PEMBELAJARAN ELIPS DENGAN MENGGUNAKAN GOOGLE EARTH
-
Upload
mariana-ajo -
Category
Documents
-
view
76 -
download
10
Transcript of PEMBELAJARAN ELIPS DENGAN MENGGUNAKAN GOOGLE EARTH
PEMBELAJARAN ELIPS DENGAN MENGGUNAKAN GOOGLE EARTH
MARIANA (06022681620020)Magister Pendidikan Matematika
Universitas [email protected]
LATAR BELAKANG
Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan
dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia(Rusefendi,
2006).Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,
termasuk ilmu alam,
teknik, kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika
mampu menyiapkan Sumber Daya Manusia (SDM) yang berkualitas yang ditandai memiliki
kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan
kebutuhan. Oleh karena itu,mata pelajaran matematika sangat perlu diajarkan kepada semua
peserta didik mulai dari taman kanak kanak.
Salah satu materi matematika yang diajarkan di sekolah adalah materi geometri.
Tujuan mempelajari materi ini diharapkan agar siswa dapat meningkatkan kemampuan
pemahaman mengenai keruangan. Materi geometri diajarkan secara berjenjang mengikuti
perkembangan daya berpikir anak. Brumfiel (1960)menyatakan paling sedikit ada empat
alasan mengapa geometri diajarkan di sekolah sebagai salah satu materi ajar dalam
matematika. Pertama,geometri memiliki keindahan logika dan mengajarkan ketelitian logika
dimana seseorang dituntut untuk menjadi teliti dan cermat. Oleh karena itu,dengan
mempelajari geometri Jurnal Didaktik Matematika Roskawati, dkk 65menuntun seseorang
menjadi hati-hati dan cermat dalam beraktifitas. Kedua,geometridiajarkan untuk kepentingan
praktis, artinya geometri diajarkan untuk mendukung ilmu-ilmu yang lainnya.Ketiga,
setelahmempelajari geometri,akan memiliki pengetahuan yang akan memberikan wawasan
lebih luas untuk memahami keindahan bentuk yang ada disekitarnya. Keempat, akan
memiliki pengetahuan dan wawasan untuk mengetahui dan memahamipemikiran ilmiah.
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika karena banyaknya
konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Geometri menggabungkan penyajian abstraksi
1
dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola,pengukuran dan
pemetaan.Sedangkan dari sudut pandang matematika,geometri menyediakan pendekatan-
pendekatan untukpemecahan masalah melaluigambar-gambar, diagram, sistem koordinat,
vektor, dan transformasi(Abdussakir, 2011).
Pembelajaran geometri, khususnya pada tingkat Sekolah Menengah Atas saat ini
menitik beratkan pada materi dimensi tiga yang meliputi hubungan antara titik, garis, bidang
dalam ruang dimensi tiga, dan berbagai hal yang muncul akibat adanya hubungan tersebut.
Hal ini sejalan dengan pendapat T ravers (1987) yang menyatakan bahwa: “Geometry is the
study of the relationships among points, lines, angles, surfaces, and solids”. Pembelajaran
geometri secara tegas dibedakan antara pengertian, gambar, dan model dari
suatu bangun (Iswadji, 2001). Oleh karena itu,dalam pembelajarannya harus dimulai dengan
benda-benda konkret yaitu benda-benda nyata berdimensi tiga, kemudian ke dalam bentuk
semi konkret yang diwujudkan dengan gambar-gambar sehingga terlihat seperti bangun
berdimensi dua. Pada akhirnya siswa dapat memiliki pengetahuan tentang bangun berdimensi
tiga yang sudah bersifat abstrak dan ada di dalam pikiran setiap siswa. Pada tahap ini,
siswa dapat mempelajari geometri tanpa harus berhadapan dengan objek atau bentuk
langsung.
Maka media pembelajaran merupakan salah satu komponen penentu efektivitas
belajar. Media pembelajaran mengubah materi ajar yang abstrak menjadi kongkrit dan
realistik dengan mengoptimalkan fungsi seluruh panca indra siswa untuk meningkatkan
efektivitas siswa belajar serta mengarahkan pikirannya secara logis dan realistis ( Yulianti,
Zulkardi & Siroj, 2010).
Salah satu media pembelajaran yang tepat untuk menggambarkan secara nyatayaitu
google earth. Google earth adalah Program yang memetakan bumi dari superimposisi
gambar yang dikumpulkan dari pemetaan satelit, fotografi udara dan globe GIS 3D. Google
earth merupakan salah satu media yang tepat dalam pembelajaran. Berdasarkan penelitian
Riyadi,S (2011) bahwa penggunaan google earth membantu siswa dalam memahami peta
dari pada menggunakan media globe. Sehingga penggunaan google earth juga dapat
membantu dalam memahami geometri.
2
PEMBAHASAN
1.Aplikasi Google Earth
Google Earth merupakan sebuah program globe virtual yang sebenarnya disebut
Earth Viewer dan dibuat oleh Keyhole, Inc.. Program ini memetakan bumi dari superimposisi
gambar yang dikumpulkan dari pemetaan satelit, fotografi udara dan globe GIS 3D. Tersedia
dalam tiga lisensi berbeda: Google Earth, sebuah versi gratis dengan kemampuan terbatas;
Google Earth Plus ($20), yang memiliki fitur tambahan; dan Google Earth Pro ($400 per
tahun), yang digunakan untuk penggunaan komersial.
Awalnya dikenal sebagai Earth Viewer, Google Earth dikembangkan oleh Keyhole, Inc.,
sebuah perusahaan yang diambil alih oleh Google pada tahun 2004. Produk ini, kemudian
diganti namanya menjadi Google Earth tahun 2005, dan sekarang tersedia untuk komputer
pribadi yang menjalankan Microsoft Windows 2000, XP, atau Vista, Mac OS X 10.3.9 dan
ke atas, Linux (diluncurkan tanggal 12 Juni 2006) dan FreeBSD. Dengan tambahan untuk
peluncuran sebuah klien berbasis update Keyhole, Google juga menambah pemetaan dari
basis datanya ke perangkat lunak pemetaan berbasis web. Peluncuran Google Earth
menyebabkan sebuah peningkatan lebih pada cakupan media mengenai globe virtual antara
tahun 2005 dan 2006,[3] menarik perhatian publik mengenai teknologi dan aplikasi
geospasial.
Globa virtual ini memperlihatkan rumah, warna mobil, dan bahkan bayangan orang dan
rambu jalan. Resolusi yang tersedia tergantung pada tempat yang dituju, tetapi kebanyakan
daerah (kecuali beberapa pulau) dicakup dalam resolusi 15 meter.[4] Las Vegas, Nevada dan
Cambridge, Massachusetts memiliki resolusi tertinggi, pada ketinggian 15 cm (6 inci).
GoogleEarth memolehkan pengguna mencari alamat (untuk beberapa negara), memasukkan
koordinat, atau menggunakan mouse untuk mencari lokasi.
Google Earth juga memiliki data model elevasi digital (DEM) yang dikumpulkan oleh
Misi Topografi Radar Ulang Alik NASA. Ini bermaksud agar kita dapat melihat Grand
Canyon atau Gunung Everest dalam tiga dimensi, daripada 2D di situs/program peta lainnya.
Sejak November 2006, pemandangan 3D pada pegunungan, termasuk Gunung Everest, telah
digunakan dengan penggunaan data DEM untuk memenuhi gerbang di cakupan SRTM.
Banyak orang yang menggunakan aplikasi ini menambah datanya sendiri dan menjadikan
mereka tersedia melalui sumber yang berbeda, seperti BBS atau blog. Google Earth mampu
menunjukkan semua gambar permukaan Bumi. dan juga merupakan sebuah klien Web Map
3
Service. Google Earth mendukung pengelolaan data Geospasial tiga dimensi melalui
Keyhole Markup Language (KML).
Google Earth memiliki kemampuan untuk memperlihatkan bangunan dan struktur
(seperti jembatan) 3D, yang meliputi buatan pengguna yang menggunakan SketchUp, sebuah
program pemodelan 3D. Google Earth versi lama (sebelum Versi 4), bangunan 3d terbatas
pada beberapa kota, dan memiliki pemunculan yang buruk tanpa tekstur apapun. Banyak
bangunan dan struktur di seluruh dunia memiliki detail 3D-nya; termasuk (tetapi tidak
terbatas kepada) di negara Amerika Serikat, Britania Raya,[6] Irlandia, India, Jepang, Jerman,
Kanada, Pakistan dan kota Amsterdam dan Alexandria.[7] Bulan Agustus 2007, Hamburg
menjadi kota pertama yang seluruhnya ditampilkan dalam bentuk 3D, termasuk tekstur
seperti facade. Pemunculan tiga dimensi itu tersedia untuk beberapa bangunan dan struktur di
seluruh dunia melalui Gudang 3D Google[8] dan situs web lainnya.
Adapun cara penggunaan google earth yaitu :
1. Mendownload terlebih dahulu aplikasi google earth
https://www.google.com/earth/download/ge/agree.html. Lalu aplikasi diinstall.
Gambar 1
Tampilan google earth pembuka
2. Aplikasi dapat digunakan dengan mengisi tempat pada kolom cari. Misal Koloseum
Di Roma Italia. Lalu klik telusuri. Maka google earth akan memproses pencaarian
tempat tersebut.
4
Gambar 2
Google earth menampilkan Koloseum di Roma Italia
3. Maka akan muncul bangunan yang kita ingingkan. Untuk memperlihatkan gambar
berbentu dimensi 3. Maka dapat di klik sebelah kiri bawah pada“bangunan 3D’”
sehingga muncul tanda √.
4. Untuk memperkecil, memperbesar, menggeser kiri kanan ataupun memutar 3600.
Dapat menggunakan tombol yang berada di kanan atas.
2. Colosseum di Roma, Italia.Colosseum atau Coliseum, awalnya disebut Amphitheatre Flavianus (Latin:
Amphitheatrum Flavium, Italia Anfiteatro Flavio atau Colosseo), adalah sebuah
amfiteater elips di pusat kota Roma, Italia, yang terbesar yang pernah dibangun di
Kekaisaran Romawi. Ini adalah salah satu karya rekayasa terbesar dari arsitektur
Romawi. Menempati bagian timur dari Forum Romawi, konstruksi dimulai antara 70
dan 72 Masehi di bawah kaisar Vespasianus dan selesai pada 80 Masehi di bawah
Titus, dengan modifikasi lebih lanjut yang dilakukan selama pemerintahan
Domitianus (81Ð96). Nama “Amphitheatrum Flavium” berasal dari kedua
Vespasianus dan Titus nama keluarga (Flavius, dari gens Flavia).
5
Awalnya mampu diduduki sekitar 50.000 penonton, Colosseum digunakan
untuk kontes gladiator dari tontonan publik. Bangunan ini tetap digunakan selama
hampir 500 tahun dengan pertandingan terakhir tercatat di sana hingga akhir abad ke-
6. Serta permainan gladiator tradisional, banyak acara publik lainnya yang diadakan
di sana, seperti opera pertempuran laut, berburu binatang, eksekusi, dan drama
berdasarkan mitologi klasik. Bangunan ini akhirnya berhenti digunakan untuk hiburan
di era awal abad pertengahan. Ia kemudian digunakan kembali untuk tujuan yang
bervariasi seperti perumahan, workshop, tempat untuk perintah agama, benteng,
tambang dan sebuah kuil Kristen. Meskipun kini dalam kondisi hancur akibat
kerusakan yang disebabkan oleh gempa bumi dan penjarahan batu, Colosseum telah
lama dilihat sebagai simbol ikon Kekaisaran Roma. Hari ini adalah salah satu atraksi
wisata paling populer Roma modern dan masih memiliki hubungan dekat dengan
Gereja Katolik Roma, karena setiap Jumat Agung Paus memimpin torchlit “Jalan
Salib” prosesi ke ampiteater.
Gambar 3Gambar Colosseum Utuh
Para arkeolog Italia menemukan fragmen dari lukisan dinding berwarna cerah di
dalam koridor Colosseum di Roma, salah satu atraksi wisata terpopuler di kota itu.
Lukisan dinding atau grafiti tersebut menggambarkan adegan heroik sekaligus erotis.
"Kami menemukan jejak dekorasi dengan warna merah, biru, dan hijau," kata
Rosella Rea, Direktur Colosseum, seperti dikutip SMH, Jumat (11/1/2013). "Fragmen
6
grafiti ini menggambarkan kehidupan gladiator, kemenangan, bahkan ada adegan
erotis," tambahnya. Para arkeolog juga menemukan tulisan dari abad ke-17 serta tanda
tangan dari para penonton yang pernah ada di teater kuno ini. "Kami berharap dapat
menemukan lukisan atau peninggalan berharga lain di koridor ini," tukasnya. Namun
sayangnya, lukisan ini masih tertutup untuk umum karena arkeolog masih bekerja
untuk memperbaiki lantai kedua dan ketiga Colosseum yang rusak dalam beberapa
tahun terakhir. Lukisan tersebut baru diperlihatkan kepada umum pada musim panas
2014 nanti. Colosseum, bangunan yang dibangun oleh Kaisar Romawi Titus dan atraksi
wisata terbanyak dikunjungi di dunia, kini dalam keadaan menyedihkan. Bangunan ini
semakin rusak dan hancur dimakan usia dan polusi. Selama 10 tahun terakhir,
pengunjung Colosseoum telah bertambah dari sejuta pengunjung mencapai enam juta
pengunjung per tahun, berkat film blockbuster Gladiator.
Colosseum Roma Yang Selalu Dihantui Arwah Para Gladiator
Siapa yang tidak kenal Colosseum Roma yang berada di negara Italia ini Colosseum
Roma yang didirikan oleh Wali Kota Vespasian pada masa Domitianus dan
diselesaikan oleh anaknya, Titus dulunya adalah gedung tempat pertempuran para
Gladiator dan hinga kini bangunan Colosseum masih tetap berdiri kokoh meninggalkan
jejak sejarah dan merupakan tujuan wisata dunia.
Gambar 4Gambar Colosseum
Colosseum Roma merupakan bangunan termegah dan merupakan bangunan
yang menjadi karya besar arsitektur Kerajaan Romawi yang pernah dibangun.
7
Colosseum Roma yang mampu menampung penoton sebanyak 50.000 orang ini juga
merupakan simbol kejayan kekaisaran romawi ketika itu.
Colosseum Roma dibangun untuk arena gladiator yang ketika itu merupakan
hiburan bagi raja raja di Romai, Para tahanan ketika itu dijadikan gladiator untuk di
tarungkan hingga tewas jumlah gladiator yang tewas ketika masa romawi jumlahnya
tidak terbatas sehinga ketika itu Colosseum merupakan tempat pembataiyan paling keji
yang digunaka untuk menghibur raja dan para penoton. Selain bertarung melawan antar
gladiator terkadang para gladiator juga harus bertarung mempertaruhkan nyawa untuk
melawan hewan seperti harimau dan singa.
Gambar
Colosseum Roma tampak dari depan
Para gladiator yang tewas di Colosseum tidak dikuburkan secara layak mayat
mayat gladiator dilempar begitu saja di bawah kubah Colosseum. Sehinga membuat
tempat ini menjadi angker, banyak para pengunjung Colosseum Roma melihat
penampakan para gladiator yang masih menggunakan baju gladiator melintas di
sekitara Colosseum Roma. Arwah para gladiator ini gentayangan akibat mayat mayat
mereka tidak dikubur dengan layak, sampai saat ini arwah para gladiator masih
menghatui para pengunjung yang berwisata ke Colosseum
8
Gambar.3Colosseum dari dekat
3. Elips
Jika diamati lebih seksama gambar coloseum mirip dengan gambar elips,Elips
merupakan kurva lengkung tertutup yang memiliki dua sumbu simetri. Elips merupakan
salah satu irisan kerucut karena bentuk elips dapat diperoleh dengan mengiris kerucut
menurut sebuah bidang yang tidak sejajar bidang alas dan tidak memotong bidang alas.
Dalam bidang koordinat, elips didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dalam pembahasan selanjutnya,
kedua titik tertentu itu dinamakan titik focus.
B2
L1 L2
a b
0 c
A1 F1 F2 A2
L1 L2
B1
9
Bagian-bagian elips:
a. dua sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik fokus F1& F2 dan garis yang
melalui titik tengah F1&F2.
b. Titik fokus elips yaitu F1&F2.
c. Titik pusat elips adalah di titik O.
d. Sumbu utama atau sumbu transversal adalah sumbu simetri yang melalui titik-
titik focus F1&F2.
e. Puncak elips adalah A1&A2.
f. Sumbu panjang atau sumbu mayor adalah ruas garis A1 A2
g. Sumbu minor adalah ruas garis B1 B2.
Hubungan antara a, b, dan c
misalkan OF1 = OF2 = c
B1F1 = B1F2 = B2F1 = B2F2 = a
OB1 = OB2 = b
Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga OB2F2:
b2 = a2 + c2
Persamaan Elips yang Berpusat di O (0,0)
Persamaan elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit
dengan sumbu X. jarak titik pusat elips dengan focus adalah c sehingga F1(-c,0), F2(c,0)
puncak elips di B(-a,0) dan B(a,0).
y
p(x,y)
B(-a,o) F1(-c,o) F
2(c,o) B(a,0)x
10
Misalkan P(x, y) sembarang titik pada elips dan penjumlahan jarak terhadap titik focus
adalah 2a. sehingga d(F1,P) + d(F2,P) = 2a
√(x + c)2+(y – 0)2 + √(x – c)2+(y – 0)2 = 2a
√(x + c)2+(y)2 = 2a - √(x – c)2+(y)2 (Kuadratkan)
(x + c)2+(y)2 = 4a2 - 4a√(x – c)2+y2 + (x – c)2 + y2
x2 + 2cx + c2 +y2 = 4a2 – 4a√(x – c)2+y2 + x2 = 2cx + c2 + y2
x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 -4a2 = -4a√(x – c)2+y2
4cx – 4a2 = - 4a√(x – c)2+y2
4a√(x – c)2+y2 = 4a2 – 4cx
a√(x – c)2+y2 = a2 – cx (Kuadratkan)
a2((x-c)2+y2) = (a2 – cx)2
a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2c + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2 + y2 = (a2 – c2)a2 (Dibagi a2(a2 – c2))
x 2 + y 2 = 1
a2 (a2-c2)
Karena a2-c2 = b2 dan b>0 maka,
atau b2x2 + a2y2 = a2b2
Persamaan direktris x =
Nilai eksentrisitas e =
Adapun persamaan elips berpusat di O (0,0), fokus F1(0,-c) dan F2(0,c), sumbu mayor
berimpit dengan sumbu y.
11
q
y
ea
ea
B2 (p, q+b)P(x,y)
A1 (p-a, q)
B1 (p, q-b)
A2 (p+a, q)F1 (p-c, q) F2 (p+c, k)
A(p,q)
Sumbu utama y =q
y
a F2
-b 0 b x
-a F1
Persamaannya adalah:
x 2 + y 2 = 1, a > b atau a2x2 + b2y2 = a2b2
b2 a2
dengan b2 = a2-c2
Persamaan direktris y =
Persamaan eksentrisitas e =
Persamaan Elpis Berpusat di A(p,q)
Elips berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu x, panjang sumbu
mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan definisi elips, dapat
ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
( x−p )2
b2+
( y−q)2
a2=1
Dan hubungan a2 = b2 + c2
12
g1¿ y = q -
ae
g2¿ y = q +
ae
Berdasarkan elips di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :
a. Sumbu utama adalah garis y = q dan sumbu sekawan adalah garis x = p.
b. Koordinat puncak di A1 (p-a,q) dan A2 (p+a,q), koordinat titik ujung sumbu minor
adalah B1 (p, q-b) dan B2 (p, q+b).
c. Koordinat focus di F1 (p-c,q) dan F2 (p+c,q).
d. Nilai Eksentrisitas e = ca
e. Persamaan direktriks adalah g1¿ x = p -ae dan g2¿ x = p +
ae
f. Panjang latus rectum = 2b2
a
Elips yang berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu y, panjang
sumbu mayor = 2a, dan panjang sumbu minor 2b.Dengan menggunakan definisi elips,
dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
( x−p )2
b2+
( y−q)2
a2=1
Dan hubungan a2 = b2 + c2
13
A(p,q)
P(x,y)
A2 (p, q+a)
F2 (p, q+c)
B2 (p, b+q)
A1 (q, p-a)
B1 (p-b,q)
F1 (q, p-a)
Sumbu utama x =py
x
q
p0
Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :
a. Sumbu utama adalah garis x = p dan sumbu sekawan adalah garis y = q.
b. Koordinat puncak di A1 (q, p-a) dan A2 (p,q+a), koordinat titik ujung sumbu minor
adalah B1 (p-b,q) dan B2 (p+b,q).
c. Koordinat focus di F1 (p,q-c) dan F2 (p,q+c).
d. Nilai Eksentrisitas e = ca
e. Persamaan direktriks adalah g1¿ y = q -ae dan g2¿ y = q +
ae
f. Panjang latus rectum = 2b2
a
Bentuk Umum Persamaan Elips
Jika bentuk baku persamaan elips itu dijabarkan, maka kita dapat memperoleh bentuk
umum persamaan elips, sebagai contoh :
b2 (x-p)2 + a2(y-q)2 = a2b2
b2 (x2-2px+p2) + a2(y2-2qy+q2) = a2b2
b2x2-2b2px + b2p2 + a2y2 – 2a2qy + a2q2 – a2b2 = 0
b2x2 +a2y2 – ab2px – 2a2qy + (b2p2 + a2q2 – a2b2) = 0
Dengan menetapkan b2 = a, a2=B, -2b2p=c, -2a2q=D, dan b2p2+a2q2-a2b2 = E, maka
persamaannya dapat ditulis :
Dengan A, B, D, D, dan E merupakan bilangan-bilangan real (A¿0 , B¿0 , A¿ B, A dan
B bertanda sama ). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan elips.
14
Ax2 +By2 + Cx + Dy + E = 0
( x−p )2
b2 +
( y−q)2
a2=1
Persamaan Garis Singgung Elips
1. Garis Singgung dengan Bergradien m
Jika garis h = y = mx + n menyinggung elips x2
a2 +y2
b2 = 1, = 0, maka besarnya
diskriminan D = 0 dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari dua persamaan diatas
adalah:
x2
a2 + y2
b2 = 1 x2
a2 +(m+n)2
b2 = 1
= 1
=
= 0
(b2+a2 m2 ) x2+2a2mnx+a2(n2−b2)=0
a b c
D = b2 - 4ac
= - 4
=
=
D = -4 a2b2(n2−b2−a2 m2)
Sehingga dapat dicari persamaan garis singgung pada elips:
-4 a2b2(n2−b2−a2 m2)= 0
a2b2(n2−b2−a2 m2) = 0
n2=b2−a2m2
n = √b2−a2 m2
15
Jadi, persamaan garis singgung pada elips x2
a2 + y2
b2 = 1 dengan gradient m didefinisikan
dengan persamaan:
y =
2. Garis Singgung melalui Titik Pada Elips
y
h
P
x
+
Gambar di atas memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips x2
a2 + y2
b2 =1 di
titik P(x1,y1), maka persamaan garis h adalah:
y - y1 = m(x -x1) ………………………………….(1)
secara beometri gradient garis singgung di titik P(x1,y1) adalah:
m =
Dengan mengambil diferensial pada elips + ,maka:
d( x2
a2 +y2
b2 ) = d(1)
d( x2
a )+( y2
b2 ) = d(1)
2 xa2 dx+ 2 y
b2 dy=0
16
…………………………………….(2)
Sehingga dapat disimpulkan persamaan m = dideferensilkan pada elips
x2
a2 + y2
b2 =1 titik P(x1,y1) adalah:
m = =−b2 xa2 y
dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
y-y1 =−b2 xa2 y
(x-x1)
y-y1 (a2y1) = -b2x1 (x-x1)
a2yy1-a2y12 = -bxx1+b2x1
2
a2yy1 + bxx1 = a2y12 + b2x1
2 ………………………………….(3)
Karena P(x1y1) terletak pada elips x2
a2 + y2
b2 =1 dan x x1
a2 +y y1
b2 =x1
2
a2 +y1
2
b2
Jadi persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1y1) terletak pada elips x2
a2 + y2
b2 =1
adalah:
Elips horizontal =x x1
a2 +y y1
b2 =1
Elips vertikal = x x1
b2 +y y1
a2 =1
Kesimpulan
17
Kesimpulan dari paper ini adalah penggunaan google earth dapat membantu
menguatkan konsep yang dimiliki ke dalam masalah nyata matematika serta memudahkan
dalam melihat bentuk suatu benda secara nyata walaupun benda tersebut berada jauh dari kita
DAFTAR RUJUKAN
Abdussakir. (2009). Pembelajaran Matematika dengan Problem Posing. [Online] Tersedia
http://www.google.co.id [20 Febuari 2010]
Brumfiel (1960). Teachers manual for Geometry. Addison-Wesley Educational Publishers
Inc, U. S
http://duniaartikelsejarah.blogspot.com/
Iswadji, D. (2001). Geometri Ruang.Yokyakarta: UNY
Ruseffendi. (2006). Pengantar Kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya
dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito
18