilih dari n elemen maka jumlah kombinasinya Cn-r = n! r !(n-r)! ; nrRena Amalika Asyari 13

Contoh soal :1. Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC ! Jawab : Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC. 2. Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika subuntai ABC harus selalu muncul bersama? Jawab : Karena subuntai ABC harus selalu muncul bersama, maka subuntai ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah 4:3:2:1 = 24.Rena Amalika Asyari 14

3. Tentukan permutasi-5 dari 8 huruf yang berbeda, misalnya ABCDEFGH. Karena r = 5 dan n = 8 maka permutasi-5 dari 8 huruf ABCDEFGH adalah : P(8; 5) = 8! / (8 - 5)! = 8! / 3! = (8x7x6x5x4) = 6720

Rena Amalika Asyari

15

4. Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang? Jawab : Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia. Dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:

Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang.Rena Amalika Asyari 16

5. Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? Jawab : Pertama, memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswa yang ada, yaitu:

Kedua, memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi yang ada, yaitu:

Sehingga terdapat 10:20 = 200 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswiRena Amalika Asyari 17

TUGAS :1. Misalkan terdapat kumpulan bola yang berwarna merah, biru dan hijau yang masing-masing mengandung paling sedikitnya 10 bola. a. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih? b. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih jika paling sedikit 1 bola merah harus terpilih? c. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih jika paling sedikit 1 bola merah, paling sedikit 2 bola biru dan paling sedikit 3 bola hijau harus terpilih? d. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih jika tepat 1 bola merah dan paling sedikit 1 bola biru harus terpilih?

Rena Amalika Asyari

18

2.Sebuah kelompok terdiri dari 6 mahasiswa dan 7 mahasiswi. Ada berapa cara kita bisa memilih panitia yang terdiri dari: a. 3 mahasiswa dan 4 mahasiswi. b. 4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswi. c. 4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswa. d. 4 orang dimana jumlah mahasiswa sama dengan mahasiswi. 3. Berapa banyak untai yang bisa dibentuk dengan mengurutkan huruf ABCDE jika : a. mengandung subuntai ACE. b. mengandung huruf ACE dalam sembarang urutan. c. A muncul sebelum D (misalnya BCADE, BCAED). d. tidak mengandung subuntai AB atau CD.Rena Amalika Asyari 19