Percoration cascades

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Multi-Layer Networks 4.6.2 Percolation Cascades 風間 一洋 和歌山大学

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Multi-Layer Networks 4.6.2 Percolation Cascades

風間 一洋

和歌山大学

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概要

• 文献[68]の内容を中心に多層ネットワークにおけるパーコレーションを議論している

[68] S. V. Buldyrev, R. Parshani, G. Paul, H. E. Stanley, and S. Havlin. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks. Nature, 464(7291):1025–1028, 2010.

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多層ネットワークの パーコレーション過程

• 層内エッジと層間エッジは意味的に同一とする

• ノード間パスは2種類のエッジを含むことができる(Buldyrev et al.の定義) 1. 接続関係エッジ(connectivity edges)

• 層内エッジ群におけるパーコレーション過程

• 単層ネットワークの場合と同一

2. 依存関係エッジ(dependency edges) • 層間エッジ群におけるパーコレーション過程

• ノード間の依存関係を表す

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多層ネットワークを使った パーコレーション過程の例

• Buldyrev et al.の2層ネットワークにおけるカスケード故障の分析を説明(Fig. 7)

– Fig. 3の多重ネットワークに似た相互依存ネットワークを考える

–層内次数分布は任意

–各層のノード間に層間隣接性が存在

–確率1 − 𝑝 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑝 ∈ 0,1 でランダムにノードを削除

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Figure.3 Zachary Karate Club Club (ZKCC) Network

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多層ネットワークを使った パーコレーション過程(1)

• 上位層のノードを攻撃

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多層ネットワークを使った パーコレーション過程(2)

• 攻撃されたノードを削除

• 二つの層から,その層内エッジを削除

⇒上位層の連結成分が複数の孤立集合に分解

– 𝑎11, 𝑎12, 𝑎13

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多層ネットワークを使った パーコレーション過程(3)

• 下位層を更新

• 上位層で異なる連結成分に属するようになった,下位層で隣接するノード間の層内エッジを削除

⇒下位層の連結成分が複数の孤立集合に分解

– 𝑏21, 𝑏22, 𝑏23, 𝑏24

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多層ネットワークを使った パーコレーション過程(4)

• 上位層を更新

• 下位層で異なる連結成分に属するようになった,上位層で隣接するノード間の層内エッジを削除

⇒より多くの孤立集合に分解

– 𝑎11, 𝑎12, 𝑎13⇒ 𝑎31, 𝑎32, 𝑎33, 𝑎34

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多層ネットワークを使った パーコレーション過程

• 2層間を交互に繰り返して進行

• 二つのネットワークが定常状態に達するまで,より小さな連結成分に少しづつ分割

• 定常状態

–ある層の連結成分に含まれるノードが,他層の対応する連結成分に含まれるノードにしか依存関係がない

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パーコレーション過程における ネットワークのロバスト性

• 不均一な層内次数分布を持つ相互依存ネットワークは,均一なものほどロバストではない

–単層ネットワークにおけるランダム故障とは反対

• 2層の相互依存性により,単層ネットワークのパーコレーションよりも緩やかに遷移する

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相互依存ネットワークにおける パーコレーションの相転移(1)

• 図(a)~(d)で示した過程 • 層内ネットワークA, B層

– 平均次数3のERグラフ

• A層のある割合のノードが,B層のどのノードにも依存しない(孤立ノード)

• B層は孤立ノードなし – 𝑞𝐵 = 1

• x軸:A層から削除されるノードの割合

– 1 − 𝑝 • y軸: 𝐴層の孤立ノードの割合

– 1 − 𝑞𝐴

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相互依存ネットワークにおける パーコレーションの相転移(2)

• 依存エッジの割合にクリティカルポイントが存在する

– 小さければ2次相転移 • 孤立ノードが多い

– 大きければ1次相転移 • 孤立ノードが少ない

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コンフィギュレーションモデルの 場合の相転移の研究

[372] D. Zhou, J. Gao, H. E. Stanley, and S. Havlin. Percolation of partially interdependent scale-free networks. Phys. Rev. E, 87:052812, 2013. • ERグラフではなくコンフィギュレーションモデルでネットワークを作成 – 次数分布がベキ分布

• ハイブリッドな相転移を示す – パーコレーションパラメタ𝑝のクリティカルポイント

• 相互GCCサイズが非ゼロの極小値に不連続にジャンプ

– A層からノードを削除する割合を増大: 𝑝 → 0 • 相互GCCサイズが連続的に変化

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層内エッジと層間エッジの 配置に関する研究

• 層間エッジを一様ランダムに配置しない場合[69,259]

–相互依存ネットワークはランダム故障によりロバストになる

–パーコレーションの相転移

• 一次相転移から二次相転移に変化

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その他の研究

• 層内ネットワークの選択に空間制約を考慮する研究[203]

• ノードの組が相互接続した連結成分(mutually-connected component)にない場合の研究[35,311]

• ノードが接続関係エッジと/または依存関係エッジで互いに隣接している場合の研究[258]

• 相互接続した連結成分の概念を変更した場合の研究(ソースノードの導入)[230]

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依存関係エッジを経由する 隣接ノードの組の例

• ある層で隣接するが,他の層では別の連結成分に属するノードの組が,依存関係エッジを介して隣接