PENSAMIENTO ALGEBRAICO

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 o . 15 14 13 12

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-1548-0 ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-1549-7 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-1550-3

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rea: Matemticas

CEDILLO, TENOCH y CRUZ, VALENTN

Desarrollo del pensamiento algebraico

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2013

ISBN: 978-607-32-1548-0

Pginas: 288 Formato: 21 x 27 cm

/ Datos de catalogacin bibliogrfica

V

Uso del cdigo algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numricos 69 Hoja de trabajo l. Patrones numricos: valores de entrada y salida 70 Hoja de trabajo 2. Valores proporcionales (1) 71 Hoja de trabajo 3. Valores proporcionales (2) 72 Hoja de trabajo 4. Reglas de dos pasos (1) 73 Hoja de trabajo 5. Reglas de dos pasos (2) 74 Hoja de trabajo 6. Patrones con valores negativos (1) 75 Hoja de trabajo 7. Patrones con valores negativos (2) 76 Hoja de trabajo 8. Constante de proporcionalidad fraccionaria (1) 77 Hoja de trabajo 9. Constante de proporcionalidad fraccionaria (2) 78 Hoja de trabajo 10. Constante de proporcionalidad fraccionaria (3) 79 Hoja de trabajo 11. Lectura de expresiones algebraicas (1) 80 Hoja de trabajo 12. Lectura de expresiones algebraicas (2) 81 Hoja de trabajo 13. Reglas de dos pasos (3) 82 Hoja de trabajo 14. Constante de proporcionalidad fraccionaria (4) 83 Hoja de trabajo 15. Constante de proporcionalidad fraccionaria (5) 84 Hoja de trabajo 16. Constante de proporcionalidad fraccionaria (6) 85 Actividades sugeridas para el futuro docente 86

\ _ r Bloque 1 51

1 7

21 35

xiii XV

xvii

Prlogo Presentacin Introduccin Referente terico Modelo didctico Investigacin Gua didactica Manual bsico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)

vi

107

108 109 110 111 112

Representacin algebraica de relaciones parte-todo

Hoja de trabajo 32. Cmo expreso la parte restante? Hoja de trabajo 33. El todo con respecto a sus partes (1) Hoja de trabajo 34. Aplicaciones de la relacin parte-todo (1) Hoja de trabajo 35. Aplicaciones de la relacin parte-todo (2) Hoja de trabajo 36. Aplicaciones de la relacin parte-todo (3)

\ _ Bloque 4 104 105

101 102 103

95 96 97 98 99

100

Expresiones algebraicas equivalentes

Hoja de trabajo 23. Expresiones algebraicas equivalentes (1) Hoja de trabajo 24. Expresiones algebraicas equivalentes (2) Hoja de trabajo 25. Expresiones algebraicas equivalentes (3) Hoja de trabajo 26. Expresiones algebraicas equivalentes (4) Hoja de trabajo 27. Expresiones algebraicas equivalentes (S) Hoja de trabajo 28. Expresiones algebraicas equivalentes

de dos pasos Hoja de trabajo 29. Programas equivalentes (1) Hoja de trabajo 30. Programas equivalentes (2) Hoja de trabajo 31. Lectura de expresiones algebraicas

equivalentes Actividades sugeridas para el futuro docente

\ _ r Bloque 3

89 90 91 92 93 94

88

87 Jerarqua de las operaciones aritmticas y transformacin algebraica

Hoja de trabajo 17. Expresiones algebraicas y jerarqua de las operaciones (1)

Hoja de trabajo 18. Expresiones algebraicas y jerarqua de las operaciones (2)

Hoja de trabajo 19. Uso de parntesis (1) Hoja de trabajo 20. Transformacin algebraica (1) Hoja de trabajo 21. Uso de parntesis (2) Hoja de trabajo 22. Parntesis y jerarqua de las operaciones Actividades sugeridas para el futuro docente

\ _ r Bloque 2


Contenido

Hoja de trabajo 37. El todo con respecto a sus partes (2) 113 Hoja de trabajo 38. sta no es una relacin parte-todo! 114 Hoja de trabajo 39. sta tampoco es una relacin parte-todo! 115 Hoja de trabajo 40. Patrones decrecientes (1) 116 Hoja de trabajo 41. Patrones decrecientes (2) 117 Actividades sugeridas para el futuro docente 118

r Bloque 5 \ Inversin de funciones lineales 119 Hoja de trabajo 42. Programas que invierten la tabla de valores (1) 120 Hoja de trabajo 43. Programas que invierten la tabla de valores (2) 121 Hoja de trabajo 44. Programas inversos de dos pasos (1) 122 Hoja de trabajo 45. Programas inversos de dos pasos (2) 123 Hoja de trabajo 46. Programas inversos en relaciones

cuadrticas y relaciones de dos pasos 124 Actividades sugeridas para el futuro docente 125

r Bloque 6 \ El lenguaje del lgebra en la resolucin de problemas y formulacin de conjeturas 127 Hoja de trabajo 47. Patrones geomtricos (1) 128 Hoja de trabajo 48. Patrones geomtricos (2) 129 Hoja de trabajo 49. Patrones geomtricos (3) 130 Hoja de trabajo 50. Ventanas 131 Hoja de trabajo 51. Algo ms sobre ventanas 132 Hoja de trabajo 52. Maquetas 133 Hoja de trabajo 53. Rebajas 134 Hoja de trabajo 54. Descuento general! 135 Hoja de trabajo 55. Bienes races 136 Hoja de trabajo 56. Si modifico el permetro cambia el rea? 137 Hoja de trabajo 57. Nmeros palndromos 138 Hoja de trabajo 58. Nmeros consecutivos 139 Hoja de trabajo 59. Nmeros pares e impares 140 Hoja de trabajo 60. Conjeturas 141 Hoja de trabajo 61. Un juego matemtico 142 Actividades sugeridas para el futuro docente 143

vii

Funciones lineales: sus representaciones algebraica y grfica 155 Hoja de trabajo 69. Un punto importante en una recta 156 Hoja de trabajo 70. Cambio de escala 157 Hoja de trabajo 71. Ms sobre escalas y grficas 158 Hoja de trabajo 72. El rango del editor de grficas 159 Hoja de trabajo 73. Rectas que "crecen" 160 Hoja de trabajo 74. Qu grficas "crecen" ms rpido? 161 Hoja de trabajo 75. Qu ecuaciones producen esas rectas? 162 Hoja de trabajo 76. Grficas que "decrecen" 163 Hoja de trabajo 77. Ms sobre grficas que "decrecen" 164 Hoja de trabajo 78. Rectas y ecuaciones 165 Hoja de trabajo 79. Cuadrilteros 166 Hoja de trabajo 80. Grficas que no "crecen" ni "decrecen"? 167 Hoja de trabajo 81. Rectas horizontales 168 Hoja de trabajo 82. Puntos, rectas y ecuaciones 169 Hoja de trabajo 83. Nubes de puntos y rectas 170 Hoja de trabajo 84. Nubes de puntos y predicciones 171 Actividades sugeridas para el futuro docente 172

\ _ Bloque 8

Nocin de funcin inversa 145 Hoja de trabajo 62. Tablas, expresiones algebraicas y grficas 146 Hoja de trabajo 63. Grficas de una funcin lineal y su inversa (1) 147 Hoja de trabajo 64. Grficas de una funcin lineal y su inversa (2) 148 Hoja de trabajo 65. Grficas de una funcin lineal y su inversa (3) 149 Hoja de trabajo 66. Grficas de una funcin cuadrtica y su inversa (1) 150 Hoja de trabajo 67. Grficas de una funcin cuadrtica y su inversa (2) 151 Hoja de trabajo 68. Inversa de funciones lineales y cuadrticas 152 Actividades sugeridas para el futuro docente 153

r Bloque 7 \ _


viii

ix

199 200

201 202

Hoja de trabajo 106. El trinomio cuadrado perfecto Hoja de trabajo 107. Algo ms sobre el trinomio cuadrado

perfecto Hoja de trabajo 108. Diferencia de cuadrados (1) Hoja de trabajo 109. Diferencia de cuadrados (2) Hoja de trabajo 110. Trinomio de segundo grado (1)

197 198

Factorizacin de expresiones cuadrticas: un acercamiento visual

\ _ r Bloque 10

Funciones cuadrticas: su representacin grfica y algunas aplicaciones 173 Hoja de trabajo 85. Un punto muy importante de la parbola 174 Hoja de trabajo 86. Ms sobre parbolas 175 Hoja de trabajo 87. El vrtice de una parbola 176 Hoja de trabajo 88. Qu ecuaciones producen esas parbolas? 177 Hoja de trabajo 89. Simetra 178 Hoja de trabajo 90. Cul parbola "crece ms rpido? 179 Hoja de trabajo 91. Anchas y angostas 180 Hoja de trabajo 92. Qu parbolas pasan por esos puntos? 181 Hoja de trabajo 93. A qu altura est la pelota? 182 Hoja de trabajo 94. Qu tan rpido va ese automvil? 183 Hoja de trabajo 95. Qu prefieres: grados Fahrenheit o centgrados? 184 Hoja de trabajo 96. Si modifico el permetro, tambin cambia el rea? 185 Hoja de trabajo 97. Chofer, no podra ir ms rpido? 186 Hoja de trabajo 98. Mi peso es distinto en la Luna? 187 Hoja de trabajo 99. Cunto pesas si ests en Jpiter? 188 Hoja de trabajo 100. Tan rpido viaja la luz? 189 Hoja de trabajo 101. Una ecuacin para desalojar la escuela? 190 Hoja de trabajo 102. Quin lanza ms alto la pelota? 191 Hoja de trabajo 103. Puedes calcular el tiempo y la distancia

en cada libre? 192 Hoja de trabajo 104. Es correcto lo que me cobran? 193 Hoja de trabajo 105. Viajar en taxi cuesta! 194 Actividades sugeridas para el futuro docente 195

\~--- r Bloque 9 .. Contenido

X

229 230 231 232 233

Semicrculo: valores extremos Hoja de trabajo 129. Semicrculo Hoja de trabajo 130. Rectas tangentes Hoja de trabajo 13L Semicrculos Hoja de trabajo 132. Semielipses

\ _ r Bloque 13

219 220 221 222 223 224 225 226 227

Funcin raz cuadrada: dominio y contradominio Hoja de trabajo 122. Funcin raz cuadrada Hoja de trabajo 123. Dominio y contradominio Hoja de trabajo 124. Traslaciones verticales Hoja de trabajo 125. Simetra Hoja de trabajo 126. Algo ms sobre simetra Hoja de trabajo 127. Traslaciones horizontales Hoja de trabajo 128. Ms traslaciones Actividades sugeridas para el futuro docente

\ _ r Bloque 12

Resolucin grfica de ecuaciones lineales y cuadrticas 209 Hoja de trabajo 115. Resolucin grfica de ecuaciones de primer grado 210 Hoja de trabajo 116. Puntos donde se cortan dos grficas 211 Hoja de trabajo 117. Cul es la solucin? 212 Hoja de trabajo 118. En cuntos puntos se intersecan estas grficas? 213 Hoja de trabajo 119. Cul es la solucin? 214 Hoja de trabajo 120. Slo una solucin? 215 Hoja de trabajo 121. Puntos donde se intersecan dos grficas 216 Actividades sugeridas para el futuro docente 217

\~--- r Bloque 11

Hoja de trabajo 111. Trinomio de segundo grado (2) 203 Hoja de trabajo 112. Expresiones cuadrticas con un factor comn 204 Hoja de trabajo 113. Factorizacin y equivalencia algebraica (1) 205 Hoja de trabajo 114. Factorizacin y equivalencia algebraica (2) 206 Actividades sugeridas para el futuro docente 207


Contenido

Hoja de trabajo 133. Elipses y crculos 234 Hoja de trabajo 134. Arriba, abajo! 235 Hoja de trabajo 135. Traslaciones horizontales 236 Hoja de trabajo 136. Parece que se hunden y flotan! 237 Hoja de trabajo 137. Carita feliz 238 Actividades sugeridas para el futuro docente 239

r Bloque 14 \ Funcin racional: discontinuidad y asntotas 241 Hoja de trabajo 138. Hiprbolas 242 Hoja de trabajo 139. Asntotas horizontales 243 Hoja de trabajo 140. Simetra 244 Hoja de trabajo 141. Coeficientes 245 Hoja de trabajo 142. Traslaciones horizontales 246 Hoja de trabajo 143. Traslaciones verticales 247 Hoja de trabajo 144. Y estas grficas? 248 Actividades sugeridas para el futuro docente 249

r Bloque 15 \ Valor absoluto: funciones lineales y cuadrticas 251 Hoja de trabajo 145. Valor absoluto (1) 252 Hoja de trabajo 146. Traslacin y simetra 253 Hoja de trabajo 147. Coeficientes distintos de 1 254 Hoja de trabajo 148. Valor absoluto (2) 255 Hoja de trabajo 149. Traslacin vertical 256 Hoja de trabajo 150. Galera 257 Hoja de trabajo 151. Valor absoluto y parbolas 258 Actividades sugeridas para el futuro docente 259

r Bloque 16 \ Funciones trigonomtricas: seno y coseno 261

Hoja de trabajo 152. Funcin seno 262 Hoja de trabajo 153. Amplitud 263 Hoja de trabajo 154. Frecuencia 264

xi

265 266 267 268

Hoja de trabajo 155. Simetra Hoja de trabajo 156. Funcin coseno Hoja de trabajo 157. Funcin coseno: amplitud, frecuencia y simetra Actividades sugeridas para el futuro docente

xii

xiii

Fernando Hltt Profesor de Matemticas

Departamento de Matemticas Universidad de Qubec, Montral Qubec, Canad

E s un hecho que nuestra sociedad vive una expansin del uso de herramientas tecnol- gicas en su vida cotidiana, y una pregunta que se hacen los investigadores y profesores de matemticas es por qu ese uso no se manifiesta en el aula de matemticas. Los resultados de algunas investigaciones muestran que los procesos para integrar la tecnologa en el aula de matemticas no es tarea fcil; en particular, porque implica el estudio y experimentacin de actividades de enseanza especialmente diseadas para apoyar la tarea del profesor, pero una vez que se tienen estas actividades, los profesores no cuentan con libros de texto que les proporcionen materiales para desarrollar un curso completo con apoyo de la tecnologa.

Tenoch Cedillo es uno de los investigadores que, consciente de esta problemtica, se ha dado a la tarea de escribir un libro sobre grficas de funciones en donde el principal objetivo es generar procesos de visualizacin. Su punto de partida es una teora sobre la construccin de conceptos matemticos con el uso de representaciones como elemento imprescindible para promover procesos cognitivos que permitan articular las diferentes representaciones de una funcin. Con ello hace nfasis en que no basta, por ejemplo, con proporcionar actividades de conversin de la representacin algebraica a la representacin grfica; tambin es necesario el proceso inverso, que implica el paso de una representacin grfica a la algebraica.

tos profesores de matemticas se pueden preguntar por qu es importante generar en sus estudiantes estos procesos de articulacin entre representaciones. Una respuesta sera partir del hecho de que toda representacin de los objetos matemticos es parcial con respecto a lo que representa, lo que hace absolutamente necesario contar con diferentes representaciones para su construccin. Por eso es tan importante proponer tareas de conversin entre representaciones durante la construccin del conocimiento matemtico.

El uso de la calculadora en el aula de matemticas permite la movilidad y el intercambio de ideas entre los estudiantes; adems, las representaciones en pantalla, cada vez ms finas, permiten el anlisis no slo del comportamiento de una funcin, sino el de toda una familia de funciones, que es el caso de este texto, donde se analiza con profundidad la nocin de parmetro, lo que permite comprender en forma dinmica el rol de los parmetros en las expresiones algebraicas de las funciones.

Sin duda, este libro ser de gran ayuda para el profesor de matemticas en su labor docente ya que le proporciona actividades que podr implementar directamente en su clase.

XV

Tenoch E. Cedlllo A. \Atlentn Cruz Oliva

Autores

E sta serie tiene como propsito poner a disposicin de investigadores y profesores de matemticas materiales de enseanza para el uso de la calculadora en el aula, los cuales se han derivado de la investigacin realizada por el autor en los recientes quince aos. Actualmente el uso de la calculadora es ampliamente fomentado por los acadmicos en sus clases de matemticas, y en los ltimos aos se ha observado que cada vez ms profesores e investigadores mexicanos estn desarrollando propuestas para su uso. Esta situacin se hace palpable en los distintos eventos que sobre la enseanza de las matemticas se llevan a cabo en Mxico. Esas iniciativas son indicadores claros de un creciente inters por conocer y explotar de mejor manera los nuevos recursos tecnolgicos como un medio para apoyar el aprendizaje y la enseanza.

Existen revistas de enseanza y de investigacin que incluyen actividades para el uso de la calculadora en la clase de matemticas en el nivel bsico. Una limitante a este respecto es que a pesar de que estas iniciativas presentan actividades e ideas interesantes, slo proporcionan una muestra de el las para el aprendizaje y la enseanza, lo cual no es suficiente para delinear una propuesta didctica en la que el profesor se pueda apoyar para abordar el curriculum oficial.

Recientemente se han editado valiosos materiales sobre el uso de la calculadora; sin em- bargo, la mayora estn dirigidos a profesores de los niveles medio superior y superior, en particular para profesores y estudiantes que cursan las carreras de ingeniera Los materiales para la Educacin Normal y la Educacin Bsica an son escasos. La propuesta de la primera etapa de esta serie editorial es, con el tiempo, llenar ese vaco.

La calculadora en el aula representa un esfuerzo para propiciar la construccin de una cultura didctica en el uso de nuevos recursos tecnolgicos. Esta tarea requiere de la participacin de muchos educadores que coadyuven en la bsqueda de alternativas acordes al estilo y tradiciones de enseanza en las escuelas formadoras de docentes, y a las exigencias edu- cativas que deben atender los profesores de educacin bsica en servicio. En consecuencia, una condicin que se ha impuesto a los materiales de esta serie es que sean el producto de cuidadosas revisiones a partir de resultados de investigacin obtenidos en el aula.

Reiteramos nuestra conviccin de que sern los profesores en servicio quienes tendrn la ltima palabra en cuanto a la pertinencia y utilidad de esta serie, por lo que sus comentarios o crticas siempre sern bienvenidos.

La calculadora en el aula

xvii

El Referente terico est dirigido a profesores e investigadores interesados en los principios que han orientado la investigacin en que se sustenta el modelo didctico aqu propuesto.

El Modelo didctico parte del reconocimiento explcito de las diferencias entre el lenguaje natural y el cdigo algebraico. El uso adecuado de la calculadora simula un microcosmos cuyo lenguaje es matemtico, es decir, el de los cdigos de la aritmtica, el lgebra y la geometra.

La seccin Resultados de la investigacin incluye episodios selectos de la investigacin que los autores han real izado sobre el potencial del uso de sistemas algebraicos computarizados ins- talados en calculadoras grficas. Esta seccin est dirigida a profesores e investigadores interesados en conocer los efectos del uso de esos programas en calculadoras y sus efectos en el aprendizaje de los estudiantes que se encuentran en el proceso de transicin de la aritmtica al lgebra

La Gua didctica contiene recomendaciones especficas para la aplicacin de cada una de las actividades que conforman el material destinado a la enseanza Se espera que esta seccin sea de utilidad para que el profesor anticipe de manera ms gil cules son los temas y conceptos matemticos que implcitamente contiene cada una de las actividades propuestas, el tiempo que se sugiere para el tratamiento de cada actividad y las situaciones que pueden surgir durante su aplicacin. En particular, en esta seccin se presentan sugerencias para incluir actividades diseadas con base en el uso de la calculadora en el tratamiento del currculum actual.

La seccin ktividades para la enseanza consta de 157 hojas de trabajo, divididas en 16

Referente terico. Modelo didctico. Resultados de investigacin. Gua didctica Actividades para la enseanza Manual bsico para el uso de la calculadora.

E 1 propsito de este libro es poner a disposicin de profesores e investigadores un material que presenta un modelo didctico para el uso de la calculadora en la clase de matemticas. Se incluyen los principios tericos en que se sustenta este material y los resultados de investigacin obtenidos al aplicar este modelo. Este volumen ofrece un trabajo que se ha ido conformando a lo largo de un estudio de seis aos con cerca de 20000 estudiantes y 800 profesores ubicados en distintas partes del pas.

En esta edicin hemos incorporado las observaciones que con ms frecuencia han hecho los profesores que utilizan estos materiales, entre las que destaca la inclusin de una gua didctica para la aplicacin de las actividades en el aula, la cual introducen la produccin y lectura de las grficas de funciones lineales y cuadrticas en el plano cartesiano, que comple- mentan el desarrollo de las habilidades relacionadas con la produccin de expresiones algebraicas en situaciones de generalizacin, y su uso en la formulacin de justificaciones para esas generalizaciones.

Este libro est conformado por las siguientes secciones:

xviii

bloques, y est dirigida a investigadores y profesores. Los investigadores encontrarn en esta seccin material muy til para la toma de datos en sus indagaciones o las de sus estudiantes. Los profesores encontrarn en esta seccin actividades articuladas que les permitirn poner en prctica un enfoque alternativo para introducir el estudio del lgebra escolar a partir de los antecedentes aritmticos que poseen sus estudiantes al trmino de su educacin primaria Las observaciones realizadas en una amplia poblacin nos indican que los estudiantes en-

rontrarn en este material muchas actividades que estimularn su curiosidad intelectual y que, a partir de su propio razonamiento, sern capaces de confrontar complejas situaciones matemticas, sin la exigencia de tener que recordar a cada paso aquellos procedimientos o definiciones que alguna vez se les hubieren enseado.

Los bloques 1 a 6 forman la base de conocimientos y habilidades para identificar y expresar algebraicamente las reglas que gobiernan el comportamiento de patrones numricos, y sirven de plataforma para el estudio de algunas familias de funciones a travs de sus representaciones algebraica, tabular y grfica, que se abordan en los bloques 7 a 16. Los recursos que ofrecen las calculadoras grficas permiten disear un modelo didctico para el estudio de las funciones a travs del anlisis visual del comportamiento de las grficas.

Antes de disponer de calculadoras graficadoras, el estudio de las funciones se postergaba hasta que los estudiantes hubieran seguido al menos un curso de clculo diferencial; actual-

mente, se puede iniciar el estudio de las funciones y sus aplicaciones cuando los estudiantes estn tomando sus primeros cursos de lgebra elemental. Las estrategias en que se basa este acercamiento didctico son esencialmente la observacin visual y la experimentacin, de manera similar a las formas de trabajo de las ciencias experimentales. Este es el contexto en que se ubica el estudio de las funciones en el presente libro.

En las hojas de trabajo de los bloques 7 a 16 se proponen tareas cuyo propsito es que el estudiante establezca relaciones entre la regla de correspondencia de una funcin y su grfica, y as favorecer el desarrollo de conceptos relevantes en el tema de funciones e introducir estrate-

gias para la traduccin entre las tres representaciones de una funcin: simblica, tabular y grfica. Esta propuesta parte del supuesto de que la experimentacin y la observacin nos permi-

ten comprender hechos matemticos; este nivel de comprensin es un valioso antecedente para abordar la demostracin rigurosa de esos hechos. En este acercamiento, la calculadora se emplea como una herramienta que permite hacer ms fructfera la experimentacin, al potenciar habilidades cognitivas como la visualizacin, la elaboracin de conjeturas y la com- probacin emprica, lo cual favorece la generacin y validacin de conjeturas matemticas a travs de las representaciones dinmicas que la constituyen.

La calculadora ofrece ventajas que facilitan el aprendizaje a travs de la visualizacin grfica de las funciones, respaldada por una traduccin automtica entre sus distintas representaciones y una retroalimentacin inmediata para el usuario. La visualizacin es central; no se trata slo de la visualizacin grfica sino tambin de la simblica; es la ilustracin de un objeto, hecho o proceso, con resultados que pueden ser grficos, numricos o algebraicos.

A partir de la visualizacin de una grfica y su ecuacin, es posible identificar aspectos romo su forma, orientacin y cruces con los ejes coordenados. La visualizacin de una grfica puede enfocarse a conceptos relevantes involucrados en las grficas de las funciones, como dominio, contradom inio, valores de indefinicin, asntotas, transformaciones rgidas en el plano, ordenada al origen, ceros de una funcin, crecimientos mximo o mnimo, y puntos de inflexin.

El paso por las hojas de trabajo de las distintas familias de funciones ofrece un panorama amplio de contenidos matemticos relevantes de las funciones y sus representaciones. La propuesta es acorde con los propsitos de la educacin bsica, como lo es en el desarrollo de competencias matemticas y en el uso de los nuevos recursos tecnolgicos para la enseanza y el aprendizaje.

En esta seccin, ktividades de aprendizaje, se presentan actividades especficamente di se- adas para el estudio de los siguientes temas algebraicos.


xix

Introduccin (\.

La seccin Manual bsico presenta una gua mnima para iniciarse en el uso de la calculadora. En particular, se abordan las funciones de la calculadora que requieren emplearse con mayor frecuencia para realizar las actividades que se incluyen en este volumen.

Funciones trigonomtricas: seno y coseno

Valor absoluto: funciones lineales y cuadrticas

Funcin racional: discontinuidad y asntotas

Semicrculo: valores extremos

Funcin raz cuadrada: dominio y contradominio

Resolucin grfica de ecuaciones lineales y cuadrticas

Factorizacin de expresiones cuadrticas: un acercamiento visual

Funciones cuadrticas: su representacin grfica y algunas aplicaciones

Funciones lineales: sus representaciones algebraica y grfica

Nocin de funcin inversa

El lenguaje del lgebra en la resolucin de problemas y formulacin de conjeturas

Inversin de funciones lineales

Representacin algebraica de relaciones parte-todo

Expresiones algebraicas equivalentes

Jerarqufa de las operaciones aritmticas y transformacin algebraica

Uso del cdigo algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numricos

Bloque 11

Bloque 7

..

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Crditos


XX

1

Este recurso permite que el usuario trabaje con las expresiones algebraicas como objetos activos, en el sentido de que no slo es capaz de expresar algebraicamente el enunciado de un problema, sino tambin de hacer algo con esas expresiones y obtener retroalimentacin inmediata de la mquina. Este recurso hace surgir consideraciones didcticas como las que se presentan a continuacin (Cedillo, 2001 ).

. MliJol llll!~ MUilll rul!ilt 113'! Flgira 1

a2 + 1 1 a=

Como se esperaba, la primera reaccin de los estudiantes para enfrentar esas actividades fue expresar verbalmente la regla que genera una tabla como la anterior; por ejemplo, "multiplicar por 2 y restar 1 ";o bien, "sumar el nmero consigo mismo y restar uno" Una vez que introducan en la calculadora una funcin lineal que conside- raban que representaba esa regla, asignaban valores numricos a la variable para as verificar la validez de sus respuestas (vea, por ejemplo, las actividades del bloque 1 ). Debe mencionarse que en este estudio no se incluy instruccin alguna acerca de nomenclatura o conceptos algebraicos; para los estudiantes, esas expresiones alge-

. - 1-~~ ~Ir 11 I ~ f -,1 f I'. ' . 11 1 1

4 7 6 11

9 17

8 sustento terico del modelo didctico que se presenta en este volumen se confor- m a travs de una constante interaccin entre teora y prctica. Este proceso se origi- n en un estudio exploratorio sobre el potencial de la calculadora programable como herramienta cognitiva; el estudio se llev a cabo con estudiantes de entre 1 1 y 12 aos de edad que no haban recibido instruccin en lgebra (Cedillo, 1994), y el trabajo de campo tuvo una duracin de diez sesiones de SO minutos. Las actividades con que se experiment en el aula se basaron en pedir a los estudiantes que identificaran las reglas que gobiernan ciertos patrones numricos. Una vez que lo lograban se les indicaba que construyeran en la calculadora un programa que reprodujera esos patrones. En trminos matemticos, estas actividades requieren que los estudiantes expresen mediante una funcin lineal la forma en que describen verbalmente las reglas que generan un patrn numrico. Por ejemplo, la regla que genera la siguiente tabla puede expresarse mediante la funcin y= 2x 1.

Antecedentes

Si leemos la pantalla de izquierda a derecha, encontramos la regla de correspondencia de la funcin a2 + 1, despus su dominio y contradominio. Si leemos de derecha a izquierda observamos un patrn numrico y la regla algebraica que lo gobierna. En trminos didcticos hay una notable diferencia dependiendo de la direccin en que se lea la pantalla; si es de izquierda a derecha, se empieza con definiciones y reglas sintcticas que conducen a una funcin algebraica que puede usarse para producir un conjunto de valores numricos. Si se lee de derecha a izquierda, se empieza con un patrn numrico mediante el cual, por simple inspeccin visual, se puede encontrar la regla algebraica que lo produce. Ms an, de izquierda a derecha se empieza por leer el contradominio de la funcin y enseguida su dominio.

Esas ideas se ubican en el ncleo del acercamiento didctico que se presenta en este libro; este enfoque sugiere una aproximacin al cdigo algebraico como lenguaje en uso y conforma en gran medida el referente terico en que se sustenta la secuencia didctica que proponemos para introducir el estudio del lgebra escolar.


Principios tericos 8 estudio que se describi sucintamente en la seccin anterior dio lugar a cuestionar un principio terico que subyace en un enfoque de enseanza de amplio uso en matemticas:

braicas slo eran programas que permitan que la calculadoraentendiera"lo que ellos queran hacer.

La posibilidad que brinda la calculadora para editar expresiones algebraicas va ms all de slo poder escribirlas, como suele hacerse en el ambiente del lpiz y el papel o en un pizarrn electrnico. El recurso relevante que ofrecen las calculadoras es que hacen posible usar las expresiones algebraicas; por ejemplo, obtener su valor numrico para un valor especfico de la variable, o construir tablas y grficas para exploraciones subsecuentes. Esto, adems, proporciona una retroalimentacin inmediata al usuario.

Los resultados de ese estudio sugirieron que los recursos que ofrece la calculadora programable permiten que los estudiantes aborden las actividades creando estrategias no convencionales que ellos generan al seguir su propio razonamiento (Cedillo, 1994). Las respuestas de los estudiantes mostraron que el uso de la calculadora favoreci que formularan conjeturas y que las evaluaran por s mismos, lo cual fue un estmulo para que se aventuraran a seguir estrategias propias, sin tener que acudir constantemente al profesor para pedir su aprobacin o para recordar procedimientos convencionales aprendidos con anterioridad. En lugar de hacer ese tipo de preguntas, las participaciones de los estudiantes se centraron en proponer soluciones, cuyas formas de validacin se analizaban con el profesor. Esto, en principio, daba al profesor la posibilidad de conducir a sus estudiantes hacia un nivel ms alto de aprendizaje. Por ejemplo, el simple hecho de que en general cada estudiante eligiera una literal distinta para editar sus programas, como p + 4 y b + 4; o cuando alguno construa el programa a +a -1, y otro el programa 2 x b -1, daba lugar a interesantes debates en el grupo sobre cuestiones relacionadas con la equivalencia algebraica.

8 ambiente de trabajo que se gener durante ese estudio podra describirse como un escenario en el que, en esencia, a travs de la exploracin numrica orientada a la consecucin de un fin claramente establecido, los estudiantes iban asignando significados al cdigo algebraico a partir de las formas en que lo usaban, sin requerir el previo conocimiento de definiciones y reglas de transformacin algebraica. Esta forma de trabajo sugiri que los estudiantes estaban aprendiendo a emplear el cdigo algebraico a partir de su uso, lo cual condujo a la bsqueda de elementos tericos que permitieran explicar y analizar lo que ah se haba observado.

Un ejemplo relevante del aprendizaje a travs del uso lo proporciona la forma en que adquirimos los elementos bsicos del lenguaje natural. La lengua materna se aprende fundamentalmente a travs de su uso, sin necesidad de conocer previamen- te aspectos gramaticales o reglas sintcticas. Las similitudes que se presentaron en ese estudio exploratorio entre el aprendizaje del lgebra y el del lenguaje natural, con- dujeron a la idea de proponer la enseanza del lgebra como un cdigo cuya funcin es comunicar ideas matemticas. Desde perspectivas distintas, esta postura ya ha sido abordada por Papert (1980)y Mason (1984). En la siguiente seccin se analiza la forma en que avanzamos en el desarrollo de estas ideas.

Referente terico

Los usos del lenguaje determinan sus significados

La postura terica que conlleva ese principio concuerda con el trabajo desarrollado por Bruner (1980, 1982, 1983, 1985), quien realiz una extensa investigacin sobre la adquisicin del lenguaje materno. Su estudio se centr en indagar cmo los nios aprenden, aparentemente sin esfuerzo, algo tan complejo como el lenguaje natural. Una parte importante de su trabajo se condujo a estudiar qu hace posible que el lenguaje natural sea aprendido por cualquier persona con una inteligencia normal, en tanto que, en general, otros campos del conocimiento presentan una situacin bastante distinta al respecto. Por qu no todos aprendemos matemticas, filosofa, geografa o historia, y s aprendemos el lenguaje natural con un aceptable nivel de dominio?

La investigacin de Bruner cuestiona sensiblemente posiciones tericas plan- teadas con anterioridad. Entre stas deben destacarse las propuestas por Piaget y Chomsky.

Piaget (1985, 1988), dicho brevemente, propone que el desarrollo del lenguaje es un subproducto del desarrollo de operaciones cognitivas no lingsticas. Desde esta perspectiva, el lenguaje es simplemente un sntoma de la semiotizacin automtica de las operaciones cognitivas del desarrollo. Un problema con esta posicin terica es que no especifica a travs de qu medios concretos dichas operaciones cognitivas no lingsticas propician la capacidad para reconocer y emplear la gramtica de predica- dos, o el sistema de marcadores lingsticos definido-indefinido de la anfora, o la capacidad para generar nicamente frases bien formadas, confiando as, con una fe ciega, en la inevitabilidad del progreso. Un ejemplo claro de la inconsistencia de esta posicin es que no ofrece una respuesta plausible a cmo es que un nio, situado claramente en una fase egocntrica, puede dominar el uso de pronombres de cambio de persona como "yo"y t: cuando se supone que el desarrollo intelectual que ha alcanzado no le permite adoptar la perspectiva de alguien ms (Bruner, 1982).

Otra importante perspectiva terica sobre la adquisicin del lenguaje es la desarrollada porChomsky (1957), quien propone que nacemos equipados con un podero- so sistema neurolgico que nos permite decodificar la gramtica del lenguaje natural. Eso sugiere que la adquisicin de la estructura sintctica formal del lenguaje es del

Los significados determinan los distintos usos del lenguaje

Muchos libros de texto ejemplifican este principio. La leccin se inicia con definiciones, ejemplos y reglas sintcticas (significados); despus de esto, el captulo se cierra con una serie de problemas en los que se requiere la aplicacin de las definiciones, reglas y ejemplos que se dieran antes (usos). Este enfoque terico funciona; as han aprendido matemticas muchas generaciones. Pero tambin es cierto que para una gran mayora de los estudiantes las matemticas han resultado algo muy difcil de comprender y en muchos casos un obstculo insuperable (Kchemann, 1981; Booth, 1984; Lee y Wheeler, 1988). Los poco satisfactorios resultados obtenidos aplicando ese mtodo hacen plausible la bsqueda de alternativas como la que se propone a continuacin.

La contraparte de ese principio terico se ajusta en buena medida a lo observado en el estudio exploratorio expuesto anteriormente, el cual puede resumirse como sigue:


A partir de esto puede apreciarse que el discurso no puede fundamentarse en las categoras gramaticales porque el poder de las reglas que rigen los actos del habla

Un conjunto de convenciones compartidas para establecer la intencin del hablante y la disposicin del que escucha.

Una base compartida para explotar las posibilidades decticas del contexto temporal, espacial e interpersonal.

Medios convencionales para establecer y recuperar lo que otros presuponen.

El concepto de formato

Bruner (1980) destaca tres facetas en el estudio del lenguaje: sintaxis, semntica y prag mtica;esta ltima es la que adopta para estudiar el proceso de adquisicin del lenguaje materno. A continuacin se exponen sucintamente los argumentos de Bruner para tomar esta decisin; en particular, porque nos ayudarn a lograr una comprensin ms amplia de su posible trascendencia hacia la enseanza.

la pragmtica implica procesos diferentes a los empleados para dominar un conjunto de cdigos semnticos y sintcticos. La semntica y la sintaxis estn formuladas para tratar casi exclusivamente con la comunicacin de la informacin mediante la provisin de un cdigo para 'representar" algn conocimiento del mundo real~ En cambio, la pragmtica se aboca a estudiar el proceso mediante el cual se llega a emplear el habla para lograr fines sociales, como prometer, humillar, calmar, advertir, de- clarar o pedir; los elementos de la pragmtica no representan nada, son algo.

Con base en esa concepcin, la pragmtica se relaciona necesariamente con el discurso y, al mismo, tiempo, depende de un contexto compartido. El discurso a su vez presupone un compromiso recproco entre hablantes que incluye al menos tres elementos:

En esta seccin se abordan los principales conceptos de la teora desarrollada por Bruner (1980, 1982, 1983, 1985, 1990), los cuales fueron considerados para construir el modelo didctico para el uso de calculadora que aqu se propone. La seccin concluye con la presentacin de ese modelo.

Constructos tericos

todo independiente del conocimiento del mundo, o de una interaccin social privilegiada con los hablantes del lenguaje. Segn esta postura, la cuestin de los detalles de la adquisicin del lenguaje es, sobre todo, un problema de desempeo ms que de competencia, que es innata. De acuerdo con Chomsky, el desarrollo del desempeo depende totalmente del desarrollo de otros procesos, como la amplitud de atencin y la capacidad de procesamiento de informacin.

la investigacin de Bruner ofrece una alternativa que va ms all de las plantea- das por Piaget y Chomsky. Los resultados de su investigacin sugieren que el lenguaje natural no es slo una consecuencia del desarrollo intelectual, o slo un resultado del asombroso sistema neurolgico humano. Entre sus principales resultados, retomamos para este estudio el de que el lenguaje natural se ensea; que el adulto arregla artificialmente el ambiente, de manera que sintonice con las posibilidades de comprensin del nio (Bruner, 1983).

Referente terico

Aun cuando la estructura de un formato sea un esquema altamente regulado,con el tiempo, y en sintona con el progreso de las capacidades lingsticas del nio, el adul- to introduce sistemticamente nuevos y ms sofisticados elementos que lo convierten en una forma de comunicacin cada vez ms compleja. Los resultados obtenidos por Bruner indican que las primeras acciones de comunicacin entre el nio y el adulto, aun antes de que el nio sea capaz de producir su primera expresin lexicolgica, se dan bsicamente en el marco de esta forma de interaccin.

Una caracterstica especial de los formatos en que participan el nio y el adulto es que son asimtricos respecto de la "concenca" de los miembros. La conciencia se entiende en trminos de que hay uno que sabe lo que est pasando, en tanto que el otro sabe menos, o quiz nada en absoluto.

que las sucesivas respuestas de un participante sean instrumentales respecto a esa meta, y,

que exista en la secuencia una seal clara que ndque que se ha alcanzado el objetivo.

(delcticas y de presuposicin del discurso), dependen de su aparicin en las expresiones del discurso, y no slo de la estructura de oraciones individuales.

Muchos actos del discurso son medios para sintonizar estas formas de compromiso recproco, lo cual se observa en particular en la interaccin entre el nio y el adulto que lo cuida.

Al respecto, Bruner (1983) cre el concepto de formato para analizar cmo arregla el adulto el ambiente para lograr interactuar con un nio que todava no es capaz de comunicarse a travs del habla. Un formato es un esquema de interaccin que consiste en una rutina de comunicacin entre el nio yel adulto; es una forma de interaccin que permite al adulto anticipar las intenciones del nio y a su vez el nio las del adulto. Esto implica que para que el nio reciba las claves del lenguaje, primero debe participar en un tipo de relaciones sociales que acten en consonancia con los usos del lenguaje en el discurso, es decir, con respecto a una intencin compartida, a una especificacin dectica, y al establecimiento de una presuposicin. En otras palabras, se asume que para poder entender lo que un nio dice o quiere decir, es necesario que se sepa qu es Jo que l est hadendo. En esta perspectiva, un formato es un esquema de interaccin regulada, en el cual el nio y el adulto hacen cosas el uno para el otro y entre sr. Los formatos, al regular la interaccin comunicativa antes de que comience el habla lxico-gramatical entre el nio y la persona a cargo de su cuidado, se constituyen en vehculos para la transicin de la comunicacin al lenguaje. A nivel formal, un formato supone una interaccin contingente entre al menos dos partes actuantes; contingente en el sentido de que puede mostrarse que las respuestas de cada miembro dependen de una respuesta anterior del otro. Cada miembro de este par marca una meta yun conjunto de medios para lograrla, de modo que se cumplan dos condiciones:


7

La construccin de este modelo didctico parte del reconocimiento explfcito de las diferencias que existen entre el lenguaje natural y el cdigo algebraico. Entre las ms relevantes destaca la demanda social que est presente en el uso del lenguaje. Esta demanda ubica el lenguaje no slo como un importante campo de conocimiento, sino que lo coloca al nivel de un medio para la supervivencia, caracterstica que evidentemente no puede atribuirse a los cdigos matemticos. Por naturaleza, el hombre es un ser social y establece sus relaciones en la sociedad a travs del lenguaje. El uso continuo e intenso del lenguaje natural es una de las caractersticas que lo distinguen de otras reas de conocimiento y lo convierte en un conocimiento indis- pensable para la vida en sociedad.

La calculadora, adecuadamente empleada, puede simular un microcosmos en el que el lenguaje que "se habla" es el de las matemticas; de manera ms concreta, los cdigos de la aritmtica, el lgebra y la geometra. Una vez que se oprime la tecla que activa la calculadora, cualquier operacin que se quiera hacer despus con la mquina lo ser a travs del cdigo matemtico. Esto conduce a pensar en crear un ambiente de enseanza basado en el uso de la calculadora, donde la mquina desem- pea el papel de una comunidad que exige el uso del lenguaje de las matemticas. El diseo de ese ambiente de enseanza es el propsito del modelo didctico que aqu se analizar; un ambiente en el que los estudiantes participen activamente, que capte su inters y estimule su creatividad intelectual, y que al mismo tiempo favorezca el desarrollo de habilidades matemticas bsicas orientadas a un uso apropiado del cdigo matemtico; en particular las habilidades relacionadas con la resolucin de problemas mediante el uso del lgebra.

Este planteamiento concuerda con lo propuesto por Papert (1980) respecto al ambiente de trabajo que l recre empleando el lenguaje de programacin Logo. Papert conceba las matemticas como un lenguaje yal Logo como un ambiente que

El papel de la calculadora

(

exige el uso del lenguaje matemtico; para ilustrar su idea empleaba la metfora: "Si realmente quieres aprender francs, hazlo en Franda"

Han pasado ya casi cuarenta aos desde que se empez a introducir el uso de la calculadora en las clases de matemticas. En un principio la calculadora apareci en el mercado como una simple herramienta para facilitar los clculos aritmticos, y de la calculadora de cuatro operaciones se pas rpidamente a la 'calculadora dentffica', que incluye funciones matemticas ms sofisticadas y la posibilidad de editar y correr programas de cmputo. A mediados de la dcada de 1900 se pusieron a disposicin del pblico las primeras calculadoras con capacidad grfica que, adems de las funciones que ofrecen las calculadoras cientficas, cuentan con una pantalla de ocho lneas que permite editar tablas y grficas de funciones. A principios de la dcada de 1990 tuvo lugar el advenimiento de las calculadoras con capacidad de manipulacin algebraica, que incluyen nuevos recursos que facilitan la edicin y captura de datos. Una notable diferencia entre las modernas calculadoras y los modelos que las precedieron es que el cdigo que emplean se rige estrictamente por las formas convencionales de la notacin y sintaxis algebraica. Estos hechos han ocasionado que los usos de la calculadora hayan evolucionado sensiblemente, de modo que esta mquina pas de ser un mero auxiliar para el clculo aritmtico y algebraico, a ser una herramienta que actualmente se emplea como un recurso para mediar el conocimiento (Ruthven, 1 996).

Otra notable diferencia entre la adquisicin del lenguaje y el aprendizaje del lgebra es la privilegiada relacin uno a uno en que se fundamenta la enseanza del lenguaje natural. No obstante, es factible explotar los recursos que ofrecen las modernas calculadoras para disear una estrategia didctica orientada a proponer el aprendizaje del lgebra a travs de su uso, sin necesidad de partir de una enseanza basada en reglas, ejemplos y definiciones. Esta hiptesis se fortalece con los resultados de investigacin que se analizan ms adelante.

la calculadora permite el acceso individual a poderosos procesadores matemticos, lo cual favorece que los estudiantes trabajen de manera ms privada. El tamao de la pantalla, aun en el caso de aquellas que son ms grandes, hace que slo sea posible ver lo que est haciendo la mquina si quien la maneja lo permite. La privacidad que brinda la calculadora alienta a los estudiantes a explorar distintos acercamientos a la solucin de un problema, a afinar sus planteamientos y hacer pblico su trabajo slo cuando as lo deciden. Contrario a lo que podra esperarse, la forma individual de trabajo que induce el uso de la calculadora no inhibe el trabajo colaborativo; la retroalimentacin inmediata de la calculadora y la posibilidad de explorar soluciones siguiendo su propio razonamiento, da lugar a la produccin de distintas y originales soluciones a un mismo problema, lo cual es un estmulo a compartir y discutir sus hallazgos con sus compaeros y con el profesor (Cedillo, 1996).

Desde luego, esta manera de aproximarse al estudio de las matemticas no depende slo del uso de la calculadora, ya que el diseo de las actividades de enseanza y la participacin del profesor desempean roles determinantes. Las actividades deben plantearse de manera que no haya una nica forma de obtener o de expresar una solucin, y el profesor debe mantener una actitud favorable para entender formas de solucin que l antes no haba concebido y estar siempre alerta para aprovechar las oportunidades de aprendizaje que brindan las contribuciones originales de los estudiantes.


8 ambiente de enseanza puede arreglarse de manera que el profesor atienda individualmente a sus alumnos. La organizacin de las actividades de enseanza como hojas de trabajo es un recurso muy til al respecto.

Una hoja de trabajo es, en extensin, una pgina. Su contenido debe incluir situaciones en las que el fin que se persigue est claramente establecido para propiciar que el estudiante inicie de inmediato su trabajo haciendo algo que se concrete en una produccin propia. Para esto, es conveniente que la hoja de trabajo proponga un reto intelectual al estudiante; la efectividad didctica de tal reto depende en gran medida de que debe hacer posible que el estudiante perciba rpidamente que puede abordarla actividad, y que lo nico que todava no sabe es cmo organizar sus conocimientos previos para empezar a hacer lo que se le est planteando.

(3) La enseanza del lenguaje se da en una relacin uno a uno.

8 profesor es un experto en el uso del cdigo algebraico y su funcin es encontrar las mejores formas para ensear lo que sabe. Dado que el lgebra no es un requisito para la supervivencia, como lo es el lenguaje natural, es necesario arreglar artificialmente el ambiente de enseanza para lograr que el estudiante se interese genuinamente en el estudio del lgebra. Para lograrlo es importante contar con actividades de enseanza que estimulen el inters y la curiosidad intelectual del estudiante, en particular actividades que favorezcan el desarrollo de su creatividad, para asf propiciar la generacin de una alta autoestima de sus capacidades.

(2) La reladn entre el que ensea y el que aprende es asimtrica. Hay un sujeto que es experto en el uso del lenguaje y desea ensear lo que sabe, y hay un sujeto que no sabe y quiere aprender.

Para esto es necesario crear un ambiente de enseanza en el que el lgebra no se aborde como objeto de estudio, sino como una herramienta de comunicadn en uso. Es factible disear actividades de enseanza de manera que el primer acercamiento al cdigo algebraico se d a travs de su uso como instrumento de comunicacin entre el sujeto y la calculadora, sin que al uso de ese cdigo le preceda el conocimiento de reglas y definiciones. Como ya se ha planteado antes, el aprendizaje a travs del uso depende del cumplimiento de una serie de condiciones, las cuales se abordan con distintos nfasis en los siguientes prrafos.

(1) El lenguaje se aprende a travs del uso y ese aprendizaje es apoyado por un notable sistema de enseanza.

Enseanza del lgebra: principios para el diseo de un formato Las premisas que se mencionan a continuacin se extrajeron de los planteamientos de Bruner (1983). Luego de cada premisa se enuncia la manera en que se han inter- pretado en el contexto de un enfoque para la enseanza del lgebra a partir de su uso, apoyada en los recursos que ofrece la calculadora grfica.

Modelo didctico

La sintonfa entre la propuesta de enseanza y el avance del estudiante es crucial y su logro implica un esfuerzo notable por parte del profesor. Una adecuada organizacin de la actividad en el aula puede facilitar que el profesor est siempre al tanto del avance de cada uno sus alumnos, lo cual es un importante elemento en el logro de dicha sin ton fa.

Las hojas de trabajo desempean un papel fundamental para conseguir estos objetivos. La sintonfa entre la propuesta de enseanza y el avance del estudiante es un punto fundamental en un esquema didctico porque cada individuo tiene un ritmo distinto para aprender. Puede respetarse el paso de cada estudiante si no se le proporciona slo una hoja de trabajo para que la complete en una sesin de clase, sino un paquete con cuatro o cinco hojas de trabajo. La instruccin del profesor puede ser: "Estas actividades son las que deben completar en esta clase; algunos de ustedes las podrn hacer todas y quiz otros no completen algunas, pero lo que realmente importa es que el trabajo que entreguen sea el resultado de su mximo esfuerzo"

El uso de paquetes de hojas de trabajo permite que los estudiantes que avanzan a un ritmo ms rpido no detengan su progreso, y que los estudiantes que avanzan con ms lentitud puedan acudir a la ayuda del profesor para aclarar sus dudas,o mantener su ritmo si trabajan sin tropiezos. La nica restriccin, que se recomienda como una regla a seguir, es que ningn estudiante entregue su trabajo en blanco al trmino de una sesin de clase. En caso de que agoten sus esfuerzos y no puedan avanzar, los estudiantes tienen la obligacin de consultar al profesor o a alguno de sus compaeros. La obligacin de consultar al maestro, adecuadamente manejada, conduce a los estudiantes a plantear preguntas ms atinadas que un simple "no entiendo nada: porque las respuestas a esas preguntas deben ser instrumentales para el logro de la actividad con la que han tenido problemas.

Una aparente desventaja de respetar el avance individual de los estudiantes es que al trmino de algunas sesiones de clase el profesor tiene ante sf un grupo con

(4) La enseanza del lenguaje se mcxlula de manera que sintonice con el avance lingstico del nio. En este proceso es fundamental respetar el ritmo de avance del que aprende.

Entre otras cosas, el uso de las hojas de trabajo favorece lo siguiente:

Que el profesor no tenga que estar al frente del grupo exponiendo una leccin, lo cual le deja tiempo libre para atender individualmente las preguntas e intervenciones de los estudiantes.

Que los estudiantes inicien la actividad sin requerir una presentacin preliminar por parte del profesor.

Que los estudiantes desarrollen su creatividad matemtica siguiendo su propio razonamiento. Esta forma de trabajo propicia que los estudiantes logren pro- ducciones originales, de manera que cuando consultan algo con el profesor, ste se ve obligado a seguir la lfnea de razonamiento del estudiante.

Que los estudiantes produzcan respuestas cuya originalidad exige al profesor que dialogue con ellos para entenderlas y que tome ese dilogo como punto de partida para continuar el anlisis con el estudiante. Esto propicia una rica interaccin entre pares, donde uno de ellos es experto, y el otro, an en su calidad de aprendiz, est sometiendo al criterio del experto conjeturas que puede defender con argumentos basados en una validacin previa que logr empleando los recursos matemticos que tiene a su alcance.


Enseanza del lgebra: establecimiento de la comunicacin A continuacin se expone cmo se adoptaron los principios sealados por Bruner respecto a los requerimientos para el establecimiento de la comunicacin (discurso).

Debe existir un conjunto de convenciones compartidas que permitan establecer la intencin del hablante y la dispasidn del que escucha.

Oe acuerdo con Bruner (1983), la adquisicin del lenguaje se inicia con una etapa de comunicacin entre el adulto y el nio, lo que tiene lugar antes de que el nio pueda emitir su primera expresin lxico-gramatical. Esa comunicacin previa al lenguaje se da, adems del uso del lenguaje por parte del adulto, con la incorporacin de elementos no lingsticos, como el lenguaje corporal y las acciones. Ese tipo de recursos permiten la creacin de un puente que apoya la transicin de la comunicacin prelingstica al lenguaje.

Para emular esa transicin en el caso del lgebra, se emple como "puente" el referente numrico para dar sentido a las expresiones algebraicas. Se acudi al uso de las tablas de valores generadas por una cierta relacin numrica para situar al estudiante en un contexto que le es familiar, dado que ha tenido una experiencia de seis aos en la escuela la primaria trabajando con nmeros. Como se ver con mayor detalle en la seccin Resultados de investigacin, las respuestas de los estudiantes confirman este supuesto. Cuando empleaban una literal para editar un programa no estaban pensan- do en una variable contenida en una expresin algebraica, sino que utilizaban esa literal teniendo en mente un nmero,aquel nmero que les dio la clave para identificar la regla que gobierna al patrn numrico con el que estaban trabajando.

La rutina con que inicia una actividad ("Un estudiante construy en su calculadora un programa que produce la siguiente tabla. Puedes encontrar ese proqramair; se emplea como un medio para establecer'la intencin del hablante y la disposicin del que escucha'. La aparente espontaneidad de los estudiantes para abordar esas actividades sugiere que el juego de "odlvina qu programa utilic" permite lograr con xito ese propsito.

Debe establecerse una base compartida para explotar las posibilidades decticas del contexto temporal, espada/ e interpersonal.

8 logro de este requerimiento descansa en gran medida en la intervencin del profesor. La calculadora algebraica es un medio que exige con rigor un uso apropiado del

logros individuales muy heterogneos. Esto es aparente por al menos dos razones: la primera, porque independientemente de la estrategia de enseanza, el avance individual de los estudiantes es distinto; y segunda, porque esa heterogeneiclad se puede aprovechar para generar fructfferas sesiones de enseanza en las que el profesor puede organizar un debate con el grupo sobre los aspectos ms relevantes de un bloque de actividades. En esa sesin el profesor puede centrar la atencin de los estudiantes en las respuestas correctas que se han producido, comentar por qu son correctas y analizar rigurosamente las formas de validacin que generan los estudiantes para sus respuestas. Adems, y quiz lo ms importante, es que el profesor puede desglosar los errores que se hayan presentado, y, ante todo, discutir los criterios que permiten diluci- clar el que esas respuestas sean incorrectas.

Modelo didctico

Formatos para la enseanza del lgebra En la estrategia de aprendizaje mediante el uso que aqu se propone, la construccin de formatos (en el sentido de Bruner) es un elemento fundamental para regular la

El cumplimiento de este requerimiento se basa esencialmente en las posibilidades que brinda una calculadora grfica para registrar y recuperar las cadenas de operaciones aritmticas o las expresiones algebraicas que producen los estudiantes en el proceso de solucin de un problema. Los modelos simples de calculadoras grficas cuentan con una pantalla de ocho lneas que permite recuperar las expresiones que se han editado, y modelos ms avanzados (por ejemplo, la TI-92 o la TI-89) permiten mantener y recuperar el historial del trabajo de un estudiante en una pantalla que cuenta hasta con 100 lneas de edicin.

El fundamento formal para este planteamiento descansa en la estructura que brinda la aritmtica para el manejo numrico. Ciertamente la aritmtica es el recurso en que se sustenta la disposicin de medios convencionales para establecer y recuperar presupuestos. El referente numrico es el principal medio de validacin en un ambiente de enseanza como el que aqu se propone. Cmo puede un estudiante que no ha recibido instruccin algebraica estar seguro que la funcin ("programa") 2 x A+ 1 es la regla que gobierna al patrn numrico 3, 5, 7, 9, 11, ... ?La forma de validacin disponible para el estudiante es emprica, al correr el programa para A= 1, 2, 3, 4, 5, ... ,obtiene justamente esa sucesin, y no lo logra con ningn otro programa que no sea equivalente a 2 x A + 1. La forma de validacin que tiene al alcance es inductiva y descansa en un acercamiento emprico al lgebra.

cdigo del lgebra, lo cual representa ventajas en un sentido y desventajas en otro. Por ejemplo, la mquina no acepta expresiones sintcticamente mal estructuradas, cuestin que el adulto puede manejar bastante bien durante la etapa de los primeros balbuceos del nio. Una etapa similar ocurre en los primeros encuentros del estudiante con el cdigo algebraico, en la que construye expresiones no ortodoxas que la mquina "no puede entender"a pesar deque para el estudiante tienen un claro sentido y debieran funcionar correctamente de acuerdo con su lnea de razonamiento. Por ejemplo, cuando quie- ren construir un programa que "primero sume 2 y luego multiplique por 3: su primera aproximacin en general es editar una expresin como A + 2 x 3. Los resultados que cfrece la mquina ponen en conflicto al estudiante, que no entiende por qu no est funcionando como l quiere. En momentos como se es crucial la intervencin del profesor, pues l es quien puede entender las expresiones no ortodoxas de sus estudiantes para auxiliarlos en el paso de los "balbuceos al lenguaje.

Es importante sealar que a pesar de que la calculadora es un excelente medio para producir resultados y trabajar con expresiones algebraicas, no tiene la capacidad de"entregar"al estudiante nuevas formas de expresin (Ruthven, 1993). Esta situacin se contempla en las hojas de trabajo (vea, por ejemplo, los formatos 2 y 3 en la seccin Actividades para la enseanza). Aqu el profesor vuelve a desempear un papel fundamental, ya que l es quien puede decidir de mejor manera cundo y cmo introducir nuevas formas de expresin algebraica.

Debe disponerse de medios convencionales para establecer y recuperar presupues tos.


Bloque 1: Uso del cdigo algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numricos

Bloque 2: Jerarqua de las operaciones aritmticas y transformacin algebraica Bloque 3: Expresiones algebraicas equivalentes Bloque 4: Representacin algebraica de relaciones parte-todo

Bloque 5: Inversin defunciones lineales Bloque 6: El lenguaje del lgebra en la resolucin de problemas y formulacin

de conjeturas Bloque 7: Nocin de funcin inversa Bloque 8: Funciones lineales: sus representaciones algebraica y grfica

Bloque 9: Funciones cuadrticas: su representacin grfica y algunas aplicaciones Bloque 1 O: Factorizacin de expresiones cuadrticas: un acercamiento visual Bloque 11: Resolucin grfica de ecuaciones lineales y cuadrticas

interaccin nio-adulto. En pocas palabras, un formato es un esquema de interaccin regulada, en que el nio y el adulto hacen cosas el uno para el otro y entre sf. Los formatos, al regular la interaccin comunicativa antes de que comience el habla lxico- gramatical entre el nio y la persona que se encarga de cuidarlo, se constituyen en vehculos para la transicin de la comunicacin al lenguaje.

En ese orden de ideas, un formato debe ser un tipo de actividad altamente regulada que propicie que el estudiante pueda anticipar la intencin del profesor y viceversa; adems, esa actividad debe hacer factible la incorporacin de elementos matemticos de orden cada vez ms complejo que permitan que el estudiante, con el tiempo, avance notoriamente en el conocimiento de la materia que est estu- diando. Por otra parte, un formato debe incorporar un conjunto de convenciones compartidas que permitan establecer la intencin del hablante y la disposicin del que escucha.

Para lograrlo se dise una actividad constituida por una estructura profunda y una estructura superficial. La primera tiene como funcin mantener una actividad ru- tinaria y altamente regulada, que permite al estudiante identificar claramente el fin que se persigue (anticipacin de intenciones). La estructura superficial tiene como funcin posibilitar la inclusin de nuevos elementos matemticos respetando la estructura profunda de la actividad.

La estructura profunda consiste en una actividad que se inicia con la presentacin de un patrn numrico mediante una tabla de valores. Esto conlleva el propsito de que el estudiante conciba esa actividad como un juego que consiste en identificar la regla que genera el patrn numrico que se le da. El juego concluye cuando logra expresar esa regla mediante un programa en la calculadora, de manera que pueda reproducir el patrn numrico dado utilizando la mquina.

La estructura superficial consiste en una parte de la actividad en que se incorpo- ran distintos tipos de nmeros, nuevas estructuras algebraicas, y nuevos conceptos algebraicos. Esto hace factible abordar diferentes conceptos partiendo siempre de la actividad basada en el reconocimiento de patrones numricos incluida en la estructura profunda. Los tpicos que se abordan en las actividades se mencionan a continuacin.

Modelo didctico

2. Describe qu operaciones hiciste para obtener esos resultados. _

3. Programa tu calculadora para que haga lo mismo. Escribe enseguida tu pro-

grama.--------

4. Completa con tu programa los valores que faltan en la siguiente tabla.

Si es 81? Y si es 274? _ 1. Qu resultado dar la calculadora si el valor de entrada es 50? _

11 9.6 7 6 3.2 5 4.3 3 2.6 1.1

Formato 1: Iniciacin al uso de/lenguaje algebraico Un estudiante construy la siguiente tabla usando un programa.

Contenido de un formato algebraico A continuacin se presenta una versin resumida de una actividad de cada uno de los bloques antes mencionados. Estos ejemplos tienen la intencin de mostrar la estructura de las actividades y el contenido matemtico que se aborda en cada formato. Un formato consta de varias hojas de trabajo (entre 5 y 15); las actividades no estn diseadas como "ejercicios en el sentido de propiciar el desarrollo de destrezas mediante la ejecucin repetida de un mismo tipo de actividad. Ms bien estn diseadas con la intencin de ofrecer al estudiante distintas experiencias en el manejo del cdigo algebraico. En cada hoja de trabajo se incluyen nuevos elementos que hacen de cada actividad un problema que plantea un nuevo reto al estudiante en un contexto que le es familiar. Mediante el conjunto de actividades que conforman un formato se recrea un concepto a travs de su uso, en particular los conceptos de variable, expresin algebraica, equivalencia algebraica, inversin de funciones, y los relacionados con las representaciones algebraica, tabular y grfica de una funcin como instrumentos para confrontar la solucin de problemas.

Un modelo de enseanza a travs del uso requiere que ste sea constante, intenso y en distintos contextos. Por esta razn, los conceptos algebraicos que se abordan no se tratan solamente en un formato; su tratamiento se mantiene y recrea en diferentes situaciones a lo largo de todos los formatos, especialmente en el caso del uso de variables, expresiones algebraicas e inversin de funciones, los cuales se abordan en todas las hojas de trabajo con distintos nfasis.

A continuacin el lector puede encontrar un ejemplo de las actividades antes mencionadas.

Bloque 12: Funcin raz cuadrada: dominio y contradominio Bloque 13: Semicrculo: valores extremos

Bloque 14: Funcin racional: discontinuidad y asntotas Bloque 15: Valor absoluto: funciones lineales y cuadrticas Bloque 16: Funciones trigonomtricas: seno y coseno


1. Si el valor de entrada es S, cul ser el resultado? Si es 6? _____ YsieslS? _

Describe qu operaciones hiciste para obtener esos resultados.

21 15 12 6 3

14 10 8 4 2

4. Escribe ese programa en la calculadora y completa de nuevo la tabla anterior. Obtuviste los mismos resultados? Si los resultados de tu programa no coinciden con los que obtuviste, corrlgelos y explica por qu ocurre eso.

Formato 3: Introduccin a la equivalencia algebraica Un estudiante construy en su calculadora un programa que hace lo siguiente:

3. Completa la siguiente tabla empleando la relacin c + Sx2,sin utilizarla calculadora.

21. Ests de acuerdo? Por qu?---------- 2. Otro estudiante dice que si m = S, el programa m + 2x3 le dar por resultado

acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo. _

Formato 2: Jerarqua de las operaciones y uso de parntesis 1. Un estudiante construy en su calculadora el programa m + 2x3. Una com-

paera de l dice que si le da a m el valor de 4 el resultado es 18. Ests de

Explica qu operaciones hiciste para obtener los valores asociados a S 11 y 613.03.

- \.'E1r.,-ir:J == 17 35.02 89.73 107.06 299.1 307.09 11 ..... F.1 - '"'F.1~~~ -- 511 613.03 ~ITtF.1

Modelo didctico

Formato 5: Inversin de fundones lineales Un estudiante construy un programa que realiza los siguientes resultados.

4. Cmo puedes comprobar que los valores que encontraste para 5.01, 6.2, 7.04 y 7.32 son correctos? Explfcalo de manera que todos tus compaeros lo entiendan.

- .... ~.,. ... ~ -- 2.83 3.03 3.5 4.8 lT['.lttfrTfr.1 - .... _,~11111"111

5.01 6.2 7.32 - 7.04 Uu:..-u11:. fF.1

3. Completa la siguiente tabla usando ese programa.

2. De acuerdo con la informacin del programa, cuntos kilos de alambre hay en cada rollo? Construye un programa que haga lo mismo. Prubalo en tu calculadora y escrfbelo enseguida.

- 1.7 2.4 3.1 4.06 5.2 . ,lltlt 101tl ~"' - - 8.3 7.6 6.9 5.94 4.8 ,r.11111:.a1t . flH-:.tiF.1 - -

4. Puedes escribir otro programa como el que ella hizo y que adems produzca los mismos resultados que se muestran en la tabla? Prubalo en tu calculadora, y si funciona escrfbelo en el cuadro de abajo.

Formato 4: Represen tadn algebraica de relaciones partetodo 1. En una tlapalerfa hay rollos de alambre que se vende por kilo. Todos los rollos

pesan lo mismo. Para registrar cunto alambre le queda en cada rollo el admi- nistrador construy un programa que hace lo siguiente: si escribe la cantidad que se vende el resultado indica cunto alambre queda.

2. Programa tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho veriffcalo, y si funciona escrfbelo en el cuadro de abajo.

3. Una alumna dice que el programa b+ b-;.-2da los mismos resultados. Ests de acuerdo? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.


772 704 840

48 75

4. Programa tu calculadora para completar la siguiente tabla.

1. Siguiendo esta secuencia, cuntos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris que va en el lugar nmero 27?

2. Cuntos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris que va en el lugar nmero 40?

3. Explica tu razonamiento para responder cada pregunta.

Formato 6: Problemas que involucran funciones lineales Observa la siguiente sucesin de figuras y dibuja las dos que siguen.

4. Programa tu calculadora para que "deshaga lo que produce el programa Nl .5 + 2.

M73 + 1. Ests de acuerdo? Presenta un ejemplo que justifi- que tu respuesta.---------------------

3. Un alumno dice que el programa Mx 3 - 1 hace lo inverso que el programa

2. Programa tu calculadora de modo que haga lo inverso que el de la actividad anterior. Prubalo en tu calculadora y escr[belo enseguida.

1. Encuentra ese programa y escr[belo a continuacin.---------

18.56 7.6 1.3 026

0.17 9.28 3.8 0.65

0.34

0.13

Modelo didctico

Formato 9: Grficas e inversin de funciones lineales 1. Completa la siguiente tabla.

Nm. de salida

.. 1.

.. . .. . . .. v ..

Formato 8: Lectura y construccin de grficas de funciones 1. Completa la siguiente tabla con la informacin de la grfica de la izquierda; en-

cuentra la ecuacin que genera la tabla y antala en el recuadro. Por ltimo, construye la grfica en la calculadora para verificar tu respuesta .

Qu signos tienen las coordenadas de los puntos de la grfica que estn en el cuarto cuadrante?

3. Usa la tecla TRACE para recorrer la grfica que construiste y verifica si los valores de la tabla que completaste coinciden con las coordenadas de los puntos de la grfica.

Qu signos tienen las coordenadas de los puntos de la grfica que estn en el segundo cuadrante?

1. Encuentra ese programa y constryelo en tu calculadora.

2. Haz la grfica en tu calculadora y luego anota a la ecuacin que usaste para construirla.

-4 -12 -9 -6

6 4.5 3 2

1 1.

S. Escribe el programa que construiste.-----------

Formato 7: Introduccin al plano cartesiano Un estudiante escribi en su calculadora un programa que genera la siguiente tabla.


8. Cmo puedes completar la tabla de la actividad 4 usando la grfica de la actividad 3?

8 4 2 -4

6. Usa el programa para construir una grfica en tu calculadora.

7. Completa la siguiente tabla utilizando la informacin de la grfica anterior.

S. Escribe en tu calculadora un programa que permita encontrar el valor de x, cuando lo que conoces es el valor de y, y antalo en la siguiente lnea.

2.5 1.5 -L5 -2.5

1

3. Construye en tu calculadora una grfica usando ese programa.

4. Recorre la grfica en tu calculadora y completa la siguiente tabla.

2. Escribe en tu calculadora un programa que permita encontrar el valor de y, cuando lo que conoces es el valor de x, y antalo en el siguiente recuadro.

Modelo didctico

21

' Proyecto aprobado por el Programa de Apoyo a Proyectos de Investigacin Educativa, Convenio SB>-Conacyt.

2 Proyecto aprobado por el Programa de Apoyo a Proyectos de Investigacin, Conacyt.

El modelo didctico que se presenta en esta misma seccin se ha sujetado a tres fases de investigacin. La primera se llev a cabo en el periodo 1992-1993, y tuvo corno propsito obtener evidencia emprica acerca de la factibilidad del modelo. Los principales indicadores empricos que se estudiaron fueron las estrategias y nociones algebraicas desarrolladas por los estudiantes cuando ese modelo didctico se aplica en las circuns- tancias normales del ambiente escolar. En este estudio el investigador desempe el papel de profesor durante el ao escolar y el trabajo de campo se dise de manera que formara parte del tratamiento del programa oficial (Cedillo, 1994, 1995, 1995a, 1996c).

La segunda fase se llev a cabo en el periodo 1994- 1995, y su principal propsito fue investigar los efectos de distintas estrategias de formacin de profesores de secundaria para la introduccin de la calculadora en el aula. Para este efecto se equip a tres escuelas secundarias, dos en el Distrito Federal y una en Xalapa, Ver.1 En cada escuela se incorpor un profesor de manera voluntaria. La fase de preparacin para los profesores tuvo una duracin de cuatro meses y despus de esto se realiz el trabajo de campo en el aula durante seis meses. El investigador se limit a conducir la etapa de formacin de los profesores y a observar, registrar y analizar los eventos que ocurran en el trabajo en el aula (Cedillo, 1996b).

La tercera fase de esta investigacin se inici en 1998 y concluy en el ao 2001 .2 En esta investigacin se estudi el potencial de distintas piezas de software y la calculadora era uno de los componentes incluidos. En el caso de las calculadoras, el estudio se realiza con dos propsitos, uno es investigar las condiciones que favorecen y limitan la expansin a mayor

Introduccin

(

Particip un grupo escolar que cursaba el primer grado de secundaria. El grupo constaba de 25 estudiantes de 11 a 12 aos de edad que no hablan recibido instruccin en lgebra. De ellos se eligieron ocho sujetos cuyo trabajo se observ empleando la tcnica de estudio de casos. La eleccin se hizo de la siguiente manera: los primeros tres meses de trabajo con el grupo escolar aportaron informacin para seleccionar a

Sujetos

Se adopt el mtodo de anlisis cualitativo (Miles y Huberman, 1 984); en particular, se aplic la tcnica de estudio de casos. La investigacin se organiz en un estudio piloto y un estudio principal. El estudio piloto se realiz durante 1 O sesiones de SO minutos con estudiantes de un grupo escolar que no participarla en el estudio principal, el cual consisti en el trabajo de campo, las etapas de registro y el anlisis de datos. El trabajo de campo se efectu en el ambiente natural del saln de clases, durante 23 sesiones de SO minutos distribuidas a lo largo de once semanas. El investigador fungi como profesor de matemticas del grupo experimental durante todo el ao escolar a fin de lograr un conocimiento de los estudiantes que diera un mejor soporte al anlisis cualitativo de los datos. La investigacin se realiz en una escuela donde el principal criterio de admisin no fue el desempeo escolar previo de los estudiantes, sino su disposicin para colaborar en un ambiente escolar donde la disciplina se deriva de la calidad del trabajo.

Mtodo

Qu nociones y estrategias desarrollan los estudiantes, cuando el estudio del lgebra se da a travs de su uso, sin que la enseanza incluya reglas y definiciones, como ocurre con el aprendizaje de la lengua materna.

En qu medida las nociones y estrategias no convencionales que desarrollan los estudiantes les permiten abordar tareas que implican manipulacin simblica.

Investigar en qu medida las estrategias y nociones no convencionales que desarrollan los estudiantes les permiten abordar la solucin de problemas algebraicos.

Objetivos Investigar en un ambiente de enseanza apoyado por el uso de la calculadora programable:

escala del modelo didctico, y el segundo propsito de este estudio es investigar el potencial de la calculadora como factor de cambio en las concepciones de profesores en servicio sobre la enseanza de las matemticas y su aprendizaje. En este estudio participan cerca de 100 profesores y 15 000 estudiantes distribuidos en 16 escuelas ubicadas en distintas regiones del pas, Los reportes de este estudio estn en proceso.

Por restricciones de espacio, en este reporte slo se incluyen los resultados de la primera fase. El lector interesado en estos trabajos puede encontrar informacin sobre las otras fases de esta investigacin en la pgina del autor en Internet: http//emat-efit. ilce.edu.mx/calculadoras


[nvestigacin

Se basaron en el reconocimiento de patrones numricos para introducir el uso de expresiones algebraicas corno medios para representar las reglas que generan esos patrones. Se disearon SO hojas de trabajo que se organizaron en cinco paquetes. Las primeras 1 S funcionaron para introducir el cdigo algebraico; las siguientes cinco correspondieron al uso de parntesis y la jerarqufa de operaciones; el tercer paquete contenfa 1 O actividades sobre equivalencia algebraica; el cuarto paquete incluy 1 O actividades sobre representacin algebraica de relaciones parte-todo; y el quinto paquete constaba de 1 O actividades sobre inversin de funciones lineales (vea formatos 1-5 en la seccin Actividades para la enseanza).

Las literales y expresiones algebraicas se introdujeron en las hojas de trabajo corno medios para editar programas en una calculadora. Segn esto, para los estudiantes una letra no era una incgnita o una variable, sino una etiqueta que indica el nombre de una memoria que la calculadora usa para almacenar la informacin que introduce el estudiante, y una expresin algebraica era una cadena de operaciones construida por el estudiante en las cuales era necesario incluir el nombre de una memoria (letra); esas cadenas de operaciones le perrnitfan construir un programa en la calculadora para que se realizara la operacin deseada (reproducir un patrn numrico dado). De acuerdo con lo observado en el estudio piloto, la notacin concatenada de coeficientes y variables en la multiplicacin algebraica creaba confusin en los estudiantes (3a). Con base en esta experiencia, y considerando el acercamiento informal al lgebra en que se basa este estudio, se decidi emplear la notacin aritmtica de la multiplicacin en la edicin de expresiones algebraicas; por ejemplo, en vez de 3a, se us 3 x A

Organizacin del trabajo en el aula

El aula contaba con mesas hexagonales que podfan ser ocupadas por cuatro o seis estudiantes a la vez, quienes elegfan libremente su lugar. Para cada estudiante habfa una calculadora grfica que podfa utilizar durante la clase y un sobre etiquetado con

Actividades

Se emplearon tres instrumentos para colectar datos: (1) el trabajo escrito de los estudiantes (60 hojas de trabajo por estudiante); (2) tres entrevistas individuales que fueron videograbadas, una al iniciar el estudio, la segunda despus de cinco semanas, y la tercera al trmino del trabajo de campo, y (3) las notas que torn el investigador al trmino de cada sesin. Las entrevistas se estructuraron a partir de una tarea especfica basada en situaciones que los estudiantes no habfan abordado en el saln de clases, en esencia aquellas que implican manipulacin simblica y resolucin de problemas. Esto permiti indagar en qu medida la experiencia adquirida por los estudiantes en la etapa de enseanza podrfa extenderse a situaciones que requerfan una elaboracin ms refinada de las nociones y estrategias desarrolladas.

Fuentes de datos

un nio y una nia con alto aprovechamiento en matemticas; dos nios y dos nias con aprovechamiento promedio; y un nio y una nia con aprovechamiento por de- bajo del promedio. Tambin se registr el trabajo del resto de los estudiantes con la finalidad de usarlo para afinar detalles durante la fase de anlisis de los datos.

Resultados Nociones sobre las literales en expresiones algebraicas

El trabajo escrito y las respuestas en entrevistas individuales de los estudiantes de los tres estratos (alto, medio y bajo), indican que el uso de la calculadora para describir el comportamiento general de patrones numricos fue un apoyo determinante en el desarrollo de la nocin de literal como un sfmbolo que'representa cualquier nmero; y la nocin de "artefactos de clculo" para las expresiones algebraicas que usaban para construir programas en la calculadora.

La respuesta de Diego (alumno de nivel promedio) a la pregunta "Qu significa para ti la letra que usas cuando construyes un programa en la calculadora?, caracteriza la nocin que desarrollaron los estudiantes en torno a las literales algebraicas:

'la letra que uso en un programa es el nombre de una memoria de la calculadora, pero en realidad una letra personifica a un nmero, cualquier nmero ... mira, es cribes el programa y le puedes dar distintos valoresa la letra (escribe el programa A + 3 x A 2 y lo corre para distintos valores); el programa entiende que debe calcular un nuevo resultado para cada nmero que introduzcas ... no necesitas cambiar la letra (stc)"

Las nociones que desarrollaron los estudiantes en torno al concepto de expresin algebraica pueden resumirse en la respuesta de Erandi (alumna promedio) a la pregunta "Qu significa para ti un programa como los que has hecho en tu calculadora?":

"Un programa (en trminos matemticos "representacin algebraica de una funcin lineal") sirve para hacer algo ... para completar una tabla o para resolver un problema ... sirve para decirle a la calculadora cmo hacer lo que tengo en la cabeza para resolver un problema (slc)"

Las respuestas de los estudiantes sugieren que un aspecto clave para el desarrollo de esas nociones fue que la calculadora les permite usar el cdigo de programacin no slo como un medio de edicin sino, adems, como una herramienta para calcular.

su nombre que contenfa un paquete de actividades. Al inicio de la sesin, los estudiantes tomaban de la mesa del profesor una calculadora y el sobre con las actividades correspondientes. La instruccin para iniciar las actividades era que completaran tantas hojas de trabajo como les fuera posible, y que nadie debfa entregar su trabajo en blanco, pero si agotaban sus esfuerzos y no podfan continuar solos, tenfan la obligacin de acudir al profesor o a cualquiera de sus compaeros para aclarar sus dudas.

Los estudiantes iniciaban su trabajo y el profesor estaba siempre alerta para atender sus intervenciones y discutirlas de manera individual. Al trmino de la clase los estudiantes colocaban los sobres con sus actividades en la mesa del profesor.que a la siguiente sesin se las regresaba revisadas. La revisin del profesor consisti en hacer breves comentarios escritos acerca de las respuestas de los estudiantes siguiendo los lineamientos que se mencionan a continuacin: (1) en el caso de errores nunca se daba una respuesta directa para corregirlos, sino se sealaba qu estaba mal y se le hada una nueva pregunta al estudiante, con el fin de que, al contestarla, pudiera encontrar alguna pista que le hiciera evidente el error que haba cometido; (2) en el caso de las respuestas correctas, el profesor agregaba una nueva pregunta con la intencin de motivar al estudiante para que encontrara otra forma de resolver el problema

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

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