Permutaciones
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Permutaciones profesor José Luis Gajardo
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profesor José Luis Gajardo
Permutaciones
profesor José Luis GajardoPermutaciones
En matemáticas, llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
profesor José Luis GajardoPermutaciones lineales sin elementos repetidos
Ejemplo: Calcular todas las permutaciones posibles de la palabra “ESTUDIO”
La palabra ESTUDIO tiene 7 letras sin repetirse ninguna, luego, por principio multiplicativo, tenemos que:
El 1er casillero
puede ordenarse de 7 maneras distintas
7
El 20 puede ordenarse de 6 maneras distintas
6
El 30 de 5 maneras distintas
5
El 40 de 4 maneras distintas
4
El 50 de 3 maneras distintas
3 2
El 60 de 2 maneras distintas
1
El 70 puede llenarse solo de 1 manera
profesor José Luis Gajardo
Luego, el número de permutaciones posibles es:
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! (siete factorial maneras)
7! = 5.040
En general:
Llamaremos permutaciones de n elementos o permutaciones de orden n, a cada una de las ordenaciones diferentes que es posible hacer con n elementos dados.
El número total de permutaciones de orden n la designaremos Pn y se cumple que:
Pn = n • (n - 1) • (n - 2) • … • 1; n N => Pn = n!
profesor José Luis GajardoPermutaciones lineales con elementos repetidos
En varias situaciones, algunos de los elementos a permutar aparecen repetidos, como consecuencia de esto, algunas de las permutaciones obtenidas son iguales. Ejemplo:
Anotemos todas las permutaciones posibles de la palabra “CAMA”. Si suponemos que las “A” son distintas, tendremos:
CAMACAMACAAMCAAMCMAACMAA
AMACAAMCAACMACMAACAMAMCA
MCAAMCAAMAACMAACMACAMACA
AMACAAMCAACMACMAACAMAMCA
profesor José Luis Gajardo
Del total que, originalmente sería 4! = 24, podemos observar que la mitad aparece repetida, luego, las palabras formadas se reducen a 12.
En general, las permutaciones diferentes de n elementos dados, entre los cuales hay r elementos repetidos entre sí, q elementos repetidos entre sí y z elementos repetidos entre sí son, en total:
Pn (r, q, z) = con n, r, q, z N
profesor José Luis GajardoPermutaciones Circulares
Una permutación circular es una permutación que se aplica a conjuntos ordenados de forma circular, es decir, que no tienen principio ni final. Para trabajar con ellas se fija arbitrariamente un elemento como el primero.
Las siguientes ordenaciones son dos de las permutaciones circulares de 4 fichas de distinto color y que están sobre una superficie plana:
Si se colocan en una fila se pueden permutar de P4 = 4! = 24 maneras distintas
profesor José Luis GajardoSin embargo, al disponerlas en posición circular las 4 fichas pueden girar sin que, en realidad, haya cambiado la posición relativa de una respecto de otra. Ejemplo: analicemos la siguiente secuencia
= = =
En apariencia las 4 colocaciones son distintas, pero si leemos los colores a partir del rojo, tendremos la secuencia R – V – A – N en los cuatro casos. Esto equivale a dejar fija una de las fichas y permutar las otras tres. Por lo tanto, la cantidad total de permutaciones circulares de orden 4 es (4 - 1)! = 3!
profesor José Luis Gajardo
En general: El número total de permutaciones circulares de n elementos distintos cada una es:
Pn (circulares) = (n - 1)!
Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 8 personas en una mesa redonda?
Respuesta: (8 - 1)! = 7! = 5.040
