3

BAB II

P E M B A H A S A N

A. Persamaan Kuadrat

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk ax2

+ bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam

persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah

koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.

Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai dari a, b, dan c.

Maka dikelompokkan menjadi:

a. Persamaan kuadrat lengkap ( Jika b = 0 )

Bentuk : ax2 + bx + c = 0 ; a,b,c ≠ 0.

Contoh : 2x2 -3x+6 =0

b. Persamaan kuadrat tak lengkap ( Jika c = 0 )

Bentuk : ax2 +bx = 0 ; a,b ≠ 0.

Contoh : -2x2 -8x = 0

c. Persamaan kuadrat biasa ( Jika a = 1 )

Bentuk : ax2 = 0 ; a ≠ 0.

Contoh : 5x2 = 0

d. Persamaan kuadrat asli (murni)

Bentuk : ax2 +c = 0 ; a,c ≠ 0.

Contoh : 4x2 -9 = 0

2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat

a. Faktorisasi

Dasar: Tentukan 2 bilangan yang jumlahnya = b dan hasil kalinya =

ac.

4

Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat : x2 - 3x - 4 = 0

Penyelesaian : Dua buah bilangan yang jumlahnya -3 dan hasil

kalinya -4 adalah 1 dan -4.

Sehingga : x2 - 3x - 4 = 0

↔ x2 + x - 4x - 4 = 0

↔ x(x + 1) - 4(x + 1) = 0

↔ (x - 4)(x + 1) = 0

↔ x1 = 4 dan x2 = -1

Jadi akar-akarnya adalah : -1dan 4.

b. Melengkapi kuadrat sempurna

Langkah Penyelesaian :

1) Pindahkan konstanta ke ruas kanan.

2) Bagi kedua ruas dengan koefisien x2 (atau dibagi dengan a).

3) Tambah kedua ruas dengan kuadrat dari ( ½ koefisien x ) atau

kuadrat dari ½b.

4) Ubahlah ruas kiri ke bentuk ( ax ± b ) 2.

Contoh :

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat : 2x2 - 5x + 3 = 0

Penyelesaian :

2x2 - 5x + 3 = 0 → 2x2 - 5x = - 3 langkah 1

x2 - 5

2x = -

3

2 langkah 2

x2 - 5

2x + {

1

2(-

5

2 )}2 = -

3

2 + {

1

2(-

5

2 )}2 langkah 3

x2 - 5

2x + (-

5

4 ) 2 = -

3

2 + (-

5

4 ) 2

(x - 5

4)2 =

−24+25

16 langkah 4

(x - 5

4)2 =

1

16

(x - 5

4) = ±

1

4

Maka x1 = x - 5

4 =

1

4 =

1

4 +

5

4 =

6

4 =

3

2

x2 = x - 5

4 = -

1

4 = -

1

4 +

5

4 = 1

5

Jadi akar-akarnya adalah : 1 dan 3

2

c. Rumus ABC

Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0 ; a,b,c ∈ R, a ≠ 0.

x1.2 = −b±√b2−4ac

2a atau x1.2 =

−b±√D

2a dimana D = b2 – 4ac

Contoh :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 2x - 1 = 0

Penyelesaian :

x1.2 = −(−2)±√(−2)2−4.2.(−1)

2.2 =

2±√12

4 =

2±2√3

4

Jadi akar-akarnya x1 = 1

2 +

1

2√3 dan x2 =

1

2 -

1

2√3

3. Diskriminan Persamaan Kuadrat.

Jenis akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, ditunjukkan oleh

diskriminan yang dirumuskan D = b2 – 4ac, yaitu:

a. D ˃ 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real) yang

berbeda. Untuk D ˃ 0 , maka terdapat dua kemungkinan yaitu:

1) Jika D merupakan kuadrat sempurna maka persamaan tersebut

mempunyai dua akar real yang berbeda dan rasional.

2) Jika D bukan kuadrat sempurna, maka kedua akar nyata berbeda

dan irasional.

b. D = 0, persamaan kuadrat sempurna mempunyai dua akar real yang

sama (kembar).

c. D ˂ 0, persamaan kuadrat sempurna akarnya tidak nyata (khayal).

6

B. Pertidaksamaan Kuadrat

1. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat

peubah (variabel) dengan pangkat tertinggi 2.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat:

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c ≤ 0

ax2 + bx + c ≥ 0

dengan a ≠ 0, a, b, c ∈ R

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

a. Dengan Garis Bilangan

Cara menyelesaikan:

1) Tentukan lebih dahulu akar-akar persamaan kuadrat.

2) Tentukan nilai-nilai nol, sehingga membagi garis bilangan

menjadi 3 interval.

3) Tentukan tanda interval.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari x2- x- 6 > 0

Jawab:

x2- x- 6 > 0

nilai-nilai nol:

x2- x- 6 = 0

(x + 2)(x – 3) = 0

Nilai nol dan tanda intervalnya:

---

-2 0 3

Jadi HP = {x|x < -2 atau x > 3}

+++ +++

7

b. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat.

Cara penyelesaiannya:

1) Sketsa y = f (x) = ax2 + bx + c, tentukan titik potong dengan

sumbu x jika ada.

2) Tetapkan interval yang memenuhi y > 0, berarti grafik terletak

di atas sumbu x, y < 0 berarti grafik terletak di bawah sumbu x.

8

C. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat dalam Kehidupan

Sehari-hari

1. Penerapan Persamaan Kuadrat

Contoh:

a. Sebidang tanah akan dibangun kolam renang dengan ukuran 10 m x

8 m. Jika luas tanah tersebut 168 m2. Tentukan lebar sisa tanah di

sekeliling kolam renang tersebut!

Jawab:

L = p x l

168 = (10 + 2x)(8+2x)

168 = 80 + 20x + 16x + 4x2

168 = 4x2 + 36x + 80

4x2 + 36x + 80 – 168 = 0

x2 + 9x – 22 = 0

(x - 2)(x +11) = 0

x = 2 atau x = -11 ( tidak memenuhi )

Jadi lebar sisa tanah di sekeliling kolam renang adalah 2 m.

b. Dalam waktu x jam, kendaraan yang berjalan dengan kecepatan rata-

rata (x+15) km/jam dapat menempuh jarak 100 km.

1) Bentuklah persamaan kuadrat dalam bentuk x!

2) Selesaikan persamaan kuadrat tersebut!

Jawab:

1) x(x + 15) = 100

2) x2+15 = 100

x2+15-100 = 0

(x+20)(x-5)= 0

x+20 = 0

x1 = -20

x-5 = 0

x2 = 5

x = 5 jam

9

Kita harus memakai x2 karena bilangan tersebut adalah bilangan

bulat positif, waktu tidak pernah menggunakan bilangan negatif.

c. Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika

panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah

panjang dan lebar tanah tersebut?

Jawab :

Misalnya panjang tanah x meter dan lebar y meter maka

Y = ( x- 12) meter

Luas tanah = x . y

4.320 = x . y

<=> 4.320 = x . (x-12)

<=> x2 – 12x – 4320 = 0

<=> (x- 72) (x + 60) = 0

<=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0

<=> x = 72 atau x = - 60

karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x =

72.

Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60

Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60

meter.

d. Pak Budi mempunyai mempunyai tanah dengan keliling 68 m dan

luasnya 340 m2. Carilah panjang pagar Pak Budi bila ia ingin

memagari depan tanah tersebut!

Jawab:

p.l = 340

p = 340/l

p+l = 34

(p disubtitusi dengan 340/l)

p + (340/p) = 34

p2 + 340 = 34p

p2 - 34p + 340 = 0

10

(cari faktor dari persamaan kuadrat)

(p - 17)(p - 20) = 0

p - 17 = 0

p1 = 17

p - 20 = 0

p2 = 20

Karena panjang harus lebih panjang dari lebar, p adalah 20. Jadi

panjang pagar depan tanah Pak Budi adalah 20 m

2. Penerapan Pertidaksamaan Kuadrat

Contoh:

a. Sepotong kawat yang panjangnya x cm, hendak dibentuk kerangka

berbentuk persegi. Agar luasnya lebih besar daripada kelilingnya.

Tentukanlah nilai x yang memenuhi!

Jawab:

Luas persegi > Keliling persegi

𝑥 2 > 4𝑥

𝑥 2 − 4𝑥 > 0

𝑥(𝑥 − 4) > 0

𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4

+ + + - - - + + +

0 4

Hs = {x| x˂0 ˅ x > 4, x ∈ R}

Jadi nilai x yang memenuhi adalah lebih dari 4 cm.

b. Sebuah batu dilemparkan tegak lurus ke atas dengan kecepatan 20

m/detik; sedangkan tinggi batu itu adalah h setelah t detik ditentukan

oleh rumus h= 20t - 5t2 .Tentukan selang t, jika h > 15!

Jawab:

11

Untuk menentukan selang t, sehingga h >15, kita selesaikan

pertidaksamaan berikut:

h >15

↔ 20t - 5t2 > 15

↔ 20t - 5t2 – 15> 0

↔ -4t + t2 + 3 < 0

↔ t2 – 4t + 3 < 0

↔ (t – 1)(t – 3) < 0

↔ t=1 atau t=3

_ _ _

+++ +++

1 3

Jadi, selang t sehingga h > 15 adalah 1 < t < 3.

c. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm. jika luas

persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm2, tentukan batas-batas

nilai panjang dari persegi panjang tersebut.

Jawab:

Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-turut

adalah x cm dan y cm.

Keliling K= 2(x+y) = 20

x + y = 10

y = 10 – x

Luas persegi panjang L = x . y

L = x (10 – x)

L = 10x – x2

Luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm2, ini berarti L ≥ 21

10x – x2 ≥ 21

x2 – 10x + 21 ≤ 0

(x – 3)(x – 7) ≤ 0

12

+ + + - - - + + +

3 7

Hs = {x|3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R}

Jadi, batas-batas nilai panjang dari persegi panjang itu adalah dari 3

cm sampai dengan 7 cm

d. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Ketinggian peluru yang dicapai

(dinyatakan dalam meter) diberikan sebagai h(t) = 30t – t2. Berapa

lamakah peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221

meter?

Jawab:

Ketinggian peluru tidak kurang dari 221 meter, sehingga diperoleh

hubungan

h ≥ 221

30t – t2 ≥ 221

Pertidaksamaan kuadrat diatas diselesaikan sebagai berikut:

30t – t2 ≥ 221

t2 – 30t + 221 ≤ 0

(t – 13)(t – 17) ≤ 0

+ + + - - - + + +

13 17

13 ≤ t ≤ 17

Jadi, peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter

dari detik ke 13 sampai dengan detik ke 17 atau dalam selang waktu

(17 – 13) detik = 4 detik.

13

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam kehidupan sehari-hari hampir semua masalah dapat

diformulasikan ke dalam bahasa matematika yang berbentuk persamaan atau

pertidaksamaan kuadrat.

Untuk menyelesaikan soal-soal persamaan kuadrat yang berkaitan

dengan kehidupan sehari-hari dapat menggunakan cara faktorisai, melengkapi

kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc. Sedangkan untuk

menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan kuadrat yang berkaitan dengan

kehidupan sehari-hari dapat menggunakan cara membuat garis bilangan dan

sketsa grafik fungsi kuadrat.

B. Saran

Dengan adanya penerapan persamaan dan pertidaksamaan dalam

kehidupan sehari – hari diharapkan pengaplikasian dapat digunakan dengan

baik sehingga bermanfaat. Penerapan persamaan dan pertidaksamaan dalam

kehidupan sehari – hari dapat mempermudah penghitungan – penghitungan

tertentu yang memang membutuhkan cara penghitungan persamaan dan

pertidaksamaan kuadrat.

14

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika. Bandung: Grafindo Media

Pratama.

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Jilid 1 untuk SMA Kelas X. Jakarta:

Erlangga.

Yos. 2013. Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari.

Diakses dari http://yos3prens.wordpress.com/2013/11/07/penerapan-persamaan-

kuadrat-dalam-kehidupan-sehari-hari/ pada tanggal 17 Desember 2013.