PERSAMAAN NON LINEAR
description
Transcript of PERSAMAAN NON LINEAR
PERSAMAAN NON LINEARMETODE TERBUKA:
• Metode Newton Raphson • Metode Secant
Metode Newton Raphson • adalah metode iterasi lain untuk memecahkan
persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’
Metode Newton Raphson • menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang
diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu
• kemudian ditentukan xi+1 sebagai titik potong antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f di titik (xi ,f(xi))
• Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya
• Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan:
Xn+1 = xn - nn
xFxF
1
Algoritma Metode Newton Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)2. Tentukan toleransi error () dan iterasi maksimum (n)3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)5. Untuk iterasi i = 0 s/d n atau |f(xi)|>
– Hitung xi+1 , f(xi+1) dan f’(xi+1)
6. Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) < 7. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh
ii
ii xfxfxx '1
Contoh
• Carilah akar positif dari fungsi f(x) = x2–5, dengan nilai tebakan awal x=1
• JAWAB– f(x) = x2–5– f’(x) = 2x– x0 = 1– f(1) = -4– f’(1) = 2
−n = 7− e = 0.0000001
− x1 = 1 – (-4/2) 3− f(x1) = f(3) = 32 – 5 4− f’(x1) = f’(3) = 2*3 6
ii
ii xfxfxx '1
Contoh
• JAWAB
– x2 = 3 – (4/6) 2,333333– f(x2) = f(2,333333) = 2*3333332 – 5
0,444444– f’(x2) = f’(2,333333) = 2*2,333333 4.666667 – dst
1
'1
12 xfxfxx
Contoh
• Pada i = 6, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) <
• Diperoleh x = 2,236067977
i xi f(x) f'(x) |xi+1 - xi| Status Iterasi0 1 -4 21 3 4 6 2 LANJUT2 2.333333333 0.444444444 4.666667 0.666666667 LANJUT3 2.238095238 0.009070295 4.47619 0.095238095 LANJUT4 2.236068896 4.10606E-06 4.472138 0.002026342 LANJUT5 2.236067977 8.42881E-13 4.472136 9.18143E-07 LANJUT6 2.236067977 0 4.472136 1.88294E-13 BERHENTI
Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
• Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada turunan
• Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit.
Metode Secant• Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara
menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen
• Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan Metode Secant
)()())((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Algoritma Metode Secant :• Definisikan fungsi f(x)• Definisikan torelansi error () dan iterasi maksimum (n)• Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya
terdapat akar yaitu xi-1 (x0) dan xi (x1)– sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik
pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan
• Hitung f(xi-1) f(x0) dan f(xi) f (x1)• Untuk iterasi i = 1 s/d n
– Hitung xi+1 dan f(xi+1)
• Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) < • Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh
)()())((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Contoh
• Carilah akar dari fungsi f(x) = 2x^3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan = 0.0000001
Contoh - Penyelesaian
• f(x) = 2x3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan = 0.0000001
• xi-1 = 2 x0 = 2 – f(xi-1) = f(x0) = 2*23-2-1 13
• xi = 4 x1 = 4– f(xi) = f(x1) = 2*43-4-1 123
Contoh - Penyelesaian
• xi-1 = 2 x0 = 2 – f(xi-1) = f(x0) = 2*23-2-1 13
• xi = 4 x1 = 4– f(xi) = f(x1) = 2*43-4-1 123
• x2 = x1 – (f(x1)(x1 – x0))/(f(x1) – f(x0)) = 4 – (123*(4-2))/(123-13) 1,7636363 – f(xi+1) = f(x2) = 2* 1,76363633-1,7636363-1 8,207639
• dst
)()())((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Contoh - Penyelesaian
• Pada i = 11, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) < ; diperoleh x = 1
i xi-1 xi f(xi-1 ) f(xi ) |xi+1 - xi| Status Iterasi1 2 4 13 1232 4 1.763636364 123 8.207639369 2.236363636 LANJUT3 1.763636364 1.603736644 8.207639369 5.645792359 0.159899719 LANJUT4 1.603736644 1.251350023 5.645792359 1.667570116 0.352386622 LANJUT5 1.251350023 1.103638466 1.667570116 0.58486427 0.147711556 LANJUT6 1.103638466 1.023846516 0.58486427 0.122671637 0.079791951 LANJUT7 1.023846516 1.002668746 0.122671637 0.0133865 0.02117777 LANJUT8 1.002668746 1.000074649 0.0133865 0.000373279 0.002594097 LANJUT9 1.000074649 1.000000238 0.000373279 1.19248E-06 7.44105E-05 LANJUT
10 1.000000238 1 1.19248E-06 1.06815E-10 2.38475E-07 LANJUT11 1 1 1.06815E-10 0 2.13629E-11 BERHENTI12 1 1 0 0 0 BERHENTI
TUGAS
• Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 dengan = 0,000001 dengan metode Newton Raphson dan Secant!
• Jawaban ditulis dengan pengolah kata dengan format nama file UW-METNUM-T02.doc
• Kirim jawaban ke [email protected] dengan subject: [UW-METNUM-T02.doc]