Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
-
Upload
adianta-geor -
Category
Documents
-
view
408 -
download
9
Transcript of Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
1/13
MODUL IIIpeNERAPAN TURUNANPARSIAL
Sebuah vektor yang tegak lurus pada vektor singgung sari setiap kurva Cpada permukaan S dan melalui titik P0 pada S disebut dengan vektor normalpada S di P, yaitu
Vektor Normal
Andaikan F(x,y,z) = k adalahpersamaan suatu permukaan Spada ruang dimensi tiga, danmisalkan bahwa P(x0,y0,z0)sebuah titik pada permukaan S.Selanjutnya misalkan C adalah
kurva pada permukaan S yangmelalui titik P(x0,y0,z0). Lihatgambar
kji),,(),,(),,(),,(
000
000000000 zyxzyxzyx z
F
y
F
x
FzyxF
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
2/13
Bidang Singgung
Andaikan F(x,y,z) = k adalah persamaan suatu permukaan S pada ruangdimensi tiga, yang memuat titik P(x0,y0,z0). Bilamana gradien F di P(x0,y0,z0)yakniF(x0,y0,z0) 0, maka bidang yang melalui P(x0,y0,z0) yang tegaklurusF(x0,y0,z0) disebut dengan bidang singgung permukaan S diP(x0,y0,z0). Persamaan bidang singgung dari permukaan S di P(x0,y0,z0)dengan gradienF(x0,y0,z0) diberikan oleh,
0)()()( 0),,(
0),,(
0),,( 000000000
zzz
Fyy
y
Fxx
x
F
zyxzyxzyx
Dalam hal khusus, untuk permukaan S yang persamaannya diberikan oleh,z = f(x,y) persamaan bidang singgung di titik (x0,y0,f(x0,y0)) diberikan oleh,
)()()( 0),(
0),(
0
0000
yyy
zxx
x
zzz
yxyx
ContohCarilah persamaan bidangsinggung di permukaan elipsoida,x2+ 4y2+ 3z2 2x 8y = 56pada titik (3,2,4)PenyelesaianF(x,y,z)=x2+4y2+3z22x8y56Sehingga,
24)4(6,06
88)2(8,88
42)3(2,22
)4,2,3(
)4,2,3(
)4,2,3(
z
Fz
z
F
y
Fx
y
F
x
F
xx
F
Jadi persamaan bidang singgungpermukaan di (3,2,4) adalah,4(x 3) + 8(y 2) + 24(z 4) = 0,x + 2y + 3z = 31
ContohCarilah persamaan bidang singgung dipermukaan, 4x2+xy+3z2=y2+2xz, yangsejajar bidang, 11x + 8y + 2z = 88PenyelesaianF(X,y,z)= 4x2+xy+3z2y22xz
(3)--226
(2)--82
)1(--1128
xzz
F
yxy
F
xyxx
F
Dari ketiga persamaan diperoleh,x0=2, y0=3,dan z0= 1. Jadipersamaan bidang singgung adalah,11(x 2) + 8(y + 3) + 2(z 1) = 0,11x + 8y + 2z = 0
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
3/13
Garis Normal
Garis normal permukaan pada permukaan S, F9x,y,z)=c di P(x0,y0,z0) adalahsuatu garis yang melalui P(x0,y0,z0) dengan vektor arah garis adalah vektornormalF(x0,y0,z0). Persamaan garis normalnya adalah,
),,(
0
),,(
0
),,(
0
000000000 zyxzyxzyx
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
Contoh :Carilah persamaan garis normal permukaan, x2z+xy2yz2= 19, dititik (2,3,1)Penyelesaian
F(x,y,z)= x2z+xy2yz219,
2,2
,11,2,13,2
)1,3,2(
2
)1,3,2(
2
)1,3,2(
2
z
Fyzx
z
F
y
Fzxy
y
F
x
Fyxz
x
F
2
1
11
3
13
2
zyxPersamaan garis normal
Soal Latihan1) Dua buah permukaan, 3x2+ y2 z2= xz y, dan x2 2y2+ z2= xy + 3z,
dimana kedua kurva berpotongan di titik (2,1,3). Carilah persamaangaris simetri yang merupakan perpotongan kedau bidang singgung dititik (2,1,3).
2) Tentukan titik pada permukaan, x2 = 3y2 + 4z2, di mana bidangsinggungnya sejajar dengan bidang, 8x 12y 8z = 3. Hitunglah pulapersamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut.
3) Tentukanlah titik pada permukaan elipsoida, 2x2+ y2+ 3z23x4y = 5z,
dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 5x + 2y + 7z = 3.Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titiktersebut.
4) Tentukanlah titik pada permukaan elipsoida, 4x2+ y2+ 2z2 3z = 15,dimana bidang singgungnya sejajar dengan bidang, 8x + 6y + 5z = 10.Hitunglah pula persamaan bidang singgung dan garis normalnya di titiktersebut.
5) Tentukanlah titik pada permukaan, y2= z2x + 3y, dimana bidangsinggungnya sejajar dengan bidang, 9x 9y + 12z = 14. Hitunglah pulapersamaan bidang singgung dan garis normalnya di titik tersebut.
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
4/13
MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSIPerhatikanlah sketsa grafik fungsi berikut ini
yxyxyx
yxfz 8333
),( 2233
Minimum
MaksimumTitik pelana, bukan ekstrim
Pengertian Nilai EkstrimFungsi
Andaikan f adalah fungsi dua variabel yangmemuat titik (x0,y0) pada daerah asal f.
1) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai maksimumrelatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerahasal f, jika f(x0,y0) f(x,y) untuk semua
titik (x,y) pada daerah asal f2) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai minimum
relatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerahasal f, jika f(x0,y0) f(x,y) untuk semuatitik (x,y) pada daerah asal f
3) f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai ektrimrelatif (mutlak) dari f(x,y) pada daerahasal f, jika f(x0,y0) adalah nilai maksimumatau nilai minimum relatif (mutlak) f(x,y)
Maksimum
Minimum
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
5/13
Titik Kritis
Andaikan f(x,y) fungsi yang didefinisikan pada daerah asal yang memuattitik (x0,y0). Jika f(x0,y0) adalah nilai ekstrim f, maka (x0,y0) harus merupakantitik kritis, yakni salah satu titik dari :
i). Titik batas daerah asal fungsiii). Titik stasioner fiii). Titik singular f , berikut ini.
Titik Stasioner Uji Turunan Pertama
Titik (x0,y0) dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi fbilamana,
0),((ii),0),((i) 00),(
00),( 0000
yxfy
fyxf
x
fy
yxx
yx
Uji Nilai Ekstrim Uji Turunan Kedua
Andaikan f adalah fungsi dua variabel dari x dan y sedemikiansehingga f dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu.Andaikan pula bahwa (x0,y0) adalah titik stasioner, (atau fx(x0,y0) =0 dan fy(x0,y0) = 0)
i). f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai maksimum relatif (mutlak) f, jika :
D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2
> 0, dan fxx(x0,y0) < 0(atau fyy(x0,y0) < 0)
ii). f(x0,y0) dikatakan sebagai nilai minimum relatif (mutlak) f, jika :D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2> 0, dan fxx(x0,y0) > 0
(atau fyy(x0,y0) > 0)
iii). jika D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2< 0, uji gagal danf(x0,y0) dikatakan bukan nilai ekstriim dan (x0,y0) disebut dengantitik pelana.
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
6/13
ContohTentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsiyang didefinisikan oleh,
xyxyxyyxf 94624
1),( 22334
Langkah 1. Turunan Parsial Langkah 2. Titik kritis
0
8123
86
126
9123
2
23
2
yxxyyy
y
xx
x
ff
yyf
yyyf
xf
xxf
4,2,0
0)4)(2(
0)86(
0860
3,1
0)3)(1(3
0)34(3
091230
2
23
2
2
yyy
yyy
yyy
yyyf
xx
xx
xx
xxf
y
x
Jadi titik kritisnya adalah :(1,0);(1,2);(1,4);(3,0);(3,2);(3,4)
Uji Nilai Ekstrim
Bentuk, D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2= (6x 12)(3y2 12 y + 8)
Perhatikan tabel berikut :
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
7/13
ContohTentukanlah jenis dan nilai ekstrim (jika ada) fungsi didefinisikan oleh,
Langkah 1. Turunan Parsial Langkah 2. Titik kritis
xyfxf
yxxyf
xyf
yxf
xyyxf
yx
yy
y
xy
xx
x
46166
481626
46
42
43
2
22
3
048163
6,2,0)6)(2(4
048164yx
0481626,0
3,,0)3)((
0340
2
2
22
y
yyx
yyyy
yy
yxxyf
yxyxyxyx
yxyxf
y
x
Jadi titik kritisnya adalah :(6,6);(2,2);(9,3)
Uji Nilai Ekstrim
Bentuk, D(x,y) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) [fxy(x0,y0)]2= (2x 4y)(6x+16) (6y 4x)2
Perhatikan tabel berikut :
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
8/13
Ektrim Fungsi n Variabel
Misalkan, x*=(x1,x2,..,xn) adalah titik kritis dari fungsi n variabelf(x1,x2,xn) dimana x* memenuhi persamaan,
fx1 = f1 = 0, fx2 = f2 = 0, fx3 = f3 =0,, fxn = fn = 0.
Misalkan, D adalah determinan Hessian orde n yaitu :
nnnnn
ij
n
n
n
ffff
f
ffff
ffff
ffff
D
...
............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
Minor utama determinan Hessiannya adalah :
dst
fff
fff
fff
Dff
ffDfD ,,;
333231
232221
131211
32221
12112111
Fungsi, f(x1,x2,x3,,xn) dikatakan : mencapai maksimum di x*, jika D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, D4 > 0, . Mencapai minimum di x*, jika D1 > 0, D2 < 0, D > 0, D4 > 0, .. Bukan ekstrim di x*, jika yang lainnya
yaaxayaxayx
yxf
xbbxybybxxyyxxyxf
bxabyxbybaxyyxf
yaaxyxayyxyxf
yxbxab
xa
xyyxf
yxayba
yb
yxyxf
)5)(1()2(2)3(2
)4(
33),().6(
)1(2
1
3
1),(.)5(
22
1)2(
2
1)(
3
1
3
1
4
1),().4(
74)(3
1),().3(
)(2
)21(
3)(
3
1),().2(
)(2
)21(
3)(
3
1),(.)1(
2233
22223
22334
2233
2233
2233
Soal LatihanCarilah nilai ekstrim fungsi dua varibel berikut ini :
KaLbKaLbLK
Q )2(32)1(45)10()11(43
).7( 22343
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
9/13
Soal 8Sebuah perusahaan monopolis, yang menghadapi dua pasar yakni pasar
domestik dan pasar ekspor. Fungsi permintaan masing-masing pasardiberikan oleh : Pasar domestik : P1= 1.000 aQ1+ 2Q2
Pasar ekspor : P2= 1.200 + 3Q1 aQ2.Fungsi biaya totalnya adalah, TC= 400Q1+ 300Q2+ 2a(Q1+ Q2)2
Soal 9Misalkan K menyatakan jam kerja mesin, dan L adalah jam kerja tenagakerja, fungsi produksinya diberikan oleh :Q = K5+ L425 K440 L3+ 125 K3+ 400 L2Berapakah jumlah input K dan L harus digunakan agar output maksimum
Soal 10.Misalkan K menyatakan jam kerja mesin, dan L adalah jam kerja tenagakerja, fungsi produksinya diberikan oleh :Q = KL2(80 ab aK bL)Berapakah jumlah input K dan L harus digunakan agar output optimum
Metode Lagrange
Andaikan dicari nilai ekstrim fungsi, f(x,y,z) dengan kendala, g(x,y,z) = c.
Langkah pertama. metode Lagrange adalah membentuk fungsi barudengan memasukkan variabel baru, , yang disebut dengan faktor pengaliLagrange. Fungsi baru tersebut adalah,
F(x,y,z,) = f(x,y,z) + g(x,y,z)
Langkah kedua, metode Lagrange adalah menentukan titik ktiris darifungsi F. Titik kritis diperoleh dengan cara menyelesaikan secarasimulkan dari,
0),,(),,,((iv).0),,,((iii).
0),,,((ii).0),,,().i(
zyxgzyxFF
zyxFz
F
zyxFy
FzyxF
x
F
z
yx
Langkah ketiga, menentukan nilai ekstrim terkendala. Bila (x0,y0,z0,0) titikkritis F(x,y,z,), maka (x0,y0,z0) juga titik kritis dari f(x,y,z) dengan kendalag(x,y,z). Jadi nilai ektrim f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) adalah f(x0,y0,z0).
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
10/13
ContohCarilah nilai minimum relatif dari, f(x,y,z) = 2x2+ y2+ 3z2pada bidang,
x + 3y + 2z = 65JawabLangkah 1. Fungsi Lagrange, g(x,y,z)=65 x 3y 2zF(x,y,z,)=f(x,y,z)+g(x,y,z) = 2x2+ y2+ 3z2+(65 x 3y 2z)
Langkah 2. Titik kritis :
652302365)4(3
1026)3(
2
3032)2(
4
104)1(
zyxzyxFzzF
yyFxxF
z
yx
Jika (1) (2) (3) ke (4) diperoleh :
126512
65
653
12
2
33
4
1
Langkah 3. Nilai ekstrim bersyaratJadi titik kritis F adalah (3,18,4,12), dannilai ekstrim minimum f dengan kendalag adalah,
f(3,18,4) = 2(3)2 + (18)2 + 3(4)2 = 390
ContohTentukanlah nilai ekstrim dari, f(x,y,z) = 4x + 5y + 4z, pada elipsmerupakan perpotongan silinder lingkaran tegak, (x2)2+ (y 4)2= 100,dan bidang,2x + 3y = 4z.JawabLangkah 1 Fungsi Lagrangeg(x,y,z) = 100 (x 2)2 (y 4)2 ; h(x,y,z) = 4z 2x 3yF(x,y,z) = f(x,y,z) + g(x,y,z) + h(,y,z)
= 4x + 5y + 4z + [100 (x2)2(y4)2 ]+(4z 2x 3y)Langkah 2. Titik kritis
zyxyxzF
yxyxF
F
yyF
xxF
z
y
x
4320324)5(
100)4()2(0)4()2(100)4(
1044)3(
2
35403)4(25)2(
2
24202)2(24)1(
2222
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
11/13
Jika, =1, ke (1) dan (2) diperoleh hasil,
4
2
84.)7(
,3
2
62.)6(
y
x
Jika (6) dan (7) ke (4) diperoleh :
2
1
4
1
10043
2
22
Untuk, =1/2, diperoleh:x 2 = 6, atau x = 8y 4 = 8, atau y = 12, dan4z=2(8)+4(12)=64, atau z=16
Sehingga titik kritisnya adalah(8,12,16,1/2,1)
Untuk, = 1/2, diperoleh:x 2 = 6, atau x = 4y 4 = 8, atau y = 4, dan
4z=2(4)+4(4)=6, atau z=6
Sehingga titik kritisnya adalah(4,4,6,1/2,1)
Jadi nilai ekstrim bersyaratnyaadalah :
f(8,12,16)= = 4(8)+ 5(12)+4(16) f(4,4,6)=
Contoh : Carilah nilai ekstrim dari, f(x,y,z) = xy2z2, dengan kendala,x + 2y + 2z = 30, dan x 3y 3z = 5.PenyelesaianLangkah 1. Fungsi Lagrange.g(x,y,z) = 30 x 2y 2z, h(x,y,z) = 10 x + 3y + 3zFungsi pembantu Lagrange,F(x,y,z,,) = f(x,y,z) + g(x,y,z) + h(x,y,z) = xy2z2+ (30 x 2y 2z) + (10 x + 3y + 3z)Langkah 2. Titik kritis
103303310)5(
302202230)4(
3220322)3(
3220322)2(
0)1(
22
22
2222
zyxzyxF
zyxzyxF
zxyzxyF
xyzxyzF
yxzyF
z
y
x
Dar1 (4) dan (42) diperoleh hasil,3x + 6y + 6z = 902x 6y 6z = 20
5x = 110, x=22
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
12/13
Soa1Sebuah fungsi produksi Cobb Douglass dengan tiga variable input x, y, zdiberikan oleh persamaan :
Q = 100 x0,(a+2)y0,(b+1)z0,(a+b)
Diketahui harga input untuk x adalah 2(a+2), harga input untuk yadalah4(b+1) dan harga input untuk z adalah 8(a+b). Jika total anggaranbelanja modal input adalah 64.000 tentukanlah jumlah input yang harusdigunakan agar outputnya optimum (catatan gunakan metode lagrange)
Soal 2. Tentukanlah nilai ekstrim dari :
f(x,y,z) = 2ax+ 2by+ bz,
dengan kendala : 4(y a)2+ (z a)2= 24 a2
dan, ax= 3by+ bz.
Soal 3.Diberikan fungsi produksi Cobb-Dauglas dengan tiga variable input K(modal), L (tenaga kerja), dan M (energi), dimana output produksinyaadalah :Biaya per unit masing-masing variable input adalah $ 2a untuk modal, $b/2 untuk tenaga kerja, dan $ 32 untuk energi. Anggaran yang tersediaadalah $ (a + b + 4) ribu. Tentukanlah kombinasi variable input yangmemaksimalkan output produksi.
Soal 4Fungsi produksi suatu perusahaan dengan dua variable input yakni tenagakerja (L), dan modal (K) diberikan oleh :
Berdasarkan data masa lalu, harga input tenaga kerja, = 4a, dan hargainput modal, = 80, jika anggaran yang tersedia untuk produksi perminggunya adalah 10.000. Tentukanlah kombinasi jumlah tenaga kerja danmodal yang harus digunakan agar supaya outputnya optimal.
4,0,0,010 MLKQ ba
224),( aLaKLKLKQ
-
7/26/2019 Penerapan Turunan Parsial (2).Pdfx
13/13
5) Dengan metode Lagrange, carilah volume kotak terbesar yang dapatdibuat di dalam elipsoida, 9x2+ 4y2+ 36z2= 144, jika sisi-sisnya sejajardengan sumbu koordinat.
6) Sebuah kotak kayu tanpa tutup mempunyai luas permukaan 216 m3.Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum
7) Carilah jarak terpanjang dan terpendek dari pusat ke kurva perpotonganx2= 4yz, dan x2+ 2y2+ 2z2= 72,
8) Carilah jarak terpanjang dan terpendek dari pusat ke kurva perpotongany2= 8xz, dan x2+ 2y2+ z2= 60,
9) Sebuah kotak kayu dengan tutup mempunyai luas permukaan 512 m3.Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum