5.4 (1)5.4 M

agnetfeld

Magnetfelder im

Alltag

Kom

pass, Kühlschrank-M

agnete, Lautsprecher, Festplatte, Kernspin-Tom

ographie

Permanentm

agnete & Elektrom

agnete

Nord

Süd

Gleichnam

ige Pole stoßen sich ab,

ungleichnamige ziehen sich an.

Magnetit

Fe3 O

4

5.4 (2)5.4 M

agnetfeld

Magnetische Ladungen ?

Nord

Süd

NS

SN

flE

in Dipolist das

einfachste existierende m

agnetische System

. N

SN

SN

SN

S

Das E

-Feld wird von Ladungen erzeugt. G

ibt es „magnetische Ladungen“ ?

Monopole

konnten bisher nicht beobachtet werden

„gibt es nicht“ (?)Zerteilen eines M

agneten ergibt 2 Magnete: D

ipol

Ursache von M

agnetfeldern sind(1) B

ewegte Ladungen

(Ström

e, auch von einzelnen Ladungen; auch m

ikroskopische Ström

e, z.B. E

lektron auf Kreisbahn im

Atom

)(2) Spin S

(intrinsischeE

igenschaft von Elem

entarteilchen (z.B

. Elektronen) w

ie Masse

oder Ladung)

Perm

anentmagnet: kollektive A

usrichtungder S

pins und Bahn-M

omente

5.4 (3)5.4 M

agnetfeld: Lorentz-Kraft

Definition des M

agnetfeldes (B-Feld)

Erfährt die P

robeladung q am O

rt reine C

oulomb-K

raft, dann herrscht ein elektrisches Feld m

it Feldstärke E(r).

Erfährt die bew

egteP

robeladung q am

Ort rdie Lorentz-K

raft (F~ v

x B), dann

herrscht am O

rt rein Magnetfeld B

(r). B

(r) heißtmagnetische Flussdichte

oder magnetische Induktion.

Fq

E=

⋅r

rF

qv

B=

⋅×

rr

rF

qv

Bsin

=⋅

⋅⋅

ϕ(ϕ

= Winkel zw

. vund B

)

Richtung: R

echte-Hand-R

egel

Einheit B

: 1 N

/ (Cm

/s) = 1 N / (A

m)

= 1 T (Tesla)

Bew

egteLadungen erzeugen B

-Feld, bew

egteLadungen spüren B

-Feld.

1) F⊥

vund F

⊥B

2) Für v || B (d.h. ϕ

=0) ist F = 0.3) Vorzeichen von q beachten !

F (⊥v) kann nur die

Richtung

von vändern,

nicht den Betrag.

(Anm

: B = μH

–> H: m

agnetische Feldstärke)

Nikola Tesla

5.4 (4)5.4 M

agnetfeld: Lorentz-Kraft

Definition des M

agnetfeldes (B-Feld)

CF

qE

=⋅

rr

LF

qv

B=

⋅×

rr

rL

Fq

vB

sin=

⋅⋅

⋅ϕ

(ϕ= W

inkel zw. v

und B)

Bew

egteLadungen erzeugen B

-Feld, bew

egteLadungen spüren B

-Feld.

F ( ⊥v) kann nur die

Richtung

von vändern,

nicht den Betrag.

v || B

F = 0

F⊥

vund F

⊥B

v ⊥B

F m

aximal

Vorzeichen von q beachten !

FC

unabhängig von v

5.4 (5)5.4 M

agnetfeld: Lorentz-Kraft auf ein Teilchen

Bew

egte Ladungen auf Kreisbahn:

Elektronen im hom

ogenen B-Feld

homog. B

-Feld aus E

bene heraus

Gleichförm

ige Kreisbew

egung(K

ap. 2.1 & 2.2)

-Teilchen bewegt sich m

it konstantem

Betrag

der Geschw

indigkeit v-konstante (Zentripetal-)K

raft weist zum

M

ittelpunkt der Kreisbahn

-F⊥

v, ses w

ird keine Arbeit geleistet

unabh. von v

Elektron:

q < 0

Fq

vB

=⋅

×r

rr

Kreisbahn:

Lorentz-Kraft = Zentripetalkraft

2q

vB

mv

/r⇒

⋅⋅

=m

vr

qB ⋅

=⋅

Radius r:

Periodendauer:

2v

T2

r/vT

rπ

=π

⇒ω

==

Kreisfrequenz

ωqBm

⇒ω

=

Elektronen-S

pur= leuchtendes G

asF

v

xhom

og. B-Feld

in Ebene hinein

Proton:

q > 0

⇒

5.4 (6)5.4 M

agnetfeld: Feldlinien

Veranschaulichung durch Feldlinien: Permanentm

agneten

Elektrisches Dipolfeld

pp

Magnetisches D

ipolfeld

Eisenfeilspäne

an Stabm

agnetE

in Dipol, z.B

. ein Spin,

kann als Pfeildargestellt w

erden.

5.4 (7)

Magnetische Feldlinien

(vgl. E-Feld, gleiche E

igenschaften:)•D

ie Richtung des B

-Feldes in rist gleich der Richtung

der Tangente an die Feldlinie in r.•schneiden sich niem

als.•beginnen oder enden nie im

freien Raum

.•D

ie Dichte

der Feldlinien ist proportional zur Feldstärke.

Unterschiede: M

agnetische Feldlinien

•sind geschlossen !(es gibt keine M

onopole, an denen sie beginnen oder enden könnten).

(Magnetfeld ist ein W

irbelfeld)•verlaufen außerhalb

eines Perm

anentmagneten

oder einer Leiterschleife (Dipol) von N

ord nach Süd

(aber: es gibt keine Pole als Q

uellen des Feldes)

5.4 Magnetfeld: Feldlinien

Veranschaulichung durch FeldlinienElektrisches D

ipolfeld

Magnetisches D

ipolfeld

pp

5.4 (8)5.4 M

agnetfeld: Feldlinien

Feldlinien zeitlich konstanter Ströme (Elektrom

agnete)

xS

trom in

Ebene hinein

Strom

führender Draht

& E

isenfeilspäne

xFeld in E

bene hinein

Feld aus E

bene heraus

Richtung:

Rechte-H

and-R

egel

Ein strom

führender Draht (bew

egte Ladungen !) erzeugt ein B

-Feld. (konzentrische Kreise)

0I

B(r)

2r

μ=

πB

-Feld eines unendlich langen, geraden Leiters.

Betrag:

Vakuumperm

eabilität:μ

0 = 4π10

-7T m/A

Wirbelfeld

5.4 (9)5.4 M

agnetfeld: Am

pere‘sches Gesetz

Berechnung des B

-Feldes: Am

peresches Gesetz

0I

B(r)2

rμ

⇒=

π

Elektrostatik: Satz von G

auß

0 qE

dAΦ

=⋅

=ε

∫r

r0

Bds

I⋅

=μ

∫r

r

Integral über geschlossene Fläche.

Integral über geschlossenen Weg,

I: eingeschlossener Strom

xS

trom in

Ebene hinein

Bsp.:langer, gerader D

raht

•S

trom aus

Ebene heraus

Integral über konzentrischen Kreis:

Ruhende Ladungen erzeugen E

-Felder, S

tröme erzeugen

B-Felder.

0B

dsB

dsB

dsB

2r

I⋅

=⋅

==

⋅π

=μ

∫∫

∫r

rB||ds

rr

B = const

für r = const

5.4 (10)5.4 M

agnetfeld: Feldlinien

Magnetisches D

ipolmom

ent einer Leiterschleife

Dipol kann als Pfeil

dargestellt werden.

Für große Abstände entspricht das

Feld der Schleife einem

Dipol-Feld..

Eine Leiterschleife trägt ein

magnetisches D

ipolmom

ent μparallel zur N

ormalen

auf der Schleife.

NI

Aμ

=⋅

⋅r

A: Fläche der Leiterschleife

N: A

nzahl der Schleifen-W

indungen (Spule)

Richtung μ: R

echte-Hand-R

egel (S

tromrichtung m

it gekrümm

ten Fingern)

Einheit: 1 A m

2

5.4 (11)5.4 M

agnetfeld: Lorentz-Kraft auf Strom

Kraft auf strom

durchflossenen Draht der Länge L

Fq

vB

=⋅

×r

rr

Einheit B

: 1 N

/ (Cm

/s) = 1 N / (A

m)

= 1 T (Tesla)

Vektor parallel zum

Draht

in Richtung des S

troms

(von + nach -)

Feld aus E

bene heraus

Beide D

efinitionen sind äquivalent, M

essung von Kraft auf S

trom ist einfacher

BI

Fr

l rr

×⋅

=

l r

l r

ϕsin

⋅⋅

⋅=

BI

Fl

vI

tI

ql⋅

=⋅

=

5.4 (12)5.4 M

agnetfeld: Lorentz-Kraft auf Strom

Kraft auf strom

durchflossenen Draht der Länge L

Strom

und Laus E

bene heraus

mg

LL

BI

Im

gB

⇒=

⋅=

⋅⋅

~0.050 kg/m

10 m/s

2/ 1A = 0.5 T

Typische Werte:

Hochfeldlabor: 40-50 T (D

auer)großer E

lektromagnet: 1 T

kleiner Stabm

agnet: 0.01 TE

rdfeld: ½ 10

-4T

Bsp:

Durch einen geraden, horizontalen C

u-Draht fließt

ein Strom

I= 1A. D

er Draht w

iegt 50 g pro Meter Länge.

Wie groß m

uss ein homogenes, horizontales, zum

Draht

senkrechtes B-Feld sein, dam

it der Draht schw

ebt ?

BI

Fr

l rr

×⋅

=ϕ

sin⋅

⋅⋅

=B

IF

l

Vektor parallel zum

Draht

in Richtung des S

troms

(von + nach -)

l r

l r

l r

5.4 (13)5.4 M

agnetfeld: Lorentz-Kraft auf Strom

SI-Definition der Strom

stärke

Bei zw

ei parallelen, stromführenden D

rähten spürt jeder D

raht das B-Feld des anderen.

Parallele S

tröme ziehen sich an ,

antiparallele stoßen sich ab.

xS

trom in

Ebene

hinein

bB r

SI-SystemD

efinition Stromstärke 1 A

: 2 gerade, unendlich lange D

rähte im

Vakuum, A

bstand 1 m,

mit K

raft F = 2•10-7N

pro M

eter Länge.

0I

B(r)2

rμ

=π

Vektor parallel zum

Draht

in Richtung des S

troms

(von + nach -)

l r

l r

BI

Fr

l rr

×⋅

=

l rl

d II

Fb

al⋅

=π μ20

5.4 (14)5.4 M

agnetfeld: Feldlinien

Magnetisches D

ipolmom

ent einer Leiterschleife

Dipol kann als Pfeil

dargestellt werden.

Für große Abstände entspricht das

Feld der Schleife einem

Dipol-Feld..

Eine Leiterschleife trägt ein

magnetisches D

ipolmom

ent μparallel zur N

ormalen

auf der Schleife.

NI

Aμ

=⋅

⋅r

A: Fläche der Leiterschleife

N: A

nzahl der Schleifen-W

indungen (Spule)

Richtung μ: R

echte-Hand-R

egel (S

tromrichtung m

it gekrümm

ten Fingern)

Einheit: 1 A m

2

5.4 (15)5.4 M

agnetfeld: Magnet. D

ipol im B

-Feld

Drehm

oment auf m

agnet. Dipol

Mp

E=

×r

rr

Erinnerung: E

-Feld richtet elektr. D

ipol parallel zum

Feld aus

Im hom

ogenen B-Feld erfährt der D

ipol μein

Drehm

oment M

, das μparallel zu B

ausrichten will.

M= 0, w

enn μ|| B

Energiedifferenz E= ±μ

B

μ r

Seitenansicht

MB

=μ

×r

rr

Schleife gekippt

M=0

Draufsicht

Schleife vertikalx

Feld in E

bene hinein

Anw

endung: • K

ompass

• Elektrom

otor

1 F r

2F r

ges1

2F

FF

0=

+=

rr

r

Schleife horizontal

μ rM r

5.4 (16)5.4 M

agnetfeld: Induktion

Faradaysches Induktionsgesetz

bisher:B-Feld + S

trom-S

chleife D

rehmom

entFrage:W

as passiert, wenn w

ir die Schleife

ohne Strom

(!) im B

-Feld drehen ?A

ntwort: E

in Strom w

ird induziert.

Experim

ent:

Strom

fließt (wird

induziert), w

enn der Magnet relativ

zur Schleife bew

egt wird.

Induktion: In einer S

chleife wird ein Strom

(bzw.

eine Spannung) induziert, wenn sich die

Zahl der Feldlinien durch die Schleife

(die Menge

an B-Feld) ändert.

Elektronen erfahren durch

die Bew

egung im B

-Feld eine Lorentz-K

raft

M r

5.4 (17)5.4 M

agnetfeld: Induktion

Faradaysches Induktionsgesetz Ä

nderung der Menge an B

-Feld:

Bind

dU

dt Φ=

−D

ie induzierte Spannung U

ind ist proportional zur Ä

nderung des magnetischen Flusses Φ

.

Minus-Zeichen: D

ie induzierte Spannung w

irkt der Ä

nderung entgegen.

dA:

∫r

Integral über geschlossene Fläche A

dA:

rVektor, R

ichtung: senkrecht auf dem

Flächenelement dA

,von innen nach außen; B

etrag: Flächeninhaltvon dA

Der Fluss Φ

Εist proportional

zur Anzahl der Feldlinien,

die die geschlossene Fläche A senkrecht durchdringen.

BB

dAΦ

=⋅

∫r

r

Zur Erinnerung: S

atz von Gauß

Einheit Φ

: 1 T m2= 1 W

b (Weber)

++

++

+

--

--

-

+q-q dAdA

E0 q

EdA

Φ=

⋅=

ε∫

rr

5.4 (18)5.4 M

agnetfeld: Induktion

Der m

agnetische Fluß

Bsp.: hom

ogenes B-Feld

⊥ zur Zeichenebene;

Kreis

in Ebene, d.h. N

ormale ⊥

zur Ebene;

d.h. B|| dA

BB

dAΦ

=⋅

∫r

r

BB

dA

AB

dB

A⋅

=Φ

==

⋅∫

∫

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

x

übrigens:

BdA

0⋅

=∫

rr

Der m

agn. Fluss durch eine geschlossene

Flächeist N

ull,w

eil die Feldlinien geschlossensind (es gibt keine m

agn. Ladungen).

2D S

chnitt:

Jede Feldlinie, die rein

geht, geht auch w

ieder raus.

E0 q

EdA

Φ=

⋅=

ε∫

rr

5.4 (19)5.4 M

agnetfeld: Induktion

Faradaysches Induktionsgesetz

Bind

ddB

(t)U

Adt

dtΦ

=−

=−

⋅

Bind

ddA

(t)U

Bdt

dtΦ

=−

=−

⋅

BA

BA

cos⋅

=⋅

⋅ϕ

rr

A rB r

ϕ

BB

(t)=

1) Fläche konstant, Feld ändertsich:

2) Feld konstant, Fläche ändertsich:

3) A & B

konstant, Winkel ändertsich:

Prinzip des W

echselstromgenerators

Bind

dd

(t)U

BA

sin(t)

dtdt

Φϕ

=−

=⋅

⋅⋅

ϕ

d(t)

dtϕ

=ω

Ιind

Ιind

M r

5.4 (20)5.4 M

agnetfeld (22): Induktion

Ersetze die Leiterschleife durch eine

leitfähige Platte. A

uch in dieser wird ein W

irbelstrominduziert (hem

mt die Ä

nderung von B•A

).analog: W

asserstrudel

mF

LagerE

ine leitfähige Plattependelt in ein B

-Feld(W

irbel-)Stromw

ird induziertdurch den S

trom w

ird Energie in Wärm

eum

gesetzt(die P

latte hat einen Widerstand; W

= U•I•t)

die mechanische (=kinetische) Energie w

ird kleinerdie P

latte wird abgebrem

st (durch die Lorentz-Kraft)

außen: B

=0

v

F

Wirbel-

stromm

F

Wirbelstrom

bremse

Welche P

latten w

erden abgebrem

st ?E

xperiment

5.4 (21)5.4 M

agnetfeld: Induktion

Lenzsche Regel (das M

inus-Zeichen)E

ine Änderung des m

agnetischen Flusses induziert einen S

trom.

Frage: In w

elche Richtung fließt der S

trom ?

Der induzierte S

trom ist so gerichtet, dass

das von ihm erzeugte B

-Feld der Änderung

des magnetischen Flusses entgegenw

irkt.

1) Annäherung des M

agnetenan die S

chleife erhöht den Fluss Φ

(~ B*A

) durch die Schleife (Fläche A

). 2) D

er induzierte Strom

Ιerzeugt ein Magnetfeld B

i , das der Ä

nderung des Feldes entgegenwirkt,

die Änderung von Φ

durch A wird verlangsam

t. 3) R

uht der Magnet, so w

ird kein Strom

induziert. 4)W

ird der Magnet entfernt, dann w

ird Φkleiner.

Nun w

irkt der induzierte Strom

der Verkleinerung entgegen, d.h. er fließt in die andere R

ichtung.

Das induzierte Feld B

I hemm

t die Ä

nderung des Flusses.

B

wächst

B w

irdkleiner

Grund: E

nergie-Erhaltung

Sonst w

ürde die Änderung im

mer größer …

Annäherung: E

ntfernung:

5.4 (22)5.4 M

agnetfeld: Induktion

Änderung des B

-Feldes induzierteine Spannung

und somit auch ein E-Feld (auch im

Vakuum).

Das induzierte E

-Feld ist ein Wirbelfeld (geschlossene

Feldlinien !)im

Gegensatz zu statischen E

-Feldern ist das P

otential für induzierte E-Felder nicht definiert.

Integral über geschlossenen W

eg

ba r

abb

ar

UE

dr=

ϕ−

ϕ=

−⋅

∫ rr

rr

Elektrostatik:

Edr

0⇒

⋅=

∫r

r

Induziertes elektrisches Feld

Eine P

robeladung wird hier durch die Ä

nderung des B

-Feldes beschleunigt, nicht durch statische Ladungen.

B-Feld

in Ebene

hinein; nim

mt zu

Bind

dU

Edr

dt Φ=

⋅=

−∫r

r

Analog: Ä

nderung des E-Feldes induziert ein B

-Feld

E0

0 dB

drdt Φ

⋅=

με

∫r

relektrom

agnetische W

ellen