PER RISOLVERE UN QUADRILATERO DEVONO ESSERE NOTI ALMENO 5 ELEMENTI DI CUI ALMENO DUE LATI. IN BASE AGLI ELEMENTI CHE SI CONOSCONO SI POSSONO VERIFICARE I SEGUENTI CASI:

1) 3 LATI + 2 ANGOLI COMPRESI 2) 3 LATI + 2 ANGOLI NON COMPRESI 3) 3 ANGOLI + 2 LATI OPPOSTI 4) 3 ANGOLI + 2 LATI CONSECUTIVI 5) 4 LATI + 1 ANGOLO 6) 3 LATI + 2 ANGOLI DI CUI 1 COMPRESO 7) 4 LATI + 1 DIAGONALE

CASO 1) 3 LATI + 2 ANGOLI COMPRESI

Dati: AB, BC, CD, b, g

Inc.: AD, a, d, Area

Disegno: si mette per base il lato di cui si conoscono gli angoli adiacenti (nel nostro caso BC)

B

A

D

C

Si tracciano gli angoli dati e si disegnano in scala i lati relativi (AB e CD) Infine si traccia il lato mancante AD

b g

CASO 1) 3 LATI + 2 ANGOLI COMPRESI

Per risolvere il quadrilatero si traccia a piacere una delle due diagonali (AC o BD)

Si risolve il triangolo di cui si conoscono due lati e un angolo compreso:

bcos222 BCABBCABAC

ACBC

ABACBC

2cos

2221

1g

11 200 gba c

12 ggg

B

A

D

C

b g g1

g2

a1

a2

d

2

22 cos2 g CDACCDACAD

ADCD

ACADCD

2cos

2221d

22 200 gda c

21 aaa

ACDABCABCD SSS

22

db senADCDsenBCABSABCD

CASO 2) 3 LATI + 2 NON ANGOLI COMPRESI

Dati: AB, BC, CD, a, d

Inc.: AD, b, g, Area

Disegno: si mette per base il lato che non conosciamo (nel nostro caso AD) ma avrà un estremo incognito (D1)

Si tracciano gli angoli dati e si disegnano in scala i lati relativi (AB e CD) Si traccia un cerchio di centro B e raggio il lato BC

B

A D1

C1

a d

B

A D1

C1

a d

D

C Dal punto C1 si traccia una retta orizzontale fino ad incontrare l’arco di cerchio, ottenendo il punto C. Si collega con B. Si sposta il lato C1D1 parallelamente a se stesso in modo che C1 coincide con C

CASO 2) 3 LATI + 2 NON ANGOLI COMPRESI

Per risolvere il quadrilatero si tracciano le altezze dai punti B e C e si risolvono i triangoli rettangoli ABH e CDK

B

A

a d

D

C

H K

ABH

aa senABBHAB

BHsen

aa coscos ABAHAB

AHb1

g1

ab cc 1002001

CDK

dd senCDCKCD

CKsen

dd coscos CDDKCD

DK

dg cc 1002001

CASO 2) 3 LATI + 2 NON ANGOLI COMPRESI

Dal punto B si traccia una retta orizzontale fino ad incontrare in E il segmento CK

B

A

a d

D

C

H K

BCE

BC

CEsen

BC

CEsen 1

22 bb

22 coscos bb BCBEBC

BE

b1

g1

22 100200 bg cc

E

BHCKCE

b2

g2

Infine

c

DKBEAHAD

10021

21

bbb

ggg

22

ga senCDBCsenADABSABCD

CASO 3) 3 ANGOLI+ 2 LATI OPPOSTI

Dati: AB, CD, a, b, d Inc.: BC, AD, g, S DISEGNO Si mette per base il lato più grande (ad es. AB) e si tracciano gli angoli alla base a e b.

B A

a

d

D1

b

B A

a

C1 Si prende un punto (nel nostro caso D1) a piacere sul lato dove si conosce il terzo angolo e si traccia l’angolo (nel nostro caso d) e il lato (nel nostro caso CD)

d D

B A

a

C

Retta parallela a AD

D1

C1

Dal punto C1 si traccia la parallela al lato AD fino ad incontrare il lato opposto nel punto C. Infine si sposta il segmento C1D1 in C ottenendo il punto D

CASO 3) 3 ANGOLI+ 2 LATI OPPOSTI

SVOLGIMENTO

d

D

B A

a

C

g

b

E dbag c400

ABE e

e

a

e

b

bae

sen

senABBE

sen

senABAE

c

200

CDEg1

d1

dd

gg

200

200

1

1

c

CEBEBC

DEAEAD

sen

senCDCE

sen

senCDDE

e

d

e

g

1

1

22

ga senCDBCsenADABSABCD

oppure

CDEABEABCD SSS

CASO 4) 3 ANGOLI + 2 LATI CONSECUTIVI Dati: AB, BC, a, b, g

Inc.: CD, AD, d, Area

d

D

B A

a

C

g

b

DISEGNO Mettere per base un lato noto e disegnare l’angolo con l'altro lato (es. AB, BC e b) Da vertici esterni dei due lati si tracciano gli angoli (a e g) fino a farli incontrare in D

SVOLGIMENTO

ABCbcos222 BCABBCABAC

)2(

)(cos

2221

1ACAB

BCACAB

a

12

12

11 200

ggg

aaa

bag

c

gbad c400

d

g

d

a

sen

senACAD

sen

senACCD

2

2

22

db senCDADsenBCABSABCD

a1

a2

g1 g2

CASO 5) 4 LATI + 1 ANGOLO

Dati: AB, BC, CD, AD, b

Inc.: a, g, d, Area DISEGNO

Mettere per base un lato noto e disegnare l’angolo con l'altro lato (es. AB, BC e b) Da vertici esterni dei due lati si tracciano con il compasso due archi di raggio AD e CD che si incontrano nel punto D (è possibile che ci siano due soluzioni)

D

B

C

b

A

D1

CASO 5) 4 LATI + 1 ANGOLO

Dati: AB, BC, CD, AD, b

Inc.: a, g, d, Area

D

B

C

b

A

1 SOLUZIONE ABCD

ABCbcos222 BCABBCABAC

)2(

)(cos

2221

1ACAB

BCACAB

a

bag 11 200c

)2(

)(cos

2221

2ACAD

CDACAD

a

)2(

)(cos

2221

2ACCD

ADACCD

g

21

22200

aaa

gad

c

21 ggg

a1

a2

g1

g2 g

a

d

22

db senCDADsenBCABSABCD

CASO 5) 4 LATI + 1 ANGOLO

Dati: AB, BC, CD, AD, b

Inc.: a, g, d, Area

D

B

C

b

A

2 SOLUZIONE ABCD1

23

23

1

2

2

400

ggg

aaa

dd

c

a3 a2

g3

g2

g

a

d

11 ACDABCABCD SSS

D1 d

Si utilizzano alcuni risultati della 1 soluzione e si trovano gli elementi della 2 soluzione

22

111

db senCDADsenBCABSABCD

d1

RIMANGONO DA SVOLGERE I CASI: 6) 3 LATI + 2 ANGOLI DI CUI 1 COMPRESO 7) 4 LATI + 1 DIAGONALE

SI CHIEDE DI PREPARARE UNA PRESENTAZIONE CHE ILLUSTRI LA RISOLUZIONE DI QUESTI DUE CASI. SI PUO’ LAVORARE IN GRUPPI DI MASSIMO TRE PERSONE. LE MIGLIORI DUE PRESENTAZIONI SARANNO VALUTATE CON VOTO SUL REGISTRO

Salve … Co’ sti quadrilateri che.