PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA -...
Transcript of PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA -...
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASAPersamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan
Resmawan
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
November 2018
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 1 / 51
4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 28 / 51
4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
Perhatikan bentuk umum
any (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a2y ′′ + a1y ′ + a0y = 0 (11)
dimana koefisien-koefisien an, an−1, · · · , a0 adalah konstanta danan 6= 0.Solusi umum persamaan (11) dapat diperoleh dengan pendekatanyang sama dengan PD Orde dua homogen. Andaikan basis-basissolusinya adalah
y = eλx
Maka turunan-turunannya terhadap x adalah
y ′ = λeλx , y ′′ = λ2eλx , · · · y (n−1) = λn−1eλx , y (n) = λneλx (12)
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 29 / 51
4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
Subtitusi persamaan (12) ke persamaan (11) menghasilkan(anλn + an−1λ
n−1 + · · ·+ a2λ2 + a1λ+ a0)eλx = 0
Karena eλx 6= 0, maka
anλn + an−1λn−1 + · · ·+ a2λ2 + a1λ+ a0 = 0 (13)
yang disebut Persamaan Karakteristik, sehingga solusi umumdiberikan oleh
y = c1eλ1x + c2eλ2x + · · ·+ cneλnx
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 30 / 51
4 PDB Orde n 4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
4.3 PD Linear Orde n Homogen Koefisien Konstan
Langkah-Langkah menentukan solusi umum:
1 Menentukan polinomial persamaan karakteristik2 Menentukan akar-akar persamaan karakteristik3 Membentuk solusi umum berdasarkan akar-akar pada langkah ke−2,yang terdiri dari beberapa kasus:
Kasus Akar-Akar Real Tak Berulang (Akar Real Berbeda)Kasus Akar-Akar Real Berulang (Akar Real Sama)Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak BerulangKasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 31 / 51
4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda
4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda
4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 32 / 51
4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda
4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda
Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , semuanya bilangan real berbeda, yakni
λ1,λ2, · · · ,λn
maka basis-basis solusinya diberikan oleh
y1 = eλ1x , y2 = eλ2x , · · · , yn = eλnx
Dengan demikian solusi umum diberikan oleh
y (x) = c1eλ1x + c2eλ2x + · · ·+ cneλnx (14)
dimana c1, c2,···cn konstanta.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 33 / 51
4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda
4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda
Example
Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:
1 y ′′′ − 2y ′′ − 5y ′ + 6y = 02 y (4) − 5y ′′′ + 5y ′′ + 5y ′ − 6y = 0
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 34 / 51
4 PDB Orde n 4.3.1 Kasus Pertama: Akar-Akar Real Berbeda
4.3.1 Kasus Akar-Akar Real Berbeda
Solution1 Untuk soal nomor 1, diperoleh persamaan karakteristik
λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0.
dengan metode horner, diperoleh
λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = (λ− 1)(λ2 − λ− 6
)= (λ− 1) (λ+ 2) (λ− 3)
yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah
λ1 = 1,λ1 = −2, dan λ3 = 3
sehingga, solusi umum adalah
y = c1ex + c2e−2x + [email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 35 / 51
4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama
4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama
4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 36 / 51
4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama
4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama
Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , memuat m akar-akar real sama, yakni
λ1 = λ2 = · · · = λm = λ
maka basis-basis solusinya diberikan oleh
y1 = eλx , y2 = xeλx , y3 = x2eλx , · · · , ym = xm−1eλx
Dengan demikian solusi umum diberikan oleh
y (x) =(c1 + c2x + c3x2 · · ·+ cmxm−1
)eλx (15)
dimana c1, c2,···cm konstanta.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 37 / 51
4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama
4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama
Example
Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:
1 y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 02 y (4) − 6y ′′′ + 13y ′′ − 12y ′ + 4y = 0
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 38 / 51
4 PDB Orde n 4.3.2 Kasus Kedua: Akar-Akar Real Sama
4.3.2 Kasus Akar-Akar Real Sama
Solution1 Persamaan Karakteristik
λ3 − λ2 − λ+ 1 = 0.
dengan metode horner, diperoleh
λ3 − λ2 − λ+ 1 = (λ− 1)(λ2 − 1
)= (λ− 1) (λ− 1) (λ+ 1)
yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah
λ1 = λ2 = 1, dan λ3 = −1
sehingga, solusi umum adalah
y = (c1 + c2x) ex − c3e−[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 39 / 51
4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate
4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang
4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 40 / 51
4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate
4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang
Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , memuat akar-akar kompleks konjugate, yakni
λ12 = a± bi
maka basis-basis solusinya diberikan oleh
y1 = eax cos bx dan y2 = eax sin bx
Dengan demikian solusi umum diberikan oleh
y (x) = eax (c1 cos bx + c2 sin bx) (16)
dimana c1, c2 konstanta.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 41 / 51
4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate
4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak Berulang
Example
Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:
1 y ′′′ − 4y ′′ + 9y ′ − 10y = 02 y (4) − 10y ′′′ + 41y ′′ − 76y ′ + 52y = 03 y (4) − 4y ′′′ + 9y ′′ − 16y ′ + 20y = 0
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 42 / 51
4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate
4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak berulang
Solution2. Untuk kasus nomor 2, diperoleh Persamaan Karakteristik
λ3 − 10λ3 + 41λ2 − 76λ+ 52 = 0.
dengan metode horner, diperoleh
λ3 − 10λ3 + 41λ2 − 76λ+ 52 = (λ− 2)(λ3 − 8λ2 + 25λ− 26
)= (λ− 2) (λ− 2)
(λ2 − 6λ+ 13
)= (λ− 2)2
((λ− 3)2 + 4
)
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 43 / 51
4 PDB Orde n 4.3.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks Konjugate
4.3.3 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Tak berulang
Solution2. yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah
λ12 = 2 dan λ34 = 3± 2i
sehingga, solusi umum adalah
y = (c1 + c2x) e2x + (c3 cos 2x + c4 sin 2x) e3x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 44 / 51
4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 45 / 51
4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
Andaikan sebuah persamaan diferensial linear homogen orde n dengankoefisien konstan (11) dan jika persamaan karakteristik padapersamaan (13) , memuat akar-akar kompleks konjugate berulang,yakni
λ12 = a± bi dan λ34 = a± bimaka basis-basis solusinya diberikan oleh
y1 = eax cos bx , y2 = eax sin bx , y3 = xeax cos bx , y4 = xeax sin bx
Dengan demikian solusi umum diberikan oleh
y (x) = eax (c1 cos bx + c2 sin bx) + xeax (c3 cos bx + c4 sin bx) (17)
dimana c1, c2, c3, c4 konstanta.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 46 / 51
4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
Example
Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut:
y (4) + 8y ′ + 16y = 0
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 47 / 51
4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate berulang
SolutionPersamaan Karakteristik
λ4 + 8λ2 + 16 = 0.
Tulis kembali persamaan karakteristik menjadi
λ4 + 8λ2 + 16 =(λ2 + 4
) (λ2 + 4
)yang berarti akar-akar persamaan karakteristik adalah
λ12 = ±2i dan λ34 = ±2i
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 48 / 51
4 PDB Orde n 4.3.4 Kasus Keempat: Akar-Akar Kompleks Konjugate Berulang
4.3.4 Kasus Akar-Akar Kompleks Konjugate berulang
Solutionsehingga, solusi umum adalah
y = e0 (c1 cos 2x + c2 sin 2x) + xe0 (c3 cos 2x + c4 sin 2x)
= c1 cos 2x + c2 sin 2x + c3x cos 2x + c4x sin 2x
= (c1 + c3x) cos 2x + (c2 + c4x) sin 2x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 49 / 51
4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 8
* Soal-Soal Latihan 8
ProblemCarilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1 y (4) − 5y ′′ + 4y = 02 y (4) + 3y ′′′ + 5y ′′ + y ′ − 10y = 03 y (4) − 6y ′′′ + 17y ′′ − 20y ′ + 8y = 0Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensialdengan nilai awal berikut
4 y ′′′ + 3y ′′ + y ′ − 5y = 0; y (0) = 0, y ′ (0) = 4, dan y ′′ (0) = 05 2y (4) − 11y ′′′ + 21y ′′ − 16y ′ + 4y = 0; y (0) = 0, y ′ (0) =2, y ′′ (0) = 2, dan y ′′′ (0) = 0
6 y (4) − 6y ′′′ + 13y ′′ − 12y ′ + 4y = 0; y (0) = 0, y ′ (0) =0, y ′′ (0) = 2, dan y ′′′ (0) = 4
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 50 / 51
3. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 51 / 51