Linear Programming :Applications Pertemuan 6 Matakuliah: K0442-Metode Kuantitatif Tahun: 2009.
Pertemuan: 02 Metode...
Transcript of Pertemuan: 02 Metode...
Metode Stokastik
Integer ProgrammingFakultas
Teknik
Khamaludin, S.T., M.T
Program Studi
Teknik Industri
Pertemuan:
02
Pengertian Umum
Programa bilangan bulat atau integer programming (IP)adalah bentuk lain dari programa linier atau linierprogramming (LP) di mana asumsi divisabilitasnya melemahatau hilang sama sekali.
Bentuk ini muncul karena dalam kenyataannya tidak semuavariabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.
Misalnya, jika variabel keputusan yang dihadapi adalahjumlah produk yang harus diproduksi untuk mencapaikeuntungan maksimal, maka jawaban 1,5 adalah sangattidak mungkin karena kita tidak bisa memproduksisetengah-setengah.
Jenis Integer Programming
Pure (all) Integer Programming (Programa Bilangan BulatMurni)
Apabila seluruh variabel keputusan dari permasalahanprograma linier harus berupa bilangan bulat (positif atau nol).Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari programa liniernya hilangsama sekali.
Minimize Z = 3X1 + 5X2
Subject to 2X1 + 4X2 > 43X1 + 2X2 > 5X1, X2 > 0; X1, X2 integer
Jenis Integer Programming
Mixed Integer Programming (Programa Bilangan BulatCampuran)
Apabila hanya terdapat sebagian dari variabel keputusan daripermasalahan programa linier yang diharuskan berupabilangan bulat (positif atau nol). Dalam hal ini asumsidivisibiltasnya melemah.
Maximize Z = 6X1 - 4X2
Subject to X1 + X2 < 2-3X1 - 2X2 < 12X1, X2 > 0; X2 integer
Jenis Integer Programming
Zero One Integer Programming (Programa Bilangan Nol-Satu)
Apabila variabel keputusannya diharuskan berharga 0 (nol)atau 1 (satu). Kondisi ini ditemukan dalam kasus di manapersoalan yang dihadapi merupakan persoalan keputusan :ya”atau “tidak”.
Maximize Z = 40X1 + 50X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 3.0004X1 + 2X2 < 2.500X1, X2 = 0 atau 1
Programa Linier Relaksasi
Programa linier relaksasi merupakan bentuk programalinier yang diperoleh dengan mengabaikan pembatasinteger. Sebagai contoh adalah permasalahan programabilangan bulat di bawah ini:
Minimize Z = 3X1 + 5X2
Subject to 2X1 + 4X2 > 43X1 + 2X2 > 5X1, X2 > 0; X1, X2 integer
Programa linier relaksasi dari permasalahan di atas:
Minimize Z = 3X1 + 5X2
Subject to 2X1 + 4X2 > 43X1 + 2X2 > 5X1, X2 > 0
Metode Pemecahan Programa Bilangan Bulat
Metode GrafisMetode ini sama seperti metode pemecahan dalamprograma linier dalam bentuk grafis, namun denganpembatas yakni variabel keputusan – sebagian atau semua– berupa bilangan bulat.
Metode Round Off
Metode ini memberikan cara konvensional atau kolotterhadap permasalahan programa bilangan bulat, yaknimelakukan pembulatan (round off) terhadap solusi optimalbila dimungkinkan.
Metode Branch and Bound
Metode ini dilakukan dengan mengibaratkan suatupermasalahan sebagai pohon (tree), kemudianpermasalahn tersebut dibagi atau dibuat percabangan(branching) ke dalam subset yang lebih kecil.
Contoh:
Maximize Z = 7X1 + 6X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1, X2 > 0; X1, X2 integer
Di mana:X1 : LampuX2 : Kipas angin
Terlihat kalau metode grafis tidak mampu memberikansolusi yang nyata pada permasalahan di atas, karenatidak mungkin perusahaan membuat dan menjualbarang dalam bentuk pecahan.
Hal yang dapat dilakukan adalah menggeser titikoptimal yang masih masuk dalam daerah fisibel, yakni:titik (4,1) atau (3,2). Titik (4,1) akan memberikan solusisebesar 34, sedangkan titik (3,2) akan memberikansolusi sebesar 33.
Karena titik (4,1) memberikan solusi optimal yang lebihmaksimal, maka diperoleh solusi optimal sebesar 34dengan X1 = 4 dan X2 = 1 (perusahaan akanmendapatkan profit sebesar $34 dengan memproduksilampu sebanyak 4 buah dan kipas angin sebanyak 1buah).
Metode Round Off
Dengan perhitungan menggunakan metode grafis atau simpleks,didapatkan solusi optimal Z = 35,25; X1 = 3,75; X2 = 1,5.
Dengan metode Round Off (pembulatan) diperoleh nilaiX1 = 4 dan X2 = 2 sehingga nilai optimal Z = 40
Metode Branch and Bound
Dengan perhitungan menggunakan metode grafis atausimpleks, didapatkan solusi optimal Z = 35,25; X1 = 3,75; X2 =1,5.
Karena X1 dan X2 bukan bilangan bulat, maka solusi ini tidakvalid dan nilai Z (profit) sebesar 35,25 dijadikan sebagai batasatas awal (first upper bounded). Artinya, solusi optimalnantinya tidak akan lebih besar dari 35,25
Kemudian dengan metode pembulatan ke bawah, kitadapatkan X1 = 3 dan X2 = 1 dengan Z = 27 dijadikan batasbawah (lower bounded). Artinya, solusi optimal nantinya haruslebih dari 27.
Dengan kedua Batasan ini, maka solusi optimal yang akan dicariharuslah berada pada rentang 27 sampai 35,25.
Iterasi 1
Subset 1Maximize Z = 7X1 + 6X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4
Subset 2Maximize Z = 7X1 + 6X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 < 3
Iterasi 1
PermasalahanZ = 35,25X1 = 3,75X2 = 1,5
Subset 1Z = 35,2X1 = 4
X2 = 1,2
Subset 2Z = 33X1 = 3X2 = 2
Calon Solusi
X1 > 4 X1 < 3
Iterasi 2
Subset 3Maximize Z = 7X1 + 6X2Subject to 2X1 + 3X2 < 12
6X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 > 2
Subset 4Maximize Z = 7X1 + 6X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 < 1
Iterasi 2Permasalahan
Z = 35,25X1 = 3,75X2 = 1,5
Subset 1Z = 35,2X1 = 4
X2 = 1,2
Subset 2Z = 33X1 = 3X2 = 2
Calon Solusi
X1 > 4 X1 < 3
Subset 3Infeasible fathomed
Subset 4Z = 35,16X1 = 4 1/6
X2 = 1
X1 > 2 X1 < 1
Iterasi 3
Subset 5Maximize Z = 7X1 + 6X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 < 1X1 > 5
Subset 6Maximize Z = 7X1 + 6X2
Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 < 1X1 < 4
PermasalahanZ = 35,25X1 = 3,75X2 = 1,5
Subset 1Z = 35,2X1 = 4
X2 = 1,2
Subset 2Z = 33X1 = 3X2 = 2
Calon Solusi
X1 > 4 X1 < 3
Subset 3Infeasible fathomed
Subset 4Z = 35,16X1 = 4 1/6
X2 = 1
X2 > 2 X2 < 1
Subset 5Z = 35X1 = 5X2 = 0
Solusi Optimal
Subset 6Z = 34X1 = 4X2 = 1
Calon Solusi
X1 > 5 X1 < 4
Perbandingan 3 Metode
Metode Nilai Variabel Keputusan Solusi Keterangan
Grafis X1 = 3 dan X2 = 2 Z = 34 Feasible
Round Off X1 = 4 dan X2 = 2 Z = 40 Infeasible
Branch and Bound X1 = 5 dan X2 = 0 Z = 35 Feasible