PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEARfiles.dewi.webnode.com/200000035-cbef3cce93/12nov10.doc · Web...
Transcript of PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEARfiles.dewi.webnode.com/200000035-cbef3cce93/12nov10.doc · Web...
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
B. Sistem Pertidaksamaan linear
Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Kita ingat bahwa suatu pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu
dan tanda-tanda ketidaksamaan seperti: lebih dan (>), tidak kurang dan ( ), kurang dan (<), atau
tidak lebih dan ( ).
Untuk memahami pengertian pertidaksamaan linear dengan dua variabel, simaklah beberapa
bentuk hubungan berikut
i) x - 3y < 5 iii) x - y > -3
ii) 2x + y 4 iv) 2x + 5y 10
Dan hubungan-hubungan di atas dapat diamati dua hal, yaitu:
hubungan itu memuat salah satu lambang ketidaksamaan disebut pertidaksamaan.
hubungan itu memuat dua variabel (variabel-variabel x dan y) dan masing-masing variabel
berpangkat satu (linear) disebut linear dengan dua variabel
Bertolak dari pengamatan tersebut, maka bentuk-bentuk hubungan di atas dinamakan
sebagai pertidaksamaan linear dengan dua variabel. Dengan demikian, pertidaksamaar.
linear dengan dua variabel dapat didefinisikan sebagai berikut:
Pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang di
dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel
atau ( dan )
secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah (algoritma) sebagai
berikut.
1. Gambarlah garis pada sebuah bidang Cartesius dengan cara menghubungkan
titik potong garis dengan sumbu X dan titik potong garis dengan sumbu . Garis
ini membagi bidang Cartesius menjadi dua bagian bidang.
2. Ambil sebarang titik uji yang terletak di luar garis dan hitunglah nilai
kemudian bandingkan nilai dengan nilai c.
Jika , maka bagian belahan bidang yang memuat titik ditetapkan
sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan .
Sebaliknya jika , maka bagian belahan bidang yang memuat titik
ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dan pertidaksamaan .
3. Tandailah bagian belahan bidang yang menunjukkan daerah himpunan penyelesaian
pertidaksamaan dengan menggunakan raster, sedangkan bagian belahan yang diraster
(daerah bersih) menunjukkan bukan daerah himpunan penyelesaian.
Contoh Grafik:
Contoh:
Tentukanlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksarnaan linear dua variabel
Penyelesaian:
1. Gambarlah garis .
Untuk x = 0. diperoleh y = -4, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -4)
Untuk y = 0, diperoleh x = 3, titik potong dengan sumbu X adalah (3, 0)
Garis digambarkan pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik
(0, -4) dan titik (3, 0).
2. Ambil titik uji P(0, 0), sehingga diperoleh hubungan
3. Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan ditandai
dengan warna sebagaimana.
Soal:
Tentukan pertidaksamaan linear dua variabel yang memenuhi daerah-daerah yang diwarnai
berikut:
Penyelesaian:
a) Garis g melalui titik (2, 0) dan titik (0, 4), persamaannya adalah:
Ambil titik uji P(3, 0) pada daerah yang diwarnai, diperoleh hubungan:
4(3) + 2(0) = 12 8
Jadi, daerah yang diwarnai merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear
dua variabel .
b) Garis g melalui titik (2, 1) dan titik (0, -1) persamaannya adalah:
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
c) Garis mempunyai gradien . Garis h sejajar dengan garis g,
sehingga ........................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
d) Garis mempunyai gradien . Garis h tegak lurus terhadap garis
g, sehingga ....................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terbentuk dan dua atau lebih pertidaksamaan
linear dua variabel dengan variabel-variabel yang sama.
Sebagai contoh:
1. , , dan , membentuk sistem pertidaksamaan linear dengan dua
variabel.
2. , , dan , bukan merupakan sistem pertidaksamaan linear
dengan dua variabel.
Lalu timbul pertanyaan, bagaimana cara menentukan daerah atau grafik himpunan
penyelesaian dan suatu sistem pertidaksamaan linear dua vaniabel? Daerah atau grafik dan
sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel merupakan irisan atau interseksi dan masing-
masing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang membentuknya.
Cara menentukan himpunan penyelesaian dan sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel
itu dapat dipelajari berikut inii.
Contoh:
a) Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel x
0, y 0, x ÷ y 6, x + 2y 10, dan 2x + y l0 untuk x dan y R.
b) Berdasarkan grafik himpunan penyelesaian pada soal a), tentukan titik-titik (x, y) pada
daerah himpunan penyelesaian itu untuk x dan y N (N adalah himpunan bilangan asli).
Tandailah titik-titik itu dengan menggunakan lambang noktah (.) pada daerah himpunan
penyelesaian itu.
Penyelesaian:
Meracang Model Matematika
Beberapa rancangan model matematika diantaranya adalah:
Model matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.
Model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel.
Dalam rancangan atau menyusun suatu model matematika diperlukan langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Tetapkan besaran masalah yang ada dalam soal sebagai variabel-variabel (dinyatakan
dalam huruf-huruf).
2. Rumuskan hubungan atau ekspresi matematika sesuai dengan keterangan atau ketentuan
yang ada dalam soal.
Rumusan masalah yang dinyatakan dalam bentuk hubungan atau ekspresi matematika itulah
yang dinamakan sebagai model matematika.
Contoh:
Suatu kawasan parkir paling banyak dapat menampung 200 mobil sedan. Luas daerah yang
digunakan untuk memarkir 1 buah bus dapat digunakan untuk memarkir 4 mobil sedan. Jika di
kawasan itu diparkir x buah bus dan v buah mobil sedan, tentukanlah model matematikanya.
Penyelesaian:
Misalkan untuk memarkir sebuah mobil sedan diperkirakan luas rata-rata L m2, maka luas
kawasan parkir itu sama dengan 200L m2 dan untuk memarkir sebuah bus diperlukan luas
4L m2.
Untuk memarkir x buah bus dan y buah mobil sedan, berlaku hubungan:
(4L)x + (L)y 200L
4x + y 200
Karena banyak bus dan banyak mobil sedan tak mungkin negatif, maka haruslah
x 0 dan y 0
Jadi, model matematika untuk persoalan tersebut di atas adalah
x 0, y 0, dan 4x + y 200 dengan x dan y R.
Model matematika ini merupakan sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel.
Model Matematika dari Masalah Progrm Linear
Merancang atau membuat model matematika dalam suatu masalah program linear adalah
menentukan fungsi tujuan beserta kendala yang hams dipenuhi dalam masalah program linear
itu. Merancang model matematika dalam suatu masalah program linear (yang memuat fungsi
tujuan dan kendala yang harus dipenuhi) dapat dipelajari melalui contoh berikut ini.
Contoh:
Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A dan barang B) dengan
menggunakan dua mesin (mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan
mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2 selama 4 menit, sedangkan satu unit
barang B dibuat dengan mengoperasikan mesin M selama 8 menit dan mesin selama 4 men it.
Dalam satu han mesin M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dan 8 jam. Keuntungan bersih
yang diperoleh dan satu unit barang A adalah Rp250,00 dan satu unit barang B adalah Rp500,00.
Buatlah model matematika dan masalah linear di atas jika keuntungan bersih diharapkan
mencapai sebesar-besarnya.
Penyelesaian:
Untuk memudahkan dalam membuat model matematika, data atau informasi yang ada dalam
soal dirangkum dalam sebuah tabel sebagaimana yang diperlihatkan dalam tabel berikut mi.
Barang A Barang B
Operasi setiap han
Mesin M1 2 menit 8 menit 480 menit
Mesin M2 4 menit 4 menit 480 menit
Keuntungan Rp250,00 Rp500,00
1. Menetapkan besaran masalah sebagal variabel-variabel
Misalkan dalam satu han:
barang A diproduksi sebanyak x buah, dan
barang B diproduksi sebanyak y buah.
2. Merumuskan hubungan atau ekspresi niatematika sesuai dengan ketentuanketentuan yang
ada dalam soal
Waktu yang diperlukan untuk mengoperasikan mesin M1 = (2x + 8y) menit. Waktu
yang diperlukan untuk mengoperasikan mesin M2 = (4x + 4y) menit. Karena mesin
M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dan 8 jam (480 menit) dalam satu han, maka
haruslah dipenuhi hubungan:
atau
atau
Dengan mengingat bahwa x dan y menyatakan banyak barang, maka x dan y
mustahil negatif dan hams merupakan bilangan cacah. Dengan demikian, x dan y
harus memenuhi hubungan: , , x dan y
Keuntungan bersih yang diperoleh jika barang A diproduksi x buah dan barang B
diproduksi y buah ditentukan oleh hubungan:
K = 250x + 500y
Jadi, model matematika dan masalah di atas adalah:
, , , dan , dengan x dan y
Bagian mi merupakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
K = 250x + 500y yang akan ditentukan nilai maksimumnya.
Bagian ini merupakan fungsi linear dun variabel.
Menentukan Nilai Optimum dari Fungís Tujuan
Misalnya fungsi tujuan dan suatu masalah program linear ditentukan oleh hubungan
= ax + by. Nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) dan fungsi = ax + by dapat
ditentukan dengan dua metode, yaitu:
1. Metode Simpleks
Perhitungan nilai optimum fungsi tujuan dengan menggunakan metode simpleks
memerlukan langkah-langkah perhitungan yang agak rumit. Metode mi biasanya digunakan
untuk memecahkan masalah program linear yang melibatkan variabel lebih dan dua.
2. Metode Grafik
Metode grafik cocok digunakan untuk memecahkan masalah program linear yang
sederhana, yaitu program linear yang model matematikanya berbentuk sistem
pertidaksamaan linear dua variabel dan fungsi linear dua variabel. Metode grafik itu
sendiri ada dua macam, yaitu: metode uji titik pojok dan metode garis selidik.
Menentukan Nilai optimum Fungsi tujuan dengan Metode Uji Titik Pojok
Menentukan nilai optimum dan fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok dapat
dikerjakan rnelalui langkah-langkah berikut.
1. Buatlah model matematika dan masalah program linear. Model matematika mi memuat
fungsi tujuan (berbentuk fungsi linear dua variabel) beserta kendala-kendala (berbentuk
sistem pertidaksamaan linear dua variabel) yang harus dipenuhi.
2. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel,
kemudian tentukan titik-titik pojok pada grafik himpunan penyelesaian tersebut.
3. Hitunglah nilai fungsi tujuan f(x, y) ax + by untuk titik-titik pojok yang diperoleh pada
Langkah 2.
4. Berdasarkan hasil perhitungan pada Langkah 3, nilai maksimum dan nilai minimum dan
fungsi tujuan f(x, y) ax + by dapat ditentukan. Begitu pula nilai x dan nilai y yang
menyebabkan fungsi tujuan mencapai nilai optimum.
5. Tafsirkan nilai optimum fungsi tujuan yang diperoleh sebagai penyelesaian akhir dan
masalah program linear.
Contoh:
Sebuah pabrik buku memproduksi buku jenis polos dan bergaris. Dalam satu han pabrik itu
paling banyak memproduksi 1 .000 buku. Dan bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa
setiap han terjual tidak lebih dan 800 buku polos dan 600 buku bergaris. Keuntungan setiap buku
jenis polos adalah RplOO,00 dan jenis bergaris adalah Rp150,00. Berapakah keuntungan bersih
sebesar-besarnya yang dapat diperoleh setiap ban? Berapa banyak buku polos dan buku bergaris
yang harus diproduksi setiap han?
Penyelesaian:
1. Misalkan dalam satu han diproduksi buku polos sebanyak x buah dan buku bergaris
sebanyak y buah. Berdasarkan keterangan-keterangan yang ada dapat disusun model
matematika sebagai berikut.
Fungsi tujuan ditentukan dan keterangan keuntungan yang ingin dicapai. Akan
dimaksimumkan fungsi tujuan:
Bagian kendala yang harus dipenuhi ditentukan dan keterangan keterbatasan bagian
produksi dan bagian penjualan.
, , , dan , dengan x dan y
2. Grafik himpunan penyelesaian dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
, , , dan , dengan x dan y
ditunjukkan oleh daerah yang diwarna sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2-9. Titik-
titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian adalah titik-titik
0(0.0), A(800, 0), B(800, 200), C(400, 600), dan D(0, 600).
3. Nilai fungsi tujuan f(x, y) = lOOx + 150y untuk titik-titik pojok yang diperoleh pada
Langkah 2 dihitung dengan menggunakan bantuan tabel sebagaimana disajikan dalam
Tabel.
4. Berdasarkan basil perhitungan nilai fungsi tujuan yang disajikan dalam Tabel 2—2 dapat
disimpulkan bahwa fungsi tujuanf(x, y) = lOOx + l5Oy mencapai nilai maksimum sebesar
130.000 dan nilai maksimum itu dicapai pada titik C(400, 600).
5. Hasil-hasil yang diperoleh pada Langkah 4 kemudian ditafsirkan ke dalam masalab
program linear semula sebagai berikut. Dengan kendala-kendala yang ada, produsen buku
dalam satu hari dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya Rp130.000,00.
Keuntungan sebesar mi dapat dicapai jika dalam satu han, diproduksi buku polos sebanyak
400 buah dan buku beruaris sebanvak 600 huah.
Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Metode Garis Selidik
Sebelumnya telah dibahas cara menentukan nilai optimum fungsi tujuan
dengan menggunakan metode uji titik pojok. Dalam metode itu, titik-titik pojok (x, y) yang
terletak pada grafik himpunan penyelesaian kendala disubstitusikan ke dalam fungsi tujuan
. Dan hasil perhitungan tersebut kemudian dapat ditetapkan nilai
minimum dan nilai maksimum fungsi tujuan . Menghitung nilai optimum ingsi
tujuan dengan cara seperti itu memerlukan ketelitian dan sekaligus memerlukan waktu yang agak
lama.
Oleh karena itu, perlu dicari alternatif lain untuk menentukan nilai optimum dari fungsi
tujuan. Altematif lain tersebut dikenal sebagai metode garis selidik yang akan dijelaskan dalam
pasal ini.
A. Pengertian Garis Selidik yang berbentuk
Misa1kan akan ditentukan nilai optimum fungsi tujuan pada daerah
himpunan penyelesaian kendala (yang berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel).
Nilai optimum fungsi tujuan itu dapat dicari dengan menggunakan garis selidik yang
persamaannya . Garis selidik merupakan himpunan garis-garis yang
sejajar. Untuk nilai k tertentu akan diperoleh sebuah garis sebagai anggota dan himpunan garis-
garis tersebut.
Sebagai ilustrasi, misalnya diketahui garis selidik dengan persamaan 2x + y = k (k e R). Titik
potong garis-garis 2x + y = k dengan sumbu-sumbu koordinat ditetapkan sebagai berikut:
Titik potong dengan sumbu X diperoleh untuk y = 0
2x + 0 = k
Titik potong garis 2x + y k dengan sumbu X adalah titik ( , 0).
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh untuk x = 0
2(0) + y = k
y=k
Titik potong garis 2x + y = k dengan sumbu Y adalah titik (0, k).
Grafik garis 2x + y = k diperoleh dengan
cara menghubungkan titik ( , 0) dengan titik (0, k). Pada Gambar di bawah ini diperlihatkan
grafik garis 2x + y = k untuk berbagai nilai k, yaitu untuk nilai-nilai k= 0, k= 2, k= 4, dan k= 6.
Berdasarkan grafik garis 2x + y = k untuk berbagai nilai k pada Gambar di bawah, dapat diamati
fakta-fakta berikut.
[•] nilai k makin besar jika dan hanya jika garis 2x + y = k makin menjauhi titik asal O.
[•1 nilai k makin kecil jika dan hanya jika garis 2x + y = k makin niendekati titik asal O.
Dengan menggunakan kedua fakta di atas, himpunan garis-garis sejajar dengan persamaan
dapat dipakai untuk menyelidiki nilai optimum dan fungsi tujuan . OIeh karena
itu, garis dengan persamaan 2x + y = k (k e R) dinamakan garis selidik.
Dengan demikian, secara umum dapat disimpulkan:
Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditentukan dengan menggunakan
garis selidik
pada daerah himpunan penyelesaian kendalanya.
B. Mennetukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Garis Selidik
Setelah pengertian garis selidik dipahami, sekarang akan dibahas bagaimana cara
menentukan nilai optimum dan fungsi tujuan dengan menggunakan garis selidik
.
Nilai optimum fungsi tujuan pada suatu daerah himpunan penyelesaian
dapat ditentukan dengan menggunakan garis selidik melalui langkah-langkah sebagai berikut.
1. Tetapkan persamaan garis selidik sebagai .Ambil nilai k tertentu
(misalnya ) sehingga garis dengan mudah dapat digambarkan.
2. Buatlah garis-garis yang sejajar terhadap garis .
Jika garis terletak paling jauh terhadap titik asal O(0, 0) serta melalui titik
(titik terletak pada daerah himpunan penyelesaian), maka dapat
disimpulkan: titik merupakan titik yang mengakibatkan fungsi tujuan
mencapai nhlai maksimum, dan nilai maksimum fungsi tujuan itu
sama dengan .
Jika garis terletak paling dekat dengan titik asal O(0, 0) serta melalui titik
(titik terletak pada daerah himpunan penyelesaian), maka dapat
disimpulkan: titik merupakan titik yang mengakibatkan fungsi tujuan
mencapai nilai minimum, dan nilai minimum fungsi tujuan itu sama
dengan .
Contoh:
Titik 0, A, B dan C pada Gambar berikut mi adalah titik-titik sudut yang terletak pada daerah
himpunan penyelesaian dan suatu masalah program linear.
Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum fungsi tujuan
a. jika x dan y
b. jika x dan y
Penyelesaian:
Fungsi tujuan mempunyai bentuk , maka persamaan garis selidiknya adalah
. Gambarlah garis x + 2y = k, untuk k = 2 sehingga persamaan garis itu
menjadi x + 2y = 2.
a) Garis yang sejajar dengan ganis x + 2y = 2 dan terletak paling jauh dan titik asal O(0, 0)
adalah garis yang melalui titik B( , ). Jadi, titik B( , ) merupakan titik pada
daerah himpunan penyelesaian yang mengakibatkan fungsi tujuan mencapai nilai
maksimum. Nilai maksimum fungsi tujuan sama dengan + 2 ( )=15.
b) Karena titik sudut B( , ) bukan , maka perlu ditentukan terlebih dahulu titik-titik
yang dekat dengan titik sudut B dan mempunyai koordinat bilangan cacah. Titik-titik itu
adalah (5, 6), (5, 5), (5, 4), (4, 6), dan (4, 5), tetapi yang berada dalam daerah himpunan
penyelesaian hanya titik (5, 4), dan titik (4, 5). Garis yang sejajar dengan garis x + 2y = 2
dan terletak paling jauh dan titik asal 0(0, 0) adalah garis yang melalui titik (4, 5). Jadi,
nilai maksimum fungsi objektif untuk x dan y sama dengan 4 + 2(5) =
14 dan nilai maksimum itu dapat dicapai pada titik (4, 5).
LATIHAN 1
1. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dan pertidaksamaan linear dua vaniabel
pada bidang Cartesius (untuk x dan y e R). Kemudian tentukanlah himpunan
titik-titik (x, y) pada daerah himpunan penyelesaian yang diperoleh pada soal a) untuk
nilai-nilai x dan y e N (N adlah himpunan bilangan asli): Kemudian tandailah titik-titik
itu dengan menggunakan lambang noktah (.) pada bidang Cartesius.
2. Untuk daerah-daerah yang diarsir berikut, tentukan pertidaksamaan linear dua variable
yang memenuhi.
3. Ubahlah kalimat berikut mi menjadi bentuk pertidaksamaan linear. (Petunjuk: definisikan
variabel).
a) Pembuatan produk A membutuhkan 2 jam melalui mesin I, sementara pembuatan
produk B membutuhkan 3 jam untuk mesin yang sama. Mesin mi hanya mampu
bekerja paling banyak 60 jam seminggu.
b) Seekor sapi memerlukan lahan seluas 10 m dan seekor kuda memerlukar lahan
seluas 18 m , lahan yang tersedi. seluas 400 m .
c) Harga jeruk per kilogram adala Rp6.000,00 dan harga mangga per kilogram
adalah Rp8.000,00. Uang yang tesedia sebesar Rp50.000,- sedangkan berat
mangga yang dibel tidak kurang dan 3 kilogram.
LATIHAN 2
1. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dan sistem-sistem pertidaksamaan linear dua
variabel berikut ini:
a)
b)
2. Diketahui sistem pertidaksamaan linear dua variabel:
Tunjukkan bahwa grafik himpunan penyelesaian dan sistem pertidaksamaan linear dua
variabel itu berbentuk trapesium siku-siku.
3. Himpunan titik-titik (x, y) dengan x dan y R yang terletak di dalam dan sepanjang sisi-
sisi segitiga PQR pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian dan suatu sistem
pertidaksamaan linear dua variabel. Carilah sistem pertidaksamaan linear dua vaniabel itu.
4. Daerah yang diwarna pada gambar di bawah merupakan grafik himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Hitunglah nilai maksimum dan nilai minimum
untuk bentuk-bentuk berikut ini.
a)
b)
c)
Petunjuk:
Nilai maksimum dan nilai minimum dan suatu bentuk dapat dicari dengan cara menghitung
nilai dan bentuk itu di titik-titik pojoknya (yaitu di titik-titik 0, P. Q, R, dan S). Dan hash
perhitungan itu, kemudian dapat ditetapkan mana yang merupakan nilai maksimum dan
mana yang merupakan nilai minimum.
5. Sebuah perusahaan keramik memproduks i cangkir dan vas bunga. Untuk membuatnya,
diperlukan tiga tahap. yaitu pembentukan, pembakaran, dan pengeringan. Untuk pembuatan
cangkir diperlukan 4- jam pembentukan, 4 jam pembakaran, dan 3 jam pengeringan. Untuk
pembuatan vas bunga diperlukan 1 jam pembentukan. 6 jam pembakaran, dan 3 jam
pengeringan. Dalam memproduksi cangkir dan vas bunga, waktu yang diperlukan paling
lama adalah 8 jam pembentukan, 15 jam pembakaran, dan 10 jam pengeringan.
Berdasarkan permasalahan tersebut. Iengkapi diagram berikut, kemudian buatlab sistem
pertidaksamaannya, dan tentukan daerah penyelesaiannya melalui grafik.
LATIHAN 3
1. Carilah nilai maksimum dan minimum untuk masing-masing fungsi tujuan dan daerah yang
diberikan pada gambar berikut.
2. Daerah yang diwarna pada gambar di bawah merupakan grafik dan himpunan penyelesaian
suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel untuk x dan y R.
a) Tentukanlah sistem pertidaksamaan linear dua variabel itu.
b) Hitunglah nilai maksimum dan fungsi tujuan .
3. Suatu pabrik berkeinginan memproduksi dua jenis barang, yaitu barang A dan barang B.
Barang A memberi keuntungan RplO.000,00 per buah dan barang B memben keuntungan
Rp12.000,00 per buah. Untuk memproduksi kedua barang itu diperlukan tiga buah mesin,
yaitu mesin I, mesin II, dan mesin III. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi setiap
barang dengan ketiga mesin tersebut dan waktu yang tersedia untuk setiap mesin selama
tiga bulan diperlihatkan dalam tabel berikut ini.
a. Berapa banyak barang A dan barang B yang harus dibuat agar keuntungan yang
diperoleh sebesar-besarnya?
b. Berapa rupiah keuntungan maksimum
4. Suatu perusahaan mebel ingin membuat dua jenis meja, yaitu meja tulis dan meja makan.
Untuk membuat meja-meja itu diperlukan 3 tahapan pekerjaan, yaitu tahap I (persiapan),
tahap II (pemasangan), dan tahap III (pengecatan). Berdasarkan pengalaman beberapa
tahun dalam memproduksi meja itu, diperoleh fakta sebagai berikut
Untuk membuat 1 meja tulis diperlukan waktu persiapan 2 jam, pemasangan 1 jam,
dan pefigecatan I jam. Sedangkan untuk I meja makan diperlukan waktu persiapan 1
jam, pemasangan 2 jam, dan pengecatan 1 jam.
Dan tenaga kerja yang ada, waktu yang ada (dalam I bulan) untuk masing-masing
tahap pekerjaan itu adalah sebagai berikut. Pada tahap I tersedia J80 jam, tahap II
tersedia 160 jam,dan tahap III tersedia 100 jam.
Keuntungan yang dapat diraih dan penjualan 1 meja tulis adalah Rp6,000,00 dan
untuk 1 meja makan adalah Rp4.000,00.
a) Berapa banyak meja tulis dan meja makan yang harus dibuat dalam 1 bulan supaya
keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya?
b) Berapa rupiah besar keuntungan maksimum itu?
LATIHAN 4
1. Sebuah perusahaan konveksi memproduksi dua jenis pakaian, yaitu pakaian dewasa dan
pakaian anak-anak. Untuk membuat kedua jenis pakaian itu diperlukan 4 tahap pekerjaan,
yaitu pemotongan, pen gobrasan, penjahitan, dan finishing. Waktu untuk membuat satu
pakaian pada tiap-tiap pekerjaan dan waktu yang tersedia per bulan untuk setiap tahap
pekerjaan itu dipenlihatkan dalam tabel berikut ini.
Keuntungan untuk satu pakaian dewasa Rp8.000,00 dan untuk pakaian anak-anak
Rp6.000,00.
a) Berapa banyak pakaian dewasa dan pakaian anak-anak yang harus dibuat dalam I
bulan agar diperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya?
b) Hitunglah keuntungan yang sebesar-besarnya itu.
2. Pak Ali hendak mengangkut 60 ton barang dan gudang ke tokonya. Untuk keperluan itu
ia menyewa dua jenis truk, yaitu jenis I dengan kapasitas 3 ton dan jenis 11 dengan
kapasitas 2 ton. Sewa setiap truk jenis I adalah Rp25.000,00 sekali jalan dan sewa setiap
truk jenis II adalah Rp20.000,00 sekali jalan. Dengan cara sewa demikian, ia diharuskan
menyewa truk itu sekurang-kurangnya 24 buah.
a) Berapakah banyak jenis truk I dan jenis truk II yang harus disewa, agar biaya yang
dikeluarkan sekecil-kecilnya?
b) Tentukan biaya minimum itu.
3. Pedagang kue akan membuat dua buah jenis kue, Kue jenis pertama membutuhkan 2 kg
gula pasir dan 6 kg tenigu, sedangkan kue jenis kedua membutuhkan 4 kg gula pasir dan
2 kg terigu. Untuk program dietnya, Anita memerlukan paling sedikit 6.000 USP vitamin
A, 195 mg vitamin C, dan 600 USP vitamin D setiap han. Di apotek ada 2 merk vitamin.
Vitamin X mempunyai harga Rp5.000.00 dan vitamin Y harganya Rp4.000,00. Vitamin
X mengandung 3.000 USP unit vitamin A, 45 mg vitamin C, dan 75 USP vitamin D.
Merk Y mengandung 1.000 liSP unit vitamin A, 50 mg vitamin C, dan 200 USP unit
vitamin D. Kombinasi vitamin apa yang harus Anita beli untuk mendapatkan harga
minimum. Pedagang tersebut hanya memiliki 30 kg gula pasir dan 20 kg terigu. Jumlah
kue jenis kedua tidak boleh kurang dan I buah. Jika biaya pembuatan untuk kue jeni
pertama Rp18.000,00 dan kue jenis kedua Rp 12.000,00 berapakah biaya minimum yang
harus dikeluarkan pedagang tesebut?