Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris · PDF file Jawab: B. 6.Jika diketahui T berdistribusi...

Click here to load reader

  • date post

    30-May-2020
  • Category

    Documents

  • view

    54
  • download

    17

Embed Size (px)

Transcript of Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris · PDF file Jawab: B. 6.Jika diketahui T berdistribusi...

  • Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris Persatuan Aktuaris Indonesia

    A50-Metode Statistika

    Periode 2014-2019

    Tim Penyusun:

    Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc

    Agus Sofian Eka Hidayat, M.Ed, M.Sc

    2019

  • Daftar Isi

    1 A50 Periode November 2014 3

    2 A50 Periode Juni 2015 25

    3 A50 Periode November 2015 58

    4 A50 Periode Juni 2016 95

    5 A50 Periode November 2016 126

    6 A50 Periode Mei 2017 157

    7 A50 Periode November 2017 194

    8 A50 Periode Mei 2018 230

    9 A50 Periode November 2018 257

    10 A50 Periode April 2019 292

    2

  • 1 A50 Periode November 2014

    Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 30(80− t)1/2, di dalam daerah do- main 0 ≤ t ≤ 100.

    1. Tentukan f (24)

    A. 0, 019

    B. 0, 020

    C. 0, 022

    D. 0, 025

    E. Tidak ada jawaban yang benar

    Pembahasan: Diberikan S(t) = 0, 30(80− t)1/2 untuk 0 ≤ t ≤ 100. Untuk mengerjakan soal ini, formula yang kita gunakan adalah

    f (t) = −S′(t)

    Dengan demikian, didapat:

    f (t) =− S′(t)

    = − d dt

    [ 0, 30(80− t)1/2

    ] = (0, 3)(0, 5)(80− t)1/2

    = 0, 15√ 80− t

    sehingga, f (24) = 0, 0200446 ≈ 0, 020 Jawab: B.

    2. Tentukan λ(45)

    A. 0, 0143

    B. 0, 0214

    C. 0, 0341

    3

  • 1 A50 Periode November 2014

    D. 0, 0413

    E. Tidak ada jawaban yang benar

    Pembahasan: Untuk mengerjakan soal ini, digunakan formula

    λ(t) = f (t) S(t)

    Dengan demikian, kita peroleh:

    λ(t) = f (t) S(t)

    =

    0, 15√ 80− t

    0, 30(80− t)1/2 =

    0, 5 80− t

    sehingga, λ(45) = 0, 5

    80− 45 = 0, 0142857 ≈ 0, 0143 Jawab: A.

    3. Tentukan Λ(25)

    A. 0, 1378

    B. 0, 1783

    C. 0, 1873

    D. 0, 214

    E. Tidak ada jawaban yang benar

    Pembahasan: Dengan menggunakan:

    Λ(t) = ∫ t

    0 λ(y) dy

    diperoleh

    Λ(25) = ∫ 2

    0 5

    0, 5 80− y dy = − 0, 5 ln(80− y)

    ∣∣∣∣25 0 ≈ 0, 1873

    Jawab: C.

    4. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 10(100− t)1/2, di dalam daerah domain 0 ≤ t ≤ 100. Tentukan Var(T).

    A. 333.33

    B. 666.67

    C. 777.78

    4

  • 1 A50 Periode November 2014

    D. 889.77

    E. 998.89

    Pembahasan: Dengan menggunakan formula:

    f (t) = −S′(t)

    E[T] = ∫ ω

    0 S(t) dt

    E[T2] = ∫ ω

    0 t2 f (t) dt

    diperoleh:

    f (t) = − d dt

    [ 0, 1(100− t)1/2

    ] =

    0, 05√ 100− t

    E[T] = ∫ 100

    0 0, 1(100− t)1/2 dt = − (100− t)

    3/2

    15

    ∣∣∣∣100 0

    = 200 3

    ∫ 100 0

    t2 f (t) dt = − √

    100− t(3t2 − 400t + 80000) 150

    ∣∣∣∣100 0

    = 16000

    3

    sehingga

    Var[T] = E[T2]− (E[T])2 = 16000 3 − (

    200 3

    )2 ≈ 889, 77

    Jawab: D.

    5. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(x) = ax2 + b, dengan domain 0 ≤ x ≤ k. Jika expected value dari X adalah 60, maka tentukan median dari X.

    A. 25 √

    2

    B. 45 √

    2

    C. 49 √

    2

    D. 57 √

    2

    E. Tidak ada jawaban benar

    Pembahasan: Pertama, ingat bahwa F(x) = 1− S(x), artinya F(x) = 1− ax2 − b. Lalu, karena batas bawah dan batas atas dari domain adalah 0 dan k, maka F(0) = 0 dan F(k) = 1. Artinya,

    0 =1− b

    1 =1− ak2 − b

    5

  • 1 A50 Periode November 2014

    didapatkan b = 1 dan ak2 = −1. Lalu, tinjau nilai dari E[X] = 60, hal ini berarti:

    60 = ∫ k

    0 S(x) dx =

    ∫ k 0

    ax2 + b dx = ax3

    3 + bx

    ∣∣∣∣k 0 =

    ak3

    3 + bk

    Dengan melakukan substitusi ak2 = −1 dan b = 1, diperoleh −k3 + bk = −k+3k

    3 = 2k 3 = 60.

    Artinya, k = 90 dan a = −1/8100. Dengan menggunakan formula f (x) = −S′(x) didapat

    f (x) = − d dx

    [ − x

    2

    8100 + 1 ] =

    2x 8100

    Modus dari X diberikan oleh persamaan:

    0, 5 = ∫ Xmod

    0

    2x 8100

    dx

    0, 5 = x2

    8100

    ∣∣∣∣Xmod 0

    0, 5 = X2mod 8100

    Xmod = 45 √

    2

    Jawab: B.

    6. Jika diketahui T berdistribusi uniform di daerah [1, 3]. Tentukan Var(T).

    A. 1/3

    B. 1/4

    C. 1/5

    D. 2/3

    E. 3/4

    Pembahasan: Dari soal diatas, didapat a = 1 dan b = 3. Dengan menggunakan formula varians dari distribusi uniform, didapat

    Var[T] = (b− a)2

    12 =

    (3− 1)2 12

    = 4 12

    = 1 3

    Jawab: A.

    6

  • 1 A50 Periode November 2014

    Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 7 sampai dengan 10 Distribusi

    f (x) = 1

    2r/2Γ(r/2) x(r/2)−1e−x/2, x > 0

    adalah distribusi Chi-square dengan r > 0 merupakan degrees of freedom.

    7. Tentukan E[X] untuk distribusi ini.

    A. r/2

    B. r/4

    C. r

    D. 2r

    E. 1/(r− 2)

    Pembahasan: Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari ekspektasinya adalah sama dengan derajat kebebasannya. Artinya, E[X] = r. Jawab: C.

    8. Tentukan Var[X] untuk distribusi ini.

    A. r/2

    B. r/4

    C. r

    D. 2r

    E. 1/(r− 2)

    Pembahasan: Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari variansnya adalah sama dengan dua kali derajat kebebasannya. Artinya, Var[X] = 2r. Jawab: D.

    9. Tentukan E[X−1] untuk distribusi ini.

    A. r/2

    B. r/4

    C. r

    D. 2r

    E. 1/(r− 2)

    7

  • 1 A50 Periode November 2014

    Pembahasan: Akan dicari nilai dari E[X−1] dengan menggunakan definisi dari ekspektasi dari suatu peubah acak X.

    E[X−1] = ∫ ∞

    0 x−1 f (x) dx

    = ∫ ∞

    0 x−1

    1 2r/2Γ(r/2)

    x(r/2)−1e−x/2 dx

    = 1

    2r/2Γ(r/2)

    ∫ ∞ 0

    x(r/2)−1−1e−x/2 dx

    = 1

    2r/2Γ(r/2)

    ∫ ∞ 0

    x(r−2)/2−1e−x/2 dx

    Lalu, ide untuk menyelesaikan integral diatas adalah dengan membentuk fungsi gamma, di- mana

    Γ(n) = ∫ ∞

    0 xn−1e−x dx

    Dengan memisalkan y = x/2 diperoleh dy = dx/2 dan integral berubah menjadi

    E[X−1] = 2

    2r/2Γ(r/2)

    ∫ ∞ 0

    (2y)(r−2)/2−1e−y dy

    = 2(r−2)/2

    2r/2Γ(r/2)

    ∫ ∞ 0

    y[(r−2)/2]−1e−y dy

    = 2r/2−1

    2r/2Γ(r/2) Γ((r− 2)/2)

    = 1 2

    Γ(r/2− 1) Γ(r/2)

    = 1 2 (r/2− 2)! (r/2− 1)!

    = 1 2

    (r/2− 2)! (r/2− 1)(r/2− 2)!

    = 1

    2(r− 2)/2

    = 1

    r− 2

    Jawab: E.

    10. Tentukan the hazard rate, λ(x), untuk distribusi ini jika r = 2.

    A. 1/2

    B. 1/3

    C. 1/4

    8

  • 1 A50 Periode November 2014

    D. 1/8

    E. Tidak ada jawaban yang benar

    Pembahasan:

    Untuk r = 2 diperoleh f (x) = e−x/2

    2 . Lalu, fungsi λ(x) diberikan oleh persamaan

    λ(x) = f (x) S(x)

    Artinya, dicari S(x) terlebih dahulu.

    S(x) = 1− ∫ x

    0 f (y) dy

    = 1− ∫ x

    0

    e−y/2

    2 dy

    = 1− [ −e−y/2

    ] ∣∣∣∣x 0

    = e−x/2

    Berjalan dari hasil ini,

    λ(x) =

    e−x/2

    2 e−x/2

    = 1/2

    Jawab: A.

    Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 11 sampai dengan 13 Sebuah survival distribution function (SDF) didefinisikan sebagai :

    S(x) = c− x c + x

    , 0 ≤ x < c

    Sebuah life table dibuat berdasarkan SDF ini dengan menggunakan l0 = 100.000, dimana dalam life table ini menghasilkan l35 = 44.000.

    11. Tentukan nilai dari ω dalam tabel

    A. 60

    B. 70

    C. 80

    D. 90

    E. tidak ada jawaban yang benar

    9

  • 1 A50 Periode November 2014

    Pembahasan: Tinjau formula,

    t px = Sx(t) = S0(x + t)

    S0(x) =

    lx+t lx

    Dengan demikian,

    35 p0 = S0(35) = S0(35) S0(0)

    = S0(35) = c− 35 c + 35

    = l35 l40

    = 0, 44

    Artinya, c = 90. Diperoleh nilai ω = c = 90. Jawab: D.

    12. Tentukan probabilitas orang bertahan hidup mulai dari lahir sampai berusia 60.

    A. 0, 1

    B. 0, 2

    C. 0, 3

    D. 0, 4

    E. 0, 5

    Pembahasan: Akan dihitung 60P0 dengan menggunakan formula

    t px = Sx(t) = S0(x + t)

    S0(x)

    sehingga,

    60 p0 = S0(60) = S0(60) S0(0)

    = S0(60) = 90− 60 90 + 60

    = 0, 2

    Jawab: B.

    13. Tentukan probabilitas bahwa seorang yang berusia 10 tahun akan meninggal di antara usia 30 dan 45.

    A. 1/24

    B. 1/12

    C. 1/8

    D. 1/6

    E. 5/24

    10

  • 1 A50 Periode November 2014

    Pembahasan: Dengan menggunakan formula

    t|uqx =t px −t+u px

    dimana

    t px = S0(x + t)

    S0(x)

    akan dicari nilai dari

    20|15q10 =20 p10 −35 p10 = S0(30) S0(10)

    − S0(45) S0(10)

    dengan S0(30) S0(10)

    = 90−30 90+30 90−10 90+10

    = 5 8

    dan S0(45) S0(10)

    = 90−45 90+45 9