Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris Persatuan Aktuaris Indonesia

A50-Metode Statistika

Periode 2014-2019

Tim Penyusun:

Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc

Agus Sofian Eka Hidayat, M.Ed, M.Sc

2019

Daftar Isi

1 A50 Periode November 2014 3

2 A50 Periode Juni 2015 25

3 A50 Periode November 2015 58

4 A50 Periode Juni 2016 95

5 A50 Periode November 2016 126

6 A50 Periode Mei 2017 157

7 A50 Periode November 2017 194

8 A50 Periode Mei 2018 230

9 A50 Periode November 2018 257

10 A50 Periode April 2019 292

2

1 A50 Periode November 2014

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 30(80− t)1/2, di dalam daerah do- main 0 ≤ t ≤ 100.

1. Tentukan f (24)

A. 0, 019

B. 0, 020

C. 0, 022

D. 0, 025

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan: Diberikan S(t) = 0, 30(80− t)1/2 untuk 0 ≤ t ≤ 100. Untuk mengerjakan soal ini, formula yang kita gunakan adalah

f (t) = −S′(t)

Dengan demikian, didapat:

f (t) =− S′(t)

= − d dt

[ 0, 30(80− t)1/2

] = (0, 3)(0, 5)(80− t)1/2

= 0, 15√ 80− t

sehingga, f (24) = 0, 0200446 ≈ 0, 020 Jawab: B.

2. Tentukan λ(45)

A. 0, 0143

B. 0, 0214

C. 0, 0341

3

1 A50 Periode November 2014

D. 0, 0413

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan: Untuk mengerjakan soal ini, digunakan formula

λ(t) = f (t) S(t)

Dengan demikian, kita peroleh:

λ(t) = f (t) S(t)

=

0, 15√ 80− t

0, 30(80− t)1/2 =

0, 5 80− t

sehingga, λ(45) = 0, 5

80− 45 = 0, 0142857 ≈ 0, 0143 Jawab: A.

3. Tentukan Λ(25)

A. 0, 1378

B. 0, 1783

C. 0, 1873

D. 0, 214

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan: Dengan menggunakan:

Λ(t) = ∫ t

0 λ(y) dy

diperoleh

Λ(25) = ∫ 2

0 5

0, 5 80− y dy = − 0, 5 ln(80− y)

∣∣∣∣25 0 ≈ 0, 1873

Jawab: C.

4. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 10(100− t)1/2, di dalam daerah domain 0 ≤ t ≤ 100. Tentukan Var(T).

A. 333.33

B. 666.67

C. 777.78

4

1 A50 Periode November 2014

D. 889.77

E. 998.89

Pembahasan: Dengan menggunakan formula:

f (t) = −S′(t)

E[T] = ∫ ω

0 S(t) dt

E[T2] = ∫ ω

0 t2 f (t) dt

diperoleh:

f (t) = − d dt

[ 0, 1(100− t)1/2

] =

0, 05√ 100− t

E[T] = ∫ 100

0 0, 1(100− t)1/2 dt = − (100− t)

3/2

15

∣∣∣∣100 0

= 200 3

∫ 100 0

t2 f (t) dt = − √

100− t(3t2 − 400t + 80000) 150

∣∣∣∣100 0

= 16000

3

sehingga

Var[T] = E[T2]− (E[T])2 = 16000 3 − (

200 3

)2 ≈ 889, 77

Jawab: D.

5. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(x) = ax2 + b, dengan domain 0 ≤ x ≤ k. Jika expected value dari X adalah 60, maka tentukan median dari X.

A. 25 √

2

B. 45 √

2

C. 49 √

2

D. 57 √

2

E. Tidak ada jawaban benar

Pembahasan: Pertama, ingat bahwa F(x) = 1− S(x), artinya F(x) = 1− ax2 − b. Lalu, karena batas bawah dan batas atas dari domain adalah 0 dan k, maka F(0) = 0 dan F(k) = 1. Artinya,

0 =1− b

1 =1− ak2 − b

5

1 A50 Periode November 2014

didapatkan b = 1 dan ak2 = −1. Lalu, tinjau nilai dari E[X] = 60, hal ini berarti:

60 = ∫ k

0 S(x) dx =

∫ k 0

ax2 + b dx = ax3

3 + bx

∣∣∣∣k 0 =

ak3

3 + bk

Dengan melakukan substitusi ak2 = −1 dan b = 1, diperoleh −k3 + bk = −k+3k

3 = 2k 3 = 60.

Artinya, k = 90 dan a = −1/8100. Dengan menggunakan formula f (x) = −S′(x) didapat

f (x) = − d dx

[ − x

2

8100 + 1 ] =

2x 8100

Modus dari X diberikan oleh persamaan:

0, 5 = ∫ Xmod

0

2x 8100

dx

0, 5 = x2

8100

∣∣∣∣Xmod 0

0, 5 = X2mod 8100

Xmod = 45 √

2

Jawab: B.

6. Jika diketahui T berdistribusi uniform di daerah [1, 3]. Tentukan Var(T).

A. 1/3

B. 1/4

C. 1/5

D. 2/3

E. 3/4

Pembahasan: Dari soal diatas, didapat a = 1 dan b = 3. Dengan menggunakan formula varians dari distribusi uniform, didapat

Var[T] = (b− a)2

12 =

(3− 1)2 12

= 4 12

= 1 3

Jawab: A.

6

1 A50 Periode November 2014

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 7 sampai dengan 10 Distribusi

f (x) = 1

2r/2Γ(r/2) x(r/2)−1e−x/2, x > 0

adalah distribusi Chi-square dengan r > 0 merupakan degrees of freedom.

7. Tentukan E[X] untuk distribusi ini.

A. r/2

B. r/4

C. r

D. 2r

E. 1/(r− 2)

Pembahasan: Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari ekspektasinya adalah sama dengan derajat kebebasannya. Artinya, E[X] = r. Jawab: C.

8. Tentukan Var[X] untuk distribusi ini.

A. r/2

B. r/4

C. r

D. 2r

E. 1/(r− 2)

Pembahasan: Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari variansnya adalah sama dengan dua kali derajat kebebasannya. Artinya, Var[X] = 2r. Jawab: D.

9. Tentukan E[X−1] untuk distribusi ini.

A. r/2

B. r/4

C. r

D. 2r

E. 1/(r− 2)

7

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan: Akan dicari nilai dari E[X−1] dengan menggunakan definisi dari ekspektasi dari suatu peubah acak X.

E[X−1] = ∫ ∞

0 x−1 f (x) dx

= ∫ ∞

0 x−1

1 2r/2Γ(r/2)

x(r/2)−1e−x/2 dx

= 1

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞ 0

x(r/2)−1−1e−x/2 dx

= 1

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞ 0

x(r−2)/2−1e−x/2 dx

Lalu, ide untuk menyelesaikan integral diatas adalah dengan membentuk fungsi gamma, di- mana

Γ(n) = ∫ ∞

0 xn−1e−x dx

Dengan memisalkan y = x/2 diperoleh dy = dx/2 dan integral berubah menjadi

E[X−1] = 2

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞ 0

(2y)(r−2)/2−1e−y dy

= 2(r−2)/2

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞ 0

y[(r−2)/2]−1e−y dy

= 2r/2−1

2r/2Γ(r/2) Γ((r− 2)/2)

= 1 2

Γ(r/2− 1) Γ(r/2)

= 1 2 (r/2− 2)! (r/2− 1)!

= 1 2

(r/2− 2)! (r/2− 1)(r/2− 2)!

= 1

2(r− 2)/2

= 1

r− 2

Jawab: E.

10. Tentukan the hazard rate, λ(x), untuk distribusi ini jika r = 2.

A. 1/2

B. 1/3

C. 1/4

8

1 A50 Periode November 2014

D. 1/8

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:

Untuk r = 2 diperoleh f (x) = e−x/2

2 . Lalu, fungsi λ(x) diberikan oleh persamaan

λ(x) = f (x) S(x)

Artinya, dicari S(x) terlebih dahulu.

S(x) = 1− ∫ x

0 f (y) dy

= 1− ∫ x

0

e−y/2

2 dy

= 1− [ −e−y/2

] ∣∣∣∣x 0

= e−x/2

Berjalan dari hasil ini,

λ(x) =

e−x/2

2 e−x/2

= 1/2

Jawab: A.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 11 sampai dengan 13 Sebuah survival distribution function (SDF) didefinisikan sebagai :

S(x) = c− x c + x

, 0 ≤ x < c

Sebuah life table dibuat berdasarkan SDF ini dengan menggunakan l0 = 100.000, dimana dalam life table ini menghasilkan l35 = 44.000.

11. Tentukan nilai dari ω dalam tabel

A. 60

B. 70

C. 80

D. 90

E. tidak ada jawaban yang benar

9

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan: Tinjau formula,

t px = Sx(t) = S0(x + t)

S0(x) =

lx+t lx

Dengan demikian,

35 p0 = S0(35) = S0(35) S0(0)

= S0(35) = c− 35 c + 35

= l35 l40

= 0, 44

Artinya, c = 90. Diperoleh nilai ω = c = 90. Jawab: D.

12. Tentukan probabilitas orang bertahan hidup mulai dari lahir sampai berusia 60.

A. 0, 1

B. 0, 2

C. 0, 3

D. 0, 4

E. 0, 5

Pembahasan: Akan dihitung 60P0 dengan menggunakan formula

t px = Sx(t) = S0(x + t)

S0(x)

sehingga,

60 p0 = S0(60) = S0(60) S0(0)

= S0(60) = 90− 60 90 + 60

= 0, 2

Jawab: B.

13. Tentukan probabilitas bahwa seorang yang berusia 10 tahun akan meninggal di antara usia 30 dan 45.

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/8

D. 1/6

E. 5/24

10

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan: Dengan menggunakan formula

t|uqx =t px −t+u px

dimana

t px = S0(x + t)

S0(x)

akan dicari nilai dari

20|15q10 =20 p10 −35 p10 = S0(30) S0(10)

− S0(45) S0(10)

dengan S0(30) S0(10)

= 90−30 90+30 90−10 90+10

= 5 8

dan S0(45) S0(10)

= 90−45 90+45 9