7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

1/20

Persamaan Diferensial Orde Satu

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

2/20

Kompetensi

Mengidentifikasi tipe persamaan iferensial

biasa orde satu

Menentukan teknik penyelesaian persamaan

diferensial dengan metode:

1. separable variable (variabel terpisah)

2. Homogeneous (homogen)3. linear

4. exact (eksak)

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

3/20

Kompetensi(2)

Mengurangi persemaan diferensial untuk

persaamaan dengan tipe-tipe di atas

menggunakan substitusi dan penyelesaian

Permasalahan model fisikadalam bentuk

persamaan diferensial biasa orde pertama dan

penyelesaiannya

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

4/20

I. Introduction

Bentuk umum persamaan diferensial biasa

orde satu:

jika f(x,y) = -M(x,y)/N(x,y), maka persamaan

dapat ditulis

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

),( yxf

dx

dy

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

5/20

Introduction(2)

Contoh

persamaan tersebut dapat dituliskan

atau

(2y +sinx) dx dy = 0 dan [x2 (1 x)y]dx -2x dy = 0

2)1(dx

dy2xdansin2 xyxxy

dx

dy

x

yxxxy

dx

dy

2

)1(

dx

dydansin2

2

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

6/20

II. Separable Equation

Metode identifikasi

bentuk umum persamaan diferensial orde satu

atau

f(x,y) = u(x) v(y) (2.2)

dengan subtitusi persamaan (2.2) ke (2.1) maka

(2.1)),( yxfdx

dy

)()( yvxudx

dy

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

7/20

Definisi 2.1 (Separable Equation)

Persamaan diferensial

Disebut separable equation dan dapat dituliskan

),( yxfdx

dy

(2.3))(

)(

dxxu

yv

dy

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

8/20

Contoh 2.1

Tentukan persamaan berikut apakah separable

equation atau tidak?

2y-xdx

dyx(d)0sincos

dx

dyxcosysin(c)

dxdy(b)xxy

dxdy(a)

xy

xe xy

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

9/20

solusi

)dipisahkan(dapatseparableadalahtersebutpersamaanmaka

y1

dysehinggaariable,pisahkan v

dx

dydituliskandapatpersamaan(a)

xdx

yx

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

10/20

Solusi (2)

dipisahkandapaty tidakdanxvariabel(d)

)(separabledipisahkandapatadalahpersamaanjadi

cos

sin

ycos

ysinvariabelpemisahan

sincosdx

dyxcosysindituliskandapatpersamaan(c)

dipisahkandapatyangpersamaanadalahtersebutpersamaanjadi

evariabelpemisahan

dx

dydituliskandapatpersamaan(b)

y-

x-

dxx

xdy

xy

dxxedy

exe

x

y

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

11/20

Solusi Separable Equation

Solusi persamaan diferensial dengan tipe ini

didapatkan dengan mengintegrasi kedua sisi

persamaan (2.3)

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

12/20

Adxxuyv

dy

AAdxxu

AdxxuA

)()(

)(v(y)

dykemudiankonstanta,adalahAdanAdimana

)(v(y)

dy

12

21

21

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

13/20

Contoh 2.2

Temukan penyelesaian persamaan berikut:

yxydx

dy

xy

22x secdx

dy(d)0e(c)

cot

dx

dyycot(b)

dx

dy2)(x(a)

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

14/20

Contoh 2.3

keAxAy

kxy

x

dx

y

dy

x

dx

y

dy

y

dx

dy

ydx

dy

22 ,)2(32

2ln32ln21

232

232

32dx

dy2)-(x

menjadipersamaan

solusi

3xketika0yawalkondisidengan)(23x

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

15/20

2

3)2(

2

3y

adalahyaeksplisitnpersamaanjadi

2)-3(x32y

3

,2)-A(33

maka0,ydan3xawalkondisimemasukkandengan

2

2

2

x

A

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

16/20

Contoh

2.4 Temukan solusi persamaan diferensial

2.5 Menggunakan substitusi z = x+y ubahlah

:solusi

1xketika1yawalkondisi,0)1()1( 22 xy

dx

dyyx

5

1

yx

yx

dx

dy

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

17/20

contoh

tentukan penyelesaian pesamaan dengan kondisiy(1)=1

2.6 menggunakan subtitusi z = xy ubahlah

tentukan penyelesaian persamaan

22

12 yxxydx

dyx

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

18/20

contoh

2.7 Berdasarkan hukum pendinginan Newton,

penentuan body cools adalah sebanding

antara suhu badan (body) dan lingkungan.

Misalkan mewakili suhu badan dalamruangan (oC) yang mempunyai temperatur

tetap 18oC. Jika body cools dari 70oC hinggan

57oC, berapa lama suhu akan turun menjadi40oC?

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

19/20

soulsi

Berdasarkan perubahan , yang sebanding

dengan beda antara dan 18oC. Maka dapat

dirumuskan

7040),18(

kdt

d

7/30/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu 2

20/20

2.8 A stone of mass m is trown vertically upward

from the ground with air resistance equals to

kv2g, where v is the velocity of the stone, k is

a constant and g is the gravitational constant.If initial velocity of the stone is u, find the

maximum height attained by the stone.