Fungsi Invers, Eksponensial, Logaritma,

dan Trigonometri

Tim Kalkulus I

1

JENIS-JENIS FUNGSIFungsi

F.PangkatF. PolinomF. LinierF. KuadratF. KubikF. Bikuadrat

Fungsi rasionalFungsi irrasional

Fungsi non-aljabar (transenden)

Fungsi aljabar

F. EksponensialF. LogaritmikF. TrigonometrikF. Hiperbolik

2

FUNGSI TRANSENDEN

• Fungsi invers• Fungsi logaritma dan eksponen• Turunan dan integral fungsi eksponen dan

logaritma• Fungsi invers trigonometri• Turunan dan integral fungsi invers trigonometri

3

Fungsi Invers

Definisi

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi

untuk setiap x dalam domain g

untuk setiap x dalam domain f

Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f,

Atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.

xxgf ))((

xxfg ))((

4

5

Definisi

Jika fungsi f mempunyai invers, maka dikatakan bahwa dapat diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan

merupakan penyelesaian dari

untuk x sebagai fungsi y.

)(xfy

)(1 yfx )(xfy

6

Teorema

Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari

dan adalah pencerminan dari fungsi satu dengan fungsi yang lain terhadap garis

Contoh suatu fungsi dan inversnya:

)(xfy

)(1 xfy xy

7

8

9

10

11

Contoh:

Carilah invers dari

, kemudian x dan y ditukar

Maka

23)( xxf

23 xy

23 yx

232 yx

23

1 2 xy

0>,23

1)( 21 xxxf

12

13

f(x) = x2

Syarat apa yang harus dipenuhi agar f mempunyai invers?

14

15

16

Latihan Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi di bawah ini mempunyai invers tentukan fungsi inversnya jika ada.

1.

2.

3.

4.

22)( xxxf

133)( 23 xxxxfxexf /1)(

1)(

2

3

x

xxf

17

Turunan fungsi invers

Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila f’(x) ≠ 0 pada suatu titik x dalam interval I, maka invers f dapat diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku

)('

1)()'( 1

xfyf

18

)!6(' tentukan maka

2)( Misal .2

)!4(' tentukan maka

12)( Jika 1.

1

3

1

5

f

xxf

f

xxxf

19

20

Fungsi Logaritma Natural

dan

Eksponensial Natural

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Fungsi Eksponensial Natural

30

31

32

33

34

35

FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONENSIAL UMUM

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Fungsi Invers Trigonometri

Definisi

Fungsi invers sinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi

Fungsi invers cosinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi

Fungsi invers tangen, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi

Fungsi invers secan, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi

1sin

2/2/,sin xx1cos

xx 0,cos1tan

2/2/,tan xx

1sec

2/32/0,sec xatauxx

45

Teorema

2/3

1atau

2/0

1jikasecsec

2/2/jikatantan

0

11 jikacoscos

2/2/

11jikasinsin

1

1

1

1

y

x

y

xxyxy

y

xxyxy

y

xxyxy

y

xxyxy

46

Fungsi Domain Range Hubungan

x1sin 1,1 2/,2/ 2/2/jika)(sinsin 1 xxx

11jikasinsin 1 xxx

x1cos 1,1 ,0 xxx 0jika)(coscos 1

11jika)cos(cos 1 xxx

x1tan , 2/,2/ 2/2/jika)(tantan 1 xxx

xxx jika)tan(tan 1

x1sec ,11, 2/3,2/,0 2/3at2/0jika)(secsec 1 xxxx

1at1jika)sec(sec 1 xxxx

x1cot , ,0

x1csc ,11, 2/,02/,

xxx 0jika)(cotcot 1

xxx jika)cot(cot 1

2/0at2/jika)(csccsc 1 xxxx

1at1jika)csc(csc 1 xxxx

47

48

49

Turunan & Integral Fungsi Invers Trigonometri

Teorema

1

1csc

1

1sec

1

1cot

1

1tan

1

1cos

1

1sin

2

1

2

1

21

21

2

1

2

1

xxx

dx

d

xxx

dx

dx

xdx

d

xx

dx

dx

xdx

d

xx

dx

d

50

dx

du

uuu

dx

d

dx

du

uuu

dx

ddx

du

uu

dx

d

dx

du

uu

dx

d

dx

du

uu

dx

d

dx

du

uu

dx

d

1

1csc

1

1sec

1

1cot

1

1tan

1

1cos

1

1sin

2

1

2

1

21

21

2

1

2

1

51

Ca

u

aauu

duCu

uu

du

Ca

u

aua

duCu

u

du

Ca

u

ua

duCu

u

du

1

22

1

2

122

12

1

22

1

2

sec1

sec1

tan1

tan1

sinsin1

52

Contoh

Hitunglah

Substitusi

dx

e

ex

x

21

CeCuu

dudx

e

e

dxedueu

x

x

x

xx

)(sinsin11

,

11

22

53

Latihan

1. Carilah dy/dx dari

a.

b.

c.

2. a.

b.

)(sin 31 xy

)(sec 1 xey

yxxy 11 cos)(sin

dx

e

ex

x

21

3

1 1xx

dx

54