pengukuran listrik.pdf
-
Upload
rendra-wijaya -
Category
Documents
-
view
122 -
download
14
description
Transcript of pengukuran listrik.pdf
3
2.2 Distribusi Peluang Diskret
Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X, bila untuk semua hasil kemungkinan x:
1. f(x) ≥ 0.
2. ∑ f(x) = 1
3. p(X=x) = f(x)
Dapat dinyatakan dengan tabel.
2.2 Distribusi Peluang Diskret
Ilustrasi-1
Suatu pengiriman 8 komputer PC yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, Cari distribusi peluang banyaknya yang cacat?
Jawab
X= kemungkinan banyaknya komputer cacat yang dibeli sekolah
x = 0,1,2
,28
10
2
8
2
5.
0
3
)0()0( =
÷÷ø
öççè
æ
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ
=== XPf ,28
15
2
8
1
5.
1
3
)1()1( =
÷÷ø
öççè
æ
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ
=== XPf ,28
3
2
8
0
5.
2
3
)2()2( =
÷÷ø
öççè
æ
÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ
=== XPf
28
10
28
1528
3
x 0 1 2
f(x)distribusi peluang, x:
6
2.3 Distribusi Peluang Kontinu
Ilustrasi-1Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang.
a). Tunjukan syarat-2 dipenuhi?
b). Hitung P(0< x ≤1) ?
Jawab:
( )ïî
ïíì
<<-=lainnyaxuntuk
xx
xf,0
21,3
2
( ) 19
1
9
8
93.
2
1
32
1
2
=+===--
¥
¥-òò
xdx
xdxxfa
( )9
1
9310.
1
0
31
0
2
===£< òx
dxx
XPb
2.3 Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi Kumulatif
Distribusi kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) dinyatakan oleh:
Akibatnya:
( ) ( ) ( ) .¥<<¥-=£= ò¥-
xuntukdttfxXPxFx
( ) ( ) ( )
( ) ( ))(
,
adaturunanfungsibiladx
xdFxf
danaFbFbXaP
=
-=<<
7
2.3 Distribusi Peluang Kontinu
Ilustrasi-2Carilah F(x) dari fungsi padat pada ilustrasi-1 dan kemudian hitunglah P(0<X≤1)?.
Jawab:
untuk -1<x<2,
Jadi( )
ïïî
ïïí
ì
³
<£-+
-<
=
2,0
21,9
1
1,03
x
xx
x
xF
( ) ( )9
1
93
3
1
3
1
2 +====
--¥-òò
xtdx
tdttfxF
xxx
( ) ( ) ( )9
1
9
1
9
20110 =-=-=£< FFXP
è
è
Distribusi Tumpukan Kontinu
2.3 Distribusi Peluang Kontinu
( ) ( )9
1
93
3
1
3
1
2 +====
--¥-òò
xtdx
tdttfxF
xxx
è
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
f(x)
8
2.4 Distribusi Empiris
Fungsi peluang bertype diskret dan kontinumerupakan cara menjelaskan distribusi peluang untuk suatu populasi atau system.
Sering pdf f(x) tidak diketahui dalam suatu percobaan è bentuknya dimisalkan.
Agar pemisalan tidak terlalu menyimpang, diperlukan pertimbangan dari semua informasi yang tersedia.
Langkah-langkah pembentukan distribusi empiris1. Data statistik disajikan dalam bentuk gabungan tabel
dan grafik yang disebut “Diagram batang dan daun”.
2. Dapat juga disajikan dengan distribusi frekuensi yang datanya dikelompokan dalam kelas yang berbeda.
3. Buat distribusi frekuensi nisbi yaitu frekuensi tiap kelas dibagi dengan banyaknya pengamatan.
4. Gambar histogram distribusi frekuensi nisbi dengan memakai titik tengah tiap selang dan frekuensi nisbi sebagai padanannya. Tinggi tiap pesegi panjang diatur sedemikian rupa sehingga luasnya mencerminkan peluang.
9
Langkah-langkah pembentukan distribusi empiris5. Taksir fungsi kepadatan peluang dengan membuat
kurva yang smooth (licin) sehingga total luaspersegi panjang histgram sama dengan 1.
6. Persamaan fungsi dapat didekati dengan analisis numerik atau dapat dibandingkan dengan persamaan fungsi yang sudah dikenal, misalnya persamaan kuadrat, lingkaran, hiperbola, ellipsatau persamaan dari pdf yang umum seperti pdf normal, gamma, t, F dan lain sebagainya. Kebanyakan data statistik didekati oleh distribusi normal.
2.4 Distribusi Empiris
Ilustrasi-1:
Ada sekumpulan data nilai statistik Matematika I dari 40 siswa:
68, 70, 80, 30, 33, 56, 90, 78, 65, 60, 55, 45, 67, 80, 95, 44, 67, 76, 55, 73, 66, 87, 69, 38, 69, 75, 69, 40, 56, 87, 59, 61, 74, 84, 89, 57, 80, 45, 67, 76.
Bentuklah distribusi empiris dari data tersebut?
10
2.4 Distribusi EmpirisDiagram Batang dan Daun
Batang Daun Frekuensi
3 038 3
4 5405 4
5 655697 6
6 85077699917 11
7 0863546 7
8 0077490 7
9 05 2
2.4 Distribusi EmpirisDistribusi Frekuensi Nisbi
SelangTitik Tengah
KelasFrekuensi
Frekuensi Nisbi
30 – 39 34,5 3 0,075
40 – 49 44,5 4 0,100
50 – 59 54,5 6 0,150
60 – 69 64,5 11 0,275
70 – 79 74,5 7 0,175
80 – 89 84,5 7 0,175
90 – 99 94,5 2 0,050
11
2.4 Distribusi EmpirisDistribusi Kumulatif Nisbi
Batas Kelas Frekuensi Kumulatif Nisbi
Kurang dari 29,5 0,000
Kurang dari 39,5 0,075
Kurang dari 49,5 0,175
Kurang dari 59,5 0,325
Kurang dari 69,5 0,600
Kurang dari 79,5 0,775
Kurang dari 89,5 0,950
Kurang dari 99,5 1,000
2.4 Distribusi EmpirisDistribusi Kumulatif Nisbi
12
2.4 Distribusi EmpirisPenaksiran PDF dan Distribusi Kumulatif
Kontinu
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Pencatatan hasil percobaan sering diperoleh tidak berasal dari peubah acak tunggal.
Diperlukan pencatatan beberapa peubah acak secara serentak è distribusi peubah acak gabungan.
Jika X dan Y dua peubah acak, maka peluang terjadinya secara serentak dinyatakan dengan f(x,y) untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan Y.
13
Defenisi fungsi massa peluang (diskret)Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluangpeubah acak diskret X dan Y bila:1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua (X,Y)2. ∑x ∑y f(x,y) = 1 3. P(X=x, Y=y) = f(x,y)untuk setiap daerah A dibidang x y, P[(X,Y)єA] = ∑∑ f(x,y)
A
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Ilustrasi-1:
Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna merah yang terpilih, hitunglah:
a. Fungsi peluang gabung f(x,y), dan
b. P[(X,Y) є A], bila A daerah {(x,y)|x+y≤1}
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
14
Jawab:
a).Isi ballpoint: biruè 3, merahè 2 dan hijauè 3
X = terambil isi warna biru, Y = terambil isi warna merah
Nilai yang mungkin (x,y): (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) ,(0,2),(2,0)
f(0,0)=
f(0,1)=
f(0,2)=
f(1,0)=
f(1,1)=
f(2,0)=
( )20
2,1,0
2,1,0
,
2
8
2
323
,
£+£==
÷÷ø
öççè
æ
÷÷ø
öççè
æ--÷÷
ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ
=yx
y
xyxyx
yxf
HMB
28
3
28
6
28
1
28
9
28
6
28
3
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Jawab:
b). P[(X,Y) є A],
A = {(x,y)|x+y≤1}f(x,y)y Jml
Bars0 1 2
X
0
1 -
2 - -
Jml Lajur
Distribusi Peluang Gabungan
28
1
28
3
28
3
28
6
28
6
28
928
10
28
15
28
3
28
1
28
12
28
151
( )[ ] ( )( ) ( ) ( )
14
9
28
1828
9
28
6
28
3
0,11,00,0
1,
==
++=
++=£+=Î
fff
YXPAYXP
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
15
Defenisi fungsi padat gabungan (kontinu)
Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabunganpeubah acak kontinu X dan Y bila:
1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua (X,Y)
2. ∫ ∫ f(x,y) dxdy = 1
3. P[(X,Y)єA] = ∫ ∫ f(x,y) dxdy
untuk setiap daerah A dibidang xy,
+∞ +∞
-∞ -∞
A
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Ilustrasi-2:Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe, dan kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak, serta Xdan Y masing-masing menyatakan proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat. Misalkan bahwa fungsi padat gabungannya ialah
a. Tunjukan bahwa syarat 2 dari defenisi di atas terpenuhi, b. Cari P[(X,Y) є A], bila A daerah {(x,y)|0<x<1/2,1/4<y<1/2}
( ) ( )ïî
ïíì ££££+=
lainnyayxuntuk
yxyxyxf,,0
10,10,325
2,
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
16
Jawab:( ) ( )
15
3
5
2
5
3
5
2
5
6
5
2
5
6
5
232
5
2,).
1
0
21
0
1
0
1
0
21
0
1
0
=+=
÷÷ø
öççè
æ+=÷
øö
çèæ +=÷÷
ø
öççè
æ+=+=
=
=
=
=
¥
¥-
¥
¥-òòò òò ò
y
y
x
x
yydy
ydy
xyxdxdyyxdxdyyxfa
( )[ ]
( )
160
13
16
3
4
1
4
3
2
1
10
1
10
3
1010
6
10
1
5
6
5
232
5
2
2
1
4
1,
2
10,).
21
41
21
41
21
41
21
21
41
21
2
0
2
0
=úû
ùêë
é÷øö
çèæ +-÷
øö
çèæ +=
÷÷ø
öççè
æ+=÷
øö
çèæ +=÷÷
ø
öççè
æ+=+=
÷øö
çèæ <<<<=Î
=
=
=
=òòò ò
y
y
x
x
yydy
ydy
xyxdxdyyx
YXPAYXPb
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Defenisi distribusi marginal (pias)
Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didefenisikan sebagai:
g(x) = ∑ f(x,y) dan h(y) = ∑ f(x,y)
(untuk peubah diskret)
g(x) = ∫ f(x,y) dy dan h(y) = ∫ f(x,y) dx
(untuk peubah kontinu)
+∞ +∞
-∞ -∞
y x
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
17
Ilustrasi-3:Tunjukan bahwa jumlah lajur dan baris pada tabel ilustrasi-1, memberikan distribusi pias dari X sendiri dan Y sendiri?
JawabPeubah acak X = 0,1,2, dan Y = 0,1,2
Dalam bentuk tabel dapat ditulis:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14
5
28
10
28
1
28
6
28
32,01,00,0,000
2
0
==++=++==== å=
fffyfgXPy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )28
150
28
6
28
92,11,10,1,111
2
0
=++=++==== å=
fffyfgXPy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )28
300
28
32,21,20,2,222
2
0
=++=++==== å=
fffyfgXPy
( )28
3
28
15
28
10
210
xg
x
( )28
1
28
12
28
15
210
yh
yJumlah baris: Jumlah lajur:
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Ilustrasi-4:Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat gabungan pada ilustrasi-2 ?.
JawabMenurut defenisi,
untuk 0 ≤ x ≤ 1,
untuk x lainnya, g(x) = 0,
untuk 0 ≤ y ≤ 1,
untuk y lainnya, h(y) = 0,
( ) ( ) ( )5
34
5
3
5
432
5
2,
1
0
21
0
+=÷÷
ø
öççè
æ+=+==
=
=
¥
¥-òò
xyxydyyxdyyxfxg
y
y
( ) ( ) ( ) ( )5
312
5
62
5
6
5
232
5
2,
1
0
21
0
yyxyxdxyxdxyxfyh
x
x
+=
+=÷÷
ø
öççè
æ+=+==
=
=
¥
¥-òò
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
18
Defenisi peluang bersyarat:
( ) ( )( )
( ) 0
,|
>
Ç=
AP
AP
BAPABP ( ) ( )
( )( ) 0
,,
|
>
===
xg
xg
yxfxXyYP
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Defenisi distribusi bersyarat
Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y, bila diketahui X=x, dinyatakan oleh:
begitu pula, distribusi bersyarat peubah acak X, bila diketahui Y=y, dinyatakan oleh
( ) ( )( ) ( ) 0,,
| >= xgxg
yxfxyf
( ) ( )( ) ( ) 0,,
| >= yhyh
yxfyxf
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
19
Jika diketahui peubah acak Y=y, maka peubah acak X yang berada antara a dan b, dapat dihitung:
Bila X dan Y peubah acak diskret
P(a<X<b | Y=y) = ∑ f(x|y),
Bila X dan Y peubah acak kontinu
P(a<X<b | Y=y) = ∫ f(x|y)dx,
x=a
b
a
b
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Ilustrasi-5:Dari ilustrasi-1, Cari distribusi bersyarat X, bila Y=1, dan gunakan ini untuk menghitung P(X=0 | Y=1). f(x|y) è y=1?
Jawab
Distribusi bersyarat X,
bila Y=1,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )7
3
28
120
28
6
28
61,21,11,01,1
2
0
==++=++==å=
fffxfhx
( ) ( )( )
( ) ( ) .2,1,0,1,3
71,
1
1,1|
73
==== xxfxf
h
xfxf
( ) ( ) ,2
1
28
6.
3
71,0.
3
71|0 === ff ( ) ( ) ,
2
1
28
6.
3
71,1.
3
71|1 === ff ( ) ( ) ,00.
3
71,2.
3
71|2 === ff
( ) 02
1
2
11|
210
xf
x
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
20
Ilustrasi-6:Misalkan X bagian dari pelari pria dan Y bagian dari pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan.
hitunglah g(x), h(y), f(y|x), dan tentukan peluangnya bahwa kurang dari 1/8 pelari wanita yang menyelesaikan suatu maraton bila dikatahui bahwa tepat ½ dari pelari pria menyelesaikan maraton tersebut.
( )îíì ££££
=lainnyayxuntuk
xyxxyyxf
,,0
0,10,8,
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Jawab:
Maka:
( ) ( ) ,10,.4..448, 32
0
2
0
<<======
=
¥
¥-òò xxxxxydyxydyyxfxg
xy
y
x
( ) ( ) ,0,.4..4.48, 21
0
21
0
xyyyxyxdxxydxyxfyhx
x<<=====
=
=
¥
¥-òò
( ) ( )( ) ,0,
2
4
8,|
23xy
x
y
x
xy
xg
yxfxyf <<===
( )16
148
2|
2
1|
8
1 818
181
81
0
2
002
21
021 =====÷
øö
çèæ =<
=
=òòòy
yydyydy
ydyyfXYP
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
21
Ilustrasi-7:
Diketahui fungsi padat gabungan
Carilah g(x), h(y), f(x|y), dan hitunglah
P(1/4 < X < 1/2 | Y = 1/3).
( )( )
ïî
ïíì
££££+
=lainnyayxuntuk
yxyx
yxf,,0
10,20,4
31,
2
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Jawab:
Maka:
( ) ( ) ( ),20,
244444
31,
1
0
31
0
2
<<=+=÷÷ø
öççè
æ+=
+==
=
=
¥
¥-òò x
xxxxyxydy
yxdyyxfxg
y
y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),10,
2
31
8
314
8
31
4
31,
222
0
222
0
2
<<+
=+
=+
=+
===
=
¥
¥-òò y
yyyxdx
yxdxyxfyh
x
x
( ) ( )( )
( ),20,
2231431
,| 2
2
<<=+
+
== xx
y
yx
yh
yxfyxf
( )64
3
42|
3
1|
2
1
4
1 21
41
21
41
21
41
2
31 ====÷
øö
çèæ =<<
=
=òò
y
y
xdx
xdxxfYXP
2.5 Distribusi Peluang Gabungan
Tugas-2 Quiz-2