PERIODIČNE FUNKCIJE I ...ciklometrijske funkcije i neelementarne funkcije

O periodičnosti...

Možete li navesti neke periodične pojave u svakodnevnom životu?

U znanosti? U čemu se sastoji njihova periodičnost? Kako bi izgledao graf funkcije koja opisuje

monotoni zvuk koji traje po 5 s i ponavlja se u razmacima od 10 s?

A zvučni signal koji svakih 10 s počinje od nul-intenziteta i jednoliko se pojačava tokom tih10 sekundi?

Skicirajte primjer grafa periodične funkcije kojoj je period 2.

Definicija periodičnosti

x x + 2 x + 4

f(x)

x − 4

)()( Txfxf x − 2

za neki T > 0i sve x iz domene!

Par pitanja o periodičnim funkcijama

Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva?

Može li periodična funkcija imati horizontalnu asimptotu?

A vertikalnu? Ako periodična funkcija ima vertikalnu

asimptotu, koliko ih je?

O bazi 60

Što znaci znamenka 2 u broju 127,3? Koliko sati je 5 h 25 min 30 s? Zapis broja u seksagezimalnom sustavu je

njegov zapis kao zbroja potencija broja 60, pomnozenih s pripadnim znamenkama. Koje su smislene znamenke u seksagezimalnom sustavu?

Kutove možemo mjeriti u stupnjevima, tj. njihove veličine opisivati određenom jedinicom, obzirom na koju se koristi zapis u bazi 60.

10,27° možemo zapisati i kao 10° ___ ‘ ___ ‘’

O jedinicama za mjerenje kutova Koje još jedinice za mjerenje kutova znate? 100 gon = pravi kut

Što je to radijan? Koliki je opseg kruga polumjera 1 cm? 1 km? 1 Å? 1? Koliko je duga ¼opsega kružnice polumjera 1 m? Mjera kuta u radijanima je duljina lûka kružnice

polumjera 1 jedinice koji odgovara tom kutu sukladnom središnjem kutu, podijeljena s jedinicom.

Koliki kut, u radijanima, prijeđe minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta?

Funkcije sinus i kosinus

xNađite i objasnite neke relacije između funkcija sinus i kosinus te neka njihova svojstva temeljem definicije pomoću jedinične kružnice!Na jednu decimalu točno procijenite sin(1), cos(2), sin(−7), cos(90). Dozvoljeno je koristiti samo 4 osnovne računske operacije.

Grafovi funkcija sinus i kosinus

Zadatak1.Lila krivulja je graf funkcije sinus. Označite sjecišta svih krivulja s osima.

Kako crveni graf dobijemo iz lila? Koju funkciju predstavlja crveni graf?Kako zeleni graf dobijemo iz lila? Koju funkciju predstavlja zeleni graf?

Koju funkciju predstavlja svijetlo plavi graf? Tamnoplavi? Sivi?Zamislite da imate grafički kalkulator kojem je “crkla” tipka sin – kako biste pomoću tipke cos nacrtali bar dva od gornjih grafova?

Zadatak 2.

Amplituda sinusoidalne krivulje je pola razlike ordinata najviše i najniže točke na krivulji.

Frekvencija sinusoidalne krivulje je recipročna vrijednost njenog temeljnog perioda.

y = cos x

y = 2,5 cos xy = cos xy = −0,5 cos x

y = cos x/2

Tangens i kotangens

Unesite cijele brojeve na os apscisa te brojeve ±1 na os ordinata!

Ciklometrijske funkcije

Koja je koja?

Prikaz neafinih funkcija pomoću afinih

uobičajeno, ali ne i uvijek zgodno: y ovisi samo o Y, a x ovisi samo o X

bitno je da se iz konkretnog para (x,y) lako dođe do para (X,Y)

a treba obratiti pažnju i na raspon na osima i odgovarajuću oznaku osi

baxyXFY )(

Primjer

Arrheniusova jednadžba k = A exp(−Ea/(RT)) što možete reći o jedinicama od k, A, Ea? skicirajte lineariziranu ovisnost za raspon

temperatura od 100 K do 300 K ako je A = 2,1 ·109 s−1 i Ea =111 kJ/mol

Ostwaldov zakon za slabe elektrolite (molarna provodnost u mol/(S cm 2))

TR

EAk

RT

E

A

k

RT

E

A

k

1

jed.ln

jed.ln

lnexp

a

aa

2m

m,0m m,0

11

K

c

Neelementarne funkcije

primjerice, funkcija apsolutne vrijednosti na različitim dijelovima domene zadane

različitim pravilima

skicirajte graf funkcije zadane s

exeex

exx

xx

xf

2,/

1,ln

10,

)(

2