Théorie L’équation de l’oscillateur paramétrique est une équation de Mathieu de la forme:

𝜃 +𝜔0

𝑄𝜃 + L(1−

Δ𝐿

𝐿cos(𝜔𝑡) 0 = ߠ(

𝑄 ≫ 1 est le facteur de qualité du pendule

Pour le pendule construit: 𝑄 ≈ 300 et 𝜔0 ≈ 9.4 rad/s (𝑓0 ≈ 1.5 Hz) Sans frottements, il y a résonance à 𝜔 = 2𝜔0, quelle que soit l’amplitude de l’excitation

Pour atteindre la résonance malgré les frottements, il faut que Δ𝐿

2𝐿>

1

𝑄

Construction Contraintes: Changement d’amplitude et de fréquence (propre et d’excitation paramétrique), aspect visuel, transport (poids et batteries). Dimensionnement: Choix de la longueur du fil, et de la masse pour garder le fil tendu, choix de l’entrainement et du moteur ainsi que de son contrôleur. Matériaux: • Structure en bois pour légèreté et facilité de construction • Mécanisme en aluminium et acier (solidité, réduction des frottements, aspect visuel et facilité de

montage) • Fil en acier et cuivre tressé (rigidité en traction et souplesse en flexion)

But • Visualiser la résonance paramétrique • Estimer le facteur de qualité par modulation de l’amplitude d’excitation • A une certaine amplitude d’excitation, déterminer les fréquences d’excitation permettant la résonance

Contrôle du moteur Equipements: Moteur, Arduino, sondes de Hall, LCD Réglage de la vitesse: Contrôle en Pulse Width Modulation (PWM)

Références: Nonlinear Dynamics of Nanomechanical and Micromechanical Resonators, Lifshitz and Cross Mécanique vibratoire, systèmes discrets linéaires, Michel Del Pedro et Pierre Pahud

Remerciements: G.Villanueva, Ph.Müllhaupt et P.-Y. Rochat Supervision: G.Villanueva

Pendule à excitation paramétrique Conception et construction

V. Dor, T. Pinna, R. Treyvaud

Schéma du mouvement souhaité

𝑄 = ∞

𝑆𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

1

𝑄

∆𝐿

𝐿

1

2

3

1

𝑄(𝜔−2𝜔0

𝜔0) 1 2 0

Stabilité de l’oscillateur paramétrique non-amorti

Schéma de montage de l’électronique

𝑄 = 1

Pendule à excitation paramétrique