Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan...

318
Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris Persatuan Aktuaris Indonesia A50-Metode Statistika Periode 2014-2019 Tim Penyusun: Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc Agus Sofian Eka Hidayat, M.Ed, M.Sc 2019

Transcript of Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan...

Page 1: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

Pembahasan SoalUjian Profesi AktuarisPersatuan Aktuaris Indonesia

A50-Metode Statistika

Periode 2014-2019

Tim Penyusun:

Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc

Agus Sofian Eka Hidayat, M.Ed, M.Sc

2019

Page 2: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

Daftar Isi

1 A50 Periode November 2014 3

2 A50 Periode Juni 2015 25

3 A50 Periode November 2015 58

4 A50 Periode Juni 2016 95

5 A50 Periode November 2016 126

6 A50 Periode Mei 2017 157

7 A50 Periode November 2017 194

8 A50 Periode Mei 2018 230

9 A50 Periode November 2018 257

10 A50 Periode April 2019 292

2

Page 3: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3:Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 30(80− t)1/2, di dalam daerah do-main 0 ≤ t ≤ 100.

1. Tentukan f (24)

A. 0, 019

B. 0, 020

C. 0, 022

D. 0, 025

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Diberikan S(t) = 0, 30(80− t)1/2 untuk 0 ≤ t ≤ 100. Untuk mengerjakan soal ini, formulayang kita gunakan adalah

f (t) = −S′(t)

Dengan demikian, didapat:

f (t) =− S′(t)

= − ddt

[0, 30(80− t)1/2

]= (0, 3)(0, 5)(80− t)1/2

=0, 15√80− t

sehingga, f (24) = 0, 0200446 ≈ 0, 020Jawab: B.

2. Tentukan λ(45)

A. 0, 0143

B. 0, 0214

C. 0, 0341

3

Page 4: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

D. 0, 0413

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Untuk mengerjakan soal ini, digunakan formula

λ(t) =f (t)S(t)

Dengan demikian, kita peroleh:

λ(t) =f (t)S(t)

=

0, 15√80− t

0, 30(80− t)1/2 =0, 5

80− t

sehingga, λ(45) =0, 5

80− 45= 0, 0142857 ≈ 0, 0143

Jawab: A.

3. Tentukan Λ(25)

A. 0, 1378

B. 0, 1783

C. 0, 1873

D. 0, 214

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Dengan menggunakan:

Λ(t) =∫ t

0λ(y) dy

diperoleh

Λ(25) =∫ 2

05

0, 580− y

dy = − 0, 5 ln(80− y)∣∣∣∣25

0≈ 0, 1873

Jawab: C.

4. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(t) = 0, 10(100− t)1/2, di dalam daerahdomain 0 ≤ t ≤ 100. Tentukan Var(T).

A. 333.33

B. 666.67

C. 777.78

4

Page 5: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

D. 889.77

E. 998.89

Pembahasan:Dengan menggunakan formula:

f (t) = −S′(t)

E[T] =∫ ω

0S(t) dt

E[T2] =∫ ω

0t2 f (t) dt

diperoleh:

f (t) = − ddt

[0, 1(100− t)1/2

]=

0, 05√100− t

E[T] =∫ 100

00, 1(100− t)1/2 dt = − (100− t)3/2

15

∣∣∣∣100

0=

2003

∫ 100

0t2 f (t) dt = −

√100− t(3t2 − 400t + 80000)

150

∣∣∣∣100

0=

160003

sehingga

Var[T] = E[T2]− (E[T])2 =16000

3−(

2003

)2≈ 889, 77

Jawab: D.

5. Sebuah Survival Distribution didefinisikan sebagai S(x) = ax2 + b, dengan domain 0 ≤ x ≤k. Jika expected value dari X adalah 60, maka tentukan median dari X.

A. 25√

2

B. 45√

2

C. 49√

2

D. 57√

2

E. Tidak ada jawaban benar

Pembahasan:Pertama, ingat bahwa F(x) = 1− S(x), artinya F(x) = 1− ax2 − b. Lalu, karena batasbawah dan batas atas dari domain adalah 0 dan k, maka F(0) = 0 dan F(k) = 1. Artinya,

0 =1− b

1 =1− ak2 − b

5

Page 6: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

didapatkan b = 1 dan ak2 = −1. Lalu, tinjau nilai dari E[X] = 60, hal ini berarti:

60 =∫ k

0S(x) dx =

∫ k

0ax2 + b dx =

ax3

3+ bx

∣∣∣∣k0=

ak3

3+ bk

Dengan melakukan substitusi ak2 = −1 dan b = 1, diperoleh −k3 + bk = −k+3k

3 = 2k3 = 60.

Artinya, k = 90 dan a = −1/8100. Dengan menggunakan formula f (x) = −S′(x) didapat

f (x) = − ddx

[− x2

8100+ 1]=

2x8100

Modus dari X diberikan oleh persamaan:

0, 5 =∫ Xmod

0

2x8100

dx

0, 5 =x2

8100

∣∣∣∣Xmod

0

0, 5 =X2

mod8100

Xmod = 45√

2

Jawab: B.

6. Jika diketahui T berdistribusi uniform di daerah [1, 3]. Tentukan Var(T).

A. 1/3

B. 1/4

C. 1/5

D. 2/3

E. 3/4

Pembahasan:Dari soal diatas, didapat a = 1 dan b = 3. Dengan menggunakan formula varians daridistribusi uniform, didapat

Var[T] =(b− a)2

12=

(3− 1)2

12=

412

=13

Jawab: A.

6

Page 7: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 7 sampai dengan 10Distribusi

f (x) =1

2r/2Γ(r/2)x(r/2)−1e−x/2, x > 0

adalah distribusi Chi-square dengan r > 0 merupakan degrees of freedom.

7. Tentukan E[X] untuk distribusi ini.

A. r/2

B. r/4

C. r

D. 2r

E. 1/(r− 2)

Pembahasan:Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari ekspektasinya adalahsama dengan derajat kebebasannya. Artinya, E[X] = r.Jawab: C.

8. Tentukan Var[X] untuk distribusi ini.

A. r/2

B. r/4

C. r

D. 2r

E. 1/(r− 2)

Pembahasan:Dengan menggunakan sifat dari distribusi Chi-square, diperoleh nilai dari variansnya adalahsama dengan dua kali derajat kebebasannya. Artinya, Var[X] = 2r.Jawab: D.

9. Tentukan E[X−1] untuk distribusi ini.

A. r/2

B. r/4

C. r

D. 2r

E. 1/(r− 2)

7

Page 8: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan:Akan dicari nilai dari E[X−1] dengan menggunakan definisi dari ekspektasi dari suatu peubahacak X.

E[X−1] =∫ ∞

0x−1 f (x) dx

=∫ ∞

0x−1 1

2r/2Γ(r/2)x(r/2)−1e−x/2 dx

=1

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞

0x(r/2)−1−1e−x/2 dx

=1

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞

0x(r−2)/2−1e−x/2 dx

Lalu, ide untuk menyelesaikan integral diatas adalah dengan membentuk fungsi gamma, di-mana

Γ(n) =∫ ∞

0xn−1e−x dx

Dengan memisalkan y = x/2 diperoleh dy = dx/2 dan integral berubah menjadi

E[X−1] =2

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞

0(2y)(r−2)/2−1e−y dy

=2(r−2)/2

2r/2Γ(r/2)

∫ ∞

0y[(r−2)/2]−1e−y dy

=2r/2−1

2r/2Γ(r/2)Γ((r− 2)/2)

=12

Γ(r/2− 1)Γ(r/2)

=12(r/2− 2)!(r/2− 1)!

=12

(r/2− 2)!(r/2− 1)(r/2− 2)!

=1

2(r− 2)/2

=1

r− 2

Jawab: E.

10. Tentukan the hazard rate, λ(x), untuk distribusi ini jika r = 2.

A. 1/2

B. 1/3

C. 1/4

8

Page 9: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

D. 1/8

E. Tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:

Untuk r = 2 diperoleh f (x) =e−x/2

2. Lalu, fungsi λ(x) diberikan oleh persamaan

λ(x) =f (x)S(x)

Artinya, dicari S(x) terlebih dahulu.

S(x) = 1−∫ x

0f (y) dy

= 1−∫ x

0

e−y/2

2dy

= 1−[−e−y/2

] ∣∣∣∣x0

= e−x/2

Berjalan dari hasil ini,

λ(x) =

e−x/2

2e−x/2 = 1/2

Jawab: A.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 11 sampai dengan 13Sebuah survival distribution function (SDF) didefinisikan sebagai :

S(x) =c− xc + x

, 0 ≤ x < c

Sebuah life table dibuat berdasarkan SDF ini dengan menggunakan l0 = 100.000, dimana dalam life

table ini menghasilkan l35 = 44.000.

11. Tentukan nilai dari ω dalam tabel

A. 60

B. 70

C. 80

D. 90

E. tidak ada jawaban yang benar

9

Page 10: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan:Tinjau formula,

t px = Sx(t) =S0(x + t)

S0(x)=

lx+t

lx

Dengan demikian,

35 p0 = S0(35) =S0(35)S0(0)

= S0(35) =c− 35c + 35

=l35

l40= 0, 44

Artinya, c = 90. Diperoleh nilai ω = c = 90.Jawab: D.

12. Tentukan probabilitas orang bertahan hidup mulai dari lahir sampai berusia 60.

A. 0, 1

B. 0, 2

C. 0, 3

D. 0, 4

E. 0, 5

Pembahasan:Akan dihitung 60P0 dengan menggunakan formula

t px = Sx(t) =S0(x + t)

S0(x)

sehingga,

60 p0 = S0(60) =S0(60)S0(0)

= S0(60) =90− 6090 + 60

= 0, 2

Jawab: B.

13. Tentukan probabilitas bahwa seorang yang berusia 10 tahun akan meninggal di antara usia 30dan 45.

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/8

D. 1/6

E. 5/24

10

Page 11: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan:Dengan menggunakan formula

t|uqx =t px −t+u px

dimana

t px =S0(x + t)

S0(x)

akan dicari nilai dari

20|15q10 =20 p10 −35 p10 =S0(30)S0(10)

− S0(45)S0(10)

denganS0(30)S0(10)

=90−3090+3090−1090+10

=58

danS0(45)S0(10)

=90−4590+4590−4590+45

=5

12

Atinya, diperoleh

20|15q10 =58− 5

12=

524

Jawab: E.

14. Jika the force of mortality didefinisikan sebagai :

µx =2

x + 1+

2100− x

, 0 ≤ x ≤ 100

Tentukan jumlah kematian yang terjadi diantara usia 1 dan 4 dalam life table dengan radix

10.000.

A. 2.061, 81

B. 2.081, 61

C. 2.161, 81

D. 2.181, 16

E. 2.186, 11

Pembahasan:Formula yang digunakan untuk mengerjakan soal ini adalah

t px = e−∫ t

0 µx+s ds

11

Page 12: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

lx+t =t px × lx

ndx = lx − lx+n

Akan dicari nilai dari 1d4 dengan l0 = 10.000. Pertama, dicari nilai dari µ0+s, dimana

µ0+s =2

s + 1+

2100− s

4 p0 = e−∫ 4

0 µ0+s ds = e−∫ 4

02

s+1+2

100−s ds = 0, 036864

Lalu, dicari nilai dari

p0 = e−∫ 1

0 µ0+s ds = e−∫ 1

02

s+1+2

100−s ds = 0, 245025

Kemudian, didapatl4 =4 p0 × l0 = 384, 64

l1 = p0 × l0 = 2.450, 25

sehingga,

3d1 = l1 − l4 = 2.081, 61

Jawab: B.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 15 sampai dengan 17Jika diketahui lx = 2500(64− 0, 8x)1/3, 0 ≤ x ≤ 80

15. Tentukan f (x)

A. (1/15)(0, 64− 0, 8x)2/3

B. (1/15)(0, 64− 0, 8x)−1/3

C. (1/15)(0, 64− 0, 8x)−2/3

D. (1/15)(0, 64− 0, 8x)1/3

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Pertama akan digunakan formula

S(x) =lx

l0dan

f (x) = − ddx

S(x)

12

Page 13: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Dengan demikian, didapat

f (x) = − ddx

[lx

l0

]= − d

dx

[2500(64− 0, 8x)1/3

10.000

]=

(14

)(13

)(64− 0, 8x)−2/3(−0, 8)

sehingga

f (x) =1

15(64− 0, 8x)−2/3

Jawab: C.

16. Tentukan E[X]

A. 60

B. 65

C. 70

D. 75

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Formula dari ekspektasi X adalah E[X] =

∫ ω

0S(x) dx sehingga,

E[X] =∫ 80

0

(64− 0, 8x)1/3

4dx = − 15(64− 0, 8x)4/3

64

∣∣∣∣80

0= 60

Jawab: A.

17. Tentukan Var[X]

A. 518, 2457

B. 517, 2854

C. 515, 2478

D. 514, 2857

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Formula untuk mencari Var[X] adalah

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

dimanaE[X2] =

∫ ω

0x2 f (x) dx

13

Page 14: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

danE[X] =

∫ ω

0S(x) dx

Karena nilai dari E[X] sudah diperoleh di nomor sebelumnya, maka tinggal perlu dicari nilaidari E[X2].

E[X2] =∫ 80

0x2(

115

(64− 0, 8x)−2/3)

dx = 4.114, 2857

Lalu, didapat

Var[X] = E[X2]− (E[X])2 = 4.114, 2857− 602 = 514, 2857

Jawab: D.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 18 sampai dengan 19Jika Ix = 1000

√100− x, 0 ≤ x ≤ 100

18. Hitunglah the exact value dari µ36+1/4 dengan menggunakan asumsi exponential.

A. 0, 0076109

B. 0, 0077969

C. 0, 0078905

D. 0, 0079061

E. 0, 0079217

Pembahasan:Formula yang digunakan pada bagian ini adalah

µx+s = − ln px

sehingga, bisa kita peroleh

µ36+1/4 = − ln p36

= − lnl37

l36

= − ln1000√

100− 371000√

100− 36

= 0.007874

Jawab: Tidak ada jawaban yang memenuhi.

19. Hitunglah the exact value dari µ36+1/4 dengan menggunakan asumsi hyperbolic.

14

Page 15: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

A. 0, 0076109

B. 0, 0077969

C. 0, 0078905

D. 0, 0079061

E. 0, 0079217

Pembahasan:Dengan menggunakan formula µx+s =

qx

1− (1− s)qx, didapat

µ36+1/4 =q36

1− (1− 1/4)q36

=1− p36

1− 0.75(1− p36)

=1− 1000

√100−37

1000√

100−36

1− 0.75(

1− 1000√

100−371000√

100−36

)= 0.00789

Jawab: Tidak ada jawaban yang memenuhi.

20. Jika lx = 15.120 dan qx = 1/3, maka tentukan lx+1/4

A. 13.044

B. 13.440

C. 14.034

D. 14.304

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Formula yang digunakan adalah

px = 1− qx

lx+1 = px × lx

lx+s =

(1lx

+ s(

1lx+1 − lx

))−1

Dengan melakukan substitusi angka-angka dari soal, diperoleh

px = 1− 13=

23

15

Page 16: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

lx+1 = px × lx = 10.080

dan

lx+1/4 =

(1lx

+ (1/4)(

1lx+1 − lx

))−1=

(1

15.120+

14

(1

10.080− 15.120

))−1= 13.440

Jawab: B.

21. Diketahui the expected future lifetimes dari orang yang terdiagnosa dengan LAS, ARC danAIDS masing-masing adalah 7, 24 , 6, 54 , dan 0, 92. Tentukan varians dari future lifetime.

A. 15, 53

B. 24, 84

C. 32, 92

D. 33, 33

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Formula yang digunakan

E[Tj] =1µj

Var[Tj] =1

µ2j

Dengan menggunakan panjer model, diperoleh

1µ3

= 0.92

Lalu,

1µ2b

+1

µ3= 6, 54

1µ2b

= 6, 54− 1µ3

1µ2b

= 6, 54− 0, 92

1µ2b

= 5, 62

16

Page 17: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Kemudian,

1µ2a

+1

µ2b+

1µ3

= 7, 24

1µ2a

= 7, 24− 5, 62− 0, 92

1µ2a

= 0, 7

Variansi

1µ2

2a+

1µ2

2b+

1µ2

3= (0, 92)2 + (5, 62)2 + (0, 7)2 = 32, 9208

Jawab: C.

22. Sekumpulan dari n orang diamati sampai semuanya meninggal, dengan kematian dikelom-pokkan dalam interval yang tetap. Jika Var[S(t)] = 0, 0009, Var[S(r)] = 0, 0016, dancovarians nya adalah Cov[S(t), S(r)] = 0, 0008. Tentukan E[S(t)].

A. 0, 6

B. 0, 7

C. 0, 8

D. 0, 9

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Diberikan Var[S(t)] = 0, 009, Var[S(r)] = 0, 0016, dan covarians nya adalah Cov[S(t), S(r)] =0, 0008. Formula yang digunakan adalah

Var[S(t)] = Var[

N(t)n

]=

S(t)F(t)n

Var[S(r)] = Var[

N(r)n

]=

S(r)F(r)n

Cov(S(t), S(r)) =1− S(t)S(r)

n

Dengan menggunakan persamaan untuk Var[S(t)], Var[S(r)], dan Cov(S(t), S(r)) diperoleh

n =S(t)(1− S(t))

0, 0009. . . (∗)

17

Page 18: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

n =S(r)(1− S(r))

0, 0016. . . (∗∗)

n =1− S(t)S(r)

0, 0008. . . (∗ ∗ ∗)

Dari (∗) dan (∗ ∗ ∗) diperolehS(t)

8=

S(r)9

sehingga S(r) =8S(t)

9. Lalu, dari persamaan (∗) dan (∗∗) didapat

S(r)(1− S(r))0, 0016

=S(t)(1− S(t))

0, 00098S(t)

9

(1− 8S(t)

9

)0, 0016

=S(t)(1− S(t))

0, 0009

72S(t)− 64S(t)2

81= 16S(t)− 16S(t)2

80S(t)2 = 72S(t)

S(t) =9

10

Jawab: D.

23. Jika kedua µ(d)60+t dan µ

(w)60+t adalah konstan selama 0 < t < 1, maka tentukan q(d)60 bila

diketahui q′(d)60 = q′(w)60 = 0, 20.

A. 0, 14

B. 0, 15

C. 0, 16

D. 0, 17

E. 0, 18

Pembahasan:Formula yang akan digunakan adalah

q(d)x = q′(d)x

[1− 1

2q′(w)

x

]Dengan demikian, diperoleh

q(d)60 = q′(d)60

[1− 1

2q′(w)

60

]= 0, 2(1− 1

2(0, 2)) = 0, 18

18

Page 19: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Jawab: E.

24. Anda diberi informasi berikut tentang suatu model data berkala statis (time series stationer):

ρ1 = −0, 310

ρ2 = −0, 155

ρk = 0; k = 3, 4, 5, . . .

Selain itu, Anda juga diberikan informasi: ϑ1 + ϑ2 = 0, 7. Berapakah nilai ϑ1?

A. 0, 2

B. 0, 3

C. 0, 4

D. 0, 5

E. 0, 6

Pembahasan:Soal diatas merupakan model MA(2), dimana

ρ(1) =−ϑ1 + ϑ1ϑ2

1 + ϑ21 + ϑ2

2

ρ(2) =−ϑ2

1 + ϑ21 + ϑ2

2

ρ(h) = 0, |h| > 2

Diberikan ϑ1 + ϑ2 = 0, 7 sehingga bisa diperoleh ϑ1 = 0, 7− ϑ2 Lalu, dengan menggunakanformula untuk ρ(1) dan ρ(2), didapat

−0, 31 =−ϑ1 + ϑ1ϑ2

1 + ϑ21 + ϑ2

2

Dengan substitusi, ϑ1 = 0, 7− ϑ2 kedalam persamaan sebelumnya, diperoleh

−0, 31 =−0, 7 + ϑ2 + (0, 7− ϑ2)ϑ2

1 + ϑ21 + ϑ2

2⇔ −0, 31 =

−0, 7 + 1, 7ϑ2 − ϑ22

1 + ϑ21 + ϑ2

2. . . (∗)

dan−0, 155 =

−ϑ2

1 + ϑ21 + ϑ2

2. . . (∗∗)

19

Page 20: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Berdasarkan (∗) dan (∗∗) didapat

−ϑ2

−0, 155=−0, 7 + 1, 7ϑ2 − ϑ2

2−0, 31

⇔ 0, 1085− 0, 5735ϑ2 + 0, 155ϑ22 = 0

dengan menggunakan formula penyelesaian pada persamaan kuadrat diperoleh ϑ2 = 3, 5 danϑ1 = 0, 5.Jawab: D.

25. Sepuluh pekerja PLTN yang secara tidak sengaja terkena radiasi pada tingkat yang signifikan.Suatu kematian diamati pada masing-masing t = 2 dan t = 4, dan x keluar dari pengamatanpada saat t = 3. Menggunakan estimator product limit untuk S(t), maka akan didapatkanS(5) = 0, 75. Tentukan x.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Pembahasan:Formula yang akan digunakan adalah

S(t) =m

∏j=1

(rj − dj

rj

)

untuk tm ≤ t ≤ tm+1. Dengan menggunakan formula ini, diperoleh

S(5) =4

∏j=1

(rj − dj

rj

)

0, 75 =

(910

)(9− x− 1

9− x

)0, 750, 9

=8− x9− x

56=

8− x9− x

45− 5x = 48− 6x

x = 3

Jawab: C.

20

Page 21: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

26. Hitunglah mx berdasarkan asumsi Balducci.

A. 0,11792

B. 0,31778

C. 0,11566

D. 0,10545

E. 0,21765

Pembahasan:Diketahui :lx = 900 dan lx+1 = 800

Rumus yang digunakan :

mx =(qx)2

−px · ln(px)

Proses pengerjaan :

mx =(qx)2

−px · ln(px)

=

(1− lx+1

lx

)2

− lx+1lx· ln

(lx+1

lx

)=

(1− 800

900)2

− 800900 · ln

( 800900)

= 0,117919

≈ 0,11792

Jawab: A.

27. Jika diketahui T berdistribusi seragam (uniform) di daerah [1, 3], maka tentukan Var(T).

A. 1/3

B. 1/4

C. 1/5

D. 1/6

E. tidak ada jawaban yang benar

21

Page 22: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

Pembahasan:Dari soal diatas, didapat a = 1 dan b = 3. Dengan menggunakan formula varians daridistribusi uniform, didapat

Var[T] =(b− a)2

12=

(3− 1)2

12=

412

=13

Jawab: A.

28. Dari sebuah time series, Anda diberikan data sebagai berikut:

t yt yt − y1 984 −162 1023 233 965 −354 1040 405 988 −12

Perkirakan fungsi autokorelasi pada saat perpindahan k = 2.

A. −0, 46

B. −0, 16

C. 0, 51

D. 0, 84

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Formula yang akan digunakan adalah

r1 =∑4

i=1(yt − y)(yt+1 − y)

∑5i=1(yt − y)2

r2 =∑3

i=1(yt − y)(yt+2 − y)

∑5i=1(yt − y)2

ϕ22 =r2 − r2

11− r2

1

Menggunakan formula diatas, diperoleh

r1 =(−16)(23) + (23)(−35) + (−35)(40) + (40)(−12)

(−16)2 + (23)2 + (−35)2 + (40)2 + (−12)2 = −0, 81326584

22

Page 23: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

r2 =(−16)(−35) + (23)(40) + (−35)(−12)

(−16)2 + (23)2 + (−35)2 + (40)2 + (−12)2 = 0, 5061267981

ϕ22 =r2 − r2

11− r2

1= −0, 45858 ≈ −0, 46

Jawab: A.

29. Diketahui suatu model untuk 20 data pengamatan sebagai berikut :

Y = α + βX + ε

Ditetapkan bahwa R2 = 0, 64. Hitunglah nilai dari F-statistic yang digunakan untuk mengujisuatu hubungan linier.

A. 30

B. 32

C. 34

D. 36

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Diberikan k = 2 (dimana k menyatakan banyaknya parameter). Lalu, n = 20 (n menyatakanjumlah pengamatan) dan R2 = 0, 64. Akan dihitung nilai dari F-statistic yang digunakanuntuk menguji suatu hubungan linier dari model tersebut. Formula yang digunakan adalah

F =

R2

k− 11− R2

n− k

Dengan demikian diperoleh

F =

0, 642− 1

1− 0, 6420− 2

= 32

Jawab: B.

30. Diketahui suatu informasi tentang sebuah model MA(4) sebagai berikut :

23

Page 24: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

1 A50 Periode November 2014

m = 0q1 = 1, 8q2 = −1, 110q3 = 0, 278q4 = −0, 024s2

e = 8

Tentukan standard deviasi dari perkiraan kesalahan tiga langkah ke depan (forecast error three

steps ahead).

A. 3, 6

B. 4, 9

C. 5, 8

D. 6, 6

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan:Formula yang digunakan untuk mengerjakan soal ini adalah

Var(eT(l)) =((q0)

2 + (q1)2 + . . . + (ql−1)

2)

s2e

danσeT(l) =

√Var(eT(l))

Menggunakan formula ini, dengan q0 = 1 (ingat bahwa model ARIMA memiliki mean berni-lai 0), diperoleh

Var(eT(l)) =((q0)

2 + (q1)2 + (q2)

2)

s2e =

(12 + 1, 82 + (−1, 110)2

)(8) = 43, 7768

danσeT(3) =

√43, 7768 ≈ 6, 6

Jawab: D.

24

Page 25: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

1. Jika diketahui survival function dari seseorang adalah sebagai berikut:

t px = 1− t90−x , untuk 0 ≤ t ≤ 90− x.

Hitunglah probabilita dari seseorang berumur 25 mencapai umur 80 tahun.

A. 55/65

B. 25/65

C. 5/13

D. 2/13

E. 25/13

Pembahasan:Diketahui :t = 55 dan x = 25

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

t px = 1− t90− x

, untuk 0 ≤ t ≤ 90− x

Dengan demikian diperoleh :

55 p25 = 1− 5590− 25

= 1− 5565

=1065

=213

Jawab : D

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 2 dan 3:Diketaui survival function dari X adalah S(X) = e−x(x + 1), x ≥ 0

25

Page 26: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

2. Tentukan E[X].

A. 0,25

B. 1

C. 0,5

D. 2

E. 0

Pembahasan:Diketahui :S(X) = e−x(x + 1), x ≥ 0

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

E(X) =∫ ∞

0S(x) dx

Dengan demikian diperoleh :

E(X) =∫ ∞

0S(x) dx

=∫ ∞

0e−x(x + 1) dx

= 2

Jawab : D

3. Tentukan Probability Density Function dari X.

A. e−x(x + 2)

B. e−xx2

C. e−x(x + 1)2

D. (e−x + 1)x

E. e−xx

Pembahasan:Diketahui :S(X) = e−x(x + 1), x ≥ 0

26

Page 27: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

f (x) = − ddx

S(x)

Dengan demikian diperoleh :

f (x) = − ddx

S(x)

= − ddx

(e−x(x + 1))

= −(−e−xx + e−x − e−x)

= xe−x

Jawab : E

4. Diketahui probabilita sebagai berikut:

• Probabilita dari seseorang berumur 30 mencapai umur 40 adalah 0,96

• Probabilita dari seseorang berumur 40 mencapai umur 50 adalah 0,91

• Probabilita dari seseorang berumur 50 mencapai umur 60 adalah 0,92

Hitunglah probabilita dari seseorang berumur 30 mencapai umur 60.

A. 0,8037

B. 0,8935

C. 0,8832

D. 0,8372

E. 0,8736

Pembahasan:Diketahui :

10 p30 = 0.96

10 p40 = 0.91

10 p50 = 0.92

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

t+u px = t px · u px+t

27

Page 28: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

30 p30 = 10 p30 · 20 p40

= 10 p30 · 10p40 · 10 p50

= (0.96)(0.91)(0.92)

= 0.803712

= 0.8037

Jawab : A

5. Jika diketahui:

x 29 30 31 32 33 34 35 36

px 0,99 0,98 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,90

Hitunglah probabilita seseorang yang berumur 30 mencapai umur 35.

A. 0,718819

B. 0,773512

C. 0,733489

D. 0,781325

E. 0,660140

Pembahasan:Diketahui :t = 5 dan x = 30

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

t+u px = t px · u px+t

Dengan demikian diperoleh :

5 p30 = p30 · p31 · p32 · p33 · p34

= (0.98)(0.96)(0.95)(0.94)(0.93)

= 0.781325

Jawab : D

28

Page 29: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 6 dan 7:Diketaui fungsi force of mortality µ(x) = 1

x+1 , x ≥ 0.

6. Tentukan S(x).

A. S(x) =1

x + 1, x ≥ 0

B. S(x) =x

x + 1, x ≥ 0

C. S(x) = ex+1, x ≥ 0

D. S(x) =x + 1

x, x ≥ 0

E. S(x) =1

(x + 1)2 , x ≥ 0

Pembahasan:Diketahui :

µ(x) =1

x + 1, x ≥ 0

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

t px = e−∫ t

0 µx+s ds

t px =S(x + t)

S(x)

Dengan demikian diperoleh :

t px = e−∫ t

0 µx+s ds

= e−∫ t

01

x+s+1 ds

= eln(x+1)−ln(x+t+1)

= eln( x+1x+t+1 )

=x + 1

x + t + 1

t px =S(x + t)

S(x)S(x + t)

S(x)=

x + 1x + t + 1

=1

x+t+11

x+1

Jadi, S(x) = 1x+1

29

Page 30: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Jawab : A

7. Tentukan t px.

A. t px =x + 1(x + t)

, x dan t ≥ 0

B. t px =1

(x + t + 1)2 , x dan t ≥ 0

C. t px =1

(x + t + 1), x dan t ≥ 0

D. t px =x + 1

(x + t + 1)2 , x dan t ≥ 0

E. t px =x + 1

(x + t + 1), x dan t ≥ 0

Pembahasan:Dari jawaban pada soal nomor 6 diperoleh t px =

x + 1x + t + 1

di mana x ≥ 0 dan t ≥ 0Jawab : E

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 8 dan 9:Seorang aktuaris memodelkan umur seseorang sebagai variabel acak X dengan survival func-

tion S(x) = 906−x6

906 , untuk 0 < x < 90.

8. Hitunglah e00.

A. 67,50000

B. 77,14286

C. 12,85714

D. 0,06667

E. 75,00000

Pembahasan:Diketahui :

S(x) =906 − x6

906 , untuk 0 < x < 90.

30

Page 31: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

t px =S(x + t)

S(x)

e00 =

∫ ω

0t p0 dt

Dengan demikian diperoleh :

t px =S(x + t)

S(x)

=

906 − (x + t)6

906

906 − x6

906

=906 − (x + t)6

906 − x6

t p0 =906 − t6

906

= 1−(

t90

)6

e00 =

∫ 90

0t p0 dt

=∫ 90

01−

(t

90

)6dt

= 77,14286

Jawab : B

9. Hitunglah Var(X).

A. 6.075

B. 5.951,02

C. 5.625,00

D. 247,9592

E. 123,9796

Pembahasan:

31

Page 32: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

f (x) = − ddx

S(x)

E[X] = e00

E[X2] =∫ ω

0x2 f (x) dx

Var(x) = E[X2]− (E[X])2

Dengan demikiand diperoleh :

S(x) = 1−( x

90

)6

f (x) = − ddx

(1−

( x90

)6)

=6x5

906

=1

15

( x90

)5

E[X] = e00

= 77,14286

E[X2] =∫ 90

0x2 · 1

15

( x90

)5dx

=1

15· 1

905

∫ 90

0x7 dx

=1

(15)(905)

(18(90)8

)= 6075

Var(x) = E[X2]− (E[X])2

= 6075− (77,14286)2

= 123,9796

Jawab : E

10. Untuk sebuah studi mortalita dengan data yang tidak lengkap, diperoleh data sebagai berikut:

32

Page 33: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Waktu(t)Jumlah Kematian

(Number of Deaths)Jumlah Risiko

(Number of Risk)

3 1 50

5 3 49

6 5 k

10 7 21

Jika diketahui pula bahwa estimasi Nelson-Aalen dari survival function pada waktu t = 10adalah 0,575, tentukan k.

A. 48

B. 40

C. 36

D. 32

E. 25

Pembahasan:Diketahui :S(10) = 0,575

Waktu(t)Jumlah Kematian

(Number of Deaths)Jumlah Risiko

(Number of Risk)

3 1 50

5 3 49

6 5 k

10 7 21

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

H(10) =4

∑j=1

Sj

Rj

S(10) = e−H(10)

33

Page 34: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

H(10) =4

∑j=1

Sj

Rj

=1

50+

349

+5k+

721

=5k+

30477350

S(10) = e−H(10)

H(10) = −ln(S(10)

)5k+

30477350

= −ln(0,575)

5k

=30477350

− ln(0,575)

5k

= 0,1388274151

k =5

0,1388274151= 36,016

≈ 36

Jawab : C

11. Dari 100 orang yang hidup dengan umur eksak x, 2 orang diamati meninggal dalam estimasi(x, x + 1] dan 98 tetap hidup sampai umur x + 1. Kematian muncul pada umur x + 0,3dan x + 0,7. Estimasikan nilai qx dengan asumsi force of mortality adalah konstan dalam(x, x + 1].

A. 0,020881

B. 0,020039

C. 0,019999

D. 0,030454

E. 0,010562

Pembahasan:Diketahui dari 100 orang yang hidup dengan umur eksak x:

• 2 orang diamati meninggal dalam estimassi interval (x, x + 1].

• 98 tetap hidup sampai umur x + 1.

34

Page 35: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

• Kematian muncul pada umur x + 0,3 dan x + 0,7.

Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

q(x) =dx

nx − (1− s)cx

Dengan demikian diperoleh:

q(x) =dx

nx − (1− s)cx

=2

100− (1− 0, 3)(1)− (1− 0, 7)(1)= 0, 020

≈ 0, 019999

Jawab : C

12. Dalam sebuah studi data lengkap, estimasi Nelson-Aalen dari Λ(t) yang segera mengikutikematian ke-2 adalah 13/42.Hitunglah estimasi dari Λ(t) yang segera mengikuti kematian ke-4.

A. 0,950000

B. 0,759524

C. 0,634524

D. 0,545635

E. 0,478968

Pembahasan:Diketahui bahwa dalam sebuah studi data lengkap, estimasi Nelson-Aalen dari Λ(t) yangsegera mengikuti kematian ke-2 adalah 13/42.

Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

Λ(t) =m

∑j=1

1rj

, tm ≤ t < tm+1

S(t) = exp[−Λ(t)]

Dengan demikian diperoleh:

35

Page 36: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Λ(2) =2

∑j=1

1rj

1342

=1n+

1n− 1

=n− 1 + n

n2 − n=

2n− 1n2 − n

13n2 − 13n = 84n− 42

13n2 − 97n + 42 = 0

(13n− 6)(n− 7) = 0

Karena nilai n harusah bilangan bulat, maka dipilih n = 7. Oleh karena itu kita dapatkan:

Λ(4) =4

∑j=1

1rj

=17+

16+

15=

14= 0, 759524

Jawab : B

13. Diketahui survival function S(x) sebagai berikut:

S(x) = 1, 0 ≤ x < 1

S(x) = 1−{

ex

100

}, 1 ≤ x < 4.5

S(x) = 0, 4.5 ≤ x

Hitunglah µ(4).

A. 1,202553

B. 0,908307

C. 0,545982

D. 0,454018

E. 0,251338

Pembahasan:Diketahui bahwa:

S(x) = 1, 0 ≤ x < 1

S(x) = 1−{

ex

100

}, 1 ≤ x < 4.5

S(x) = 0, 4.5 ≤ x

Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

36

Page 37: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

µ(x) = − 1S(x)

.d

dxS(x)

Dengan demikian diperoleh:

µ(4) = − 1S(4)

.d

dxS(4)

= − 1

1− e4

100

.d

dx

(1− ex

100

)x=4

=100

100− e4 .e4

100= 1, 202553

Jawab : A

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 14 s.d. 16:Dalam sebuah life table diketahui lx = 900 dan lx+1 = 800.

14. Hitunglah mx berdasarkan asumsi UDD (Uniform Distribution of Deaths).

A. 0,21792

B. 0,10526

C. 0,31757

D. 0,11568

E. 0,11765

Pembahasan:Diketahui :lx = 900 dan lx+1 = 800

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

mx =dxLx

Untuk asumsi UDD

Lx = lx −12

dx

37

Page 38: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

mx =dxLx

=lx − lx+1

lx − 12 (lx − lx+1)

=900− 800

900− 12 (900− 800)

=100850

= 0,117647

≈ 0,11765

Jawab : E

15. Hitunglah mx berdasarkan asumsi Constant Force.

A. 0,10536

B. 0,11778

C. 0,31746

D. 0,21768

E. 0,11561

Pembahasan:Diketahui :lx = 900 dan lx+1 = 800

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

µ = −ln(px)

mx = µ

38

Page 39: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

mx = µ

= −ln(px)

= −ln(

lx+1

lx

)= −ln

(800900

)= 0,117783

≈ 0,11778

Jawab : B

16. Hitunglah mx berdasarkan asumsi Balducci.

A. 0,11792

B. 0,31778

C. 0,11566

D. 0,10545

E. 0,21765

Pembahasan:Diketahui :lx = 900 dan lx+1 = 800

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

mx =(qx)2

−px · ln(px)

39

Page 40: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

mx =(qx)2

−px · ln(px)

=

(1− lx+1

lx

)2

− lx+1lx· ln

(lx+1

lx

)=

(1− 800

900)2

− 800900 · ln

( 800900)

= 0,117919

≈ 0,11792

Jawab : A

17. Diketahui 100 orang masuk dalam estimasi interval (20, 21] pada umur eksak 20. Tidak adayang dijadwalkan untuk keluar sebelum umur eksak 21, tetappi terdapat satu orang meninggal(death) dan tiga orang ditarik secara acak (random withdrawals) yang diamati sebelum umur21. Dengan menggunakan asumsi distribusi uniform untuk kedua kejadian acak tersebut, esti-masikan nilai qt(d)

20 .

A. 0,0104622

B. 0,0103693

C. 0,0102427

D. 0,0101531

E. 0,0101015

Pembahasan:Diketahui bahwa:

• 100 orang masuk dalam estimasi interval (20, 21] pada umur eksak 20.

• Tidak ada yang dijadwalkan untuk keluar sebelum umur eksak 21, tetappi terdapat satuorang meninggal (death) dan tiga orang ditarik secara acak (random withdrawals) yangdiamati sebelum umur 21.

Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

qx =dx

nx − (1− s)cx + (1− r)kx

40

Page 41: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan menggunakan asumsi distribusi seragam (uniform) :

q′(d)x = b−√

b2 − 2q(d)x , b = 1− 0.5q(w)x + 0.5q(d)x

Dengan demikian diperoleh:

q(w)20 =

3100

= 0.03

q(d)20 =1

100= 0.01

b = 1− 0.5q(w)20 + 0.5q(d)20 = 1− 0.5(0.03) + 0.5(0.01) = 0.99

q′(d)20 = b−√

b2 − 2q(d)20 = 0.99−√(0.99)2 − 2(0.01) = 0.01015307

≈ 0.0101531

Jawab : D

18. Dengan menggunakan data nomor 17 di atas, estimasikan nilai qt(d)20 dengan menggunakan

distribusi exponential untuk kejadian meninggal dan penarikan tersebut.

A. 0,0216831

B. 0,0101017

C. 0,0101536

D. 0,0101145

E. 0,0100721

Pembahasan:Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

qx =dx

nx − (1− s)cx + (1− r)kx

Dengan menggunakan asumsi distribusi eksponensial :

q′(d)x = 1−(

p(τ)x

) q(d)xq(d)x +q(w)

x , p(τ)x = 1− q(d)x + q(w)x

Dengan demikian diperoleh:

p(τ)x = 1− q(d)x + q(w)x = 1− 0.01− 0.03 = 0.96

q′(d)x = 1−(

p(τ)x

) q(d)xq(d)x +q(w)

x = 1− (0.96)0.01

0.01+0.03 = 0.010153599 ≈ 0.0101536

41

Page 42: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Jawab : C

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 19 s.d 20:Sebuah sampel dari 10 tikus laboratorium menghasilkan data kematian (dalam hari) sebagaiberikut: 3, 4, 6, 8, 9, 10, 10, 11, 12.Diketahui pula survival model yang terjadi berdistribusi exponensial.

19. Estimasikan nilai λ dengan metode moments.

A. 0,145812

B. 0,131579

C. 0,123457

D. 0,117647

E. 0,092420

Pembahasan:Diketahui :Data sample kematian (dalam hari) sebagai berikut: 3, 4, 6, 8, 9, 10, 10, 11, 12.

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

λ =1

1n

n

∑i=1

xi

Dengan demikian diperoleh :

λ =1

1n

n

∑i=1

xi

=1

110 (3 + 4 + 6 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 12)

= 0,123457

Jawab : C

20. Estimasikan nilai λ dengan metode medians.

A. 0,085000

42

Page 43: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

B. 0,081547

C. 0,085574

D. 0,092420

E. 0,087354

Pembahasan:Diketahui :Data sample kematian (dalam hari) sebagai berikut: 3, 4, 6, 8, 9, 10, 10, 11, 12.

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

xg = (1− h)xj + h · xj+1

F(xg) = 1− e−xgλ

Dengan demikian diperoleh :

x0,5 = (1− 0,5)x5 + 0,5 · x6

= (0,5)(8) + (0,5)(9)

= 8,5

F(x0,5) = 1− e−x0,5λ

0,5 = 1− e−x0,5λ

e−x0,5λ = 0,5

−x0,5λ = ln(0,5)

λ =ln(0,5)−x0,5

=ln(0,5)−8,5

= 0,081547

Jawab : B

21. Jika diketahui 2 deret waktu (times series) xt dan yt, yang masing-masing diasumsikan ran-

dom walk. Manakah di antara pernyataan berikut yang benar ?

A. Tidak ada kombinasi linear dari 2 deret waktu ini yang dapat bersifat stationary.

B. Deret waktu zt = xt − λyt selalu bersifat stationary untuk nilai λ tertentu.

43

Page 44: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

C. Deret waktu zt = xt − λyt dapat bersifat stationary untuk nilai λ tertentu dan dapatdiestimasi dengan menjalankan regresi least square biasa dari xt pada yt.

D. Deret waktu zt = xt − λyt dapat bersifat stationary untuk nilai λ tertentu dan dapatditentukan secara presisi menggunakan teknik regresi.

E. Tidak ada pernyataan yang benar.

Pembahasan:Jika diketahui 2 deret waktu xt dan yt, di mana masing-masing diasumsikan random walk,maka pernyataan yang benar di antara kelima pilihan tersebut adalah pilihan C, yaitu deretwaktu zt = xt − λyt dapat bersifat stationary untuk nilai λ tertentu dan dapat diestimasi den-gan menjalankan regresi least square biasa dari xt pada yt.

Jawab : C

22. Anda mencocokkan model berikut ini dalam 48 pengamatan:

Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε

Diketahui data sebagai berikut:

Sumber Variasi(Source of Variation)

Tingkat Kebebasan(Degree of Freedom)

Jumlah Kuadrat(Sum of Squares)

Regresi (Regression) 3 103.658

Residual(Error) 44 69.204

Hitunglah nilai R2, yaitu R2 yang dikoreksi.

A. 0,53

B. 0,54

C. 0,55

D. 0,56

E. 0,57

Pembahasan:Diketahui :n = 48RSS = 69.204ESS = 103.658k = 4

44

Page 45: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

TSS = RSS + ESS

R2 =ESSTSS

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)n− k

Dengan demikian diperoleh :

TSS = 69.024 + 103.658

= 172.862

R2 =ESSTSS

=103.658172.862

= 0,5996575303

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)n− k

= 1− (1− 0,5996575303)(48− 1)48− 4

= 0,5723614528

≈ 0,57

Jawab : E

23. Diketahui informasi sebagai berikut:

(i). yi = βxi + εi

Var(εi) =( xi

2

)2

(ii).i xi yi

1 1 7

2 2 5

3 3 2

4 4 -3

Tentukan nilai estimasi weighted least square dari β.

45

Page 46: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

A. 2,35

B. 2,52

C. 2,63

D. 2,83

E. 3,12

Pembahasan:Diketahui :

yi = βxi + εi

Var(εi) =( xi

2

)2

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

wi =1σ2

=1

Var(εi)

β =

n

∑i=1

wi · xi · yi

n

∑i=1

wi · x2i

Dengan demikian diperoleh :

i xi yi Var(εi) wi wi · xi · yi x2i wi · x2

i

1 1 7 0,25 4 28 1 4

2 2 5 1 1 10 4 4

3 3 2 2,25 0,4444 2,6664 9 3,9996

4 4 -3 4 0,25 -3 16 4

Total 10 11 7,5 5,6944 37,66643 30 15,9996

46

Page 47: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

β =

n

∑i=1

wi · xi · yi

n

∑i=1

wi · x2i

=37,666415,9996

= 2,3542

≈ 2, 35

Jawab : A

24. Anda menggunakan moving average 3 titik untuk memperkirakan nilai dari sebuah deretwaktu. Tiga angka terakhir yang dicatat dari sebuah deret waktu adalah sebagai berikut:y98 = 101y99 = 99y100 = 102Hitunglah y105− y104, yaitu selisih antara nilai forecast dari 5 langkah ke depan dan 4 langkahke depan.

A. −0,04

B. 0,04

C. −0,03

D. 0,03

E. 0,01

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

yt =1n

t−1

∑i=t−n

yi

47

Page 48: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh:

yt+1 = y101 =yt−2 + yt−1 + yt

3=

y98 + y99 + y100

3=

101 + 99 + 1023

= 100.6667

yt+2 = y102 =yt−1 + yt + yt+1

3=

y99 + y100 + y101

3=

99 + 102 + 100.66673

= 100.5556

yt+3 = y103 =yt + yt+1 + yt+2

3=

y100 + y101 + y102

3=

102 + 100.6667 + 100.55563

= 101.0741

yt+4 = y104 =y101 + y102 + y103

3=

100.6667 + 100.5556 + 101.07413

= 100.7654

yt+5 = y105 =y102 + y103 + y104

3=

100.5556 + 101.0741 + 100.76543

= 100.7984

Oleh karena itu didapatkan:

y105 − y104 = 100.7984− 100.7654 = 0.033 ≈ 0.03

Jawab : D

25. Anda diberikan dua model random walk yang identik dalam segala aspek, kecuali yang satumengandung sebuah parameter drift positif yang diketahui dan yang lainnya tidak mengan-dung parameter drift. Manakah di antara pernyataan berikut ini yang tidak benar?

A. Untuk model random walk tanpa drift, semua nilai forecast dari waktu T adalah sama.

B. Untuk model random walk tanpa drift, standard error nilai forecast dari waktu T naikketika horison forecast naik.

C. Untuk model random walk dengan drift, nilai forecast dari waktu T akan naik secara linierketika horison forecast naik.

D. Untuk model random walk dengan drift, standard error nilai forecast dari waktu T samadengan standard error nilai forecast yang bersesuaian untuk model random walk tanpadrift

E. Untuk model random walk dengan drift, standard error nilai forecast dari waktu T akannaik atau turun, tergantung dengan parameter drift, ketika horison forecast naik.

Pembahasan:Diketahui :Dua model random walk yang identik dalam segala aspek, kecuali model pertama mengan-dung sebuah parameter drift positif yang diketahui sedangkan model lainnya tidak mengan-dung parameter drift.

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

48

Page 49: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

1. Sifat model random walk tanpa drift

• Model : yt = yt−1 + εt

• PeramalanyT+1 = E(yT+1|yT , . . . , y1)

= yT + E(εT+1)

= yT

yT+2 = E(yT+2|yT+1, . . . , y1)

= E(yT+1 + εT+2)

= E(yT + εT+1 + εT+2)

= yT

Untuk peramalam l periode juga menghasilkan yT+1 = yT

• Standard errore1 = yT+1 − yT+1

= yT + εT+1 − yT

= εT+1

e2 = yT+2 − yT+2

= yT + εT+1 + εT+2 − yT

= εT+1 + εT+2

Seterusnya sampai standard error ke-l

2. Sifat model random walk dengan drift

• Model : yt = yt−1 + d + εt

• PeramalanyT+1 = E(yT+1|yT , . . . , y1)

= yT + d + E(εT+1)

= yT + d

yT+2 = E(yT+2|yT+1, . . . , y1)

= E(yT+1 + d + εT+2)

= E(yT + d + d + εT+1 + εT+2)

= yT + 2d

Untuk peramalan l periode akan menghasilkan yT+1 = yT + ld

• Standard error

49

Page 50: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

e1 = yT+1 − yT+1

= yT + d + εT+1 − yT − d= εT+1

e2 = yT+2 − yT+2

= yT + d + d + εT+1 + εT+2 − yT − d− d= εT+1 + εT+2

Seterusnya sampai standard error ke-l

Berdasarkan sifat-sifat di atas maka yang salah adalah pilihan B karena jika model random

walk mengandung sebuah parameter drift positif maka standard error nilai forecast dari waktuT akan selalu naik sesuai dengan sifatnya.

Jawab : B

26. Anda mencocokkan model moving average order pertama yang invertible ke dalam deretwaktu. Koefisien autocorrellation dari sample lag 1 adalah −0,35. Hitunglah tebakan awaluntuk θ (yaitu parameter moving average).

A. 0,2

B. 0,4

C. 0,6

D. 0,8

E. 1,0

Pembahasan:Diketahui :Diketahui model MA order pertama dengan ρ1 = −0,35.Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

ρ1 =−θ

1 + θ2

50

Page 51: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

ρ1 =−θ

1 + θ2

−0,35 =−θ

1 + θ2

−0,35 + 0,35θ2 = θ

0,35θ2 − θ + 0,35 = 0

35θ2 − 100θ + 35 = 0

θ1,2 =100±

√1002 − 4(35)2

2(35)

Diperoleh θ = 0,4083674 ≈ 0,4 atau θ = 2,4488 ≈ 2,45. Jadi, nilai θ yang dimaksud adalah0,4.

Jawab : B

27. Diketahui hasil dari regresi linier sebagai berikut:

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

1 75,0 75,6

2 69,0 70,6

3 72,0 70,9

4 74,0 74,0

5 65,0 66,0

Hitunglah estimasi koefisien korelasi deret lag 1 (lag 1 serial correllation coefficient) untukresidual, menggunakan statistik Durbin-Watson.

A. -0,01

B. -0,02

C. 0,01

D. 0,03

E. 0,06

Pembahasan:Diketahui :

51

Page 52: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

1 75,0 75,6

2 69,0 70,6

3 72,0 70,9

4 74,0 74,0

5 65,0 66,0

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

εt = actual− fitted

d =

n

∑t=2

(εt − εt−1)2

n

∑t=1

(εt)2

p = 1− d2

Dengan demikian diperoleh :

52

Page 53: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

εt ε2t (εt − εt−1)

2

1 75,0 75,6 −0,6 0,36 0

2 69,0 70,6 −1,6 2,56 1

3 72,0 70,9 1,1 1,21 7,29

4 74,0 74,0 0 0 1,21

5 65,0 66,0 −1 1 1

text 5,13 10,5

d =

n

∑t=2

(εt − εt−1)2

n

∑t=1

(εt)2

=10,55,13

= 2,046783626

p = 1− d2

= 1− 2,0467836262

= −0,023391813

≈ −0,02

Jawab : B

28. Misalkan Anda melakukan smoothing deret waktu yt menggunakan metode exponential smooth-

ing 2 parameter dari Holt:

t yt yt rt

1995 120,50 117,50 12,00

1996 135,00 130,88 12,96

1997 147,70 144,80 13,64

1998 146,60 y1998 r1998

Hitunglah forecast 2 periode y2000 dengan terlebih dahulu melengkapi tabel di atas denganderet exponential 2 parameter dari Holt.

A. Lebih kecil dari 166

B. Paling sedikit 166, tetapi lebih kecil dari 172

53

Page 54: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

C. Paling sedikit 172, tetapi lebih kecil dari 176

D. Paling sedikit 176, tetapi lebih kecil dari 180

E. Paling sedikit 180

Pembahasan:Diketahui :

Smoothing deret waktu yt menggunakan metode exponential smoothing 2 parameter dariHolt.

t yt yt rt

1995 120,50 117,50 12,00

1996 135,00 131,15 12,99

1997 147,70 145,21 13,63

1998 146,60 y1998 r1988

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

yt = αyt + (1− α)(yt−1 + rt−1)

rt = γ(yt − yt−1) + (1− γ)rt−1

yT+l = yr + lrT

Dengan demikian diperoleh :

y1996 = αy1996 + (1− α)(y1995 + r1995)

131,15 = 135α + (1− α)(117,5 + 12)

131,15 = 135α + 129,5α− 129,5α

5,5α = 1,65

α = 0,3

r1996 = γ(y1996 − y1995) + (1− γ)r1995

12,99 = γ(131,15− 117,5) + (1− γ)12

12,99 = 13,65γ + 12− 12γ

1,65γ = 0,99

γ = 0,6

54

Page 55: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

y1998 = αy1998 + (1− α)(y1997 + r1997)

= 0,3(146,6) + 0,7(145,21 + 13,63)

= 155,168

r1998 = γ(y1998 − y1997) + (1− γ)r1997

= 0,6(155,168− 145,21) + 0,4(13,63)

= 11,4268

y1998+2 = y1998 + 2r1998

= 155,168 + 2 · 11,4268

= 178,0216

Jawab : D

29. Sebuah tabular survival model didefinisikan oleh nilai px sebagai berikut:

x px

0 0,9

1 0,8

2 0,5

3 0,2

4 0,1

5 0,0

Berapakah nilai dari ω dalam tabel ini ?

A. 0

B. 1

C. 4

D. 5

E. 6

Pembahasan:Diketahui :

55

Page 56: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

x px

0 0,9

1 0,8

2 0,5

3 0,2

4 0,1

5 0,0

Berdasarkan keterangan pada tabel, diketahui bahwa p5 = 0. Hal ini berarti peluang dariorang yang saat ini berusia 5 tahun akan hidup hingga 1 tahun ke depan adalah 0. Dengankata lain, seseorang yang saat ini berusia 5 tahun, pasti akan meninggal dalam kurun waktu1 tahun mendatang. Artinya, batas usia maksimum dari kelompok tersebut, yang dinotasikandengan ω adalah 6.

Jawab : E

30. Misalkan ekspektasi harapan hidup dari seseorang yang terdiagnosa menderita penyakit LAS(Lymphadenopath Syndrome), ARC (AIDS-Related Complex), dan AIDS (Acquired ImmuneDeficiency Syndrome) berturut-turut adalah 6,89, 5,71, dan 0,93. Hitunglah varians dari hara-pan hidup dari seseorang yang terdiagnosa menderita LAS menggunakan model dari Panjer.

A. 25,11

B. 15,53

C. 32,92

D. 33,33

E. 17,59

Pembahasan:Diketahui :Ekspektasi harapan hidup dari seseorang yang terdiagnosa menderita penyakit LAS (Lym-phadenopath Syndrome), ARC (AIDS-Related Complex), dan AIDS (Acquired Immune De-ficiency Syndrome) berturut-turut adalah 6,89, 5,71, dan 0,93.

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

E[Tj] =1µj

Var[Tj] =1

µ2j

56

Page 57: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

2 A50 Periode Juni 2015

Dengan demikian diperoleh :

1µ3

= 0,93

1µ2b

+1

µ3= 5,71

1µ2b

+ 0,93 = 5,71

1µ2b

= 4,78

1µ2a

+1

µ2b+

1µ3

= 6,89

1µ2a

+ 4,78 + 0,93 = 6,89

1µ2a

= 1,18

Var[Tj] =1

µ22a

+1

µ22b

+1

µ23

= 1,182 + 4,782 + 0,932

= 25,1057

≈ 25,11

Jawab : A

57

Page 58: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

1. Diketahui life table sebagai berikut:

x lx

40 100

41 95

42 85

Hitunglah Force of Mortality dari orang yang berumur 40,60 (empat puluh koma enam) tahundengan menggunakan asumsi Uniform Distribution of Death sepanjang tahun (dibulatkan 4desimal)

A. 0,1026

B. 0,1054

C. 0,0515

D. 0,1112

E. 0,2512

Pembahasan:Diketahui :

x lx

40 100

41 95

42 85

Rumus yang digunakan :

Uniform Distribution of Death

tqx =lx − lx+1

lx

µx+s =qx

1− s · qx

58

Page 59: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

q40 =100− 95

100= 0,05

µ40,60 =0, 05

1− 0, 60 · 0, 05= 0,051546

Jawab : C.

2. Berdasarkan life table pada soal nomor 1, hitunglah Force of Mortality dari orang yang beru-mur 41,25 (empat puluh satu koma dua lima) tahun dengan menggunakan asumsi Constant

Force of Mortality sepanjang tahun (dibulatkan 4 desimal).

A. 0,1026

B. 0,1054

C. 0,0516

D. 0,1112

E. 0,2512

Pembahasan:Diketahui :

x lx

40 100

41 95

42 85

Rumus yang digunakan :

Constant Force of Mortality

tqx =lx − lx+1

lx

t px = 1− tqx

µx+s = −ln(px)

59

Page 60: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

tqx =95− 85

95

=219

µx+s = −ln(1− 219

)

= 0,111226

Jawab : C.

3. Diketahui life table sebagai berikut:

x lx

20 100

21 96

22 80

Jika tingkat mortalita diasumsikan secara Uniform Distribution of Death pada setiap umur,hitunglah probabilitas seseorang yang berumur 20,75 (dua puluh koma tujuh lima) tahun akanmeninggal dalam 1 tahun.

A. 0,0658

B. 0,0977

C. 0,0932

D. 0,1240

E. 0,1340

Pembahasan:Diketahui :

x lx

20 100

21 96

22 80

Rumus yang digunakan :

t px = t+x p0

t px = px px+1 px+2 · · · px+t−1

60

Page 61: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Untuk Uniform Distibution of Death dan usia bukan bilangan bulat

s px = 1− s · qx

s px+t =s+t px

t px=

s+t px

1− t · qx

Dengan demikian diperoleh :

q20,75 = 1− 1,75 p20

0,75 p20

= 1− p20 · 0,75 p20

0,75 p20

= 1−(1− 0,04)(1− 0,75( 1

6 ))

1− 0,75(0,04)= 1− 0,865979

= 0,134021

Jawab : E.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 4 s.d 6: Suatu survival dis-tribution function (SDF) didefinisikan sebagai berikut:S(x) = c−x

c+x , 0 ≤ x ≤ c.Sebuah life table dibangun berdasarkan SDF ini dengan menggunakan l0 = 100.000. Nilai_40 dalam life table ini adalah 36.000

4. Berapakah nilai ω dalam table ini?

A. 98

B. 85

C. 83

D. 80

E. 78

Pembahasan:Diketahui :

S(x) =c− xc + x

, 0 ≤ x ≤ c

l0 = 100.000

l40 = 36.000

61

Page 62: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Rumus yang digunakan :

lx = l0 · S(x)

ω adalah x terkecil yang menyebabkan S(x) = 0

Dengan demikian diperoleh :

l40 = l0 · S(40)l40

l0= S(40)

l40

l0=

c− 40c + 40

36c + 1440 = 100c− 4000

c =544064

= 85

S(ω) =85−ω

85 + ω= 0

ω = 85

Jawab : B.

5. Hitunglah probabilitas dari seseorang yang akan tetap hidup dari sejak kelahirannya sampaidengan umur 75 tahun.

A. 0,4150

B. 0,2000

C. 0,1125

D. 0,0625

E. 0,0336

Pembahasan:Diketahui :

S(x) =85− x85 + x

, 0 ≤ x ≤ 85

62

Page 63: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Rumus yang digunakan :

t px =S(x + t)

S(x)

e◦x =∫ ∞

0t px dt

Dengan demikian diperoleh :

t px =S(x + t)

S(x)

=85−x−t85+x+t

85−x85+x

=85− x− t85 + x + t

· 85 + x85− x

75 p0 =85− 7585 + 75

· 8585

=10160

= 0,0625

Jawab : D.

6. Hitunglah probabilitas dari seseorang yang berumur 15 tahun akan meninggal antara umur 51dan 65 tahun.

A. 2/15

B. 1/6

C. 1/8

D. 4/27

E. 2/9

Pembahasan:Diketahui :

S(x) =85− x85 + x

, 0 ≤ x ≤ 85

t px = f rac85− x− t85 + x + t · 85 + x85− x

Rumus yang digunakan :

n|mqx = n px · mqx+n

63

Page 64: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

35|15q15 = 35 p15 · 15q50

= 36 p15 · (1− 14 p51)

=85− 15− 3685 + 15 + 36

· 85 + 1585− 15

·(

1− 85− 51− 1485 + 51 + 14

· 85 + 5185− 51

)=

34136· 100

70·(

1− 20150· 136

34

)=

16

Jawab : B.

7. Diketahui fungsi force of mortality µ(x) = 1x+1 , x ≥ 0.

Tentukan PDF (probability density function) dari X.

A. 1x+1 , x ≥ 0

B. xx+1 , x ≥ 0

C. ex+1, x ≥ 0

D. x+1x , x ≥ 0

E. 1(x+1)2 , x ≥ 0

Pembahasan:Diketahui :

µ(x) =1

x + 1, x ≥ 0

Rumus yang digunakan :

f (x) = µ(x) · exp[−∫ x

0µ(t) dt

]Dengan demikian diperoleh :

f (x) = µ(x) · exp[−∫ x

0µ(t) dt

]=

1x + 1

· exp[−∫ x

0

1t + 1

dt]

=1

x + 1· exp[−ln(x + 1)]

=1

(x + 1)2

Jawab : E.

64

Page 65: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

8. Jika diketahui qxt(d) = 0,2 dan qx

t(w) = 0,4, hitunglah qx(t)

A. 0,08

B. 0,32

C. 0,12

D. 0,92

E. 0,52

Pembahasan:Diketahui :

q′(d)x = 0,2

q′(w)x = 0,4

Rumus yang digunakan :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)q(w)

x = q′(w)x

(1− 1

2q′(d)x

)q(τ)x = q(d)x + q(w)

x

Dengan demikian diperoleh :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)= 0,2

(1− 0,4

2

)= 0,16

q(w)x = q

′(w)x

(1− 1

2q′(d)x

)= 0,4

(1− 0,2

2

)= 0,36

q(τ)x = q(d)x + q(w)x

= 0,16 + 0,36

= 0,52

Jawab : E.

65

Page 66: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

9. Jika µ(d)50+t dan µ

(w)50+t bernilai konstan pada 0 < t < 1, hitunglah q(d)60 jika diketahui qr(d)

60 =

qr(w)60 = 0,3.

A. 0,180

B. 0,342

C. 0,255

D. 0,168

E. 0,088

Pembahasan:Diketahui :

µ(d)70+t dan µ

(w)70+t adalah konstan pada 0 < t < 1

µ′(d)70 = µ

′(w)70 = 0,3

Rumus yang digunakan :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)Dengan demikian diperoleh :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)= 0,3

(1− 0,3

2

)= 0,255

Jawab : C.

10. Dalam sebuah studi data lengkap, dengan hanya satu kematian pada setiap titik kematian, Λ(t)diestimasi dengan menggunakan metode Nelson-Aalen. Jika diketahui Λ(tk) = 0,7127475dan Λ(tk+1) = 0,79608083, hitunglah Λ(tk+2) = 0 (dibulatkan 4 desimal).

A. 0,4393

B. 0,8870

C. 0,4283

D. 0,3914

E. 0,7733

Pembahasan:Diketahui :

66

Page 67: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Estimasi Nelson-Aalen

Λ(tk) = 0,7127475

Λ(tk+1) = 0,79608083

Rumus yang digunakan :

Λ(tk) =k

∑j=1

1rj

=1n+

1n− 1

+ · · ·+ 1n− k + 1

, tk ≤ t < tk+1

Dengan demikian diperoleh :

Λ(tk) =1n+

1n− 1

+ · · ·+ 1n− k + 1

= 0,7127475

Λ(tk+1) =1n+

1n− 1

+ · · ·+ 1n− k + 1 + 1

= 0,79608083

0,79608083 = 0,7127475 +1

n− k1

n− k= 0,83333333

n− k = 12

Λ(tk+2) =1n+

1n− 1

+ · · ·+ 1n− k + 1 + 1

+1

n− k + 2 + 1

= 0,79608083 +1

n− k + 1

= 0,79608083 +1

12 + 1= 0,886989

Jawab : B.

11. Berdasarkan 30 pengamatan, diperoleh model sebagai berikut:Y = β1 + β2X2 + β3X3 + ε, dimana R2 = 0,81Hitunglah nilai F statistik yang digunakan untuk menguji hubungan linear (dibulatkan 2 desi-mal).

A. 57,55

B. 62,43

C. 32,00

D. 41,90

E. 26,78

67

Page 68: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Pembahasan:Diketahui :

Y = β1 + β2X2 + β3X3 + ε, dimana R2 = 0,81n = 3

k (jumlah parameter) = 3

Rumus yang digunakan :

F =R2

k−11−R2

n−k

Dengan demikian diperoleh :

F =R2

k−11−R2

n−k

=0,813−1

1−0,8130−3

= 57,552631

Jawab : A.

12. Berdasarkan 40 pengamatan, diperoleh model sebagai berikut:

Model I : Y = β1 + β2X2 + ε

Model II : Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε

Dan diketahui data sebagai berikut:

(i) ∑(Y− Y)2 = 150

(ii) ∑(X2 − X2)2 = 12

(iii) Untuk model I, β2 = −2

(iv) Untuk model II, R2 = 0,70

Hitunglah nilai F statistik yang digunakan untuk menguji bahwa β3 dan β4 adalah jointly samadengan 0.

A. 21,90

B. 20,88

C. 19,50

D. 21,67

68

Page 69: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

E. 22,80

Pembahasan:Diketahui :

Model I: Y = β1 + β2X2 + ε

Model II: Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε

Digunakan untuk mengestimasi 40 pengamatan dan diketahui data sebagai berikut :

i. ∑(Y− Y)2 = 150

ii. ∑(X2 − X2)2 = 12

iii. Untuk model I, β2 = −2

iv. Untuk model II, R2 = 0,70

Rumus yang digunakan :

Untuk Model I (restricted) : R2 = β22

(∑ (X2 − X2)2

∑ (Y− Y)2

)

F =R2

VR−R2R

m c · n−k1−R2

VRdengan m selisih jumlah parameter restricted dan unrestricted model

dan k jumlah parameter unrestricted model

Dengan demikian diperoleh :

R2R = β2

2

(∑ (X2 − X2)2

∑ (Y− Y)2

)= (−2)2(

12150

)

= 0,32

F =R2

VR − R2R

mc · n− k

1− R2VR

=0,7− 0,32

2· 40− 4

1− 0,7= 22,8

Jawab : E.

13. Dalam sebuah studi mortalita, diketahui data sebagai berikut:

69

Page 70: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Waktuti

Jumlah Kematiandi

Jumlah RisikoYi

5 2 15

7 2 12

10 1 10

12 2 6

Hitunglah S(12) berdasarkan estimasi Nelson-Aalen H(12) (dibulatkan 3 desimal).

A. 1,202553

B. 0,908307

C. 0,545982

D. 0,454018

E. 0,251338

Pembahasan:Diketahui :

Waktuti

Jumlah Kematiandi

Jumlah RisikoYi

5 2 15

7 2 12

10 1 10

12 2 6

Rumus yang digunakan :

H(t) = Λ(t) =m

∑j=1

dj

rj, tm ≤ t < tm+1

S(t) = exp(− H(t)

)= exp

(−

m

∑j=1

dj

rj

), tm ≤ t < tm+1

70

Page 71: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

H(12) =4

∑j=1

dj

rj

=215

+2

12+

110

+26

=1115

S(4) = exp(− H(12)

)= exp

(− 11

15

)= 0,480305

Jawab : B.

14. Data di bawah ini diekstrak dari table mortalita select dan ultimate dengan periode seleksi 2tahun:

x l[x] l[x]+1 lx+2 x + 2

60 80.625 79.954 78.839 62

61 79.137 78.402 77.252 63

62 77.575 76.770 75.578 64

Hitunglah 0,9q[60]+0,6 (dibulatkan 4 desimal).

A. 0,0102

B. 0,0103

C. 0,0104

D. 0,0105

E. 0,0106

Pembahasan:Diketahui :

x l[x] l[x]+1 lx+2 x + 2

60 80.625 79.954 78.839 62

61 79.137 78.402 77.252 63

62 77.575 76.770 75.578 64

71

Page 72: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Rumus yang digunakan :

qx =lx − lx+1

lx

q[x]+1 =l[x]+1 − lx+2

l[x]+1

q[x] =l[x] − l[x]+1

l[x]t px = t+x p0

t px = px px+1 px+2 · · · px+t−1

Untuk UUD konstan dan usia bukan bilangan bulat

s px = 1− s · qx

s px+t =s+t px

t px=

s+t px

1− t · qx

Dengan demikian diperoleh :

0,9q[60]+0,6 = 1− 0,9q[60]+0,6

= 1− 1,5 p[60]

0,6 p[60]

= 1−p[60] ·0,5 p[60]+1

0,6 p[60]

= 1−p[60] · (1− 0,5 · q[60]+1)

1− 0,6 · q[60]

= 1−79.95480.625 · (1− 0,5 · 79.954−78.839

79.954 )

(1− 0,6 · 80.625−79.95480.625 )

= 0,010295

Jawab : B.

15. Di bawah ini adalah tabel untuk double decrement l(τ)40 = 2.200 dengan

x q(d)x q(w)x qr(d)

x qr(w)x

40 0,24 0,12 0,26 y

41 −− −− 0,20 2y

Hitunglah l(τ)42 (dibulatkan ke satuan terdekat).

A. 803

72

Page 73: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

B. 822

C. 840

D. 860

E. 880

Pembahasan:Diketahui :

l(τ)40 = 2.200 dengan

x q(d)x q(w)x qr(d)

x qr(w)x

40 0,24 0,12 0,26 y

41 −− −− 0,20 2y

Rumus yang digunakan :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)q(w)

x = q′(w)x

(1− 1

2q′(d)x

)t p(τ)x = t p

′(d)x · t p

′(w)x

t p′(j)x = 1−t q

′(j)x

l(τ)x+1 = l(τ)x · p(τ)x

73

Page 74: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

q(w)40 = q

′(w)40

(1− 1

2q′(d)40

)0,12 = y

(1− 0,26

2

)y =

0,120,87

= 0,137931

q′(w)40 = 0,137931

q′(w)41 = 2 · y

= 2 · 0,137931

= 0,275862

l(τ)42 = l(τ)41 · p(τ)41

= l(τ)40 · p(τ)40 · p

(τ)41

= l(τ)40 · p′(d)40 · p

′(w)40 · p

(d)41 · p

(w)41

= 2.200 · (1− 0,26) · (1− 429

) · (1− 0,20) · (1− 829

)

= 813,0321046

Jawab : B.

16. Jika lx = 14.040 dan qx = 13 , hitunglah lx+1/4 berdasarkan asumsi hiperbolis.

A. 12.480

B. 13.440

C. 14.238

D. 11.220

E. 12.230

Pembahasan:Diketahui :

lx = 14.040

qx =13

74

Page 75: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Rumus yang digunakan :

lx+s =( s

lx+1+

1− slx

)−1

qx =lx − lx+1

lx

Dengan demikian diperoleh :

qx =lx − lx+1

lx13

=14.040− lx+1

14.04014.040 = 42.120− 3lx+1

lx+1 =28.020

3= 9.360

lx+ 14

=( 0,25

9.360+

1− 0,2514.040

)−1

=( 1

12.480

)−1

12.480

Jawab : A.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 17 s.d 20:Diketahui sampel atas 20 individu ada pada t = 0. Semua gagal (fail) dalam 5 minggu, danhanya minggu dimana terjadi kegagalan tersebut dicatat. Hasil pengamatan atas sampel iniadalah 1 individu gagal (fail) pada minggu pertama, 3 dalam minggu ke-dua, 7 dalam mingguke-tiga, 5 dalam minggu ke-empat, dan 1 dalam minggu ke-lima.

17. Hitunglah 2|q0

A. 0,35

B. 0,38

C. 0,40

D. 0,45

E. 0,47

Pembahasan:Diketahui :

75

Page 76: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

t dt nt

0 ≤ t < 1 1 20

1 ≤ t < 2 3 19

2 ≤ t < 3 7 16

3 ≤ t < 4 5 9

4 ≤ t < 5 1 4

Rumus yang digunakan :

t|q0 =dt

N

Dengan demikian diperoleh :

2|q0 diestimasi oleh proporsi multinomial dari kematian pada interval ke-3

2|q0 =d2

N

=720

= 0,35

Jawab : A.

18. Hitunglah S(3).

A. 0,35

B. 0,38

C. 0,40

D. 0,45

E. 0,47

Pembahasan:Diketahui :

t dt nt

0 ≤ t < 1 1 20

1 ≤ t < 2 3 19

2 ≤ t < 3 7 16

3 ≤ t < 4 5 9

4 ≤ t < 5 1 4

76

Page 77: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Rumus yang digunakan :

S(t) =nt

N

Dengan demikian diperoleh :

S(3) diestimasi oleh proporsi jumlah yang hidup pada t = 3

S(3) =n3

N

=9

20= 0,45

Jawab : A.

19. Hitunglah q3 (dibulatkan 3 desimal).

A. 0,624

B. 0,857

C. 0,556

D. 0,520

E. 0,482

Pembahasan:Diketahui :

t dt nt

0 ≤ t < 1 1 20

1 ≤ t < 2 3 19

2 ≤ t < 3 7 16

3 ≤ t < 4 5 9

4 ≤ t < 5 1 4

Rumus yang digunakan :

qt =dt

nt

Dengan demikian diperoleh :

77

Page 78: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

q3 diestimasi oleh proporsi binomial dari kematian pada interval ke-4 dan jumlah yang hiduppada awal interval

q3 =d3

n3

=59

= 0,55555556

Jawab : C.

20. Dengan mengasumsikan T berdistribusi eksponensial, hitunglah estimasi varians dari λ(3,5)(dibulatkan 4 desimal).

A. 0,4860

B. 0,6280

C. 0,3628

D. 0,8571

E. 0,1389

Pembahasan:Diketahui :

t dt nt

0 ≤ t < 1 1 20

1 ≤ t < 2 3 19

2 ≤ t < 3 7 16

3 ≤ t < 4 5 9

4 ≤ t < 5 1 4

Rumus yang digunakan :

pt =nt+1

nt

Var[Λ(t)] =qt

pt · nt

78

Page 79: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

p3 =n4

n3

=49

Var[Λ(t)] =qt

pt · nt

=59

49 · 9

= 0,138888889

Jawab : E.

21. Anda mencocokkan sebuah model Autoregressive AR(1) terhadap data berikut ini:y1 = 2,0y2 = −1,8y3 = 1,4y4 = −2,0y5 = 1,2Anda memilih ε1 = 0, µ = 0, ρ1 = 0,5 sebagai nilai awal.Hitunglah nilai dari jumlah kuadrat dari fungsi S = ∑[εt|ε1 = 0, µ = 0, ρ1 = 0,5]2,yaitu nilai dari ∑5

i=1 εi2 (dibulatkan 2 desimal).

A. 25,26

B. 18,87

C. 20,42

D. 28,21

E. 26,63

Pembahasan:

79

Page 80: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Diketahui :

y1 = 2,0

y2 = −1,8

y3 = 1,4

y4 = −2,0

y5 = 1,2

ε1 = 0

µ = 0

ρ1 = 0,5

Rumus yang digunakan :

Untuk AR(p)

yt = φ1yt−1 + φ2yt−2 + · · ·+ φpyt−p + δ + εt

µ =δ

1− φ1 − φ2 − · · · − φp

ρk = φk1

εt = yt − yt

εt = yt − φ1yt−1 − φ2yt−2 − · · · − φpyt−p − δ

Dengan demikian diperoleh :

ρ1 = φ1

= 0,5

µ =δ

1− φ1

0 =δ

1− 0,5δ = 0

Diperoleh model AR(1)

yt = 0,5yt−1 + εt

80

Page 81: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

t yt yt εt ε2t

1 2.00 0.00 0.00

2 -1.80 1.00 -2.80 7.84

3 1.40 -0.90 2.30 5.29

4 -2.00 0.70 -2.70 7.29

5 1.20 -1.00 2.20 4.84

Total 25.26

Diperoleh ∑5i=1 ε2

i = 25,26

Jawab : A.

22. Diketahui dua model random walk yang identik dalam segala aspek, kecuali model pertamamengandung sebuah parameter drift positif yang diketahui sedangkan model lainnya tidakmengandung parameter drift. Manakah yang salah dari 5 pernyataan berikut ini?

A. Untuk model random walk tanpa drift, semua nilai forecast dari waktu T adalah sama.

B. Untuk model random walk dengan drift, standard error nilai forecast dari waktu T akannaik atau turun, tergantung dengan parameter drift, ketika horison forecast naik.

C. Untuk model random walk dengan drift, nilai forecast dari waktu T akan naik secara linierketika horison forecast naik.

D. Untuk model random walk dengan drift, standard error nilai forecast dari waktu T samadengan standard error dari nilai forecast yang bersesuaian untuk model random walk tanpadrift.

E. Untuk model random walk tanpa drift, standard error nilai forecast dari waktu T naikketika horison forecast naik.

Pembahasan:Diketahui :Dua model random walk yang identik dalam segala aspek, kecuali model pertama mengan-dung sebuah parameter drift positif yang diketahui sedangkan model lainnya tidak mengan-dung parameter drift.

Rumus yang digunakan :

1. Sifat model random walk tanpa drift

• Model : yt = yt−1 + εt

81

Page 82: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

• PeramalanyT+1 = E(yT+1|yT , . . . , y1)

= yT + E(εT+1)

= yT

yT+2 = E(yT+2|yT+1, . . . , y1)

= E(yT+1 + εT+2)

= E(yT + εT+1 + εT+2)

= yT

Untuk peramalam l periode juga menghasilkan yT+1 = yT

• Standard errore1 = yT+1 − yT+1

= yT + εT+1 − yT

= εT+1

e2 = yT+2 − yT+2

= yT + εT+1 + εT+2 − yT

= εT+1 + εT+2

Seterusnya sampai standard error ke-l

2. Sifat model random walk dengan drift

• Model : yt = yt−1 + d + εt

• PeramalanyT+1 = E(yT+1|yT , . . . , y1)

= yT + d + E(εT+1)

= yT + d

yT+2 = E(yT+2|yT+1, . . . , y1)

= E(yT+1 + d + εT+2)

= E(yT + d + d + εT+1 + εT+2)

= yT + 2d

Untuk peramalan l periode akan menghasilkan yT+1 = yT + ld

• Standard error

82

Page 83: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

e1 = yT+1 − yT+1

= yT + d + εT+1 − yT − d= εT+1

e2 = yT+2 − yT+2

= yT + d + d + εT+1 + εT+2 − yT − d− d= εT+1 + εT+2

Seterusnya sampai standard error ke-l

Berdasarkan sifat-sifat di atas maka yang salah adalah pilihan B karena jika model random

walk mengandung sebuah parameter drift positif maka standard error nilai forecast dari waktuT akan selalu naik sesuai dengan sifatnya.

Jawab : B.

23. Jika diketahui

(i) µx = F + eex, x ≥ 0

(ii) 0, 4p0 = 0,48

Hitunglah nilai F (dibulatkan 3 desimal).

A. −0,090

B. −0,200

C. 1,090

D. 0,303

E. 0,200

Pembahasan:Diketahui :

µx = F + e2x, x ≥ 0

0,4 p0 = 0,48

Rumus yang digunakan :

x p0 = exp[−∫ x

0µ(s) ds

]

83

Page 84: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Dengan demikian diperoleh :

0,4 p0 = exp[−∫ 0,4

0F + e2s ds

]0,48 = exp

[− 0,4F− e0,8 − e0

2

]ln(0,48) = −0,4F− 0,612771

F =0,733969− 0,612771

0,4= 0,302995

Jawab : D.

24. Diketahui hasil dari regresi linier sebagai berikut:

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

1 77,0 75,5

2 69,0 70,6

3 72,0 70,9

4 73,0 74,0

5 65,0 66,4

A. −0,07

B. −0,02

C. −0,20

D. 0,02

E. 0,36

Pembahasan:Diketahui :

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

1 77,0 75,5

2 69,0 70,6

3 72,0 70,9

4 73,0 74,0

5 65,0 66,4

84

Page 85: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Rumus yang digunakan :

d =

n

∑t=2

(εt − εt−1)2

n

∑t=1

ε2t

εt = nilai aktual− nilai penyesuaian

ρ = 1− d2

ρ merupakan estimasi koefisien kolerasi deret lag 1 untuk residual

Dengan demikian diperoleh :

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

εt ε2t (εt − εt−1)

2

1 77,00 75,50 1.50 2.25 0.00

2 69,00 70,60 -1.60 2.56 9.61

3 72,00 70,90 1.10 1.21 7.29

4 73,00 74,00 -1.00 1.00 4.41

5 65,00 66,40 -1.40 1.96 0.16

Total 8.98 21.47

d =

n

∑t=2

(εt − εt−1)2

n

∑t=1

ε2t

=21,478,98

= 2,390869

ρ = 1− d2

= 1− 2,3908692

= −0,195435

Jawab : C.

25. Untuk sebuah deret waktu yt, diketahui:

85

Page 86: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

t yt yt − y

1 980 −15

2 1.020 25

3 960 −40

4 1.030 35

5 985 −12

Hitunglah estimasi fungsi autokorelasi parsial (partial autocorrelation) pada time displace-

ment k = 2 (dibulatkan 2 desimal).

A. 0,41

B. −0,63

C. −0,46

D. −0,84

E. 0,35

Pembahasan:Diketahui :

t yt yt − y

1 980 −15

2 1.020 25

3 960 −40

4 1.030 35

5 985 −12

Rumus yang digunakan :

Autocorrelation : rk =∑n−k

i=1 (yt − y)(yi+k − y)∑n

i=1(yt − y)2

Partial Autocorrelation :

86

Page 87: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

ϕ11 = r1

ϕ22 =r2 − r2

11− r2

1ϕkj = ϕk−1,j − ϕkk ϕk−1,k−j k = 2, . . . j = 1, 2, . . . , k

ϕkk =rk −∑k−1

j=1 ϕk−1,jrk−j

1−∑k−1j=1 ϕk−1,jrj

k = 3, . . .

Dengan demikian diperoleh :

r1 =∑4

i=1 (yt − y)(yi+1 − y)

∑5i=1(yt − y)2

=(−15)(25) + (25)(−40) + (−40)(35) + (35)(−12)

(−15)2 + (25)2 + (−40)2 + (35)2 + (−12)2

= −10651273

= −0,836606

r2 =∑3

i=1 (yt − y)(yi+2 − y)

∑5i=1(yt − y)2

=(−15)(−40) + (25)(35) + (−40)(12)

(−15)2 + (25)2 + (−40)2 + (35)2 + (−12)2

=19553819

= 0,511914

ϕ22 =r2 − r2

11− r2

1

=19553819 − (− 1065

1273 )2

1− (− 10651273 )

2

= −0,626467

Jawab : B.

26. Sebuah distribusi gamma dengan dua parameter didefinisikan oleh Probability Density Func-

tion (PDF) sebagai berikut:f (t) = 1

βαΓ(α) tα−1e−t/β, t > 0, α > 0, β > 0dengan mean dan variance-nya adalah µ = βα dan σ2 = β2α.

Jika diketahui sampel 10 data kematian tikus laboratorium (dalam hari) adalah 2,3,5,6,7,8,10,11,11,12,

87

Page 88: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

hitunglah estimasi dari α dan β dengan metode moments (dibulatkan 3 desimal).

A. α = 1,050 dan β = 7,500

B. α = 1,512 dan β = 6,463

C. α = 1,473 dan β = 5,090

D. α = 1,322 dan β = 8,254

E. α = 1,032 dan β = 7,367

Pembahasan:Diketahui :PDF distribusi gamma dengan mean µ = βα dan variance σ2 = β2α adalah f (t) = 1

βαΓ(α) tα−1e−tβ , t >

0, α > 0, β > 0 Rumus yang digunakan :

µk′ = E(Tk)

mk′ =

1n

n

∑i=1

Tki

Dengan demikian diperoleh :

µ1′ = E(T)

= µ

= αβ

= m1′

=1n

n

∑i=1

Ti

µ2′ = E(T2)

= σ2 + µ2

= αβ2 + α2β2

=1n

n

∑i=1

T2i

Sehingga, αβ = T dan αβ2 + α2β2 = 1n

n

∑i=1

T2i

Dari hasil di atas diperoleh estimasi β = Tα disubstitusi ke persamaan 2

88

Page 89: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

α( T

α

)2+ α2

( Tα

)2=

1n

n

∑i=1

T2i

α =T2

1n

n

∑i=1

T2i − T2

α =T2

n

∑i=1

T2i − nT2

T =2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12

10= 7,5

n

∑i=1

T2i = 22 + 32 + 52 + 62 + 72 + 82 + 102 + 112 + 112 + 122

= 673

α =nT2

n

∑i=1

T2i − nT2

=10 · (7.5)2

673− 10 · (7.5)2

=1125221

= 5,090497738

β =Tα

=7,251125221

=221150

= 1,4733333

Jawab : C.

Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal nomor 27 dan 28: Diketahui 6

89

Page 90: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

tikus yang baru lahir. Karena kesehatan yang buruk dari induknya, tikus-tikus tersebut matipada waktu 2,4,6,9,10,12.

27. Hitunglah S(10) dan Λ(10) dengan metode Nelson-Aalen (dibulatkan 4 desimal):

A. S(10) = 0,1667; Λ(10) = 1,7918

B. S(10) = 0,3333; Λ(10) = 1,0986

C. S(10) = 0,2000; Λ(10) = 1,6094

D. S(10) = 0,2771; Λ(10) = 1,2833

E. S(10) = 0,2346; Λ(10) = 1,4500

Pembahasan:Diketahui :6 tikus yang baru lahir. Karena kesehatan yang buruk dari induknya, tikus-tikus tersebut matipada waktu 2; 4; 6; 9; 10; 12

Rumus yang digunakan :

Nelson-Aalen

Λ(t) =m

∑j=1

dj

rj, tm ≤ t < tm+1

S(t) = exp[−Λ(t)]

Dengan demikian diperoleh :

Λ(10) =5

∑j=1

dj

rj

=16+

15+

14+

13+

12

= 1,45

S(10) = exp[−Λ(10)]

= exp[−1,45]

= 0,23457

Jawab : E.

28. Hitunglah S(10) dan Λ(10) dengan metode product-limit (dibulatkan 4 desimal):

A. S(10) = 0,1667; Λ(10) = 1,7918

90

Page 91: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

B. S(10) = 0,3333; Λ(10) = 1,0986

C. S(10) = 0,2000; Λ(10) = 1,6094

D. S(10) = 0,2771; Λ(10) = 1,2833

E. S(10) = 0,2346; Λ(10) = 1,4500

Pembahasan:Diketahui :6 tikus yang baru lahir. Karena kesehatan yang buruk dari induknya, tikus-tikus tersebut matipada waktu 2; 4; 6; 9; 10; 12

Rumus yang digunakan :

Product-Limit

S(t) =m

∏j=1

( rj − dj

rj

), tm ≤ t < tm+1

Λ(t) = −ln[S(t)]

Dengan demikian diperoleh :

S(10) =5

∏j=1

( rj − dj

rj

)=

56· 4

5· 3

4· 2

312

= 0,16666667

Λ(10) = −ln[S(10)]

= −ln[1

6

]= 1, 791759

Jawab : A.

29. Misalkan Anda melakukan smoothing deret waktu yt menggunakan metode exponential smooth-

ing 2-parameter dari Holt:

t yt yt rt

1995 120,50 117,50 12,00

1996 135,00 131,15 12,99

1997 147,70 145,21 13,63

1998 146,60 y1998 r1988

91

Page 92: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Hitunglah forecast 2-periode y2000 dengan terlebih dahulu melengkapi tabel di atas denganderet exponential 2-parameter dari Holt.

A. Lebih kecil dari 177

B. Paling sedikit 177, tetapi lebih kecil dari 180

C. Paling sedikit 180, tetapi lebih kecil dari 185

D. Paling sedikit 185, tetapi lebih kecil dari 192

E. Paling sedikit 192

Pembahasan:Diketahui :

Smoothing deret waktu yt menggunakan metode exponential smoothing 2 parameter dariHolt.

t yt yt rt

1995 120,50 117,50 12,00

1996 135,00 131,15 12,99

1997 147,70 145,21 13,63

1998 146,60 y1998 r1988

Rumus yang digunakan :

yt = αyt + (1− α)(yt−1 + rt−1)

rt = γ(yt − yt−1) + (1− γ)rt−1

yT+l = yr + lrT

Dengan demikian diperoleh :

y1996 = αy1996 + (1− α)(y1995 + r1995)

131,15 = 135α + (1− α)(117,5 + 12)

131,15 = 135α + 129,5α− 129,5α

5,5α = 1,65

α = 0,3

92

Page 93: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

r1996 = γ(y1996 − y1995) + (1− γ)r1995

12,99 = γ(131,15− 117,5) + (1− γ)12

12,99 = 13,65γ + 12− 12γ

1,65γ = 0,99

γ = 0,6

y1998 = αy1998 + (1− α)(y1997 + r1997)

= 0,3(146,6) + 0,7(145,21 + 13,63)

= 155,168

r1998 = γ(y1998 − y1997) + (1− γ)r1997

= 0,6(155,168− 145,21) + 0,4(13,63)

= 11,4268

y1998+2 = y1998 + 2r1998

= 155,168 + 2 · 11,4268

= 178,0216

Jawab : B.

30. Untuk model double decrement di bawah ini

(i) t pr(d)30 = 1− t

55 , 0 ≤ t ≤ 55

(ii) t pr(w)30 = 1− t

30 , 0 ≤ t ≤ 30

Hitunglah nilai µr(w)30+15 (dibulatkan 5 desimal).

A. 0,01678

B. 0,02000

C. 0,07500

D. 0,09167

E. 0,20556

Pembahasan:

93

Page 94: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

3 A50 Periode November 2015

Diketahui :

t p30′(d) = 1− t

55, 0 ≤ t ≤ 55

t p30′(w) = 1− t

30, 0 ≤ t ≤ 30

Rumus yang digunakan :

t px(τ) =

m

∏i=j

t px′(j)

µ(τ)x+t = − 1

t px(τ)· d

dt(t px

(τ))

= − ddt

ln(t px(τ))

Dengan demikian diperoleh :

t p30(τ) = t p30

′(d) · t p30′(w)

=(

1− t55

)·(

1− t30

)= 1− 17

330t +

11650

t2

= t2 − 85t + 1650

µ(τ)40+t = − 1

t px(τ)· d

dt(t px

(τ))

=1

t2 − 85t + 1650· d

dt(−t2 + 85t− 1650)

=85− 2t

t2 − 85t + 1650

µ(τ)30+15 =

85− 2(15)(152)− 85(15) + 1650

= 0,0916666667

Jawab : D.

94

Page 95: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

1. Diketahui informasi sebagai berikut:

• Probabilitas dari (x) hidup selama 15 tahun adalah 0,60

• Probabilitas dari (x) hidup selama 20 tahun adalah 0,40

Untuk seseorang yang hidup mencapai usia x + 15, hitunglah probabilitas bahwa orang terse-but akan meninggal 5 tahun berikutnya.

A. 1/4

B. 1/3

C. 1/2

D. 2/3

E. 3/4

Pembahasan:Diketahui t px = 0, 6 dan 20 px = 0, 4

sehingga probabilitas orang akan meninggal 5 tahun berikutnya adalah

15 px =S(x + t)

S(x)

0, 6 =S(x + t)

S(x)

S(x) =S(x + 15)

0, 6(∗)

selanjutnya

20 px =S(x + 20)

S(x)

0, 4 =S(x + 20)

S(x)

S(x) =S(x + 20)

0, 4(∗∗)

95

Page 96: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh

S(x + 15)0, 6

=S(x + 20)

0, 4S(x + 15)S(x + 20)

=0, 60, 4

S(x + 15)S(x + 20)

=23

5 px+15 =23

1− 5qx+15 =23

5qx+15 =13

SEhingga peluang meninggal orang berusia x + 15, 5 tahun ke depan adalah 1/3

Jawab. B.

2. Jika diketahui force of mortality adalah µx(d) =3

4(100− x)dan force of withdrawal adalah

µx(w) =5

4(100− x), hitunglah conditional density function untuk kematian seseorang pada

umur 70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70.

A.30− t

600

B.30− t1200

C.70− t

600

D.70− t1200

E.30− t600 + t

Pembahasan:

µ(τ)x = µ

(d)x + µ

(w)x

=3

4(100− x)+

54(100− x)

=8

4(100− x)

=2

100− x

96

Page 97: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

t p(τ)x = exp(−∫ t

0

2100− y

dy)

= exp(2 ln(100− t)− 2 ln(100))

=(100− t)2

10000(∗)

Dipunyai fungsi joint pdf t dan j, jika seseorang tetap hidup

f (t, j) = t p(τ)x .µ(j)x (t)

=(100− t)2

10000.

34(100− t)

=3(100− t)

40000(∗∗)

Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh conditional density function seorang pada umur 70+t, jikaorang tersebut hidup pada umur 70

P =t p(τ)70 .µ(d)

70 (t)S(70)

=3(100−(70+t))

40000(100−70)2

10000

=30− t1200

sehingga conditional density function seorang pada umur 70 + t, jika orang tersebut hidup

pada umur 70 adalah30− t1200

Jawab. B.

3. Atas studi mortalita dari dua propinsi, diperoleh data sebagai berikut:

ti Propinsi A Propinsi B

dj rj dj rj

1 30 300 22 200

2 20 270 16 178

3 17 250 20 162

4 23 233 15 142

• rj adalah banyak resiko dalam periode (ti−1, ti)

• dj adalah banyaknya kematian dalam periode (ti−1, ti) yang diasumsikan terjadi pada ti

• ST(t) adalah estimasi product Limit dari S(t) berdasarkan total semua data pengamatan.

• SB(t) adalah estimasi product Limit dari S(t) berdasarkan data pengamatan proponsi B.

97

Page 98: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Hitunglah |ST(4)− SB(4)| (dibulatkan menjadi dua desimal )

A. 0,01

B. 0,02

C. 0,03

D. 0,04

E. 0,05

Pembahasan:

ST(4) =

(500− 52

500

)(448− 36

448

)(412− 37

412

)(375− 36

378

)= 0, 674 (∗)

SB(4) =

(200− 22

200

)(178− 16

178

)(162− 20

162

)(142− 15

142

)= 0, 635 (∗∗)

Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh

|ST(4)− SB(4)| = |0, 674− 0, 635|

= 0, 039

= 0, 04

Jawab. D.

4. Anda mencocokkan model berikut ini dalam 40 pengamatan:

Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε (4.1)

Diketahui datanya sebagai berikut:

Sumber Variasi (Source ofVariation)

Tingkat Kebebasan (Degreeof Freedom)

Jumlah Kuadrat(Sum of Squares)

Regresi (Regression) 3 108.761

Residual (Error) 44 62.146

Hitunglah nilai R2, yaitu R2 yang dikoreksi

A. 0,392

98

Page 99: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

B. 0,488

C. 0,572

D. 0,596

E. 0,606

Pembahasan:

TSS = RSS + ESS

= 62146 + 108761

= 170907

selanjutnya

R2 =ESSTSS

=108761170907

= 0, 636

maka

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)n− k

= 1− (1− 0, 636)(40− 1)40− 4

= 0, 606

Jawab. E.

5. Misalkan X adalah variabel acak untuk umur pada saat kematian dengan

µx =1

3(100− x), untuk 0 ≤ x ≤ 100

Hitunglah eo19 yaitu rata rata pengharapan hidup untuk seseorang berusia 19

A. 42,67

B. 58,89

C. 60,75

D. 67,67

E. 71,75

99

Page 100: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

t p19 = exp(−∫ 19+t

19

13(100− y)

dy)

= exp(

ln(81− t)− ln(81)3

)=

(81− t)1/3

811/3

selanjutnya

eo19 =

∫ ∞

0

(81− t)1/3

811/3 dt

=∫ 100−19

0

(81− t)1/3

811/3 dt

= 60, 75

Jawab. C.

6. Dalam table mortalita select dan ultimate 2 tahun, Anda diberikan informasi sebagai berikut:

q[x] + 1 = 0, 92qx+1

l58 = 85.681

l59 = 83.546

Hitunglah l[57]+1 (dibulatkan)

A. 80.436

B. 80.952

C. 81.772

D. 82.315

E. 85.506

Pembahasan:

q58 =l58 − l59

l58

=85681− 83546

85681= 0, 0249

100

Page 101: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

selanjutnya

q[57]+1 = 0, 92q58

= (0, 92)(0, 0249)

= 0, 0029

maka

q[57]+1 =l[57]+1 − l59

l[57]+1

0, 0029 =l[57]+1 − 83546

l[57]+1

0, 0029l[57]+1 = l[57]+1 − 83546

(1− 0, 0029)l[57]+1 = 83546

l[57]+1 =83546

1− 0, 0029l[57]+1 = 85506

Jawab. E.

7. Jika diketahui

a) eo0 = 40

b) S(x) = 1− xω

, untuk 0 ≤ x ≤ ω

Hitunglah eo20

A. 30

B. 36

C. 40

D. 42

E. 50

Pembahasan:

t px =S(t + x)

S(x)

=1− t+x

ω

1− xω

=ω− (t + x)

ω− x

101

Page 102: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

maka t p0 =ω− t

ωdan t p20 =

ω− (t + 20)ω− 20

selanjutnya

eo0 =

∫ ∞

0t p0dt

40 =∫ ω−0

0

ω− tω

dt

40 = ω− 12

ω

ω = 80 (∗)

Berdasarkan (*) diperoleh

eo20 =

∫ ∞

0t p20dt

=∫ 80−20

0

80− (t + 20)80− 20

dt

=∫ 60

0

60− t60

dt

= 30

sehingga diperoleh eo20 = 30

Jawab: A.

8. Informasi di bawah ini adalah tentang model ARIMA:

a) mean =0

b) Ψ1 = 1, 58

c) Ψ2 = −1, 22

d) Ψ3 = 0, 348

e) Ψ4 = −0, 032

f) σ2 = 7

Hitunglah deviasi standar atas kesalahan perkiraan tiga langkah ke depan (forecast error three

steps ahead).

A. 3,29

B. 4,25

C. 4,86

D. 5,91

E. 6,62

102

Page 103: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:Model ARIMA memiliki mean =0 maka Ψ0 = 1, 58

Var[eT(3)] = (Ψ20 + Ψ2

1 + Ψ22)σ

= (12 + 1, 582 + (−1, 22)2)

= 34, 89

maka Deviasi standart =√

Var[eT(3)] =√

34, 89 = 5, 91

Jawab. D.

9. Dalam sebuah model triple-decrement untuk seseorang yang sekarang berumur x, diketahuiconstant force of decrement sebagai berikut:

• µ(1)x+t = b untuk t ≥ 0

• µ(2)x+t = b untuk t ≥ 0

• µ(3)x+t = 2b untuk t ≥ 0

Probabilitas orang tersebut akan keluar dari kelompok dalam 4 tahun karena decrement (1)adalah 0,0155.

Hitunglah berapa lama seseorang yang sekarang berumur x diharapkan tetap berada dalamtable triple decrement (yaitu E[T]) ?

A. 83,33

B. 79,65

C. 72,77

D. 68,15

E. 62,50

Pembahasan:

µ(τ)x+t = µ

(1)x+t + µ

(2)x+t + µ

(3)x+t

= b + b + 2b

= 4b

103

Page 104: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

selanjutnya

t px = exp(−∫ t

0µ(τ)x (s)ds

)= exp

(−∫ t

04b ds

)= exp(−4bt)

selanjutnya

4q(1)x =∫ 4

0fT,j(s, j)ds

4q(1)x =∫ 4

0s p(τ)x µ

(2)x+s(s)ds

0, 0155 =∫ 4

0exp(−4bs).b ds

0, 0155 =14− exp(−16b)

4

b =ln(0, 938)−16

b = 0, 004

selanjutnya

E[T] =∫ ∞

0t pxdt

=∫ ∞

0exp(−4.(0, 004)t)dt

= 62, 5

Jawab. E.

10. Informasi di bawah ini diperoleh dari pengamatan sampel atas enam individu untuk menges-timasi qx:

• Semua individu yang masuk pengamatan berumur x + r, 0 ≤ r < 0, 5

• Satu individu melakukan withdrawal pada umur x + 0, 6

• Dua individu melakukan withdrawal pada umur x + 0, 75

• Satu individu meninggal pada umur x + 0, 7

• Dua individu tetap hidup mencapai umur x + 1

Dengan menggunakan metode actuarial estimate diperoleh qx = 10/33. Hitunglah r.

A. 0,1

104

Page 105: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

B. 0,25

C. 0,3

D. 0,4

E. 0,45

Pembahasan:

x + r zi θi φi ri si li kiEksposureAktuarial

x + r x + 1 x + 0, 7 r 1 0,7 1− r

x + r x + 1 x + 0, 6 r 1 0,6 0, 6− r

x + r x + 1 x + 0, 75 r 1 0,75 0, 75− r

x + r x + 1 x + 0, 75 r 1 0,75 0, 75− r

x + r x + 1 r 1 1− r

x + r x + 1 r 1 1− rTotal 5, 1− 6r

Berdasarkan tabel di atas, sebab hanya terdapat satu kematian pada kolom li diperoleh

qx =1

5, 1− 6r

qx =1

5, 1− 6r1033

=1

5, 1− 6r−60r + 51 = 33

r =1860

r = 0, 3

Jawab. C.

11. Diketahui tiga hasil pengamatan sebagai berikut:

0,70 0,82 0,92

Anda mencocokkan sebuah distribusi dengan fungsi kepadatan (density function) berikut initerhadap data:

f (x) = (p + 1)xp, 0 < x < 1, p > −1

Hitunglah estimasi maximum likelihood atas p (dibulatkan 2 desimal).

A. 2,12

105

Page 106: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

B. 2,67

C. 3,7

D. 4,32

E. 6,81

Pembahasan:

L(p) =n

∏i=1

f (xi)

L(p) =n

∏i=1

(p + 1)xpi

L(p) = (p + 1)n

(n

∏i=1

xi

)p

ln(L(p)) = ln

((p + 1)n

((p + 1)n

(n

∏i=1

xi

)p))

ln(L(p)) = n ln(p + 1) + p ln

(n

∏i=1

xi

)

ln(L(p)) = n ln(p + 1) + pn

∑i=1

ln(xi)

ln(L(p))dp

=n

p + 1+

n

∑i=1

ln(xi)

0 =n

p + 1+

n

∑i=1

ln(xi)

p =−n−∑n

i=1 ln(xi)

∑ni=1 ln(xi)

p =−3− ln(0, 7)− ln(0, 82)− ln(0, 92)

ln(0, 7) + ln(0, 82) + ln(0, 92)= 3, 698

sehingga estimasi likelihood atas p sebesar 3,7

Jawab. C.

12. Atas pengamatan pada 120 polis dalam studi pembatalan polis, diperoleh data sebagai berikut:

i. Studi dibuat sedemikian sehingga untuk setiap satu pembatalan polis, ditambahkan satupolis baru (artinya rj selalu bernilai 120).

ii. Pembatalan polis terjadi di akhir tahun dengan pengamatan sebagai berikut:1 polis batal di akhir tahun polis ke-1

106

Page 107: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

2 polis batal di akhir tahun polis ke-23 polis batal di akhir tahun polis ke-3....n polis batal di akhir tahun polis ke-n

iii. Estimasi Nelson Aalen untuk fungsi distribusi kumulatif pada tahun ke-n adalahFn = 0.8262261.

Hitunglah n

A. 15

B. 20

C. 30

D. 45

E. 65

Pembahasan:

Fn = 1− exp

(−

n

∑j=1

dj

rj

)

0, 8262261 = 1− exp

(−

n

∑j=1

dj

100

)

exp

(n

∑j=1

dj

100

)= 1− 0, 8262261

n

∑j=1

dj

100= − ln(1− 0, 8262261)

1120

+2

120+ ... +

n120

= 1, 75 dengan menggunakan konsep jumlah barisan aritmatika

2120

= 1, 75

n2 + n− 420 = 0

(n + 21)(n− 20) = 0, karena n harus positif maka n=20

Jawab. B.

13. Untuk sebuah tabel multiple decrement, diketahui informasi sebagai berikut:

(i) Decrement (1) adalah kematian, decrement (2) adalah cacat, decrement (3) adalah with-drawal.

107

Page 108: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

(ii) q′(1)65 = 0, 020

(iii) q′(2)65 = 0, 035

(iv) q′(3)65 = 0, 120

(v) Withdrawal hanya terjadi pada akhir tahun.

(vi) Mortalita dan cacat terdistribusi secara uniform pada umur setiap tahun berdasarkan ta-ble decrement tunggal.

Hitunglah q(3)65

A. 0,0942

B. 0,1087

C. 0,1135

D. 0,1384

E. 0,1566

Pembahasan:

q(1)x = q′(1)x

(1− 1

2q′(2)x

)= 0, 02

(1− 0, 035

2

)= 0, 0197

dan

q(2)x = q′(2)x

(1− 1

2q′(1)x

)= 0, 035

(1− 0, 02

2

)= 0, 0347

selanjutnya

q(1)(65) + q(2)

(65) + q(3)(65) = 1−

(1− q′(1)(65)

) (1− q′(2)(65)

) (1− q′(3)(65)

)0, 0197 + 0, 347 + q(3)

(65) = 1− ((1− 0, 02)(1− 0, 035)(1− 0, 12))

q(3)(65) = 1− ((1− 0, 02)(1− 0, 035)(1− 0, 12))− 0, 0197 + 0, 347

= 0, 1135

Jawab. C.

108

Page 109: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

14. Diketahui

F(X) = 1−(

1− x120

)1/6untuk 0 ≤ x ≤ 120

Hitunglah E[T] untuk x = 30, yaitu eo30

A. 66,73

B. 68,92

C. 70,17

D. 74,63

E. 77,14

Pembahasan:

S(X) = 1− F(X)

= 1−(

1−(

1− x120

)1/6)

=(

1− x120

)1/6

selanjutnya

t px =

(1− x + t

120

)1/6

(1− x

120

)1/6

=

(120− x− t

120− x

)1/6

maka

eo30 =

∫ 120−30

0t p30dt

=∫ 90

0

(120− 30− t

120− 30

)dt

=∫ 90

0

(90− t

90

)1/6dt

= 77, 142857

Jawab.E.

15. Berdasarkan soal pada nomor 14, hitunglah Var[T] untuk x = 30.

109

Page 110: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

A. 457,77

B. 465,32

C. 469,32

D. 476,11

E. 489,67

Pembahasan:

Var[T] =

(2∫ 90

0t.t p30dt

)− eo

302

=

(2∫ 90

0t(

90− t90

)1/6dt

)− (77, 1428577)2

= 6408, 7912− 5951, 020386

= 457, 77

Jawab. A.

16. Diketahui studi mortalita sebagai berikut:

i. 1.000 orang masuk dalam pengamatan tepat pada umur 80

ii. 40 orang meninggal dunia pada umur 80,30

iii. 100 orang baru masuk dalam pengamatan pada umur 80,60

iv. 20 orang meninggal dunia pada umur 80,80

Jika estimasi q80 dihitung dengan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalahkonstan) dan actuarial exposure, berapakah selisih absolut dari kedua estimasi tersebut?

A. 0,000095

B. 0,000107

C. 0,000178

D. 0,000221

E. 0,000674

Pembahasan:

110

Page 111: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Exact Exposure

qexact = 1− exp

(−

dj

ε j

)

= 1− exp(− 60

1000− 0, 7(40) + 0, 4(100) + 0, 2(20)

)= 0, 0577869

Actuarial Exposure

qactuarial =dj

ε j

=60

1000 + 0, 4(100)= 0, 0576923

maka |qexact − qactuarial | = 0, 0000946 ≈ 0, 000095

Jawab. A.

17. Suatu studi dilakukan untuk meneliti data Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa sebagaifungsi linear penghasilan orangtua. Diketahui data sebagai berikut:

IPK (Y)Penghasilan

Orangtua (X)

4,00 21

3,00 15

3,50 15

2,00 9

Hitunglah R2

A. 0,98

B. 0,91

C. 0,87

D. 0,82

E. 0,78

Pembahasan:

111

Page 112: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

i Yi Xi Y2i X2

i XiYi

1 4 21 16 441 84

2 3 15 9 225 45

3 3,5 15 12,25 225 52,5

4 2 9 4 81 18

R2 =

4 ∑4i=1 XiYi −∑4

i=1 Xi ∑4i=1 Yi√

4 ∑4i=1 X2

i −(

∑4i=1 Xi

)2√

4 ∑4i=1 Y2

i −(

∑4i=1 Yi

)2

=

4(199, 5)− 60(12, 5)√4(972)− (60)2

√4(41, 25)− (12, 5)2

= 0, 914286

Jawab. B.

18. Hitunglah ekspektasi hidup dari seseorang yang terdiagnosa LAS (state 2a menurut modelPanjer) bila diketahui informasi berikut ini:

a) µ2a = 0, 50

b) Variansi dari pengharapan hidup untuk orang yang berada dalam state 2a adalah 5,593.

c) Ekspektasi pengharapan hidup untuk orang yang berada dalam state 3 adalah 0,7.

A. 3,15

B. 3,75

C. 4,20

D. 4,35

E. 5,20

112

Page 113: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

1µ2a

=1

0, 5= 2

1µ3

= 0, 7

Var[T2a] =1

µ22a

+1

µ22b

+1

µ23

5, 593 = 22 +1

µ22b

+ 0, 72

1µ2

2b= 1, 103

1µ2b

= 1, 105

E[T2a] =1

µ2a+

1µ2b

+1

µ3

= 2 + 1, 05 + 0, 7

= 3, 75

Jawab: B.

19. Diketahui 15 pekerja tambang mengalami paparan radiasi yang berbahaya. Tiga orang men-galami kematian pada waktu t = 2 dan dua orang mengalami kematian pada waktu t = 4.Diketahui pula terdapat ?? withdrawal pada waktu t = 3. Dengan menggunakan product limitestimator dari S(t), diperoleh S(5) = 0, 60. Hitunglah x.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

113

Page 114: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

S(5) =4

∏j=1

(rj − dj

rj

)

0, 6 =

(1215

)(12− x− 2

12− x

)34

=10− x12− x

36− 3x = 40− 4x

x = 4

Jawab. D.

20. Sebuah studi mortalita dilakukan atas pengamatan terhadap 50 peserta dimulai dari waktu 0.Diketahui:

Waktu (t)Jumlah

Kematian(dt)

Jumlah yangdisensor (ct)

15 3 0

17 0 2

25 2 0

30 0 c30

32 9 0

40 2 0

S(35) adalah estimasi product limit dari S(35)

V[S(35)] adalah estimasi variansi dari S(35) menggunakan formula Greenwood.

V[S(35)][S(35)]2

= 0, 012947

Hitunglah c30, jumlah yang disensor pada waktu t = 30.

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

E. 10

114

Page 115: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

V[S(35)] = [S(35)]2 ×3

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)

⇔ ∑3j=1

(dj

rj(rj − dj)

)=

V[S(35)][S(35)]2

⇔ 350(47)

+3

44(42)+

9(42− c)(33− c)

= 0, 012947

⇔ 1386− 75c + c2 = 850

⇔ 536− 75c + c2 = 0

sehingga

c =75−

√75c2 − 4(1)(536)

2(1)= 8

dan

c =75 +

√75c2 − 4(1)(536)

2(1)= 67

sebab hanya ada 50 peserta sehingga c = 8

Jawab. D,

21. Tentukanlah dari fungsi berikut ini, manakah force of mortality yang tidak valid?

i. µ(x) =1

(1 + x)3 untuk x ≥ 0

ii. µ(x) = x sin x, untuk x ≥ 0

iii. µ(x) = 40, untuk x ≥ 0

A. i saja

B. ii saja

C. iii saja

D. i dan ii saja

E. ii dan iii saja

Pembahasan:

115

Page 116: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

i. S(x) = e−∫ x

01

(1+t)3dt= e

12(1+x)2

− 12

untuk x = 0, S(0) = 1

untuk x = ∞, S(∞) =1√

e6= 0 (tidak valid )

ii. S(x) = e−∫ x

0 t sin(t)dt = ex cos(x)−sin(x)

untuk x = 0, S(0) = 1untuk x = ∞, S(∞) = unde f inied (tidak valid )

iii. S(x) = e−∫ x

0 40dt = e−40x

untuk x = 0, S(0) = 1untuk x = ∞, S(∞) = 0 6= 0 ( valid )

Jawab. D.

22. Misalkan X adalah variabel acak untuk umur pada saat kematian. Jika diasumsikan X mengikutihukum de Moivre (berdistribusi uniform) dengan ω = 100. Hitunglah 15m30.

A. 0,016

B. 0,025

C. 0,036

D. 0,039

E. 0,042

Pembahasan:Dipunyai ω = 100, maka µ(x) =

1100− x

dan S(x) =100− x

100sehingga

15m30 =

∫ 150 S(30 + t)µ(30 + t)dt∫ 15

0 S(30 + t)dt

=

∫ 150

70− t100

.1

70− tdt∫ 15

070− t

100dt

= 0, 016

Jawab. A.

23. Berdasarkan data Indeks Prestasi Kumulatif mahasiswa dan penghasilan orangtua pada soalnomor 17, hitunglah F1,2

A. 19,58

B. 21,33

116

Page 117: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

C. 22,36

D. 22,84

E. 23,32

Pembahasan:

F =

(R2

k− 1

)(

1− R2

n− k

)

=

(0, 914286

2− 1

)(

1− 0, 9142864− 2

)= 21, 33

Jawab. B.

24. Diketahui:

• Studi mortalita dilakukan atas sejumlah n orang.

• Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yangsama

• tk= Saat kejadian meninggal ke-k

• Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada t2 adalah ˆΛ(t2) = 49/600

Hitunglah estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi survival pada t12.

A. 0,22

B. 0,30

C. 0,33

D. 0,45

E. 0,52

117

Page 118: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

Λ(t2) =1n+

1n− 1

49600

=2n− 1n2 − n

49n2 − 49n = 1200n− 600

49n2 − 1249n + 600 = 0

n =1249−

√(−1249)2 − 4(49)(600)

2(49)= 25

S(t12) =12

∏j=1

(rj − dj

rj

)

=2425

.2324

.2223

...1314

=1325

= 0, 52

Jawab: E.

25. Dari studi mortalita yang diobservasi pada tahun kalender 2015, diperoleh data sebagai berikut:

Individu Tanggal Lahir

A 1 Juli 1984

B1 Januari

1985

C 1 Juli 1985

Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada in-dividu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsiforce of mortality adalah konstan) diperoleh q30 = 0, 4204. Pada tanggal berapa individu Bmeninggal dunia? (cari tanggal yang terdekat)

A. 1 Agustus 2015

B. 1 September 2015

C. 1 Oktober 2015

D. 1 November 2015

E. 1 Desember 2015

Pembahasan:yi= tanggal awal pengamatan-tanggal lahir

118

Page 119: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

zi=tanggal akhir pengamatan-tanggal lahirθi=tanggal meninggal-tanggal lahirφi=tanggal withdraw-tanggal lahir

ri =

{0 , jika yi ≤ x

yi − x , jika x < yi < x + 1

si =

{zi − x , jika x < zi < x + 1

1 , jika zi ≥ x + 1

ιi =

0 , jika θi = 0

θi − x , jikax < θi < x + 10 , θi ≥ x + 1

κi =

0 , jika φi = 0

φi − x , jikax < φi < x + 10 , φi ≥ x + 1

εeksak =

si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawκi − ri , jika seseorang withdrawιi − ri , jika seseorang meninggal

119

Page 120: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

TanggalLahir

Yi zi θi φi ri si ιi κiExposureeksak

1 juli 1976 30,5 31,5 0 0 0,5 1 0 0 0,5

1 januari1977

30 31 30 + x 0 0 1 x 0 x

1 juli 1977 29,50 30,5 0 0 0 0,5 0 0 0,5

Total 1 + x

ˆq30 = 1− exp(− 1

1 + x

)0, 424 = 1− exp

(− 1

1 + x

)exp

(− 1

1 + x

)= 0, 5796

− 11 + x

= ln(0, 5796)

11 + x

= 0, 545417

c = 0, 833459

selanjutnya merubah nilai x ke dalam bulanan, diperoleh

b12

= 0, 833459

b = 10, 001511

≈ 10

Karena individu B lahir pada 1 januari 2015, maka individu B meninggal dunia sekitar 1november 2015

Jawab. D.

26. Diketahui hasil dari regresi linier sebagai berikut:

t Aktual (actual)Penyesuaian

(fitted)

1 74,0 75,0

2 69,0 70,6

3 72,0 70,9

4 74,0 74,0

5 65,0 66,0

Hitunglah estimasi koefisien korelasi deret lag 1 (lag 1 serial correlation coefficient) untuk

120

Page 121: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

residual, menggunakan statistik Durbin-Watson!

A. 0,1456

B. 0,1026

C. 0.082

D. -0,023

E. -0,071

Pembahasan:

t Aktual (actual)Penyesuaian

(fitted)εt εt

2 (εt − ˆεt−1)2

1 74,0 75,0 -1 1 0

2 69,0 70,6 -1,6 2,56 0,36

3 72,0 70,9 1,1 1,21 7,29

4 74,0 74,0 0 0 1,21

5 65,0 66,0 -1 1 1

Total -2,5 5,77 9,86

d =∑5

t=2 (εt − ˆεt−1)2

∑5t=1 εt

2

=3, 865, 77

= 1, 708839

selanjutnya akan dihitung koefisien deret lag 1 untuk residual

ρ = 1− d2

= 1− 1, 7088392

= 0, 145581

≈ 0, 1456

Jawab. A.

27. Diketahui probabilitas seseorang yang berumur 50 untuk hidup selama t tahun adalah

t p50 = e0,5(1−1,05t)

Hitunglah q80

121

Page 122: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

A. 0,06418

B. 0,10242

C. 0,12804

D. 0,18065

E. 0,21312

Pembahasan: q80 = 1− p80 jadi pertama kita cari p80

p80 =S(80 + 1)

S(80)

=

(S(50 + 31)

S(50).

S(50)S(50 + 30)

)

=

(S(50 + 31)

S(50)

)S(50 + 30)

S(50)

= 31 p50

30 p50

=exp(0, 5(1− 1, 0531))

exp(0, 5(1− 1, 0530))− 1

= 0, 897584

q80 = 1− p80

= 1− 0, 897584

= 0, 102416

Jawab. B.

28. Berdasarkan soal nomor 27, hitunglah µ80

A. 0,0347

B. 0,0647

C. 0,0872

D. 0,1504

E. 0,2471

122

Page 123: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

µ80 =f (80)S(80)

=F(80)− F(79)

S(80)

=F(80)− F(79)

S(79)S(79)S(80)

=S(79)− S(80)

S(79)S(79)S(80)

=

(1− S(80)

S(79)

)(S(79)S(80)

)=

S(79)S(80)

− 1

=

(S(50 + 29)

S(50).

S(50)S(50 + 30)

)− 1

=

(S(50 + 29)

S(50)

)S(50 + 30)

S(50)

− 1

= 29 p50

30 p50− 1

=exp(0, 5(1− 1, 0529))

exp(0, 5(1− 1, 0530))− 1

= 0, 108384

Jawab. Tidak ada jawaban yang memenuhi

29. Dalam sebuah studi kesehatan untuk n orang yang hidup pada waktu t = 0, diketahui tidakada penambahan peserta. Terdapat 1 kematian pada waktu t7, 2 kematian pada waktu ??8, dan2 kematian pada waktu t9. Dengan menggunakan estimasi product limit dari S(t), diperolehS(t7) = 0, 90 , S(t8) = 0, 75, S(t9) = 0, 50. Hitunglah banyaknya orang yang melakukanterminasi antara t8 dan t9.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

123

Page 124: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

Pembahasan:

S(t8) = S(t7)

(r8 − d8

r8

)0, 75 = 0, 9

(r8 − d8

r8

)0, 75r8 − 0, 9r8 = −1, 8

−0, 15r8 = −1, 8

r8 = 12

S(t9) = S(t8)

(r9 − d9

r9

)0, 5 = 0, 75

(10−ω− 2

10−ω

)0, 5(10−ω) = 36− 0, 75ω

ω =6− 5

0, 75− 0, 5ω = 4

sehingga banyaknya orang yang terminasi adalah 4

Jawab. C.

30. Manakah diantara fungsi di bawah ini yang bukan merupakan probability density function(PDF):

i. f (x) =1

(1 + x)3 , untuk x ≥ 0

ii. f (x) =1

(1 + x)2 , untuk x ≥ 0

iii. f (x) = (2x− 1)e−x, untuk x ≥ 0

A. i saja

B. ii saja

C. iii saja

D. i dan iii

E. ii dan iii

Pembahasan:

124

Page 125: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

4 A50 Periode Juni 2016

i. f (x) =1

(1 + x)3 , untuk x ≥ 0 jelas f (x) ≥ 0, untuk setiap x ∈ R

∫ ∞

0

1(1 + x)3 dx =

∫ ∞

1

1u3 du

= − 12u2

∣∣∞1 =

12

(Tidak memenuhi syarat pdf)

ii. f (x) =1

(1 + x)2 , untuk x ≥ 0 jelas f (x) ≥ 0, untuk setiap x ∈ R

∫ ∞

0

1(1 + x)2 dx =

∫ ∞

1

1u2 du

=−1u∣∣∞1

=11

(memenuhi syarat pdf)

iii. f (x) = (2x− 1)−x, untuk x ≥ 0 jelas f (x) ≥ 0, untuk setiap x ∈ R

∫ ∞

0(2x− 1)e−xdx =

∫ −∞

0eu(2u + 1)du

misal u = −x maka du = −dx

=∫ 0

1(2 ln(v) + 1)dv misal v = eu maka dv = eudu

= 2∫ 0

1ln(v)dv +

∫ 0

11dv

nilai∫ 0

1 ln(v)dv tidak bisa ditentukan

(Tidak memenuhi syarat pdf)

Jawab. D.

125

Page 126: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

1. Misalkan X adalah variabel acak untuk umur pada saat kematian dengan

µx =1

2(100− x), untuk 0 ≤ x ≤ 100

Hitunglah 20 p36

A. 0,542

B. 0,633

C. 0,683

D. 0,781

E. 0,829

Pembahasan:

nPx = exp(−∫ x+n

xµx dx)

20P36 = exp(−∫ 56

36

12(100− x)

dx)= 0, 829

Jawab: E.

2. Jika diketahui:

a. 100 orang yang diamati berumur x

b. 60 orang peserta baru masuk dalam pengamatan pada umur x + s, 0 < s < 1

c. Terdapat 4 kematian dalam interval (x, x + 1]

d. Dengan menggunakan metode actuarial exposure diperoleh ˆqx = 1/35

Tentukan s

A. 1/5

B. 3/10

C. 1/3

126

Page 127: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

D. 2/3

E. 7/10

Pembahasan:Diketahui :

a) 100 orang yang diamati berumur x

b) 60 orang baru masuk pada umur x + s

c) terdapat 4 kematian dalam interval (x, x + 1]

Akan ditentukan s, sehingga :

qx =dj

ε j

⇔ 135 =

4100 + 60(1− s)

⇔ 135 =

4160− 60s

⇔ 160− 60s = 140

⇔ 60s = 160− 140

⇔ s =2060

=13

Jawab: C.

3. Diketahui µx = 0, 005 untuk semua umur x > 0. Probabilitas bahwa seseorang berumur 30tahun akan tetap hidup untuk 10 tahun berikutnya adalah A. Setelah itu, orang tersebut akantetap hidup untuk 10 tahun berikutnya lagi, dengan probabilitas sebesar B. Berapakah nilaiA/B?

A. 1,00

B. 0,80

C. 0,75

D. 0,50

E. 0,30

Pembahasan:Diketahui :

• µx = 0, 005

• 10P30 = A

127

Page 128: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

• 10P40 = B

Akan ditentukan nilai A dan B dari hasil yang diketahui melalui persamaan :

tPx = exp(−∫ x+t

xµx dx)

sehingga diperoleh :

10P30 = exp(−∫ 40

300, 005 dx) = 0, 606531

10P40 = exp(−∫ 50

400, 005 dx) = 0, 606531

AB

= 1

Jawab: A.

4. Jika diketahui force of mortality adalah µ(d)x = 4

5(100−x) dan force of withdrawal adalah

µ(w)x = 6

5(100−x) , hitunglah conditional density function untuk kematian seseorang pada umur70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70.

A. 30−t600

B. 30−t1200

C. 30−t1125

D. 70−t1200

E. 70−t1800

Pembahasan:Diketahui:

µ(d)x =

45(100− x)

µ(w)x =

65(100− x)

• Kondisonal orang tersebut hidup pada umur 70

sehingga :

µ(τ)x = µ

(w)x + µ

(d)x

=4

5(100− x)+

65(100− x)

=10

5(100− x)

128

Page 129: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

selanjutnya

t p(τ)x = exp(−∫ t

0µ(τ)x (y) dy

)=

(100− t)2

10000

S(70) = 70P0 =9

100

f (t, j) =(100− t)2

10000× 4

5(100− t)=

4(100− t)50000

maka conditional density untuk kasus di atas adalah :

conditional density = =f (t, j)S(x)

=t p(τ)70 µ

(d)70

S(70)

=4(100−(70+t))

500009

100

=30− t1125

Jawab: C.

5. Dalam sebuah studi menggunakan pendekatan estimasi moment, diperoleh data jumlah kema-tian dalam interval (x, x + 1] , berdasarkan besaran exposure yang diberikan sebagai berikut:

SelangJumlah

KematianExposure

(0, 1] 12 1100

(1, 2] 9 1220

(2, 3] 7 1365

(3, 4] 5 1522

(4, 5] 4 1784

Hitunglah S(5)

A. 0,794

B. 0,832

C. 0,896

D. 0,934

E. 0,971

129

Page 130: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Pembahasan:Diketahui bahwa:

i n′i qi pi

0 1100 121100

10881100

1 1220 91220

12111220

2 1365 71365

13581365

3 1522 51522

15171522

4 1784 41784

17801784

Dengan demikian diperoleh:

S(5) = p0 × p1 × p2 × p3 × p4

=10881100

× 12111220

× 13581365

× 15171522

× 17801784

= 0.9713678424

≈ 0.971

Jawab : E.

6. Diantara fungsi berikut ini, manakah yang valid sebagai force mortality

(i) µ(x) = BCx, B > 0, 0 < C < 1, x ≥ 0

(ii) µ(x) = B(x + 1)−12 , B > 0, x ≥ 0

(iii) µ(x) = k(x + 1)n, n > 0, k > 0, x ≥ 0

A. (i) saja

B. (ii) saja

C. (iii) saja

D. (i) dan (ii)

E. (ii) dan (iii)

Pembahasan:Berdasarkan persamaan (i) jelas bahwa untuk x ≥ 0 maka µ(x) ≥ 0 sehingga (i) benar

Jawab: A.

7. Pada sebuah model double decrement, diperoleh informasi sebagai berikut:

• l(T)x = 100

• l(T)x+3 = 60

130

Page 131: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

• 3q(1)x = 0, 04

• 2|q(2)x = 0, 06

Hitunglah 2q(2)x

A. 0,30

B. 0,32

C. 0,35

D. 0,38

E. 0,40

Pembahasan:Diketahui :

• l(T)x = 100

• l(T)x+3 = 60

• 3q(1)x = 0, 04

• 2|q(2)x = 0, 06

131

Page 132: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

sehingga :

tq(1)x =

d(j)x + d(j)

x+1 + ... + d(j)x+t−1

l(τ)x

3q(1)x =d(j)

x + d(j)x+1 + d(j)

x+2

l(τ)x

⇔ 0, 04 =d(j)

x + d(j)x+1 + d(j)

x+2100

⇔ 4 = d(j)x + d(j)

x+1 + d(j)x+2 (∗)

2|q(2)x =

d(2)x+2

l(τ)x

⇔ 0, 06 =d(2)x+2100

⇔ 6 = d(2)x+2 (∗∗)

l(τ)x+3 = l(τ)x − d(1)x − d(2)x − d(1)x+1 − d(2)x+1 − d(1)x+2 − d(2)x+2

⇔ l(τ)x+3 = l(τ)x − (d(1)x + d(1)x+1 + d(1)x+2)− (d(2)x + d(2)x+1)− d(2)x+2

⇔ d(2)x + d(2)x+1 = 100− 4− 6− 60

⇔ d(2)x + d(2)x+1 = 30 (∗ ∗ ∗)

diperoleh:

2q(2)2 =d(2)x + d(2)x+1

l(τ)x

=30100

= 0, 3

Jawab: A.

8. Diketahui force of mortality sebagai berikut:

µ(x) =

{0, 01 , untuk 0 < x ≤ 300, 02 , untuk x > 30

Hitunglah 20P20

A. 0,050

B. 0,238

C. 0,586

132

Page 133: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

D. 0,741

E. 0,867

Pembahasan:

nPx = exp(−∫ x+n

xµx dx)

20P20 = exp(−∫ 40

20µx dx

)= exp

(−(∫ 30

200, 01 dx +

∫ 30

200, 02 dx

))= 0, 74082

= 0, 741

Jawab: D.

9. Jika diasumsikan force of mortality adalah sebagai berikut:

µx = (1 + x)−1, untuk x > 0

Berapakah nilai tq20

A. 2t20+t

B. t20+t

C. 2020+t

D. t21+t

E. 2121+t

Pembahasan:

n px = exp(−∫ x+n

xµx dx

)t p20 = exp

(−∫ 20+t

t

11 + x

dx)=

21t + 21

tq20 = 1− t p20 = 1− 21t + 21

=t

21 + t

Jawab: D.

10. Sebuah studi mortalita dilakukan atas pengamatan terhadap 50 peserta dimulai dari waktu 0.Diketahui:

133

Page 134: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Waktu (t)Jumlah

Kematian(dt)

Jumlah yangdisensor (ct)

15 4 0

17 0 2

25 3 0

30 0 c30

32 8 0

40 3 0

S(35) adalah estimasi product limit dari S(35)

V[S(35)] adalah estimasi variansi dari S(35) menggunakan formula Greenwood.

V[S(35)][S(35)]2

= 0, 012452

Hitunglah c30, jumlah yang disensor pada waktu t = 30.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

Pembahasan:

V[S(35)] = [S(35)]2 ×3

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)

⇔ ∑3j=1

(dj

rj(rj − dj)

)=

V[S(35)][S(35)]2

⇔ 450(46)

+3

44(41)+

8(41− c)(33− c)

= 0, 012452

⇔ 1353− 74c + c2 = 884

⇔ 469− 74c + c2 = 0

sehingga

c =74−

√74c2 − 4(1)(469)

2(1)= 7

134

Page 135: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

dan

c =74 +

√74c2 − 4(1)(469)

2(1)= 67

sebab hanya ada 50 peserta sehingga c = 7

Jawab. B.

11. Dari studi mortalita yang diobservasi pada tahun kalender 2007, diperoleh data sebagai berikut:

Individu Tanggal Lahir

A 1 Juli 1976

B 1 Januari 1977

C 1 Juli 1977

Dalam periode observasi tersebut, hanya individu B yang meninggal dunia dan tidak ada in-dividu yang melakukan withdrawal. Dengan menggunakan metode exact exposure (asumsiforce of mortality adalah konstan) diperoleh q30 = 0, 451.

Pada tanggal berapa individu B meninggal dunia? (cari tanggal yang terdekat)

A. 1 Agustus 2007

B. 1 September 2007

C. 1 Oktober 2007

D. 1 November 2007

E. 1 Desember 2007

Pembahasan:Misalkan:yi= tanggal awal pengamatan-tanggal lahirzi=tanggal akhir pengamatan-tanggal lahirθi=tanggal meninggal-tanggal lahirφi=tanggal withdraw-tanggal lahir

ri =

{0 , jika yi ≤ x

yi − x , jika x < yi < x + 1

si =

{zi − x , jika x < zi < x + 1

1 , jika zi ≥ x + 1

135

Page 136: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

ιi =

0 , jika θi = 0

θi − x , jika x < θi < x + 10 , θi ≥ x + 1

κi =

0 , jika φi = 0

φi − x , jikax < φi < x + 10 , φi ≥ x + 1

εeksak =

si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawκi − ri , jika seseorang withdrawιi − ri , jika seseorang meninggal

TanggalLahir

Yi zi θi φi ri si ιi κiExposureeksak

1 Jul 1976 30.5 31.5 0 0 0.5 1 0 0 0.5

1 Jan 1977 30 31 30 + x 0 0 1 x 0 x

1 Jul 1977 29.50 30.5 0 0 0 0.5 0 0 0.5

Total 1 + x

q30 = 1− exp(− 1

1 + x

)⇔ 0, 451 = 1− exp

(− 1

1 + x

)⇔ exp

(− 1

1+x

)= 0, 549

⇔ − 11+x = ln (0, 549)

⇔ 11+x = 0, 59966

⇔ x = 0, 66762

sehingga

b12

= 0, 66762

⇔ b = 8, 01145

Sehingga, jika 30+ 0.0 dimulai 1 januari 2007 (bulan ke-1) maka individu B meninggal dunia

136

Page 137: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

sekita tanggal 1 September 2007

Jawab. B.

12. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatan:

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi, i = 1, 2, 3, 4

Diberikan data sebagai berikut:

i X2i X3i

1 -3 -1

2 -1 3

3 1 -3

4 3 1

Estimasi least square dari β3, dinyatakan sebagai β3 = ∑4i=1 wiYi

Tentukan nilai dari (w1, w2, w3, w4)

A. (− 120 , 3

20 ,− 320 , 1

20 )

B. (− 120 ,− 3

20 , 320 , 1

20 )

C. ( 120 ,− 3

20 , 320 ,− 1

20 )

D. (− 320 ,− 1

20 , 120 , 3

20 )

E. ( 14 , 1

4 ,− 14 ,− 1

4 )

Pembahasan:Diketahui:

β3 =4

∑i=1

wi Yi =4

∑i=1

[(xi − x)

∑ni=1(xi − x)2

]Yi

sehingga

wi =

[(xi − x)

∑ni=1(xi − x)2

]dimana

x3 =−2 + 4 + (−4) + 2

4= 0

137

Page 138: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

dan

n

∑i=1

(xi − x)2 = (−2)2 + (4)2 + (−4)2 + (2)2 = 40

sehingga

w1 =−240

=−120

w2 =4

40=

220

w3 =−440

=−220

w4 =2

40=

120

Jawab: A.

13. Misalkan X adalah variabel acak untuk umur pada saat kematian.

Hitunglah 20m25, jika diasumsikan X mengikuti hukum de Moivre (berdistribusi uniform)dengan ω = 100.

A. 0,012

B. 0,013

C. 0,014

D. 0,015

E. 0,016

Pembahasan:Diketahui ω = 100 maka

µ(x) =1

100− x

danS(x) =

100− x100

138

Page 139: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

sehingga

20m25 =

∫ 200 S(25 + t)µ(25 + t)dt∫ 20

0 S(25 + t)dt

=

(∫ 200

75−t100 ×

175−t

)dt∫ 20

075−t100 dt

=

∫ 200

1100 dt∫ 20

0

( 34 −

t100)

dt

=0, 213

= 0, 015

Jawab: D.

14. Diketahui model deret waktu sebagai berikut:

yt = 0, 8yt−1 + 1 + εt − 0, 5εt−1

Juga diberikan:

• yT = 7, 0

• εT = 0, 4

Dengan mengasumsikan error di periode yang akan datang adalah nol, hitunglah perkiraan 2periode, yaitu yT(2)

A. 6,00

B. 6,12

C. 6,40

D. 6,67

E. 6,71

Pembahasan:Diketahui yt = 0, 8yt−1 + 1 + εt − 0, 5εt−1 adalah ARIMA(1,0,1) atau ARMA(1,1) dengangeneral form yt = φyt−1 + δ + εt − θεt−1

yT = 0, 7 dan ˆεT = 0, 4 sehingga

yT(2) = φ2yT + (φ + 1)δ− φ1θ1 εT

= (0, 8)2(7) + (0, 8 + 1)(1)− (0, 8)(0, 5)(0, 4)

= 6, 12

139

Page 140: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Jawab: B.

15. Dalam sebuah studi kesehatan untuk n orang yang hidup pada waktu t = 0, diketahui tidakada penambahan peserta. Terdapat 2 kematian pada waktu t5, 2 kematian pada waktu t6, dan1 kematian pada waktu t7. Dengan menggunakan estimasi product limit dari S(t), diperolehS(t5) = 0, 90, S(t6) = 0, 72, S(t7) = 0, 48. Hitunglah banyaknya orang yang melakukanterminasi antara t6 dan t7.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Pembahasan:Diketahui bahwa:

• n orang hidup pada waktu t = 0

• Tidak terdapat penambahan peserta.

• Terdapat 2 kematian yang terjadi pada waktu t5, 2 kematian pada t6, dan 1 kematianpada t7.

• Dengan menggunakan estimasi product limit dari S(t), diperoleh S(t5) = 0, 90, S(t6) =

0, 72, S(t7) = 0, 48.

Formula yang akan digunakan dalam soal ini adalah:

S(tk) =k

∏j=1

(rj − dj

rj

)

Nilai tersebut berlaku untuk tk−1 ≤ t ≤ tk.

Dengan demikian diperoleh:

140

Page 141: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

S(t6) = S(t5)

(r6 − d6

r6

)0, 72 = (0, 9)

(r6 − 2

r6

)0, 72r6 − 0, 9r6 = −1, 8

−0, 18r6 = −1, 8

r6 = 10

S(t7) = S(t6)

(r7 − d7

r7

)0, 48 = (0, 72)

(8−ω− 1

8−ω

)0, 48(8−ω) = 0, 72(7−ω)

3, 84− 0, 48ω = 5, 04− 0, 72ω

ω =5, 04− 3, 840, 72− 0, 48

= 5

Jadi, banyaknya orang yang melakukan terminasi antara t6 dan t7 adalah 5.

Jawab: D.

16. Jika diketahui qx′(d) = 0, 3 dan qx

′(w) = 0, 5, hitunglah qx(τ)

A. 0,25

B. 0,35

C. 0,45

D. 0,55

E. 0,65

Pembahasan:Diketahui bahwa: qx

′(d) = 0, 3 dan qx′(w) = 0, 5.

Formula yang akan digunakan dalam soal ini adalah: p(τ)x = p′(d)x × p

′(w)x .

Dengan demikian diperoleh:

141

Page 142: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

p(τ)x = p′(d)x × p

′(w)x

= (1− qx′(d))(1− qx

′(w))

= (1− 0, 3)(1− 0, 5)

= 0, 35

q(τ)x = 1− p(τ)x

= 1− 0, 35

= 0, 65

Jawab : E.

17. Untuk selang estimasi (x, x + 2], diketahui data sebagai berikut:

s = 0 s = 1

Jumlah orang yang hidup di umur x + s 200 170

Jumlah orang yang keluar di umur x + s + 0, 5 20 22

Jumlah peserta baru di umur x + s + 0, 25 40 32

Jumlah orang yang keluar di umur x + s + 0, 75 20 28

Jumlah orang yang bertahan di umur x + s + 1 170 140

Dengan menggunakan metode actuarial exposure, hitunglah estimasi 2qx, yaitu kemungkinanorang berumur x tahun yang akan meninggal dalam 2 tahun berikutnya.

A. 0,198

B. 0,200

C. 0,202

D. 0,204

E. 0,206

Pembahasan:

qx =dx

nx − (1− s).cx + (1− r)kx

untuk qx

qx =30

200− 20(1− 0, 5) + 40(1− 0, 25)− 20(1− 0, 75)= 0, 139535

142

Page 143: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

untuk qx+1

qx =30

170− 22(1− 0, 5) + 32(1− 0, 25)− 28(1− 0, 75)= 0, 068182

sehingga

ˆ2qx = 1− px.px+1

= 1− (1− qx) (1− qx+1)

= 1− (1− 0, 139535)(1− 0, 068182)

= 0, 198203

Jawab: A.

18. Jika µ(d)50+t dan µ

(w)50+t bernilai konstan pada 0 < t < 1, hitunglah q(d)50 jika diketahui

q′(d)50 = q

′(w)50 = 0, 4

A. 0,180

B. 0,215

C. 0,255

D. 0,285

E. 0,320

Pembahasan:

143

Page 144: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

p(τ)50 = p′(w)50 .p

′(d)50

=(

1− q′(w)50

) (1− q

′(d)50

)= (1− 0, 4)(1− 0, 4)

= 0, 36

q(τ)50 = 1− 0, 36 = 0, 64

p′(d)50 =

(p(τ)50

)p(d)50 /q(τ)50

⇔ ln(

p′(d)50

)=

p(d)50

q(τ)50

ln(

p(τ)50

)

⇔ p(d)50 = q(τ)50

ln(

p′(d)50

)ln(

p(τ)50

)= (0, 64)

ln 0, 6ln 0, 36

= 0, 32

Jawab. E.

19. Misalkan Anda melakukan smoothing deret waktu yt menggunakan metode exponential smooth-

ing 2-parameter dari Holt:

t yt yt rt

1995 120,50 117,50 12,00

1996 135,00 131,70 13,65

1997 147,70 146,29 14,36

1998 146,60 y1998 r1998

Hitunglah forecast 2-periode y2000 dengan terlebih dahulu melengkapi tabel di atas denganderet exponential 2-parameter dari Holt.

A. Lebih kecil dari 166

B. Paling sedikit 166, tetapi lebih kecil dari 172

C. Paling sedikit 172, tetapi lebih kecil dari 176

D. Paling sedikit 176, tetapi lebih kecil dari 180

E. Paling sedikit 180

Pembahasan:

144

Page 145: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Mencari Nilai α dan γ

y1996 = αy1996 + (1− α)(y1995 + r1995)

⇔ 131, 7 = 135α + (1− α)(117.5 + 12)

⇔ 131, 7 = 135α + 129, 5− 129, 5α

⇔ 5, 5α = 2, 2

⇔ α =2, 25, 5

= 0, 4

r1996 = γ(y1996 − y1995) + (1− γ)r1995

⇔ 13 = γ(131, 7− 117, 5) + (1− γ)12

⇔ 13 = 12 + 2, 2γ

⇔ γ =13− 12

2, 2=

511

maka

y1998 = αy1998 + (1− α)(y1997 + r1997)

= (0, 4)(146, 6) + (1− 0, 4)(146, 29 + 14, 36)

= 155, 03

dan

r1998 = γ(y1998 − y1997) + (1− γ)r1997

=

(511

)(155, 03− 146, 6) +

(1− 5

11

)14, 36

= 11, 66

y1998+2 = y1998 + 2r1998

= 155, 13 + 2(11, 66)

= 178, 359

Jawab. D.

20. Jika diketahui qxt(d) = 0,2 dan qx

t(w) = 0,4, hitunglah qx(t)

A. 0,08

B. 0,32

145

Page 146: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

C. 0,12

D. 0,92

E. 0,52

Pembahasan:Diketahui :

q′(d)x = 0,2

q′(w)x = 0,4

Rumus yang digunakan :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)q(w)

x = q′(w)x

(1− 1

2q′(d)x

)q(τ)x = q(d)x + q(w)

x

Dengan demikian diperoleh :

q(d)x = q′(d)x

(1− 1

2q′(w)x

)= 0,2

(1− 0,4

2

)= 0,16

q(w)x = q

′(w)x

(1− 1

2q′(d)x

)= 0,4

(1− 0,2

2

)= 0,36

q(τ)x = q(d)x + q(w)x

= 0,16 + 0,36

= 0,52

Jawab : E.

21. Dalam sebuah populasi tertentu, suatu cumulative hazard function didefinisikan sebagai berikut:

146

Page 147: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

µx(t) =

0, 010 , 60 < t ≤ 700, 015 , 70 < t ≤ 800, 025 , t > 80

Untuk seseorang dari populasi ini yang tepat berumur 65 tahun, hitunglah probabilitas bahwaorang tersebut akan meninggal dunia antara umur 80 dan 83 tahun.

A. 0,041

B. 0,059

C. 0,065

D. 0,068

E. 0,070

Pembahasan:

15 p65 = exp(−∫ 80

65µx(y)dy

)= exp

(−∫ 70

650, 01dy−

∫ 80

700, 015dy

)= 0, 81873

selanjutnya

3 p80 = exp(−∫ 83

80µx(y)dy

)= exp

(−∫ 83

800, 025dy

)= 0, 927743

maka 3q80 = 1− 3 p80 = 1− 0, 927743 = 0, 072257 sehingga

15|3q65 = 15 p653q80 = 0, 059159

Jawab. B.

22. Berdasarkan soal nomor 21 di atas, hitunglah probabilitas bahwa orang tersebut akan mening-gal dunia sebelum umur 75 tahun.

A. 0,078

147

Page 148: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

B. 0,088

C. 0,095

D. 0,105

E. 0,118

Pembahasan:Diketahui:

µx(t) =

0, 010 , 60 < t ≤ 700, 015 , 70 < t ≤ 800, 025 , t > 80

tPx = exp(−∫ x+t

xµx(y) dy)

= exp(−∫ 70

650, 01dy−

∫ 75

700, 015dy

)= 0, 882497

maka

75q65 = 1− 75 p65 = 1− 0, 882497 = 0, 117503 = 0, 118

Jawab: E.

23. Diketahui hasil dari regresi linear sebagai berikut:

tAktual(actual)

Penyesuaian(fitted)

1 76.00 75.20

2 70.00 70.50

3 71.00 71.60

4 73.00 73.20

5 66.00 64.80

Hitunglah estimasi koefisien korelasi deret lag 1 (lag 1 serial correlation coefficient) untukresidual, menggunakan statistik Durbin-Watson!

A. -0,02

B. 0,05

C. 0,22

148

Page 149: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

D. 0,30

E. 0,42

Pembahasan:t Aktual Penyesuaian εt εt

2 (εt − ˆεt−1)2

1 76 75,2 0,8 0,64 0

2 70 70,5 -0,5 0,25 1,69

3 71 71,6 -0,6 0,36 0,01

4 73 73,2 -0,2 0,04 0,16

5 66 64,8 1,2 1,44 1,96

Total 0,7 2,73 3,82

d =∑n

t=2(εt − ˆεt−1)2

∑nt=1 εt

2

=3, 822, 73

= 1, 4

p = 1− 1, 42

= 0, 3

Jawab. D.

24. Diketahui informasi sebagai berikut:

(i.) yi = βxi + εi

Var(εi) =( xi

2)2

(ii.)

i xi yi

1 1 6

2 2 4

3 3 2

4 4 -2

Tentukan nilai estimasi weighted least square dari β

A. 1,35

B. 1,88

C. 1,96

D. 2,04

E. 2,35

Pembahasan:Akan ditentukan nilai estimasi weighted least square dari β. Apabila wi =

1σ2 =

1Var(εi)

149

Page 150: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

i xi yi Var(εi) wi wixiyi x2i wix2

i

1 1 6 0,25 4 24 1 4

2 2 4 1 1 8 4 4

3 3 2 2,25 0,444444 2,666667 9 4

4 4 -2 4 0,25 -2 16 4

Total 10 10 7,5 5,694444 32,66667 30 16

β =n

∑i=1

wixiyi

∑ni=1 wix2

i=

32, 66716

= 2, 041

Jawab: D.

25. Untuk sebuah deret waktu yt, diketahui:

t yt yt − y

1 960 -15

2 1030 22

3 880 -10

4 1020 14

5 975 -8

Hitunglah estimasi fungsi autokorelasi parsial (partial autocorrelation) pada time displace-

ment k = 2 (dibulatkan 2 desimal)

A. -0,14

B. -0,63

C. 0,22

D. 0,28

E. 0,36

Pembahasan:

150

Page 151: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Autocorellation

rk =∑n−k

i=1 (yt − y)(yi+k − y)∑n

i=1(yt − y)2

r1 =∑4

i=1(yt − y)(yi+k − y)

∑5i=1(yt − y)2

=(−15)(22) + (22)(−10) + (−10)(14) + (14)(−8)

(−15)2 + (22)2 + (−10)2 + (14)2 + (−8)2

= −0, 75023

r2 =∑4

i=1(yt − y)(yi+k − y)

∑5i=1(yt − y)2

=(−15)(−10) + (22)(14) + (−10)(−8)

(−15)2 + (22)2 + (−10)2 + (14)2 + (−8)2

= 0, 503274

sehingga

ϕ22 =(0, 503274)− (−0, 75023)2

1− (−0, 75023)2

= −0, 13628

= −0, 14

Jawab.A.

26. Pada sebuah model double decrement, diketahui:

a) Dalam tabel decrement tunggal yang diasosiasikan dengan penyebab (1), q′(1)40 = 0, 100

dan berdistribusi uniform dalam suatu tahun.

b) Dalam tabel decrement tunggal yang diasosiasikan dengan penyebab (2), q′(2)40 = 0, 125

dan semua decrement terjadi pada saat t = 0, 7.

Hitunglah q(2)40

A. 0,114

B. 0,115

C. 0,116

D. 0,117

E. 0,118

Pembahasan:

151

Page 152: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Untuk Uniform

tq′(j)x = tq

′(j)x

Lompatan discrete(discrete jump) pada waktu t

sq(i)x =∫ s

0

[n

∏j=1,j 6=1

t p′(j)x

].t p′(i)x .µ(i)

x+t dt

Untuk penyebab 1, tq′(1)40 = tq

′(1)40 = 0, 1t untuk 0 ≤ t ≤ 1

untuk penyebab 2, terdapat 1 lompatan sebesar 0,125 pada waktu t = 0, 7

q(2)40 =∫ 1

0

[2

∏j=1,j 6=2

t p′(j)40

].t p′(2)40 .µ(2)

40+t dt

=∫ 1

0t p′(1)40 .t p

′(2)40 .µ(2)

40+t dt

=(

0,7 p′(1)40

) (q′(2)40

)= (1− (0, 1)(0, 7)) (0, 125)

= 0, 11625

Jawab: C.

27. Diketahui:

i. µx = F + e2x, x ≥ 0

ii. 0,4 p0 = 0, 45

Hitunglah nilai F (dibulatkan).

A. 0,20

B. 0,30

C. 0,46

D. 0,52

E. 0,63

Pembahasan:

nPx = exp(−∫ x+n

xµx dx)

152

Page 153: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

selanjutnya

exp(−∫ 0,4

0 F + e2x dx)

= 0, 45

⇔ exp(−0, 4F− 0, 6128) = 0, 45

⇔ ln(exp(0, 4F− 0, 6128)) = ln(0, 45)

⇔ −0, 4F− 0, 6128 = −0, 79851

⇔ F = 0, 46427

⇔ F = 0, 46

Jawab. C.

28. Untuk suatu model ARMA(1, 1) diberikan persamaan sebagai berikut:

yt = 0, 9yt−1 + 3 + εt − 0, 4εt−1

Hitunglah ρ1

A. 0,62

B. 0,73

C. 0,81

D. 0,88

E. 0,92

Pembahasan:Berdasarkan yt = 0, 9yt−1 + 3 + εt − 0, 4εt−1 diperoleh φ = 0, 9 dan θ = 0, 4 sehingga

ρ1 =(1− (0, 4)(0, 9))((0, 9)− (0, 4))

1− 2(0, 9)(0, 4) + (0, 4)2 (0, 9)1−1 = 0, 727 = 0, 73

Jawab: B.

29. Anda mencocokkan model moving average order pertama yang invertible ke dalam DeretWaktu. Koefisien autocorrelation dari sample lag 1 adalah −0, 40. Hitunglah tebakan awaluntuk θ, yaitu parameter moving average.

A. 0,3

B. 0,4

C. 0,5

D. 0,6

153

Page 154: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

E. 0,7

Pembahasan:Diketahui Autocorellation function untuk MA(q) yang invertible

ρh = −θh ∑

q−hj=1 θjθj+h

1 + ∑qj=1 θ2

j

ρ1 = − θ1

1 + θ21

⇔ −0, 4 = − θ1

1 + θ21

⇔ 0, 4(1 + θ21) = θ1

⇔ 4(1 + θ21) = 10θ1

⇔ 4θ21 − 10θ1 + 4 = 0

⇔ (4θ1 − 2)(θ1 − 2) = 0

⇔ θ1 = 12 θ1 = 2

Jawab: C.

30. Untuk satu orang yang diamati dalam studi mortalita yang dilakukan dari tanggal 1 Januari1991 sampai dengan 30 Juni 1993, diperoleh informasi sebagai berikut :

I. Tanggal lahir : 1 November 1960

II. Tanggal dimulainya pengamatan : 1 Februari 1991

III. Tanggal kematian : 1 Mei 1993

Dengan menggunakan metode exact exposure, diperoleh E = e30 + e31 + e32

Dengan menggunakan metode actuarial exposure, diperoleh A = e30 + e31 + e32

(catatan: ex adalah exposure untuk umur x)

Hitunglah E + A (dalam tahun)

A. 4,25

B. 4,50

C. 4,75

D. 5,00

E. 5,25

Pembahasan:Misalkan:

154

Page 155: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

yi = tanggal awal pengamatan-tanggal lahirzi =tanggal akhir pengamatan-tanggal lahirθi =tanggal meninggal-tanggal lahirφi =tanggal withdraw-tanggal lahir

ri =

{0 , jika yi ≤ x

yi − x , jika x < yi < x + 1

si =

{zi − x , jika x < zi < x + 1

1 , jika zi ≥ x + 1

ιi =

0 , jika θi = 0

θi − x , jika x < θi < x + 10 , θi ≥ x + 1

κi =

0 , jika φi = 0

φi − x , jikax < φi < x + 10 , φi ≥ x + 1

εeksak =

si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawκi − ri , jika seseorang withdrawιi − ri , jika seseorang meninggal

εaktuaria =

si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawκi − ri , jika seseorang withdraw1− ri , jika seseorang meninggal

TanggalLahir

Yi zi θi φi ri si ιi κiExposureeksak

EksposureAktuari

e30 30,25 32,75 32,5 0 1 0 1 1

e31 30,25 32,75 32,5 0 1 0 1 1

e32 30,25 32,75 32,5 0 0,75 0,25 0,25 1

Total 2,25 3

Sehingga E + A = 2, 25 + 3 = 5, 25

155

Page 156: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

5 A50 Periode November 2016

Jawab. E.

156

Page 157: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

1. Jika diketahui fungsi survival dari seseorang yang baru lahir adalah sebagai berikut :

S0(x) =

{1− x

250 , untuk 0 ≤ x ≤ 401− x

100 , untuk 40 ≤ x ≤ 100

Hitunglah probabilitas dari seseorang yang berumur 35 akan meninggal 20 tahun kemudian

A. 0,15

B. 0,16

C. 0,17

D. 0,18

E. 0,19

Pembahasan:Diketahui:

S0(x) =

{1− x

250 , untuk 0 ≤ x ≤ 401− x

100 , untuk 40 ≤ x ≤ 100

Rumus yang digunakan adalah:

nPx = S(x+t)S(x)

Dengan demikian diperoleh :

20 p35 =S(55)S(35)

=1− ( 55

100 )2

1− 35250

= 0, 811047

20q35 = 1− 20 p35 = 1− 0, 811047 = 0, 1889 = 0, 19

Jawab:E.0,19

157

Page 158: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

2. Diketahui fungsi survival dari seseorang berumur 40 tahun adalah sebagai berikut:

S40(x) =

{1− (0, 02t)2 , untuk 0 ≤ t ≤ 250.75eb(t−25) , untuk 25 ≥ t

Dari tiga nilai berikut,

(i) -0,2

(ii) 0

(iii) 0,2

nilai manakah yang menyebabkan fungsi survival menjadi tidak valid

A. -0,2 dan 0

B. 0 dan 0,2

C. -0,2

D. 0

E. 0,2

Pembahasan:Diketahui :

S40(x) =

{1− (0, 02t)2 , untuk 0 ≤ t ≤ 250.75eb(t−25) , untuk 25 ≥ t

Rumus yang digunakan adalah:

nPx = S(x+t)S(x)

Dengan demikian diperoleh :

158

Page 159: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

tPx =S(x + t)

S(x)

tP40 =S(40 + t)

S(40)

=0.75eb(t−25)

1− (0, 02(0))2

=0.75eb(t−25)

1= 0.75eb(t−25)(∗)

berdasarkan (*) untuk t ≤ 25, dengan menggunakan simulasi untuk setiap nilai b, diperoleh:

t -0,2 0 0,2

25 0.75 0.75 0.75

26 0.614048065 0.75 0.916052069

27 0.502740035 0.75 1.118868523

28 0.411608727 0.75 1.3665891

29 0.336996723 0.75 1.669155696

30 0.275909581 0.75 2.038711371

31 0.225895659 0.75 2.490087692

32 0.184947723 0.75 3.041399975

33 0.151422388 0.75 3.714774318

34 0.123974166 0.75 4.537235598

35 0.101501462 0.75 5.541792074

36 0.083102369 0.75 6.768760125

37 0.068038465 0.75 8.267382285

38 0.055705184 0.75 10.09780353

39 0.045607547 0.75 12.33348508

40 0.037340301 0.75 15.06415269

41 0.030571653 0.75 18.39939765

42 0.025029952 0.75 22.47307504

43 0.020492792 0.75 27.44867583

44 0.016778079 0.75 33.52588837

Sehingga nilai yang valid untuk b adalah -0.2, sebab untuk b=0 nilai t p40 constant sedangkanuntuk b=0.2 nilainya lebih dari 1. Secara valid, semakin berumur seseorang nilai n p40 semakinrendah < 1, bukan konstan dan > 1. Sehingga nilai yang tidak valid adalah

159

Page 160: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Jawab:B. 0 dan 0,2

3. Dalam sebuah populasi yang di dalamnya terdapat laki-laki dan perempuan dengan jumlahyang sama pada saat kelahiran, diketahui informasi sebagai berikut.

(i) Pria : µpriax = 0, 1 untuk x ≥ 0

(ii) Wanita : µwanitax = 0, 06 untuk x ≥ 0

Hitunglah nilai q60 untuk populasi ini

A. 0,046

B. 0,051

C. 0,056

D. 0,061

E. 0,066

Pembahasan:Diketahui

(i) Pria : µpriax = 0, 1 untuk x ≥ 0

(ii) Wanita : µwanitax = 0, 06 untuk x ≥ 0

Rumus yang digunakan adalah:

t px = exp(−∫ t

0 µx(s)ds)

Dengan demikian diperoleh :

µ(w)x (s) = 0, 06

Sw0 (t) = t p(w)

x = exp(−∫ t

00, 06ds) = exp(−0, 06t)

µ(p)x (s) = 0, 1

Sp0 (t) = t p(p)

x = exp(−∫ t

00, 1ds) = exp(−0, 1t)

Selanjutnya untuk semua populasi,

S0(60) =exp(−0, 1(60)) + exp(−0, 06(60))

2= 0, 014901

S0(61) =exp(−0, 1(61)) + exp(−0, 06(61))

2= 0, 013988

160

Page 161: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Sehingga,

q60 = 1− S0(61)S0(60)

= 0, 061307

Jawab: D. 0,061

4. Dalam suatu populasi yang pada awalnya terdapat 75% wanita dan 25% pria, diketahui:

i. untuk wanita, force of mortality adalah konstan dan bernilai µ

ii. untuk pria, force of mortality adalah kontan dan berniali 1, 5µ

iii. pada akhir tahun ke-20, populasi berubah menjadi 80%wanita dan 20% pria

Hitunglah probabilitas wanita yang survive pada tahun ke-1.

A. 0,972

B. 0,976

C. 0,980

D. 0,984

E. 0,988

Pembahasan:Diketahui :Dalam suatu populasi yang pada awalnya terdapat 75% wanita dan 25% pria, diketahui:µw

x = µ

µpx = 1, 5µ

Pada akhir tahun ke-20, populasi berubah menjadi 80% wanita dan 20% pria

Rumus yang digunakan adalah:S0(t) = exp(−

∫ t0 µds)

Proses :

Sw(t) = exp(−∫ t

0µds) = e−µt

Sp(t) = exp(−∫ t

01, 5µds) = e−1,5µt

161

Page 162: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Sehingga untuk t = 20

Sw(20) = e(−20µ)

Sp(20) = e(−30µ)

misalkansaat t = 0 tedapat X laki-laki dan 3X perempuan.saat t = 20 tedapat (X.e−30µ) laki-laki dan (3X.e−20µ) perempuan.Sehingga diperoleh

(X.e−30µ)

(3X.e−20µ)=

2080

80.e−30µ = 60.e−20µ

e−10µ =6080

e−µ = (6080

)1

10

e−µ = 0, 972

Sehingga probabilitas wanita survive pada tahun ke 1 adalah:Sw(1) = e−µ = 0, 972

Jawab: A. 0,972

5. Diketahui informasi sebagai berikut

(i) µx+t adalah force of mortality

(ii) R = 1− e−∫ t

0 µx+tdt

(iii) S = 1− e−∫ t

0 µx+t+kdt

(iv) kmerupakan konstan sedemikian hingga S = 0, 75R

Tentukan ekspresi untuk k

A. ln( 1−0,75qx1−px

)

B. ln( 1−0,75px1−px

)

C. ln( 1−px1−0,75qx

)

D. ln( 1−qx1−0,75qx

)

E. ln( 1−0,75qx1−qx

)

162

Page 163: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Pembahasan:Diketahui:

(i) µx+t adalah force of mortality

(ii) R = 1− e−∫ t

0 µx+tdt

(iii) S = 1− e−∫ t

0 µx+t+kdt

(iv) S = 0, 75R

Rumus yang digunakan adalah:

t px = exp(−∫ x+t

x µx(y)dy)Dengan demikian diperoleh :

S = 0, 75R

1− (e−∫ t

0 µx+t+kdt) = 0, 75(1− e−∫ t

0 µx+tdt)

0, 25− (e−(∫ t

0 µx+tdt+∫ t

0 kdt)) = −0, 75(e−∫ t

0 µx+tdt)

0, 25− (e−(

∫ t0 µx+tdt)

e∫ t

0 kdt) = −0, 75(e−

∫ t0 µx+tdt)

0, 25− t px

ekt = −0, 75t px

0, 25ekt −t px = −0, 75t pxekt

0, 25ekt + 0, 75t pxekt = tpx

ekt(0, 25 + 0, 75t px) = t px

kt + ln(0, 25 + 0, 75t px) = ln(t px)

k = ln(t px)− ln(0, 25 + 0, 75t px)

k = ln( t px

(0, 25 + 0, 75t px))

untuk t = 1,maka

k = ln(px

(0, 25 + 0, 75t px))

k = ln(1− qx

(0, 25 + 0, 75t px))

k = ln(1− qx

(0, 25 + 0, 75t(1− qx)))

k = ln(1− qx

1− 0, 75qx)

163

Page 164: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Jawab: D.k = ln( 1−qx1−0,75qx

)

6. Diantara fungsi berikut ini, manakah yang valid sebagai force of mortality?

(i) µ(x) = BCx, B > 0, 0 < C < 1, x ≥ 0

(ii) µ(x) = B(x + 1)−12 , B > 0, x ≥ 0

(iii) µ(x) = k(x + 1)n, n > 0, k > 0, x ≥ 0

A. i saja

B. iisaja

C. iii saja

D. i dan ii saja

E. ii dan iii saja

Pembahasan:Diketahui :

(i) µ(x) = BCx, B > 0, 0 < C < 1, x ≥ 0

(ii) µ(x) = B(x + 1)−12 , B > 0, x ≥ 0

(iii) µ(x) = k(x + 1)n, n > 0, k > 0, x ≥ 0

Rumus yang digunakan adalah:µx = f (x)

S(x) , untuk x ≥ 0, µx ≥ 0

S(x) = e−∫ x

0 µ(t)dt, S(0) = 1 dan S(∞) = 0

Dengan demikian diperoleh :

(i)S(x) = e−∫ x

0 BCtdt = e−BCx−Bln(C)

untuk x = 0, S(0) 6= 1(tidak valid)

(ii)S(x) = e−∫ x

0 B(t+1)−12 dt = e−2B(x+1)

12 +2B

untuk x = 0, S(0) = 1untuk x = ∞, S(∞) = 1(valid)

(iii)S(x) = e−∫ x

0 k(t+1)ndt = e−k(1+x)n+1−k

n+1

untuk x = 0, S(0) = 1untuk x = ∞, S(∞) = 1(valid)

164

Page 165: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Sehingga yang valid adalah (ii) dan (iii)

Jawab: E. ii dan iii saja

7. Dalam suatu tabel double decrement, diberikan data sebagi berikut:

x q(1)x q(2)x

25 0,01 0,15

26 0,02 0,15

Bila diketahui l(T)26 = 8400 hitunglah perubahan pada d(1)26 jika q(2)25 berubah dari 0,15 menjadi0,3

A. 20

B. 25

C. 30

D. 35

E. 40

Pembahasan:Diketahui :

x q(1)x q(2)x

25 0,01 0,15

26 0,02 0,15

l(T)26 = 8400Rumus yang digunakan adalah:

tq(j)x = td

(j)x

l(τ)x

tq(τ)x = ∑m

j=1 q(j)x

q(τ)x =l(τ)x −l(τ)x+1

l(τ)x

Dengan demikian diperoleh :

d(1)26 = l(τ)26 .q(1)26

= 8400.(0, 02)

= 168

165

Page 166: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

d(2)26 = l(τ)26 .q(2)26

= 8400.(0, 15)

= 1260

q(τ)25 = q(1)25 .q(2)25 = 0, 01 + 0, 15 = 0, 16

q(τ)25 =l(τ)25 − l(τ)26

l(τ)25

0, 16 =l(τ)25 − 8400

l(τ)25

l(τ)25 − 0, 16l(τ)25 = 8400

l(τ)25 =84000, 84

l(τ)25 = 10000

bila q(2)25 menjadi 0,3

q(τ)25 =m

∑j=1

q(j)25 = 0, 01 + 0, 3 = 0, 31

q(τ)25 =10000− l(τ)26

10000

0, 31 =10000− l(τ)26

10000

l(τ)26 = 6900

d(1)26 = l(τ)26 .q(1)26

= 6900(0, 02)

= 138

Selisih

168− 138 = 30

Jawab: C.30

8. Pada sebuah model double decrement, diperoleh informasi sebagai berikut:

166

Page 167: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

x l(T)x d(1)x

30 9,450 40

31 9,220 85

32 8,680 150

33 7,520 315

34 5,600 450

Hitunglah probabilitas bahwa seseorang yang berumur 30 tahun akan berkurang dalam 3 tahunkarena decrement ke-2.

A. 0,165

B. 0,170

C. 0,175

D. 0,18

E. 0,185

Pembahasan:Diketahui :

x l(T)x d(1)x

30 9,450 40

31 9,220 85

32 8,680 150

33 7,520 315

34 5,600 450

Rumus yang digunakan adalah:untuk double decrement:l(τ)x+1 = l(τ)x − d(1)x − d(2)x

nq(j)x =

∑n−1i=0 d(j)

x+i

l(τ)x

Dengan demikian diperoleh:

Berdasarkan l(τ)x+1 = l(τ)x − d(1)x − d(2)x diperoleh tabel

167

Page 168: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

x l(T)x d(1)x d(2)x

30 9,450 40 190

31 9,220 85 455

32 8,680 150 1010

33 7,520 315 1605

34 5,600 450

dengan menngunakan konsep jumlah barisan aritmatika

3q(j)30 =

∑n−1i=0 d(j)

30+i

l(τ)x

=190 + 455 + 1010

9450= 0, 17513

Jawab: C.0,175

9. Untuk sebuah tabel double decrement penyebab pertama adalah kematian dan penyebab keduaadalah withdrawal, diketahui informasi sebagi berikut

(i) Kematian terdistribusi unfirofm sepanjang tahun dalam tabel single decrement

(ii) Withdrwal terjadi di akhir tahun

(iii) l(τ)x = 1000

(iv) q(2)x = 0, 5

(v) d(1)x = 0, 65d(2)x

Hitunglah nilai p′(2)x untuk populasi ini

A. 0.26

B. 0,33

C. 0,4

D. 0,47

E. 0,54

Pembahasan:Diketahui:

(i) Kematian terdistribusi unfirofm sepanjang tahun dalam tabel single decrement

(ii) Withdrwal terjadi di akhir tahun

(iii) l(τ)x = 1000

(iv) q(2)x = 0, 5

168

Page 169: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

(v) d(1)x = 0, 65d(2)x

Rumus yang digunakan adalah:

tq(j)x =

∑t−1j=0 d(j)

x+j

l(τ)x

l(τ)x+1 = l(τ)x − d(1)x − d(2)x

p′(2)x = (p(τ)x )

q(2)xq(τ)x

Dengan demikian diperoleh :

q(2)x =∑1−1

j=0 d(2)x+j

l(τ)x

0, 5 =d(2)x1000

d(2)x = 500

d(1)x = 0, 65(d(2)x )

= 0, 65(500)

= 325

l(τ)x+1 = l(τ)x − d(1)x − d(2)x

= 1000− 325− 500

= 175

p(τ)x =l(τ)x+1

l(τ)x

=175

1000= 0, 175

p′(2)x = (p(τ)x )

q(2)xq(τ)x = (0, 175)

0,51−0,75 = 0, 347724

169

Page 170: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Sehingga jawaban yang paling mendekati adalah 0,33

Jawab:B. 0,33

10. Untuk sebuah model double decrement:

i. q′(1)x = 0.3

ii. q′(2)x = 0.4

iii. setiap decrement berdistribusi uniform sepanjang taun dalam tabel double decrement

Berapakah nilai 0.3q(1)x

A. 0,07

B. 0,076

C. 0,082

D. 0,088

E. 0,094

Pembahasan:Diketahui:

i. q′(1)x = 0.3

ii. q′(2)x = 0.4

iii. setiap decrement berdistribusi uniform sepanjang taun dalam tabel double decrement

Rumus yang digunakan adalah:

sq(1)x = q(1)x (s− q′(2)x

q′(τ)x

s2), 0 ≤ s ≤ 1

Dengan demikian diperoleh :

170

Page 171: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

q(τ)x = 1− p(τ)x

= 1− ((1− q′(1)x )(1− q

′(2)x ))

= (1− t65

).(1− t30

)

= 1− ((0.7)(0.6))

= 0.58

0.3q(1)x = q′(1)x (0.3− (q

′(2)x )

qτx

0, 32)

= 0, 3(0.3− 0, 40, 58

0, 32)

= 0, 071

Jawab: A.0,07

11. Berikut ini adalah tabel mortalitas select dan ultimate dengan periode seleksi 3 tahun

[x] q[x] q[x]+1 q[x]+2 q[x]+3 x+3

60 0,10 0.12 0,14 0,16 63

61 0,11 0.13 0,15 0,17 64

62 0,12 0.14 0,16 0,18 65

63 0,13 0,15 0,17 0,19 66

64 0,14 0,16 0,18 0,20 67

(i) Bapak budi adalah indicidu baru yang diamati pada tanggal 1 januari 2015

(ii) Umur bapak budi tanggal 1 Januari 2016 adalah 61

(iii) Padalah probablitas pada 1 januari 2016 bahwa Bapak Budi akan tetap hidup pada tang-gal 1 Januari 2021

Hitunglah nilai P

A. 0 ≤ P < 0, 43

B. 0, 43 ≤ P < 0, 45

C. 0, 45 ≤ P < 0, 47

D. 0, 47 ≤ P < 0, 49

E. 0, 49 ≤ P < 1

171

Page 172: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Pembahasan: Diketahui:

[x] q[x] q[x]+1 q[x]+2 q[x]+3 x+3

60 0,10 0.12 0,14 0,16 63

61 0,11 0.13 0,15 0,17 64

62 0,12 0.14 0,16 0,18 65

63 0,13 0,15 0,17 0,19 66

64 0,14 0,16 0,18 0,20 67

Rumus yang digunakan adalah:

nP[x]+1 = P[x]+1.P[x]+2....P[x]+n

Dengan demikian diperoleh :

p = 5 p[60]+1

= P[60]+1.P[60]+2.P[60]+3.P[60]+4.P[60]+5

= P61.P62.P63.P64.P65

= (1− q61)(1− q[62)(1− q63)(1− q64)(1− q65)

= (1− 0, 12)(1− 0, 14)(1− 0, 16)(1− 0, 17)(1− 0, 18)

= 0, 432666

= 0, 433

Jawab: B. 0, 43 ≤ p ≤ 0, 45

12. Berikut ini adalah tabel mortalitas select dan ultimate dengan periode seleksi 2 tahun

[x] q[x] q[x]+1 q[x]+2

30 0,00422 0,00465 0,00620

31 0,00454 0,00598 0,00690

32 0,00473 0,00635 0,00790

33 0,00511 0,00680 0,00855

34 0,00550 0,00738 0,00938

Hitunglah nilai 2|q[30]+1

172

Page 173: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

A. 0,0053

B. 0,0058

C. 0,0063

D. 0,0068

E. 0,0073

Pembahasan:Rumus yang digunakan adalah:

t|uqx =t Px.uqx+t

nP[x]+1 = P[x]+1.P[x]+2...P[x]+n

Dengan demikian diperoleh :

2P[30]+1 = P[30]+1.P[30]+2

= (1− q[30]+1)(1− q[30]+2)

= (1− 0, 00465)(1− 0, 0062)

= 0, 98917883

Selanjutnya

2P[30]+1 = 2P[30]+1.P[30]+1+2

= 2P[30]+1.P[30]+3

= (0, 98917883)(0, 0069)

= 0, 0068

Jawab:D.0,0068

13. Untuk sebuah studi mortalita pada (x, x + 1] , diperoleh informasi sebagai berikut:

i. Pada awal pengamatan, 600 orang hidup pada umur x

ii. 40 orang baru masuk pada umur x+14

iii. 20 orang keluar dari pengamatan pada umur x+12

iv. 10 orang keluar dari pengamatan pada umur x+34

v. diakhir pengamatan, 500 orang mencapai umur x + 1

173

Page 174: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Jika kematian terjadi pada umur x+12 dan force of mortality adalah konstan pada (x,x+1] ,

hitunglah estimator eksak dariqx

A. 0,18

B. 0,21

C. 0,24

D. 0,27

E. 0,3

Pembahasan:Diketahui :

(i.) Pada awal pengamatan, 600 orang hidup pada umur x

(ii.) 40 orang baru masuk pada umur x+14

(iii.) 20 orang keluar dari pengamatan pada umur x+12

(iv.) 10 orang keluar dari pengamatan pada umur x+34

(v.) diakhir pengamatan, 500 orang mencapai umur x + 1

Rumus yang digunakan adalah:qx = 1− exp(− dx

ex)

Dengan demikian diperoleh :

qx = 1− exp(−dx

ex)

= 1− exp(− 110600 + (1− 0, 25).40− (1− 0, 5).20− (1− 0, 75).10− (1− 0, 5).110

)

= 0, 177

= 0, 18

Jawab: .0,18

14. Sebuah regresi linier

Yi = 1 + βXi + εi

Y 1 3 5

X 2 4 8

Hitunglah estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var[β]

174

Page 175: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

A. 0,0011

B. 0,0015

C. 0,0017

D. 0,0019

E. 0,0021

Pembahasan: Terlebih dahulu akan ditentukan SXXε2i

dan SXX dengan menggunakan beber-apa formula berikut

β =SXYSXX

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(X− X)2

α = Y− βX

εi = Yi − Yi = Yi −(α + βX

)Var[β] =

SXXε2i

(SXX)2

Dinyatakan dalam bentuk tabel menjadi :

i Xi Yi Xi − X Yi − Y SXX SXY Yi εi ε2i SXXε2

i

1 2 1 -2,667 -2 7,11 5,33 1,285714 -0,28571 0,081633 0,5805

2 4 3 -0,667 0 0,444 0 2,571429 0,428571 0,183673 0,0816

3 8 5 3,33 2 11,111 6,667 5,142857 -0,14286 0,020408 0,22676

Total 14 9 0 0 18,67 12 9 -6,7E-16 0,285714 0,889

Mean 4,67 3

β =SXYSXX

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(X− X)2 = 0, 642857

α = Y− βX = 0

Var[β] =SXXε2

i

(SXX)2 = 0, 002551

Jawab. Anulir

15. Dalam suatu studi mortalitas atas n individu, diketahui informasi sebagai berikut

(i) tidak ada data yang di sensor dan tidak ada 2 kematian terjadi pada saat yang sama.

(ii) tk waktu pada saat kematian ke -k

(iii) Estimasi Nelson-Aalen atas fungsi kumulatif hazard adalah Λ(t2) =59

870

Tentukan estimasi product limit Kaplan-meler dari fungsi survival pada saat t9

175

Page 176: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

A. 0.76

B. 0.70

C. 0,64

D. 0,58

E. 0,52

Pembahasan:Diketahui

(i) tidak ada data yang di sensor dan tidak ada 2 kematian terjadi pada saat yang sama.

(ii) tk waktu pada saat kematian ke -k

(iii) Estimasi Nelson-Aalen atas fungsi kumulatif hazard adalah Λ(t2) =59

870

Rumus yang digunakan adalah:S(t) = ∏m

j=1(rj−dj

rj) untuk tm ≤ t < tm+1

Λ(t) = ∑mi=1

1rj= 1

n + 1n−1 + ... + 1

n−m+1 ,untuk tm ≤ t < tm+1

Dengan demikian diperoleh :

Λ(t) =m

∑i=1

1rj

=1n+

1n− 1

59870

=2n− 1n2 − n

59n2 − 59n = 1740n− 870

59n2 − 1799n + 870 = 0

n =1799 +

√(−1799)2 − 4(59)(870)

2(59)= 30

Selanjutnya

S(t) =m

∏j=1

(rj − dj

rj)

=2930

.2829

.2728

....2122

=2130

= 0, 7

Jawab: C.7,3

176

Page 177: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

16. Hitunglah ekspektasi hidup dari seseorang yang terdiagnosa LAS (state 2a menurut modelpanjer) bila diketahui informasi berikut ini:

(i) µ21 = 0, 5

(ii) variansi dari pengharapan hidup orang berada dalam state 2a adalah 7,97

(iii) Ekspektasi pengharapan hidup untuk orang yang dalam stase 3 adalah 0.6

A. 4,1

B. 4,2

C. 4,3

D. 4,4

E. 4,5

Pembahasan:Diketahui:

(i) µ21 = 0, 5

(ii) variansi dari pengharapan hidup orang berada dalam state 2a adalah 7,97

(iii) Ekspektasi pengharapan hidup untuk orang yang dalam stase 3 adalah 0.6

Rumus yang digunakan adalah:E[Tj] =

1µj

Var[Tj] =1

µ2j

Proses:

E[T3] =1

µ3

1µ3

= 0, 36

Var[T21] =1

µ22a

+1

µ22b

+1

µ23

7, 97 =1

0, 52 +1

µ22b

+ 0, 36

1µ2

2b= 7, 97− (

10, 52 + 0, 36)

1µ2

2b= 3, 61

1µ2b

= 1, 9

177

Page 178: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Sehingga,

E[Tj] =1

µ2a+

1µ2b

+1

µ3

= (1

0, 5+ 1, 9 + 0, 6)

= 4, 5

Jawab:E. 4,5

17. Dalam sebuah studi kesehatan untuk orang yang hidup pada waktu ke t=0 , diketahui tidakterdapat penambahan peserta. Terdapat 1 kematian pada waktut6 , 2 kematian pada t7 , dan 2kematian pada t8 . Dengan menggunakan estimasi procut limit dari S(t) diperoleh S(t6) =

0, 6, S(t7) = 0, 45 , S(t7) = 0, 27Hitunglah banyaknya orang yang melakukan terminasi antara t7 Dant8 diketahui data sebagaiberikut:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Pembahasan:Diketahui :

• orang hidup pada waktu t=0

• Tidak terdapat penambahan peserta

• 1 kematian pada waktu t6 , 2 kematian pada t7 , dan 2 kematian pada t8t7

• Dengan estimasi product limit S(t)

S(t6) = 0, 6, S(t7) = 0, 45 , S(t7) = 0, 27

Rumus yang digunakan adalah:

S(t) = ∏mj=1(

rj−djrj

) untuk tm ≤ t < tk−1

178

Page 179: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Dengan demikian diperoleh :

S(t7) = S(t6)(r7 − d7

r7)

0, 45 = 0, 6(r7 − 2

r7)

0, 45r7 − 0, 6r7 = −1, 2

−0, 15r7 = −1, 2

r7 = 8

Selanjutnya,

S(t8) = S(t7)(r8 − d8

r8)

0, 27 = 0, 45(8−ω− 2

8−ω)

0, 27(8−ω) = 2, 7− 0, 45ω

ω =2, 7− 2, 16

0, 45− 0, 27ω = 3

Jawab: B.3

18. Berdasarkan 30 pengamatan, diperoleh model sebagai berikut:Y = β1 + β2X2 + β3X3 + ε, dimana R2 = 0,81Hitunglah nilai F statistik yang digunakan untuk menguji hubungan linear (dibulatkan 2 desi-mal).

A. 57,55

B. 62,43

C. 32,00

D. 41,90

E. 26,78

Pembahasan:Diketahui :

Y = β1 + β2X2 + β3X3 + ε, dimana R2 = 0,81n = 3

k (jumlah parameter) = 3

179

Page 180: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Rumus yang digunakan adalah:

F =R2

k−11−R2

n−k

Dengan demikian diperoleh :

F =R2

k−11−R2

n−k

=0,813−1

1−0,8130−3

= 57,552631

Jawab : A. 57,55

19. Pada suatu studi data lengkap dengan ukuran sampel mula-mula adalah 10, diketahui estimasiproduct limit atas S(12) sebagai S(12) = 0, 6. Hitunglah estimasi Nelson-Aalen atas S(12)

A. 0,62

B. 0,65

C. 0,68

D. 0,71

E. 0,74

Pembahasan:Diketahui:n = 10S(12) = 0, 6

Rumus yang digunakan adalah:S(t) = ∏m

j=1(rj−dj

rj)

Λ(t) = ∑mi=1

1rj= 1

n + 1n−1 + ... + 1

n−m+1

Dengan demikian diperoleh :

S(12) =m

∏j=1

(rj − 1

rj)

0, 6 =1

10+

19+

18+

17

=12072520

180

Page 181: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Selanjutnya

S(12) = exp(−12072520

)

= exp(−12072520

)

= 0, 619422

Jawab: A.0,62

20. Atas studi mortalita dua negara, diperoleh data sebagi berikut:

tNegara A Negara B

dj rj dj rj

1 30 300 22 200

2 32 270 15 178

3 15 238 18 163

4 20 223 16 145rj adalah banyaknya resiko dalam periode (ti−1, ti)

dj adalah banyaknya kematian dalam periode (ti−1, ti), asumsi terjadi pada ti

ST(t) adalah estimasi peroduct limit dariS(t) berdasarkan total semua data pengamatan.SB(t) = adalah estimasi product limit dari S(t) berdasarkan data pengamatan negara B

Hitunglah |ST(4)− SB(4)|

A. 0,05

B. 0,04

C. 0,03

D. 0,02

E. 0,01

Pembahasan:Diketahui :

tNegara A Negara B

dj rj dj rj

1 30 300 22 200

2 32 270 15 178

3 15 238 18 163

4 20 223 16 145

181

Page 182: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Rumus yang digunakan adalah:Product limit S(t) = ∏m

j=1(rj−dj

rj)

Dengan demikian diperoleh :

ST(4) = (500− 52

500)(

448− 47448

)(401− 33

401)(

368− 36368

) = 0, 664

SB(4) = (200− 22

200)(

178− 15178

)(163− 18

163)(

145− 16145

) = 0, 645

Sehingga |ST(4)− SB(4)| = |0, 664− 0, 645| = 0, 019 = 0, 02Jawab: D.0,02

21. Sebuah regresi 2 variabel digunakan untuk mencocokkan data berikut ini:

X Y

2 10

5 6

8 11

9 13

Hitunglah Cov[α, β]

A. -1,77

B. -1,85

C. -1,93

D. -2,01

E. -2,09

Pembahasan:Diketahui :

X Y

2 10

5 6

8 11

9 13

Rumus yang digunakan adalah:

182

Page 183: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

• ∑ xiyi = ∑(Xi − X)(Yi − Y)

• ∑ x2i = ∑(Xi − X)2

• ∑ y2i = ∑(Yi − Y)2

• ∑ ε2i = ∑ y2

i −xiyix2

i

• σ =

√∑ ε2

in−2

• Cov(α, β) = −X( σ2

∑ x2i)

Dengan demikian diperoleh :

i Xi Yi Xi − X Yi − Y (Xi − X)2 (Yi − Y)2 (Xi − X)(Yi − Y)

1 2 10 -4 0 16 0 0

2 5 6 -1 -4 1 16 4

3 8 11 2 1 4 1 2

4 9 13 3 3 9 9 9

Rata-rata 6 10

Jumlah 0 0 30 26 15

∑ ε2i = ∑ y2

i −xiyi

x2i

= ∑(Yi − Y)2 − (∑(Xi − X)(Yi − Y))2

∑(Xi − X

= 26− 152

30= 18, 5

σ =

√∑ ε2

in− 2

=√

9, 25

σ2 = 9, 25

183

Page 184: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Cov(α, β) = −X(σ2

∑ x2i)

= −6(9, 2550

)

= −1, 85

Jawab:B. -1,85

22. Untuk sebuha regresi 2 vaiabel berdasakan 8 pengamatan, diperoleh informasi:Xi − X2 = 2000

∑ ε2i = 975

Hitunglahsβ, yaitu standar error untuk Diberikan data sebagai sβ berikut:

A. 0,22

B. 0,24

C. 0,28

D. 0,31

E. 0,34

Pembahasan:Diketahui:n = 8Xi − X2 = 2000

∑ ε2i = 975

Rumus yang digunakan adalah:

∑ x2i = ∑(Xi − X2)

σ =

√∑ ε2

in−2

sβ = σ√∑ x2

i

Dengan demikian diperoleh :

∑ x2i = ∑(Xi − X2)

= 2000

184

Page 185: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

σ =

√∑ ε2

in− 2

=

√957

8− 2= 12.63

sβ =σ√∑ x2

i

=12, 63√

2000= 0, 28

Jawab:B.0,28

23. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatanYi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi, i = 1, 2, 3, 4.Diberikan data sebagai berikut

i X2i X3i

1 -4 -2

2 -2 4

3 2 -4

4 4 2

Estimasi least square dari β3dinyatakan sebagai β3 = ∑4i=1 wiYi, tentukan nilai (w1, w2, w3, w4)

a. (− 120 , 3

20 ,− 320 , 1

20 )

b. (− 120 ,− 3

20 , 320 , 1

20 )

c. ( 120 ,− 2

20 , 220 ,− 1

20 )

d. (− 120 , 2

20 ,− 220 , 1

20 )

e. ( 14 , 1

4 ,− 14 ,− 1

4 )

Pembahasan:Diketahui :

185

Page 186: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi, i = 1, 2, 3, 4.

i X2i X3i

1 -4 -2

2 -2 4

3 2 -4

4 4 2

Rumus yang digunakan adalah:

β3 = ∑41 wiYi = ∑4

1[(xi−x)

∑ni=1(xi−x)2 ]Yi

Dengan demikian diperoleh :

wi = [(xi − x)

∑ni=1(xi − x)2 ]

x3 =−2 + 4 +−4 + 2

4= 0

n

∑i=1

(xi − x)2 = (−2)2 + (−2)4 + (−4)2 + (2)2 = 40

Sehingga,

w1 = − 240

= − 120

w2 =440

= − 220

w3 = − 440

= − 220

wi =240

= − 120

Jawab: D.(− 120 , 2

20 ,− 220 ,− 1

20 )

24. Sebuah regresi linear digunakan untuk mencocokkan suatu deret waktu dengan 30 penga-matan, diketahui:

• ε1 = −7

• ε30 = 11

• ∑t=30t=1 ε2

t = 801

186

Page 187: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

• ∑t=30t=1 (εtx εt−1) = 2422

Hitunglah statistik Durbin-Watson

A. 1,31

B. 1,27

C. 1,23

D. 1,19

E. 1,15

Pembahasan:Diketahui:

• ε1 = −7

• ε30 = 11

• ∑t=30t=1 ε2

t = 2422

• ∑t=30t=1 (εtx εt−1) = 801

Rumus yang digunakan adalah:

d = ∑t=30t=2 (ε−εt−1)

2

∑t=30t=1 ε2

t

Dengan demikian diperoleh :

t=30

∑t=2

(ε− εt−1)2 =

t=30

∑t=2

(ε2t − 2εt ˆεt−1 +

ˆε2t−1)

=t=30

∑t=2

ε2t − 2

t=30

∑t=2

εt ˆεt−1 +t=30

∑t=2

ˆε2t−1

= (2422− (49)− 2(801) + (2422− (121))

= 3072

Selanjutnya

d =∑t=30

t=2 (ε− εt−1)2

∑t=30t=1 ε2

t

=30722422

= 1, 26837 = 1, 27

Jawab: B. 1,27

187

Page 188: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

25. Sebuah model regresi linear Yi = α + βXi + εi digunakan untuk mencocokkan data berikutini:

X Y

0 1

3 2

5 6

8 11

Hitunglah estimasi heterocedasticity-consistent dari Var[β]

A. 0,031

B. 0,042

C. 0,053

D. 0,064

E. 0,075

Pembahasan:DiketahuiYi = α + βXi + εi

X Y

0 1

3 2

5 6

8 11

Rumus yang digunakan adalah:β = SXY

SXX= ∑n

i=1(Xi−X)(Yi−Y)∑n

i=1(Xi−X)2

α = Y− βXεi = Yi − εi = Yi − (Y− βX)

var[β] = SXXε2i

(SXX)2

Dengan demikian diperoleh :

188

Page 189: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

i XI YI XI − X YI − Y SXX SXY YI εi ε2i SXXε2

i

1 0 1 -4 -4 16 16 0,17647 1,176471 1,384083 22,14533

2 3 2 -1 -3 1 3 3,705882 1,705882 2,910035 2,910035

3 5 6 1 1 1 1 6,294118 0,29412 0,086505 0,086505

4 8 11 4 6 16 24 10,17647 0,823529 0,678201 10,85121

Total 16 20 0 0 34 44 20 8,88E-16 5,058824 35,99308

Mean 4 5

β =SXYSXX

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(Xi − X)2

= 1, 294118

α = Y− βX = −0, 17647

Var[β] =SXYε2

i(SXX)2

= 0, 031136

Jawab: A. 0,031136

26. Korelasi serial order pertama (first order serial correlation) yaitu εt = ρεt−1 + vt. Nilaiρ = 0, 6, Var[v] = 40 Hitunglah var[ε]

A. 44,5

B. 49

C. 53,5

D. 58

E. 62,5

Pembahasan:Diketahui:ρ = 0, 6Var[v] = σ2

v = 40

Rumus yang digunakan adalah:var[v] = σ2

v1−ρ2

Dengan demikian diperoleh :

189

Page 190: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

var[v] =40

1− 0, 62

= 62, 5

Jawab: E. 62,5

27. Diketahui suatu model autoregressive ARMA(1,1) diketahui:

φ = 0, 4 dan θ = 0, 5

Hitunglah ρ2

A. -0,026

B. -0,029

C. -0,032

D. -0,035

E. -0,038

Pembahasan:Diketahui :ARMA(1,1)φ = 0, 4 dan θ = 0, 5

Rumus yang digunakan adalah:

ρ(h) = (1−θφ)(φ−θ)1−2θφ+θ2 φh−1, untuk h ≥ 1

Dengan demikian diperoleh :

ρ(2) =(1− (0, 5)(0, 4))((0, 4)− (0, 5)

1− 2(0, 5)(0, 4) + 0, 52 (0, 4)2−1

= −0, 03765

= −0, 038

Jawab: E.-0,038

28. . Diketahui suatu proses second order autoregressive AR(2) diketahui:

190

Page 191: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

ρ1 = 0, 75, ρ2 = 0, 65

hitunglah φ1

A. 0,7

B. 0,6

C. 0,5

D. 0,4

E. 0,3

Pembahasan:Diketahui:AR(2)ρ1 = 0, 75, ρ2 = 0, 65Rumus yang digunakan adalah:Model AR(2) dapat dituliskan dalam bentukxt = φ1xt−1 + φ2xt−2 + εt−1

φ1 = ρ1(1−ρ2)

1−ρ21

φ2 =ρ2−ρ2

11−ρ2

1Dengan demikian diperoleh :

φ1 =ρ1(1− ρ2)

1− ρ21

=0, 75(1− 0, 65)

1− 0, 752

= 0, 6

Jawab: B. 0,6

29. Diketahui suatu proses autoregressive-moving average ARMA (1,1) sebagai berikut:

yt = 0, 8yt−1 + 3 + εt − 0, 2εt−1

hitunglah ρ1

A. 0,62

B. 0,66

C. 0,70

191

Page 192: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

D. 0,74

E. 0,78

Pembahasan:Diketahui:ARMA(1,1)yt = 0, 8yt−1 + 3 + εt − 0, 2εt−1

Rumus yang digunakan adalah:

Model ARMA(1,1) dapat dituliskan dalam bentukyt = φyt−1 + εt − θεt−1

ρ(h) = (1−θφ)(φ−θ)1−2θφ+θ2 φh−1, untuk h ≥ 1

Dengan demikian diperoleh :Berdasarkan yt = 0, 8yt−1 + 3 + εt − 0, 2εt−1 diperolehφ = 0, 8 dan θ = 0, 2Sehingga

ρ(1) =(1− (0, 2)(0, 8))((0, 8)− (0, 2)

1− 2(0, 8)(0, 2) + 0, 22 (0, 8)1−1

= 0, 7

Jawab: B. 0,7

30. Dalam sebuah studi regresi dua peubah acak dihasilkan

a) β = 0, 2

b) sβ = 0, 095, yaitu standard error dari β

Tentukanlah nilai statistik t beserta keputusan yang diambil dari sebuah uji untuk H0 : β = 0dan H1 : β 6= 0 dengan confidance interval 95% (diketahui, nilai kritis (critical value) untuk95% confidance interval adalah 1,96 )

A. t = 1, 5 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol.

B. t = 1, 5 dan oleh karena itu terima hipotestis nol.

C. t = 1, 8 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol.

D. t = 2, 1 dan oleh karena itu terima hipotestis nol.

E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol.

192

Page 193: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

6 A50 Periode Mei 2017

Pembahasan:Diketahui

• β = 0, 2

• sβ = 0, 095, yaitu standard error dari β

• nilai kritis (critical value) untuk 95% confidance interval adalah t α2 ,n−2 = 1, 96

H0 diterima apabila −t α2 ,n−2 < T < t α

2 ,n−2 dimana nilai T diperoleh dari:

T =β

=0, 2

0, 095= 2, 105

Diperoleh T = 2, 105 sehingga tolak hipotesis nol

Jawab: E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol.

193

Page 194: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

1. Diketahui fungsi survival dari seseorang berumur 40 tahun adalah sebagai berikut :

S40(t)

1− (0, 02t)2, untuk 0 ≤ t < 25

0, 75e−0,1(t−25), untuk t ≥25

Hitunglah µ70

A. 0,10

B. 0,15

C. 0,20

D. 0,25

E. 0,30

Pembahasan:Diketahui:

S40(t)

1− (0, 02t)2, untuk 0 ≤ t < 25

0, 75e−0,1(t−25), untuk t ≥25

Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

Sx(t) =S(x + t)

Sx

µx = − ddx

ln Sx(x)

Dengan demikian diperoleh :

µ70 = − ddt

ln S40(t), di mana t=30

=

(− d

dtln(0, 75e−0,1(t−25))

)t=30

= 0, 1

194

Page 195: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Jawab: A

2. Dalam sebuah populasi tertentu, suatu hazard function didefinisikan sebagai berikut: :

µ(t) =

0.010, 60 < t ≤ 70

0.015, 70 < t ≤ 80

0.025, t > 80

Untuk seseorang dari populasi ini yang tepat berumur 65 tahun, hitunglah probabilitas bahwaorang tersebut akan tetap hidup paling sedikit 5 tahun lagi (dibulatkan 2 desimal).

A. 0.97

B. 0.96

C. 0.95

D. 0.94

E. 0.93

Pembahasan:Diketahui:

µ(t) =

0.010, 60 < t ≤ 70

0.015, 70 < t ≤ 80

0.025, t > 80Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

t px = exp(−∫ t

0µx(s)ds

)Dengan demikian diperoleh :

5 p65 = exp(−∫ 5

00.01ds

)= exp(−0.05)

= 0.951229

≈ 0.95

Jawab: C

3. Diketahui:

195

Page 196: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

a) S0(t) =(1− t

ω

) 14 , untuk 0 ≤ t ≤ ω

b) µ65 = 1180

Hitunglah e106, yaitu ekspektasi hidup pada umur 106 tahun.

A. 2.48

B. 2.59

C. 2.70

D. 2.81

E. 2.92

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

µx =− d

dt Sx(t)Sx(t)

t px =S(x + t)

S(x)

ex =∞

∑t=1

(t px)

Dengan demikian diperoleh:

µx =− d

dt S0(t)S0(t)

=− d

dt(1− t

ω

) 14(

1− tω

) 14

=1

4ω(1− t

ω

)µ65 =

14ω(1− 65

ω

)1

180=

14ω− 260

ω =180 + 260

4= 110

196

Page 197: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Dari sini, selanjutnya kita peroleh:

t px =S(x + t)

S(x)

=

(100− x+t

110) 1

4(1− t

110) 1

4

=

(110− x− t

110− x

) 14

e106 =4

∑t=1

(t p106)

=4

∑t=1

(110− 106− t

110− 106

) 14

= 2.478608056

≈ 2.48

Jawab: A

4. Untuk suatu tabel double decrement, diketahui:

a) q′(1)x = 0.2

b) q′(2)x = 0.3

c) Setiap decrement terdistribusi secara uniform dalam masing-masing tabel single decre-

ment yang diasosiasikan.

Hitunglah q(1)x (dibulatkan 3 desimal)

A. 0.089

B. 0.126

C. 0.144

D. 0.167

E. 0.192

Pembahasan:

197

Page 198: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

q(1)x = q′(1)x

(1− 1

2q′(2)x

)q(2)x = q′(2)x

(1− 1

2q′(1)x

)Dengan demikian diperoleh:

q(1)x = q′(1)x

(1− 1

2q′(2)x

)= q′(1)x

(1− 1

2

[q(2)x

1− 12 q′(1)x

])

= 0.2

(1− 1

2

[0.3

1− 0.22

])= 0.167

Jawab: D

5. Diketahui tabel mortalita dengan periode seleksi 2 tahun sebagai berikut:

x q[x] q[x]+1 qx+2 x + 2

50 0.0060 0.0053 0.0070 52

51 0.0070 0.0063 0.0080 53

52 0.0080 0.0073 0.0090 54

53 0.0090 0.0083 0.0100 55

Jika force of mortality adalah konstan, hitunglah 10002.5q[50]+0.4 (dibulatkan 2 desimal)

A. 11.17

B. 12.96

C. 14.35

D. 15.13

E. 16.42

Pembahasan:

198

Page 199: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

t px = x+t p0

t px = px.px+1.px+2...px+t−1

Untuk asumsi force of mortality konstan, didapatkan:

s px = (px)s

t px+s =s+t px

s px=

s+t px

(px)s

Dengan demikian diperoleh:

2.5q[50]+0.4 = 1−2.5 p[50]+0.4

= 1− 2.9 p[50]

(p[50])0.4

= 1−p[50].p[50]+1.(p52)

0.9

(1− q(50))0.4

= 1− (1− 0.006)(1− 0.0053)(1− 0.007)0.9

(1− 0.006)0.4

= 0.01513

Oleh karena itu didapatkan:

10002.5q[50]+0.4 = (1000)(0.01513) = 15.13

Jawab : D

6. Pada sebuah studi double decrement yang dilakukan pada tahun kalender 2007, diperoleh datasebagai berikut:

Orang ke- Tanggal Lahir Tanggal Kematian Tanggal Withdrawal

1 1 Juli 1912 - -

2 1 April 1912 1 Desember 2007 -

3 1 Oktober 1911 - ?

4 1 Januari 1912 - -

5 1 Juni 1912 1 November 2007 -

Diketahui pula q′(kematian)95 = 0.46825 dengan menggunakan metode exact exposure. Pada

199

Page 200: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

tanggal berapa orang ke-3 keluar (withdrawal) dari pengamatan pada studi tersebut?

A. 1 April 2007

B. 1 Mei 2007

C. 1 Juni 2007

D. 1 Juli 2007

E. 1 Agustus 2007

Pembahasan:Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

Exact Exposure: q = 1− exp

(−

dj

ε j

)

di mana:

• yi = tanggal awal pengamatan - tanggal lahir

• zi= tanggal akhir pengamatan - tanggal lahir

• θi= tanggal meninggal - tanggal lahir

• φi= tanggal withdrawal - tanggal lahir

ri =

0, jika yi ≤ x

yi − x, jika x < yi < x + 1

si =

zi − x, jika x < zi < x + 1

1, jika zi ≥ x + 1

li =

0, jika θi = 0

θi − x, jika x < θi < x + 1

0, jika θi ≥ x + 1

ki =

0, jika φi = 0

φi − x, jika x < φi < x + 1

0, jika φi ≥ x + 1

εeksak =

si − ri, jika seseorang tidak meninggal dan withdrawal

ki − ri, jika seseorang withdrawal

li − ri, jika seseorang meninggal

200

Page 201: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Dengan demikian diperoleh:

Orang yi zi θi φi ri si li ki Eksposure eksak

1 94.5 95.5 0 0.5 0.5

2 94.57 95.75 95.67 0 0.75 0.67 0.67

3 95.25 96.25 95.25 + x 0.25 1 0.25 + x x4 95 96 0 1 1

5 94.58 95.58 95.42 0 0.58 0.42 0.42

Berdasarkan tabel di atas, diperoleh eksposure eksak adalah 2.59 + x. Selain itu, berdasarkankolom li, terdapat dua kematian untuk usia 95 tahun.

Berdasarkan informasi pada tabel di atas, didapatkan:

q′(kematian)95 = 1− exp

(− 2

2.59 + x

)0.46825 = 1− exp

(− 2

2.59 + x

)exp

(− 2

2.59 + x

)= 1− 0.46825

− 22.59 + x

= ln(0.53175)

22.59 + x

= 0.63158

x =2− (0.63158)(2.59)

0.63158= 0.576651 tahun

= 6.9198 bulan

≈ 7 bulan

Karena awal pengamatan dimulai pada tanggal 1 Januari 2017, maka orang ke-3 keluar padatanggal 1 Agustus 2017.

Jawab : E

7. Jika diketahui force of mmortality adalah µ(d)x = 4

5(100−x) dan force of withdrawal adalah

µ(w)x = 11

5(100−x) , hitunglah conditional density function untuk kematian seseorang pada umur70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70.

A. 30−t600

201

Page 202: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

B. 70−t1125

C. (30−t)2

1125

D. (70−t)2

33750

E. (30−t)2

33750

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

µ(τ)x = µ

(d)x + µ

(w)x

t p(τ)x = exp(−∫ t

0µ(τ)x (y)dy

)x p0 = S(x)

f (t, j) = t p(τ)x .µ(j)x (t)

Dengan demikian diperoleh:

µ(τ)x = µ

(d)x + µ

(w)x =

45(100− x)

+11

5(100− x)=

3(100− x)

t p(τ)x = exp(−∫ t

0

3100− y

dy)= exp (3 ln(100− t)− 3 ln(100)) =

(100− t)3

1000000

Fungsi joint pdf t dan j apabila seseorang masih hidup adalah:

f (t, j) =(100− t)3

1000000.

45(100− t)

=4(100− t)2

5000000

Berdasarkan informasi tersebut, maka diperoleh conditional density function seseorang padaumur 70 + t, jika orang tersebut hidup pada umur 70 tahun adalah:

P =t p(τ)70 .µ(d)

70 (t)S(70)

=4(100−(70+t))2

5000000(100−70)3

1000000

=(30− t)2

33750

Jadi, conditional density function untuk kematian seseorang pada umur 70 + t, jika orangtersebut hidup pada umur 70 adalah (30−t)2

33750

Jawab : E

202

Page 203: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

8. Atas pengamatan pada 100 polis dalam studi pembatalan polis, diperoleh informasi sebagaiberikut:

i Studi dibuat sedemikian sehingga untuk setiap satu pembatalan polis, ditambahkan satupolis baru (artinya rj selalu bernilai 100)

ii Pembatalan polis terjadi di akhir tahun dengan pengamatan sebagai berikut:1 polis batal di akhir tahun polis ke-12 polis batal di akhir tahun polis ke-23 polis batal di akhir tahun polis ke-3......n polis batal di akhir tahun polis ke-n

iii Estimasi empiris Nelson-Aalen untuk fungsi distribusi kumulatif pada tahun ke-n adalahF(n) = 0.698806

Hitunglah nilai n.

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

E. 16

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

F(n) = 1− exp

(−

n

∑j=1

dj

rj

), tn ≤ t ≤ tn+1

203

Page 204: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Dengan demikian diperoleh:

F(n) = 1− exp

(−

n

∑j=1

dj

rj

)

0.698806 = 1− exp

(−

n

∑j=1

dj

100

)

exp

(−

n

∑j=1

dj

100

)= 1− 0.698806 = 0.301194

n

∑j=1

dj

100= − ln(0.301194)

1100

+2

100+

3100

+ ... +n

100= 1.2

n(n+1)2

100= 1.2

n2 + n− 240 = 0

(n− 15)(n + 16) = 0

Karena nilai n haruslah positif, maka diperoleh nilai n yang memenuhi adalah 15.

Jawab : D

9. Hasil dari suatu studi dalam periode pengamatan tahun kalender 1983 adalah sebagai berikut:

Orang ke- Tanggal Lahir Tanggal Kematian

A 1 April 1922 1 Juni 1983

B 1 Juli 1922 -

C 1 Oktober 1922 1 Maret 1983

D 1 Januari 1923 -

E 1 April 1923 -

F 1 Juli 1923 1 Oktober 1983

G X -

i Pada tanggal 1 Januari 1983 semua individu ada dalam studi ini.

ii Tidak ada yang keluar dari studi ini selama periode pengamatan selain karena kematian.

iii Dengan menggunakan pendekatan actuarial exposure, diperoleh q60 = 49

Tentukan nilai q60 jika dihitung dengan pendekatan exact exposure (asumsi force of mortality

adalah konstan).

204

Page 205: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

A. 0.315

B. 0.468

C. 0.559

D. 0.631

E. 0.689

Pembahasan:Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

Exact Exposure: q = 1− exp

(−

dj

ε j

)

di mana:

• yi = tanggal awal pengamatan - tanggal lahir

• zi= tanggal akhir pengamatan - tanggal lahir

• θi= tanggal meninggal - tanggal lahir

• φi= tanggal withdrawal - tanggal lahir

ri =

0, jika yi ≤ x

yi − x, jika x < yi < x + 1

si =

zi − x, jika x < zi < x + 1

1, jika zi ≥ x + 1

li =

0, jika θi = 0

θi − x, jika x < θi < x + 1

0, jika θi ≥ x + 1

ki =

0, jika φi = 0

φi − x, jika x < φi < x + 1

0, jika φi ≥ x + 1

εeksak =

si − ri, jika seseorang tidak meninggal dan withdrawal

ki − ri, jika seseorang withdrawal

li − ri, jika seseorang meninggal

205

Page 206: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

εaktuaria =

si − ri, jika seseorang tidak meninggal dan withdrawal

ki − ri, jika seseorang withdrawal

1− ri, jika seseorang meninggal

Dengan demikian diperoleh:

Orang yi zi θi φi ri si li ki eksak aktuaria

A 60.75 61.75 61.75 0.75 1 0.25 0.25

B 60.5 61.5 0.5 1 0.5 0.5

C 60.25 61.25 60.41 0.25 1 0.41 0.75 0.16

D 605 61 0 1 1 1

E 59.75 60.75 0 0.75 0.75 0.75

F 59.5 60.5 60.25 0 0.5 1 0.25

G 0 R R R

Berdasarkan tabel di atas, diperoleh total eksposure eksak adalah 4.25 + R dan eksposureaktuaria adalah 2.91 + R. Selain itu, berdasarkan kolom li, terdapat dua kematian.

Berdasarkan informasi pada tabel di atas, didapatkan:

q60 =2

4.25 + R149

=2

4.25 + R17 + 4R = 18

R =14

Dalam exact exposure terdapat 2 kematian dalam kolom li. Dengan demikian kita peroleh:

q60 = 1− exp

(− 2

2.91 + 14

)= 0.468956 ≈ 0.468

Jadi, nilai dari q60 dengan pendekatan exact exposure adalah 0.468

Jawab : B

10. Untuk sebuah model double decrement:

i t p′(1)40 = 1− t65 , 0 ≤ t ≤ 65

ii t p′(2)40 = 1− t30 , 0 ≤ t ≤ 30

206

Page 207: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Hitunglah µ(τ)40+15 (dibulatkan 3 desimal)

A. 0.058

B. 0.067

C. 0.075

D. 0.080

E. 0.087

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

t p(τ)x =m

∏j=1

(t p′(j)x )

µ(τ)x+t = − 1

t p(τ)x

.ddt

(t p(τ)x

)Dengan demikian diperoleh:

t p(τ)40 =2

∏j=1

(t p′(j)40 )

= t p′(1)40 .t p′(2)40

=

(1− t

65

).(

1− t30

)= 1− 19

390t +

11950

t2

Selanjutnya:

µ(τ)40+t = − 1

t p(τ)40

.ddt

(t p(τ)40

)= − 1

1− 19390 t + 1

1950 t2.

ddt

(1− 19

390t +

11950

t2)

= −− 19

390 + 21950 t

1− 19390 t + 1

1950 t2

Oleh karena itu didapatkan:

µ(τ)40+15 = −

− 19390 + 2

1950 (15)

1− 19390 (15) + 1

1950 (15)2= 0.08667 ≈ 0.087

Jawab : E

207

Page 208: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

11. Pada sebuah model double decrement, diperoleh informasi sebagai berikut:

• l(τ)x = 100

• l(τ)x+3 = 50

• 3q(1)x = 0.07

• 2|q(2)x = 0.08

Hitunglah 2q(2)x

A. 0.15

B. 0.20

C. 0.25

D. 0.30

E. 0.35

Pembahasan:Formula yang digunakan dalam soal ini adalah:

tq(1)x =

∑t−1j=0 d(1)x+j

l(τ)x

t|uq(j)x =

ud(j)x+t

l(τ)x

Untuk double decrement :

ł(τ)x+t = l(τ)x −t−1

∑j=0

(d(1)x+j + d(2)x+j

)

Dengan demikian diperoleh:

3q(1)x =∑3−1

j=0 d(1)x+j

l(τ)x

3q(1)x =d(1)x + d(1)x+1 + d(1)x+2

l(τ)x

0.07 =d(1)x + d(1)x+1 + d(1)x+2

100

d(1)x + d(1)x+1 + d(1)x+2 = 7

208

Page 209: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Selanjutnya,

l(τ)x+3 = l(τ)x − d(1)x − d(2)x − d(1)x+1 − d(2)x+1 − d(1)x+2 − d(2)x+2

l(τ)x+3 = l(τ)x −(

d(1)x + d(1)x+1 + d(1)x+2

)−(

d(2)x + d(2)x+1 + d(2)x+2

)50 = 100− 7−

(d(2)x + d(2)x+1

)− 8

d(2)x + d(2)x+1 = 35

Oleh karena itu, didapatkan:

2q(2)x =∑2−1

j=0 d(2)x+j

l(τ)x

=d(2)x + d(2)x+1

l(τ)x

=35

100= 0.35

Jawab : E

12. Diketahui tiga hasil pengamatan sebagai berikut:

0.68 0.80 0.96

Anda mencocokkan sebuah distribusi dengan fungsi kepadatan (density function) sebagai berikutini terhadap data:

f (x) = (p + 1)xp, 0 < x < 1, p > −1

Hitung estimasi maximum likelihood atas p (dibulatkan 2 desimal)

A. 2.23

B. 2.95

C. 3.62

D. 4.32

E. 6.81

Pembahasan:Diketahui bahwa:

209

Page 210: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

• n = 3

• Data hasil pengamatan adalah 0.68 , 0.80 , dan 0.96

• f (x) = (p + 1)xp, 0 < x < 1, p > −1

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

L(p) =n

∏i=1

f (xi)

Dengan demikian diperoleh:

L(p) =n

∏i=1

f (xi)

=n

∏i=1

(p + 1)(xi)p

= (p + 1)n

(n

∏i=1

xi

)p

ln[Lp] = ln

[(p + 1)n

(n

∏i=1

xi

)p]

ln[Lp] = n ln(p + 1) + p ln

[n

∏i=1

xi

]

ln[Lp] = n ln(p + 1) + pn

∑i=1

ln(xi)

Dalam mencari maximum likelihood, maka kita gunakan persamaan : ddp ln[L(p)] = 0. Oleh

karena didapatkan:

ddp

ln[L(p)] = 0

ddp

(n ln(p + 1) + p

n

∑i=1

ln(xi)

)= 0

np + 1

+n

∑i=1

ln(xi) = 0

p =−n−∑n

i=1 ln(xi)

∑ni=1 ln(xi)

210

Page 211: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Berdasarkan data pengamatan yang diberikan pada soal, maka diperoleh:

p =−3−∑3

i=1 ln(xi)

∑3i=1 ln(xi)

=−3− (ln(0.68) + ln(0.8) + ln(0.96))

(ln(0.68) + ln(0.8) + ln(0.96))= 3.618

≈ 3.62

Jawab : C

13. Diketahui:

• Studi mortalita dilakukan atas sejumlah n orang.

• Tidak ada data yang disensor dan tidak ada dua kejadian meninggal pada periode yangsama.

• tk = Saat kejadian meninggal ke -k

• Estimasi Nelson-Aalen dari fungsi hazard rate kumulatif pada t2 adalah Λ(t2) =55756

Hitunglah estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi survival pada t10

A. 0.52

B. 0.55

C. 0.64

D. 0.69

E. 0.78

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

S(t) =m

∏j=1

(rj − dj

rj

), untuk tm ≤ t ≤ tm+1

Λ(t) =m

∑j=1

1rj

=1n+

1n− 1

+ ... +1

n−m + 1, untuk tm ≤ t ≤ tm+1

211

Page 212: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Dengan demikian diperoleh:

Λ(t2) =1n+

1n− 1

55756

=2n− 1n2 − n

55n2 − 55n = 1512n− 756

55n2 − 1567n + 756 = 0

(55n− 27)(n− 28) = 0

Berdassarkan betuk persamaan kuadrat di atas, solusi yang mungkin dari n adalah 28. Gu-nakan nilai tersebut untuk menghitung estimasi product limit Kaplan-Meier dari fungsi sur-

vival pada t10, yaitu:

S(t10) =10

∏j=1

(rj − dj

rj

)

=2728

.2627

.2526

...1819

=1828

= 0.642857143

≈ 0.64

Jawab : C

14. Sebuah studi mortalita dilakukan atas pengamatan terhadap 50 peserta dimulai dari waktu ke-0. Diketahui:

Waktu Jumlah Kematian (dt) Jumlah yang disensor (ct)

15 3 0

17 0 4

25 3 0

30 0 c30

32 8 0

40 2 0

S(35) adalah estimasi product limit dari S(35).V[S(35)] adalah estimasi variansi dari S(35) menggunakan formula Greenwood.V[S(35)][S(35)]2

= 0.012718.

212

Page 213: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Hitunglah c30, jumlah yang disensor pada waktu t = 30.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

V[S(t)] = [S(t)]2k

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)

Dengan demikian diperoleh:

V[S(35)] = [S(35)]23

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)V[S(35)][S(35)]2

=3

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)

0.012718 =

(3

50(47)

)+

(3

43(40)

)+

(8

(40− c30)(32− c30)

)(

8(40− c30)(32− c30)

)= 0.0096972182

1280− 72c30 + c230 = 824.9788584

c230 − 72c30 + 455.0211416 = 0

Nilai dari c30 yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah c30 = 7.00036 ≈ 7 atauc30 = 64.999 ≈ 65. Karena jumlah peserta yang ada adalah 50 orang, maka nilai c30 yangmungkin adalah c30 = 7.

Jawab : B

15. Diketahui model deret waktu sebagai berikut:

yt = 0.9yt−1 + 1 + εt − 0.6εt−1

213

Page 214: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Juga diberikan:

yT = 7.0

εT = 0.5

Dengan menggunakan error di periode yang akan datang adalah nol, hitunglah perkiraan 2periode, yaitu yT(2)

A. 5.64

B. 6.12

C. 7.30

D. 8.20

E. 9.15

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

yT(s) = φs1yT + (φs−1

1 + φ1 + 1)δ− φs−11 θ1 εT

Dengan demikian diperoleh:

yT(2) = (φ1)2yT + (φ1 + 1)δ− φ1θ1 εT

= (0.9)2(7) + (0.9 + 1)(1)− (0.9)(0.6)(0.5)

= 7.3

Jawab : C

16. Anda mencocokkan model moving average order pertama yang invertible ke dalam DeretWaktu. Koefisien autocorellation dari sample lag 1 adalah −0.40. Hitunglah tebakan awaluntuk θ (yaitu parameter moving average).

A. 0.4

B. 0.5

C. 0.6

D. 0.7

E. 0.8

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

214

Page 215: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Autocorrelation function untuk MA(q) yang invertible

ρh = −θh + ∑

q−hj=1 θjθj+h

1 + ∑qj=1 θ2

j

Dengan demikian diperoleh:

ρ1 = − θ1

1 + θ21

−0.4 = − θ1

1 + θ21

0.4(1 + θ21) = θ1

4θ21 + 4 = 10θ1

4θ21 − 10θ1 + 4 = 0

(4θ1 − 2)(θ1 − 2) = 0

Nilai θ1 yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah θ1 = 12 atau θ1 = 2. Karena nilai

parameter θ1 haruslah kurang dari 1, maka nilai θ1 yang dimaksud adalah θ1 = 0.5

Jawab : B

17. Model berikut ini digunakan untuk mengestimasi 30 pengamatan:

• Model I : Y = β1 + β2X2 + ε

• Model II : Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε

Selain itu, diketahui data sebagai berikut:

i ∑(Y− Y)2 = 160

ii ∑(X2 − X2)2 = 11

iii Untuk model I, β2 = −2

iv Untuk model II, R2 = 0.60

Hitunglah nilai F statistik yang digunakan untuk menguji bahwa β3 dan β4 adalah sama den-gan 0.

A. 10.56

B. 19.50

215

Page 216: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

C. 22.80

D. 26.30

E. 33.62

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

R2R = β2

2

(∑ (X2 − X2)

2

∑ (Y2 − Y2)2

)

F =R2

UR − R2R

m.

n− k1− R2

UR

di mana:m adalah selisih jumlah parameter restricted dan unrestricted.k adalah jumlah parameter unrestricted dari model.

Dengan demikian diperoleh:

R2R = β2

2

(∑ (X2 − X2)

2

∑ (Y2 − Y2)2

)

= (−2)2(

11160

)= 0.275

F =R2

UR − R2R

m.

n− k1− R2

UR

=0.6− 0.275

2.30− 41− 0.6

= 10.5625

≈ 10.56

Jadi, nilai F statistik yang digunakan untuk menguji bahwa β3 dan β4 adalah sama dengan 0adalah 10.56

Jawab : A

216

Page 217: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

18. Pada suatu model autoregressive ARMA(1,1) diketahui informasi sebagai berikut:

φ1 = 0.3

θ1 = 0.5

Berapa nilai ρ2 (dibulatkan 3 desimal) ?

A. -0.029

B. -0.038

C. -0.046

D. -0.054

E. -0.061

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

ρh = φ1ρh−1, untuk h ≥ 2

ρ1 =(φ1 − θ1)(1− φ1θ1)

1− 2φ1θ1 + θ21

Dengan demikian diperoleh:

ρ2 = φ1ρ1

ρ2 = φ1(φ1 − θ1)(1− φ1θ1)

1− 2φ1θ1 + θ21

= (0.5)((0.3− 0.5)(1− (0.3)(0.5))

1− 2(0.3)(0.5) + (0.5)2

)= −0.053684

≈ −0.054

Jawab : D

19. Diketahui suatu proses autoregressive-moving average ARMA(1,1) sebagai berikut:

yt = 0.7yt−1 + 3 + εt − 0.3εt−1

Berapa nilai ρ1 (dibulatkan 2 desimal) ?

A. 0.47

B. 0.55

217

Page 218: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

C. 0.62

D. 0.70

E. 0.78

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

ρh = φ1ρh−1, untuk h ≥ 2

ρ1 =(φ1 − θ1)(1− φ1θ1)

1− 2φ1θ1 + θ21

Dengan demikian diperoleh:

ρ1 =(φ1 − θ1)(1− φ1θ1)

1− 2φ1θ1 + θ21

=

((0.7− 0.3)(1− (0.3)(0.7))

1− 2(0.3)(0.7) + (0.3)2

)= 0.4716

≈ 0.47

Jawab : A

20. Diketahui informasi sebagai berikut:

i

yi = βxi + εi

Var(εi) =( xi

2

)2

ii

i xi yi

1 1 9

2 2 3

3 3 4

4 4 -3

Tentukan nilai estimasi weighted least square dari β, yaitu β (dibulatkan 2 desimal)

A. 2.62

B. 2.69

218

Page 219: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

C. 2.77

D. 2.85

E. 2.93

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

wi =1σ2 =

1Var(εi)

β =∑n

i=1 wixiyi

∑ni=1 wix2

i

Dengan demikian diperoleh:

i xi yi Var(εi) wi wixiyi x2i wix2

i

1 1 9 0.25 4 36 1 4

2 2 3 1 1 6 4 4

3 3 4 2.25 0.44444 5.3333 9 4

4 4 -3 4 0.25 -3 16 4

Total 10 13 7.5 5.69444 44.3333 30 16

β =∑n

i=1 wixiyi

∑ni=1 wix2

i=

44.333316

= 2.77

Jawab : C

21. Sebuah regresi 2 variabel dicocokkan ke dalam 5 observasi sebagai berikut:

i 1 2 3 4

Xi 7 12 15 21

εi 1.017 0.409 -0.557 -2.487

Berapakah nilai X5 ?

A. 26

B. 27

C. 28

D. 29

219

Page 220: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

E. 30

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :Sifat residual

• Zero mean : ∑ni=1 εi = 0

• Orthogonality : ∑ni=1 εiXi = 0

Dengan demikian diperoleh:

n

∑i=1

εi = 0

1.017 + 0.409− 0.557− 2.487 + ε5 = 0

ε5 = 1.618

Selanjutnya,

n

∑i=1

εiXi = 0

1.017(7) + 0.409(12)− 0.557(15)− 2.487(21) + 1.618(X5) = 0

X5 = 30.009

≈ 30

Jawab : E

22. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatan:

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi , i = 1, 2, 3, 4

Diberikan data sebagai berikut:

i X2i X3i

1 -4 -3

2 -3 4

3 3 -4

4 4 3

Estimasi least square dari β3 dinyatakan sebagai β3 = ∑4i=1 wiYi.

Tentukan nilai dari (w1; w2; w3; w4)

220

Page 221: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

A. (-0.08 ; -0.06 ; 0.06 ; 0.08)

B. (-0.06 ; 0.08 ; -0.08 ; 0.06)

C. (0.06 ; -0.08 ; 0.08 ; -0.06)

D. (-0.05 ; 0.10 ; -0.10 ; 0.05)

E. (0.05 ; -0.10 ; 0.10 ; -0.05)

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

β3 =4

∑i=1

wiYi =4

∑i=1

[(Xi − X)

∑ni=1(Xi − X)2

]Yi

Dengan demikian diperoleh:

wi =

[(Xi − X)

∑ni=1(Xi − X)2

], di mana

X =−3 + 4− 4 + 3

4= 0, dan

n

∑i=1

(Xi − X)2 = (−3)2 + (4)2 + (−4)2 + (3)2 = 50

Oleh karena itu, kita dapatkan:

w1 =−350

= −0.06

w2 =450

= 0.08

w3 =−450

= −0.08

w4 =350

= 0.06

Jawab : B

23. Sebuah regresi linier digunakan untuk mengestimasikan 10 titik (Xi, Yi). Estimasi α adalah α

dan estimasi β adalah β.Diketahui pula:

i ∑(α + βXi − Y)2 = 49

ii Variansi sampel dari Y adalah 8

Hitunglah ∑(α + βXi −Yi)2

A. 23

221

Page 222: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

B. 26

C. 28

D. 30

E. 32

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

Var(Y) =∑(Yi − Y)2

n− 1=

∑(Yi − Yi)2 + ∑(Yi − Y)2

n− 1

Dengan demikian diperoleh:

Var(Y) =∑(Yi − Y)2

n− 1=

∑(Yi − Yi)2 + ∑(Yi − Y)2

n− 1

Var(Y) =∑(α + βXi −Yi)

2 + ∑(α + βXi − Y)2

10− 1

8 =∑(α + βXi −Yi)

2 + 499

∑(α + βXi −Yi)2 = 23

Jadi, ∑(α + βXi −Yi)2 = 23

Jawab : A

24. Sebuah model regresi linier Y = α + βX + ε digunakan untuk mengestimasi 8 data penga-matan.Diketahui:

i β = 2.075

ii ∑(Xi − X)2 = 38

iii ∑(Yi − Y)2 = 185

Hitunglah R2 (dibulatkan 3 desimal)

A. 0.584

B. 0.684

C. 0.784

D. 0.884

E. 0.984

222

Page 223: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

R2 = β22

(∑(X2 − X2)

2

∑(Y− Y)2

)Dengan demikian diperoleh:

R2 = β22

(∑(X2 − X2)

2

∑(Y− Y)2

)= (2.075)2

(38185

)= 0.884

Jawab : D

25. Sebuah model regresi linier yang digunakan untuk mengestimasikan 6 data pengamatan meng-hasilkan nilai R2 = 0.685.Jika model yang sama digunakan untuk mencocokkan 10 data pengamatan yang serupa, bera-pakah nilai expektasi dari R2 ?

A. 0.68

B. 0.70

C. 0.72

D. 0.74

E. 0.76

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah :

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)n− k

Dengan demikian diperoleh:

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)n− k

0.685 = 1− (1− R2)(10− 1)10− 2

0.315 =(1− R2)(9)

8R2 = 0.72

223

Page 224: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Jadi, nilai expektasi dari R2 adalah 0.72.

Jawab : C

26. Sebuah regresi dua variabel digunakan untuk mengestimasi 100 titik data.Diketahui:

i X = 140

ii ∑ X2i = 5256000

iii ESS (error of squares) = 540000

Hitunglah Cov[α, β] (dibulatkan 2 desimal).

A. -0.18

B. -0.23

C. -0.29

D. -0.36

E. -0.44

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

σ2 =ESS

N − 2

∑(X2 − X)2 = ∑ X2i −

1n(∑ Xi

)2= ∑ X2

i − nX

Cov(α, β) =−X.σ2

∑(X2 − X)2

224

Page 225: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Dengan demikian diperoleh:

σ2 =ESS

N − 2

=540000100− 2

= 5510.2

∑(X2 − X)2 = ∑ X2i − nX

= 5256000− 100(140)2

= 3296000

Cov(α, β) =−X.σ2

∑(X2 − X)2

=−140(5510.2)

3296000= −0.23

Jadi, nilai dari Cov[α, β] adalah -0.23

Jawab : B

27. Sebuah regresi linier digunakan untuk mencocokkan suatu deret waktu dengan 30 pengamatan.Diketahui:

i ε1 = −8

ii ε30 = 10

iii ∑30t=1 ε2

t = 3200

iv ∑30t=1 εt × εt−1 = 760

Hitunglah statistik Durbin-Watson (dibulatkan 2 desimal).

A. 1.27

B. 1.37

C. 1.47

D. 1.57

E. 1.67

Pembahasan:

225

Page 226: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

d =∑n

t=2(εt − εt−1)2

∑nt=2 ε2

t

Dengan demikian diperoleh:

d =∑n

t=2(εt − εt−1)2

∑nt=2 ε2

t

=∑30

t=2(ε2t − 2εt εt−1 + ε2

t−1)

∑30t=2 ε2

t

=∑30

t=2 ε2t − 2 ∑30

t=2 εt εt−1 + ∑30t=2 ε2

t−1)

∑30t=2 ε2

t

=(3200− (−8)2)− 2(760) + (3200− 102)

3200= 1.47375

≈ 1.47

Jadi, statistik Durbin-Watson adalah 1.47

Jawab : C

28. Anda melakukan analisis regresi sederhana dan telah menentukan bahwa nilai statistik ujiDurbin-Watson adalah 0.7Hitunglah nilai aproksimasi dari koefisien autokorelasi sampel (sample autocorrelation coef-

ficient) untuk mengukur hubungan antara residual yang berurutan.

A. 0.65

B. 0.60

C. 0.55

D. 0.50

E. 0.40

Pembahasan:Rumus yang digunakan adalah :

p = 1− d2

226

Page 227: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Dengan demikian diperoleh:

p = 1− d2

= 1− 0.72

= 0.65

Jadi, nilai aproksimasi dari koefisien autokorelasi sampel (sample autocorrelation coefficient)untuk mengukur hubungan antara residual yang berurutan adalah 0.65

Jawab : A

29. Anda mengestimasikan model regresi linear sederhana berdasarkan pengamatan atas 8 dataharian berikut ini:

Hari Y X

1 11 2

2 20 2

3 30 3

4 39 3

5 51 4

6 59 4

7 70 5

8 80 5

Dengan menggunakan metode least square, Anda menentukan estimasi regresi linier sebagai

Y = −25 + 20X

Hitunglah nilai dari statistik Durbin Watson (dibulatkan 2 desimal).

A. 2.60

B. 2.82

C. 3.04

D. 3.26

E. 3.48

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

d =∑n

t=2(εt − εt−1)2

∑nt=2 ε2

t

227

Page 228: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

di mana εt = Yt − Yt.

Dengan demikian diperoleh:

Hari Y X Y ε ε2 (εt − εt−1)2

1 11 2 15 -4 16 0

2 20 2 15 5 25 81

3 30 3 35 -5 25 100

4 39 3 35 4 16 81

5 51 4 55 -4 16 64

6 59 4 55 4 16 64

7 70 5 75 -5 25 81

8 80 5 75 5 25 100

Catat bahwa ∑ ε2 = 164 dan ∑(εt − εt−1)2 = 571.

d =∑n

t=2(εt − εt−1)2

∑nt=2 ε2

t

=571164

= 3.48

Jadi, nilai dari statistik Durbin Watson adalah 3.48

Jawab : E

30. Anda mengestimasikan model regresi linear Yi = βXi + εi berdasarkan data berikut ini:

Y 3 9 14

X 1 4 10

Hitunglah estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var[β] (dibulatkan 4 desimal)

A. 0.0129

B. 0.0139

C. 0.0149

D. 0.0159

E. 0.0169

228

Page 229: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

7 A50 Periode November 2017

Pembahasan:Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah:

β =SXXSXY

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(Xi − X)2

α = Y− βX

εi = Yi − Yi = Yi − (α + βX)

Var(β) =SXXε2

i(SXX)2

Dengan demikian diperoleh:

i Xi Yi Xi − X Yi − Y SXX SXY Yi εi ε2i SXXε2

i

1 1 3 -4 -5.67 16 22.67 4 -1 1 16

2 4 9 -1 0.33 1 -0.33 7.5 1.5 2.25 2.25

3 10 14 5 5.33 25 26.67 14.5 -0.5 0.25 6.25

Total 15 26 0 0 42 49 26 0 3.5 24.5

Mean 5 8.67

β =SXXSXY

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(Xi − X)2

=4942

= 1.1667

Var(β) =SXXε2

i(SXX)2

=24.5422

= 0.0139

Jadi, estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var[β] adalah 0.0139

Jawab : B

229

Page 230: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

1. Diketahui table mortalita dengan periode seleksi 2 tahun sebagai berikut

x q[x] q[x]+1 q[x]+2 x + 2

40 0,115 0,140 0,150 42

41 0,120 0,135 0,160 43

42 0,130 0,145 0,190 44

Tingkat kematian menyebar secara seragam di setiap usia. Tentukanlah 1,6 p[41]+0,4

A. 0,81

B. 0,82

C. 0,83

D. 0,84

E. 0,85

Pembahasan:Diketahui kematian menyebar secara UDD, maka

t px = 1− tqx

1,6 p[41]+0,4 = 1− 1,6q[41]+0,4

= 1−1, 6q[41]

1− 0, 4q[41]

= 1− (1, 6)(0, 12)1− (0, 4)(0, 12)

= 0, 80

Jawaban yang paling mendekati adalah 0,81

Jawab: A.

2. Untuk sebuah tabel double decrement , diberikan

Usia x l(τ)x d(1)x d(2)x

20 1000 70 100

21 66

22 650

230

Page 231: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Setiap decrement menyebar seragam untuk tiap usia. Hitunglah q′(21)(2)

A. 0,1434

B. 0,1560

C. 0,1760

D. 0,1800

E. 0,2000

Pembahasan:Setiap decrement menyebar seragam (UDD) sehingga

d(τ)20 =2

∑j=1

d(j)x = 170

d(τ)20 = l(τ)20 − l(τ)21

maka

l(τ)21 = l(τ)20 − d(τ)20 = 1000− 170 = 830

selanjutnya

d(τ)21 = l(τ)21 − l(τ)22 = 830− 650 = 180

d(τ)21 = d(1)21 + d(2)21

maka

d(2)21 = 180− 66 = 114

q(2)21 =d(2)21

l(τ)21

=114830

q(τ)21 =dτ

21

l(τ)21

=180830

231

Page 232: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Selanjutny dipunyai q′(2)21 artinya

q′(2)21 = 1− p′(2)21

= 1−(

p(τ)21

)q(2)21 /q(τ)21

= 1−(

650830

) 114/830180/830

= 0, 1434

Jawab. A.

3. Berikut diberikan tabel double decrement

a) µ(1)x+0,5 = 0, 02

b) q(2)x = 0, 01

c) Setiap decrement menyebar secara seragam pada tiap usia dalam tabel single decrement

nya

Hitunglah p(1)x

A. 0,9750

B. 0,9803

C. 0,9831

D. 0,9860

E. 0,9901

Pembahasan:

q(1)x

1− 0, 5q(τ)x

= 0, 02

q(1)x

1− 0, 5(0, 01 + q(1)x )= 0, 02

q(1)x = 0, 02(1− 0, 5(0, 01 + q(1)x ))

q(1)x = 0, 02(1− 0, 005 + 0, 5q(1)x )

q(1)x = 0, 02− 0, 0001 + 0, 01q(1)x

1, 01q(1)x = 0, 02− 0, 0001

q(1)x = 0, 1970297

232

Page 233: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

maka

p(1)x = 1− q(1)x = 1− 0, 1970297 = 0, 9803

Jawab. B.

4. Diberikan

i.

µx+t =

{0, 03 , jika 0 ≤ t < 10, 08 , jika 1 ≤ t < 2

ii. Y=min(Tx, 2)

Hitunglah E(Y)

A. 1,52

B. 1,61

C. 1,73

D. 1,80

E. 1,92

Pembahasan:

E[Y] = E[min(Tx, 2)]

=∫ 2

0tt pxµx+t dt + 2t px

=∫ 1

0tt pxµx+t dt +

∫ 2

0t pxµx+t dt + 2t px

=∫ 1

0te−0,03t.(0, 03)dt +

∫ 2

1te−0,08t(0, 08)dt + 2e−

∫ 20 µtdt

=∫ 1

0te−0,03t.(0, 03)dt +

∫ 2

1te−0,08t(0, 08)dt + 2e−

(∫ 10 µtdt+

∫ 21 µtdt

)

=∫ 1

0te−0,03t.(0, 03)dt +

∫ 2

1te−0,08t(0, 08)dt + 2e−

(∫ 10 0,03dt+

∫ 21 0,08dt

)

= 0, 03(0, 490112) + 0, 08(1, 32482) + 2e−(0,03+0,08)

= 1, 912

= 1, 92

Jawab. E.

233

Page 234: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

5. Diberikan

µx =

{0, 03 , jika 30 ≤ x < 40

0, 04 + 0, 001(x− 40)2 , jika 40 ≤ x < 50

Hitunglah 4|11q30q30

A. 0,305

B. 0,325

C. 0,355

D. 0,375

E. 0,400

Pembahasan:

t|uqx = t px.uqx+t

Dengan mengaplikasikan rumus di atas, sehingga diperoleh :

4 p30 = e−∫ 34

30 0,03dx = 0, 88692

11 p34 = e−(∫ 40

34 0,03dx+∫ 45

40 0,04+0,001(x−40)2dx)= 0, 655953

4|11q30 = 4 p30.11q34

= 4 p30. (1− 11 p34)

= (0, 88692)× (1− 0, 655953)

= 0, 305

Jawab. A.

6. Jika lx = 140 dan qx =15

. Hitunglah lx+1/4 menggunakan asumsi Hyperbolic (Balducci)

A. 129

B. 130

C. 131

D. 132

E. 133

Pembahasan:

234

Page 235: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Dalam asumsi Hyperbolic dipunyai:

lx+s =lx+1

px + sqx

dimana

px = 1− qx

= 1− 15= 0, 8

lx+1 = lx.px = (0, 8)(140) = 112

sehingga

lx+1/4 = lx+0,25 =lx+1

px + 0, 25qx=

1120, 8 + (0, 25)(0, 2)

=1120, 85

= 131, 76 = 132

Jawab. D.

7. Diketahui sebuah proses stokastik, autoregresive process first order, AR(1):

yt = 0, 9yt−1 + 0, 8 + εt

Dimana forecast untuk 6 periode merupakan

yT(6) = 0, 9yt + Z

Tentukanlah Z.

A. 2,50

B. 3,75

C. 3,95

D. 4,10

E. 5,20

Pembahasan:Diketahui:

yt = 0, 9yt−1 + 0, 8 + εt

= φ1yt−1 + δ + εtyT(6) = 0, 9yt + Z

235

Page 236: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

yT(l) = φl1yT +

(φl−1

1 + φl−21 + ... + φ1 + 1

Dengan demikian diperoleh :

Z =(

φ51 + φ4

1 + φ31 + φ2

1 + φ1 + 1)

δ

=(

0, 95 + 0, 94 + 0, 93 + 0, 92 + 0, 9 + 1)

0, 8

= 3, 748472

≈ 3, 75

Jawab. B.

8. Anda mencocokkan model berikut dalam empat pengamatan:

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi, i = 1, 2, 3, 4

Diberikan data sebagai berikut:

i X2i X3i

1 -3 -1

2 -1 3

3 1 -3

4 3 1

Estimasi least square dari β3, dinyatakan sebagai β3 = ∑4i=1 wiYi

Tentukan nilai dari (w1, w2, w3, w4)

A. (− 120 , 3

20 ,− 320 , 1

20 )

B. (− 120 ,− 3

20 , 320 , 1

20 )

C. ( 120 ,− 3

20 , 320 ,− 1

20 )

D. (− 320 ,− 1

20 , 120 , 3

20 )

E. ( 14 , 1

4 ,− 14 ,− 1

4 )

Pembahasan:Diketahui:

β3 =4

∑i=1

wi Yi =4

∑i=1

[(xi − x)

∑ni=1(xi − x)2

]Yi

236

Page 237: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

sehingga

wi =

[(xi − x)

∑ni=1(xi − x)2

]di mana

x3 =−2 + 4 + (−4) + 2

4= 0

dan

n

∑i=1

(xi − x)2 = (−2)2 + (4)2 + (−4)2 + (2)2 = 40

sehingga

w1 =−240

=−120

w2 =4

40=

220

w3 =−440

=−220

w4 =2

40=

120

Jawab. A.

9. Untuk selang estimasi (x, x + 2], diketahui data sebagai berikut:

s = 0 s = 1

Jumlah orang yang hidup di umur x + s 200 170

Jumlah orang yang keluar di umur x + s + 0, 5 20 22

Jumlah peserta baru di umur x + s + 0, 25 40 32

Jumlah orang yang keluar di umur x + s + 0, 75 20 28

Jumlah orang yang bertahan di umur x + s + 1 170 140

Dengan menggunakan metode actuarial exposure, hitunglah estimasi 2qx, yaitu kemungkinanorang berumur x tahun yang akan meninggal dalam 2 tahun berikutnya.

A. 0,198

B. 0,200

C. 0,202

D. 0,204

237

Page 238: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

E. 0,206

Pembahasan:

qx =dx

nx − (1− s).cx + (1− r)kx

untuk qx

qx =30

200− 20(1− 0, 5) + 40(1− 0, 25)− 20(1− 0, 75)= 0, 139535

untuk qx+1

qx =30

170− 22(1− 0, 5) + 32(1− 0, 25)− 28(1− 0, 75)= 0, 068182

sehingga

ˆ2qx = 1− px.px+1

= 1− (1− qx) (1− qx+1)

= 1− (1− 0, 139535)(1− 0, 068182)

= 0, 198203

Jawab. A.

10. Dalam sebuah model dua decrement, diberikan:

a) q(1)x = 0, 05

b) q(2)x = 0, 15

c) Setiap decrement menyebar seragam dalam usia pada tabel decrement

Tentukanlan µ(1)x+0,2

A. 0,0490

B. 0,0521

C. 0,0560

D. 0,0590

E. 0,0610

Pembahasan:

238

Page 239: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Untuk kasus UDD

µ(j)x+t =

q(j)x

1− tq(τ)x

Dengan mengaplikasikan rumus di atas, sehingga

q(τ)x = q(1)x + q(2)x = 0, 05 + 0, 15 = 0, 2

µ(1)x+0,2 = µ

(1)x (0, 2) =

q(1)x

0,2 p(τ)x

=q(j)

x

1− 0, 2q(τ)x

sehinggaq(j)

x

1− 0, 2q(τ)x

=0, 05

1− 0, 2(0, 2)=

0, 050, 96

= 0, 0521

Jawab. B.

11. Diketahui bahwa mortalita mengikuti

lx = 100− x, 0 ≤ x ≤ 100

Hitunglah e75,2

A. 10,70

B. 10,90

C. 11,10

D. 11,50

E. 11,90

Pembahasan:Berdasarkan fungsi lx maka mortalitas ini mengikuti De Moivre’s Law

ex =ω− x

2− 1

2

dengan ω = 100 sehingga

e75,2 =(100− 75, 2)

2− 1

2= 12, 4− 0, 5 = 11, 9

Jawab. E.

12. Dalam sebuah studi mortalita, ada 20 orang. Kematian terjadi pada waktu 1, 4, 5, dan 7. Satuorang withdraw dari studi pada waktu 2, dan dua orang withdraw dari studi pada waktu 6.

239

Page 240: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Sisa 13 orang bertahan sampai waktu ke 10. Hitunglah estimasi variance dari product limit

estimator S(10) menggunakan formula Greenwood.

A. 10,0075

B. 0,0082

C. 0,0090

D. 0,0093

E. 0,0103

Pembahasan:

S(t) =m

∏j=1

(rj − dj

rj

)

S(10) =

(20− 1

20

)(18− 1

18

)(17− 1

17

)(14− 1

14

)=

(1920

)(1718

)(1617

)(1314

)= 0, 784127

V[S(t)] = [S(t)]2k

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)

V[S(10)] = [S(10)]2k

∑j=1

(dj

rj(rj − dj)

)

= [0, 784127]2(

1(20)(19)

+1

(18)(17)+

1(17)(16)

+1

(14)(13)

)= [0, 784127]2(0, 015071)

= 0, 009266

≈ 0, 0093

Jawab. D.

13. Dalam studi mortalita, 2 kematian terjadi pada waktu 3 dan 3 kematian pada waktu 5. Tidakada kematian lain sebelum waktu 5. Estimasi Variance dari Nelson-alen H(3) adalah 0,002222.Sedangkan estimasi variance dari Nelson-alen H(5) adalah 0,007222

Tentukanlah jumlah yang withdraw di antara waktu 3 dan 5.

240

Page 241: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

Pembahasan:

Estimasi variance [H(t)] =k

∑j=1

dj

r2j

H(3) =2r2

1

0, 002222 =2r2

1

r21 = 900, 09

r1 ≈ 30

H(5) =3r2

2

0, 007222 =3r2

2

r22 = 415.4

r2 = 20, 381364

r2 ≈ 20

Dengan demikian diperoleh 30 = 20 + 2 + c⇒ c = 8. Jadi, jumlah yang withdraw di antarawaktu 3 dan 5 adalah 8.

Jawab. C.

14. Diberikan

a) Kematian menyebar secara seragam pada tiap usia

b) µ45,5 = 0, 3

Hitunglah eo45:1

241

Page 242: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

A. 0,8624

B. 0,8712

C. 0,8813

D. 0,8945

E. 0,9001

Pembahasan:Diketahui bahwa untuk UUD nilai eo

45:1 = px +12 qx dan µx+0,5 =

qx

1− 0, 5qxsehingga

µ45,5 =q45

1− 0, 5q45

(0, 3)(1− 0, 5q45) = q45

0, 3− 0, 15q45 = q45

0, 3 = 1, 15q45

q45 =0, 3

1, 15= 0, 261 (∗)

dari (∗) diperoleh

p45 = 1− q45 = 1− 0, 261 = 0, 739

selanjutnya

eo45:1 = p45 +

12

q45 = 0, 739 + (0, 5)(0, 261) = 0, 8695 = 0, 87

Jawab. B.

15. Anda diberikan:

i. j(x) = 1, 3x−100

ii. µx = j(x)/[1 + j(x)]

Hitunglah q103/q102

A. 1,01

B. 1,02

C. 1,03

D. 1,04

E. 1,06

242

Page 243: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Pembahasan:

n px = exp(−∫ x+n

xµxdx

)p103 = exp

(−∫ 104

103

1, 3x−100

1 + 1, 3x−100 dx)= 0, 48947

p102 = exp(−∫ 103

102

1, 3x−100

1 + 1, 3x−100 dx)= 0, 51782

sehinggaq103

q102=

1− p103

1− p102=

1− 0, 489471− 0, 51782

= 1, 058 = 1, 06

Jawab. E.

16. Sebuah sampel yang merupakan 10 buah mesin dengan waktu kegagalan terjadi (dalam hari)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 12. Asumsikan model survival yang digunakan adalah exponensial,estimasikanlah λ dengan menggunakan metode median.(Pdf dari sebaran exponensial f (x) = λe−λx )

A. 0,087

B. 0,092

C. 0,095

D. 0,100

E. 0,130

Pembahasan:

x0,5 = (1− 0, 5)x5 + 0, 5x6

= (0, 5)(7) + (0, 5)(8)

= 7, 5

F(x0,5) = 1− e−χ20,5

0, 5 = 1− e−χ20,5

e−χ20,5 = 0, 5

−χ0,5λ = ln(0, 5)

λ =ln(0, 5)−7, 5

= 0, 09242 ≈ 0, 092

Jawab. B.

243

Page 244: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

17. Untuk sebuah tabel mortalita dengan dua tahun seleksi, diberikan :

i. q[x] = (1− 2k)qx untuk semua x

ii. q[x]+1 = (1− k)qx+1 untuk semua x

iii. l[32] = 90

iv. l32 = 100

v. l33 = 90

vi. l34 = 63

Hitunglah q[32]

A. 1/12

B. 2/25

C. 1/15

D. 2/31

E. 2/35

Pembahasan:

q32 =l32 − l33

l32q[31]+1

1− k=

l32 − l33

l32q[32]

1− 2k=

110

q[32] = (1− 2k)1

10(∗)

q33 =l33 − l34

l32q[32]+1

1− k=

l33 − l34

l33q[33]

1− 2k=

310

q[32]+1 =310

(1− k) (∗∗)

Berdasarkan (*), misalkan x = l[32]+1, maka

90− x = 9(1− 2k)

x = 90− 9 + 18k

x = 81 + 18k

244

Page 245: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Subtitusi nilai x ke dalam (**)

81 + 18k− 6381 + 18k

=3− 3k

1018k + 1881 + 18k

=3− 3k

10180k + 180 = 243− 243k + 54k− 54k2

180k + 180 = 243− 189k− 54k2

54k2 + 369k− 63 = 0

6k2 + 41k− 7 = 0

(6k− 1)(k + 7) = 0

artinya k = −7 dan k = 16

untuk k = −7 diperoleh q[32] = (1− 2(−7)) 110 = 15

10 (tidak memenuhi)

untuk k = 16 diperoleh q[32] = (1− 2( 1

6 ))110 = 1

15

Jawab. C.

18. Untuk suatu model ARMA(1, 1) diberikan persamaan sebagai berikut:

yt = 0, 9yt−1 + 3 + εt − 0, 4εt−1

Hitunglah ρ1

A. 0,62

B. 0,73

C. 0,81

D. 0,88

E. 0,92

Pembahasan:Berdasarkan yt = 0, 9yt−1 + 3 + εt − 0, 4εt−1 diperoleh φ = 0, 9 dan θ = 0, 4 sehingga

ρ1 =(1− (0, 4)(0, 9))((0, 9)− (0, 4))

1− 2(0, 9)(0, 4) + (0, 4)2 (0, 9)1−1 = 0, 727 = 0, 73

Jawab. B.

245

Page 246: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

19. Diketahui dari 50 pengamatan

∑ ε2 = 100

∑(Yi − Y)2 = 200

Var(ε) = 30

Hitunglah R2 untuk k = 1

A. 0,34

B. 0,44

C. 0,50

D. 0,54

E. 0,64

Pembahasan:

R2 = 1− ∑ ε2

∑(Yi − Y)2 = 200

= 1− 100200

= 0, 5

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)(n− k)

= 1− (1− 0, 5)(50− 1)(50− 1)

= 0, 5

Jawab. C.

20. Diketahui suatu proses autoregressive-moving average ARMA(1,1)

yt = 0, 9yt−1 + 2 + εt − 0, 2εt−1

Hitunglah ρ1

A. 0,72

B. 0,74

C. 0,76

D. 0,78

E. 0,80

246

Page 247: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Pembahasan:

ρx(h) = φρx(h− 1)

ρx(2) = φρx(2− 1) = φρx(1)

sehingga

ρx(2) = φ

((θ + φ)(1 + θφ)

1 + 2θφ + θ2

)= (0, 9)

((−0, 2 + 0, 9) + (1 + (−0, 2)(0, 9))

1 + 2(−0, 2)(0, 9) + (−0, 2)2

)= 0, 759

= 0, 76

Jawab. C.

21. Diketahui suatu proses moving average order 2, MA(2)

yt = 0, 3 + εt + 0, 5εt−1 − 0, 4εt−2

Berapakah nilai optimal dari 2 langkah ke depan dari model tersebut yang dibuat pada waktut, jika error dari model pada waktu t,t− 1 and t− 2 masing ?masing 0,06 dan -0,1 dan 0.2dan jika diketahui pula nilai dari deret y pada waktu t-1 adalah -0,4?

A. 0

B. 0,23

C. 0,24

D. 0,30

E. 0,64

Pembahasan:Diketahui : εt = 0, 06εt−1 = −0, 1εt−2 = 0, 2µ = 0, 3θ1 = −0, 5θ2 = 0, 4

E(yt) = E[0, 3 + εt + 0, 5εt−1 − 0, 4εt−2] = 0, 3

247

Page 248: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Jawab. D.

22. Jika diketahui

(i) µx = F + eex, x ≥ 0

(ii) 0, 4p0 = 0,48

Hitunglah nilai F (dibulatkan 3 desimal).

A. −0,090

B. −0,200

C. 1,090

D. 0,303

E. 0,200

Pembahasan:

x p0 = exp[−∫ x

0µ(s) ds

]Dengan demikian diperoleh :

0,4 p0 = exp[−∫ 0,4

0F + e2s ds

]0,48 = exp

[− 0,4F− e0,8 − e0

2

]ln(0,48) = −0,4F− 0,612771

F =0,733969− 0,612771

0,4= 0,302995

Jawab. D.

23. Sebuah regresi linier dengan dua variabel bebas dan satu konstan digunakan untuk menco-cokkan suatu deret dengan 50 pengamatan, diketahui bahwa:

50

∑t=2

(εt − εt−1)2 = 90

50

∑t=1

εt2 = 59

Diberikan tabel Durbin-Watson Test

248

Page 249: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Nk = 1 k = 2 k = 3 k = 4

dL dU dL dU dL dU dL dU

50 1,5 1,59 1,46 1,63 1,42 1,67 1,38 1,32

dL:batas bawah dari critical value

dU:batas atas dari critical value

Apa keputusan yang cocok pada uji Durbin-Watson tersebut?

A. Residuals memiliki serial correlation yang positif

B. Residuals memiliki serial correlation yang negatif

C. Residuals tidak memiliki serial correlation

D. Residuals memiliki serial correlation yang tak-negatif

E. Hasil uji tidak dapat disimpulkan

Pembahasan:Diketahui:

Statistika Tes

d =∑50

t=2 (εt − εt−1)2

∑50t=1 εt 2

Jika d = 2 maka tidak ada korelasiJika 0 < d < 2 maka positif korelasiJika 2 < d < 4 maka negatif korelasi

Untuk menguji korelasi positif:

- Jika d < dL ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif

- Jika d > dU Tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif

- Jika dL < d < dU Tes tidak dapat disimpulkan

Untuk menguji korelasi negatif:

- Jika (4− d) < dL ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif

- Jika (4− d) > dU tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif

- Jika dL < (4− d) < dU Tes tidak dapat disimpulkan

249

Page 250: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Diperoleh nilai d:

d =∑50

t=2 (εt − εt−1)2

∑50t=1 εt 2

=9050

= 1, 53

Diperoleh 0 < d < 2 dan dL < d < dU dimana 1, 5 < d < 1, 59, sehingga kesimpulan yangditarik "Hasil uji tidak dapat disimpulkan"

Jawab: E.

24. Dalam sebuah regresi model diberikan Untuk unrestricted model:

ESSUR = 90TSSUR = 190

Untuk restricted model:

ESSR = 40TSSR = 60

Hitunglah Statistik F1,98

A. 40

B. 42

C. 43

D. 44

E. 45

Pembahasan:

R2UR = 1− ESSUR

TSSUR= 1− 90

190=

100190

R2R = 1− ESSR

TSSR= 1− 40

60=

2060

F(1, 98) =

(R2

UR − R2R)

/1

(1− 100190 )/(98)

= 39, 925

= 40

250

Page 251: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Jawab. A.

25. Sebuah regresi linier

Yi = 1 + βXi + εi

Y 1 3 5

X 2 4 8

Hitunglah estimasi heteroscedasticity-consistent dari Var[β]

A. 0,0011

B. 0,0015

C. 0,0017

D. 0,0019

E. 0,0021

Pembahasan: Terlebih dahulu akan ditentukan SXXε2i

dan SXX dengan menggunakan beber-apa formula berikut

β =SXYSXX

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(X− X)2

α = Y− βX

εi = Yi − Yi = Yi −(α + βX

)Var[β] =

SXXε2i

(SXX)2

Dinyatakan dalam bentuk tabel menjadi :

i Xi Yi Xi − X Yi − Y SXX SXY Yi εi ε2i SXXε2

i

1 2 1 -2,667 -2 7,11 5,33 1,285714 -0,28571 0,081633 0,5805

2 4 3 -0,667 0 0,444 0 2,571429 0,428571 0,183673 0,0816

3 8 5 3,33 2 11,111 6,667 5,142857 -0,14286 0,020408 0,22676

Total 14 9 0 0 18,67 12 9 -6,7E-16 0,285714 0,889

Mean 4,67 3

β =SXYSXX

=∑n

i=1(Xi − X)(Yi − Y)∑n

i=1(X− X)2 = 0, 642857

α = Y− βX = 0

Var[β] =SXXε2

i

(SXX)2 = 0, 002551

251

Page 252: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Jawab. Anulir

26. Sebuah regresi 2 variabel mengestimasi 100 titik,

Yi = α + βXi + εi

ESS (Error sum of squares)=10000

∑ X2i = 5000

Hitunglah standart Error β dan α, yaitu sβ dan sα

A. 0,143 dan 1,010

B. 0,167 dan 1,210

C. 0,182 dan 1,323

D. 0,193 dan 1,433

E. 0,210 dan 1,500

Pembahasan:Akan dihitung terlebih dahulu σ

σ2 =ESS

n− 2=

1000098

=

√10000

98

sehingga

sβ =σ√X2

i

=

√10000

98√5000

= 0, 1428 = 0, 143

sα =

√∑ X2

in ∑ x2

iσ =

√5000√

(100)(5000)

√10000

98= 1, 01

Jawab. A.

27. Diberikan model regresi di bawah ini

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + εi

Diketahui:

∑ X22i = 1200

252

Page 253: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

∑ X23i = 2200

∑ X2iX3i = 2500s2 = 1000Hitunglah COV(β2, β3)

A. 0,5612

B. 0,6925

C. 0,7125

D. 0,7513

E. 0,8276

Pembahasan:

COV(β2, β3) =−s2 ∑ X2iX3i√

∑ X22i ∑ X2

3i(1−

(∑ X2iX3i√∑ X2

2i ∑ X23i

)2)(√

∑ X22i ∑ X2

3i

)

=−1000 2500√

(1200)(2200)(1−

(2500√

(1200)(2200)

)2)√

(1200)(2200)

= 0, 69252

Jawab. B.

28. Model dengan 48 observasi yang anda miliki, sesuai dengan model berikut:

Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε

Jika diberikan:

Sumber variasi Derajat Kebebasan Sum of Square

Regresi 3 103.658

Error 44 69.204

Hitunglah nilai R2

A. 0,57

B. 0,58

C. 0,59

D. 0,60

E. 0,61

253

Page 254: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Pembahasan:Diketahui :

• RSS = 69, 24

• ESS = 103, 658

• n = 48

• k = 4 karena Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε memiliki 4 parameter

sehingga

TSS = ESS + RSS

= 69, 204 + 103, 658

= 172, 862

R2 =ESSRSS

=103, 658172, 862

= 0, 599658

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)(n− k)

= 1− (1− 0, 599658)(47)44

= 0, 572362

Jawab. A.

29. Untuk sebuah table double decrement, diberikan:

Usia x l(τ)x d(1)x d(2)x

40 1000 60 55

41 - - 70

42 750 - -

Setiap decrement menyebar secara uniform, hitunglah nilai q′41(1)

A. 0,077

B. 0,078

C. 0,079

D. 0,080

E. 0,081

254

Page 255: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

Pembahasan:

l(τ)41 = l(τ)40 − d(1)40 − d(2)40

= 1000− 60− 55

= 885

l(τ)42 = l(τ)41 − d(1)41 − d(2)41

750 = 885− d(1)41 − 70

d(1)41 = 65

q(1)41 =d(1)41

l(τ)41

=65

885= 0, 073446

q(τ)41 =d(τ)41

l(τ)41

=65 + 70

885= 0, 152542

q′(1)41 = 1− p

′(1)41

= 1−(

p(τ)41

) q(1)41

q(τ)41

= 1− (1− 0, 152542)0,0734460,152542

= 0, 076599

Jawab. A.

30. Anda mencocokkan model moving average order pertama yang invertible ke dalam DeretWaktu. Koefisien autocorellation dari sample lag 1 adalah −0.40. Hitunglah tebakan awaluntuk θ (yaitu parameter moving average).

A. 0.4

B. 0.5

C. 0.6

D. 0.7

E. 0.8

Pembahasan:Autocorrelation function untuk MA(q) yang invertible:

255

Page 256: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

8 A50 Periode Mei 2018

ρh = −θh + ∑

q−hj=1 θjθj+h

1 + ∑qj=1 θ2

j

Dengan demikian diperoleh:

ρ1 = − θ1

1 + θ21

−0.4 = − θ1

1 + θ21

0.4(1 + θ21) = θ1

4θ21 + 4 = 10θ1

4θ21 − 10θ1 + 4 = 0

(4θ1 − 2)(θ1 − 2) = 0

Nilai θ1 yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah θ1 = 12 atau θ1 = 2. Karena nilai

parameter θ1 haruslah kurang dari 1, maka nilai θ1 yang dimaksud adalah θ1 = 0.5

Jawab. B.

256

Page 257: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

1. Diketahui suatu proses moving average order 2, MA(2)yt = 3 + εt − 0, 2εt−1 − 0, 5εt−2

Tentukanlah ρ1 dan ρ2

A. -0,0365 dan -0,250

B. -0,0665 dan -0,275

C. -0,0665 dan -0,355

D. -0,0775 dan -0,355

E. -0,0775 dan -0,388

Pembahasan:Diketahui:θ1 = −0, 2θ2 = −0, 5

Rumus Umum untuk MA(q)

ρk =θk + ∑

q=kθjθj+kj=1

1 + ∑qj=1 θ2

j

sehingga untuk MA(2)

ρ1 =θ1 + θ1θ2

1 + θ21 + θ2

2

=−0, 2 + (−0, 2)(0, 5)

1 + (−0, 2)2 + (−0, 5)2

= −0, 077519

≈ −0, 0775

257

Page 258: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

ρ1 =θ1 + θ1θ2

1 + θ21 + θ2

2

=(−0, 5)

1 + (−0, 2)2 + (−0, 5)2

= −0, 38759

≈ −0, 388

Jawab: E. -0,0775 dan -0,388

2. Sebuah regresi linier dengan tiga variabel bebas dan satu konstan digunakan untuk menco-cokkan suatu deret dengan 100 pengamatan, diketahui bahwa:

100

∑t=2

(εt − εt−1)2 = 100

100

∑t=1

εt2 = 81

Diberikan tabel Durbin-Watson Test

Nk = 1 k = 2 k = 3 k = 4

dL dU dL dU dL dU dL dU

100 1,65 1,69 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76

dL:batas bawah dari critical value

dU:batas atas dari critical value

Apa keputusan yang cocok pada uji Durbin-Watson tersebut?

A. Residuals memiliki serial correlation yang positif

B. Residuals memiliki serial correlation yang negatif

C. Residuals tidak memiliki serial correlation

D. Residuals memiliki serial correlation yang tak-negatif

E. Hasil uji tidak dapat disimpulkan

Pembahasan:Diketahui:

100

∑t=2

(εt − εt−1)2 = 100

258

Page 259: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

100

∑t=1

εt2 = 81

Statistika Tes

d =∑n

t=2 (εt − εt−1)2

∑nt=1 εt 2

Jika d = 2 maka tidak ada korelasiJika 0 < d < 2 maka positif korelasiJika 2 < d < 4 maka negatif korelasi

Untuk menguji korelasi positif:

- Jika d < dL ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif

- Jika d > dU Tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi positif

- Jika dL < d < dU Tes tidak dapat disimpulkan

Untuk menguji korelasi negatif:

- Jika (4− d) < dL ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif

- Jika (4− d) > dU tidak ada bukti statistik bahwa residual berkorelasi negatif

- Jika dL < (4− d) < dU Tes tidak dapat disimpulkan

Diperoleh nilai d:

d =∑n

t=2 (εt − εt−1)2

∑nt=1 εt 2

=10081

= 1, 2345

Diperoleh 0 < d < 2 dan d < dL

Jawab: A. Residuals memiliki serial correlation yang positif

3. Dalam sebuah studi regresi dua peubah acak dihasilkan

a) β = 0, 2

b) sβ = 0, 095, yaitu standard error dari β

Tentukanlah nilai statistik t beserta keputusan yang diambil dari sebuah uji untuk H0 : β = 0dan H1 : β 6= 0 dengan confidance interval 95% (diketahui, nilai kritis (critical value) untuk95% confidance interval adalah 1,96 )

A. t = 1, 5 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol.

259

Page 260: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

B. t = 1, 5 dan oleh karena itu terima hipotestis nol.

C. t = 1, 8 dan oleh karena itu tolak hipotestis nol.

D. t = 2, 1 dan oleh karena itu terima hipotestis nol.

E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol.

Pembahasan:Diketahui

• β = 0, 2

• sβ = 0, 095, yaitu standard error dari β

• nilai kritis (critical value) untuk 95% confidance interval adalah t α2 ,n−2 = 1, 96

H0 diterima apabila −t α2 ,n−2 < T < t α

2 ,n−2 dimana nilai T diperoleh dari:

T =β

=0, 2

0, 095= 2, 105

Diperoleh T = 2, 105 sehingga tolak hipotesis nol

Jawab: E. t = 2, 1 dan oleh karena itu tolak hipotesis nol.

4. Diberikan forecast error 3 langkah ke depan berdasarkan ARIMA modeleT(3) = 0, 34εT+3 + 0, 26εT+2 − 0, 55εT+1

Diketahui pula, variance dari forecast error adalah 0,89Hitunglah variance dari error, σ2

ε .

A. 0,89

B. 1,10

C. 1,83

D. 2,15

E. 2,50

Pembahasan:Diketahui

eT(3) = ψ0εT+3 + ψ1εT+2 + ψ2εT+1

= eT(3) = 0, 34εT+3 + 0, 26εT+2 − 0, 55εT+1

260

Page 261: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

variance dari forecast error = 0,89

Var[eT(l)] =(

ψ20 + ψ2

1 + ... + ψ2l−1

)σ2

ε

Var[eT(3)] =(

ψ20 + ψ2

1 + ... + ψ2l−1

)σ2

ε

σ2ε =

Var[eT(3)](ψ2

0 + ψ21 + ... + ψ2

l−1

)=

0, 80, 342 + (0, 26)2 + (−0, 55)2

= 1, 8324

Jawab: C. 1,83

5. Pada sebuah analisis regresi, y = α + βx + ε, dari 49 pengamatan diketahui bahwa rata-ratadari sample x adalah 1.182,4 dengan standar deviasi 226, sedangkan rata-rata dari sampel yadalah 49,6 dengan standar deviasi 7,1. Korelasi sampel antara x dan y adalah 0,673.Dengan menggunakan informasi di atas hitunglah persamaan regresi nya:

A. y = 24, 7 + 0, 0211x

B. y = 0.0211 + 24, 7x

C. y = −25.371, 8 + 21, 5x

D. y = 21, 5− 25.371, 8x

E. y = 25.471 + 21, 5x

Pembahasan:Diketahui:

1. N= 49

2. x = 1.182, 4 dan sx = 226

3. y = 49, 6 dan sy = 7, 1

4. r = 0, 673

261

Page 262: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

akan dihitung terlebih dahulu nilai r, β, α

r =∑ xynxy

(n− 1)sxsy

∑ xy = r(n− 1)sxsy + nxy

= (0, 673)(48)(226)(7, 1) + (49)(1.182, 4)(49, 6)

= 2.925.539, 958

β =∑ xynxy(n− 1)s2

x

=2.925.539, 958− (49)(1.182, 4)(49, 6)

48(226)2

= 0, 021143

α = y− βx

= 49, 6− (0, 021143)(1.182, 4)

= 24, 6006

Diperoleh y = 24, 6006 + 0, 021143x

Jawab: A. y = 24, 7 + 0, 0211x

6. Dari soal nomor 5, misalnya ada pengamatan yang ke 50 dimasukkan dalam data. Yang manadari kemungkinan berikut untuk pengamatan yang ke 50 tersebut yang akan mengubah per-samaan regresi paling signifikan?

A. x = 900, y = 45

B. x = 1200, y = 40

C. x = 1200, y = 60

D. x = 2400, y = 75

E. x = 2400, y = 25

Pembahasan:Dari soal nomor 5, diperoleh y = 24, 7 + 0, 0211xUntuk data berjumlah 49 diperoleh x = 1.182, 4 dan y = 49, 6

Akan dilakukan Cek kemungkinan untuk pengamatan yang ke 50 yang mengubah persamaanregresi paling signifikan

262

Page 263: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

a. Untuk x = 900, y = 45

x =(1.182, 4)(49) + 900

50= 1.176, 752

y =(49, 6)(49) + 45

50= 49, 508

Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.176, 752) = 49, 529

b. Untuk x = 1200, y = 40

x =(1.182, 4)(49) + 1200

50= 1.182, 752

y =(49, 6)(49) + 40

50= 49, 408

Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.182, 752) = 49, 656

c. Untuk x = 1200, y = 60

x =(1.182, 4)(49) + 1200

50= 1.182, 752

y =(49, 6)(49) + 60

50= 49, 808

Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.182, 752) = 49, 656

d. Untuk x = 2400, y = 75

x =(1.182, 4)(49) + 900

50= 1.206, 752

y =(49, 6)(49) + 40

50= 50, 108

Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.206, 752) = 50, 162

263

Page 264: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

e. Untuk x = 2400, y = 25

x =(1.182, 4)(49) + 2400

50= 1.206, 752

y =(49, 6)(49) + 25

50= 49, 108

Jika Nilai x disubtitusikan maka y = 24, 7 + 0, 0211(1.206, 752) = 50, 108

Dari kelima hasil di atas terlihat perbedaan nilai y yang paling signifikan pada pilihan E

Jawab:E. x = 2400, y = 25

7. Jika error terms merupakan heteroscedastic, estimasi OLS (ordinary least squares) dari pa-rameter persamaan regresi akan menjadi?

A. Bias namun konsisten

B. Tak-bias, efisien, namun tidak konsisten

C. Tak-bias dan efisien

D. Tak-bias, konsisten, namun tidak efisien

E. Tak-bias, Efisien dan konsisten.

Pembahasan:Kita tahu bahwa syarat untuk OLS adalah variansnya konstan atau tidak ada heteroscedastic

dan bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) tetapi apabila terjadi heteroscedastic

maka estimatornya tidak bersifat BLUE dan variansinya bukan terkecil dari semua unbiasedestimator.

Heteroscedastic tidak membuat OLS menjadi bias tetapi bisa membuat estimasi OLS darivarians koefisien menjadi bias. Dengan demikian, analisis regresi menggunakan data yangheteroskedastik masih akan memberikan perkiraan yang tidak bias untuk hubungan antaravariabel prediktor dan hasil (konsisten), tetapi standart error dan hasil inferensi yang diper-oleh dari analisis data dicurigai salah. Standard error yang bisa menyebabkan inferensi hasil-nya menjadi bias, sehingga hasil tes hipotesis mungkin salah dan membuat kesalahan tipe II(Keputusan menerima hipotesis nol yang salah)

Ketika terjadi heterokedastik, estimasi OLS menempatkan bobot lebih pada pengamatan den-gan variansi error yang besar daripada variansi error yang lebih kecil. Pembobotan terjadikarena jumlah kuadrat residual terkait dengan variansi error yang besar cenderung jauh lebihbesar daripada jumlah kuadrat residual terkait dengan variansi error yang lebih rendah. Garisregresi akan disesuaikan untuk meminimalkan jumlah total kuadrat residual, dan ini dapat

264

Page 265: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

memberikan hasil terbaik yang bisa dicapai dengan menjamin kecocokan yang sangat baikdalam bagian data yang memiliki variansi besar. Karena pembobotan ini berimplikasi padaestimasi parameter OLS tak-bias dan konsisten, tetapi tidak efisien.

Sumber: Econometric Models and Economic Forecast(Fourth Edition),1998, by Pindyck, R.S.

and Rubinfeld, D.L., Halaman 146-147

Jawab: D. Tak-bias, konsisten, namun tidak efisien

8. Dari soal nomor 5, berapakah derajat kebebasan (degree of freedom) untuk error:

A. 1

B. 2

C. 47

D. 48

E. 49

Pembahasan:Diketahui y = 24, 7 + 0, 0211x dan N= 49Rumus yang digunakan adalah:

d f = n− k

dengan k adalah jumlah parameter termasuk intercept (konstan)Sehingga diperoleh:

y = 24, 7 + 0, 0211x

memiliki dua parameter sehingga

d f = 49− 2

= 47

Jawab: C. 47

9. Diberikan data tingkat suku bunga pada sebuah instrumen sebagai berikut:

Waktu (t) yt

1 10%

2 7%

3 8%

265

Page 266: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Dengan menggunakan metode Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) dimanaα = 0, 9, hitunglah y4.

A. 0,0700

B. 0,0751

C. 0,0792

D. 0,0800

E. 0,0833

Pembahasan:Diketahui:t = 1 −→ y1 = 0, 1t = 2 −→ y2 = 0, 07t = 3 −→ y3 = 0, 08α = 0, 9Rumus yang digunakan:yt+1 = α

[yt + (1− α)yt−1 + (1− α)2yt−2 + (1− α)3yt−3 + ...

]Sehingga proses pengerjaan :

y4 = α[y3 + (1− α)y2 + (1− α)2y1

]= 0, 9

[0, 08 + (0, 1)(0, 07) + (0, 1)2(0, 1)

]= 0, 0792

Jawab:C. 0,0792

10. Diketahui sebuah proses stokastik, autoregresive process first order, AR(1):

yt = 0, 9yt−1 + 0, 8 + εt

Dimana forecast untuk 6 periode merupakan

yT(6) = 0, 9yt + Z

Tentukanlah Z.

A. 2,50

B. 3,75

C. 3,95

266

Page 267: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

D. 4,10

E. 5,20

Pembahasan:Diketahui:

yt = 0, 9yt−1 + 0, 8 + εt

= φ1yt−1 + δ + εtyT(6) = 0, 9yt + Z

Rumus yang digunakan:

yT(l) = φl1yT +

(φl−1

1 + φl−21 + ... + φ1 + 1

Sehingga proses pengerjaan :

Z =(

φ51 + φ4

1 + φ31 + φ2

1 + φ1 + 1)

δ

=(

0, 95 + 0, 94 + 0, 93 + 0, 92 + 0, 9 + 1)

0, 8

= 3, 748472

≈ 3, 75

Jawab: B. 3,75

11. Diketahui sebuah proses autoregresive moving average

yt = 0, 5yt−1 + 0, 7 + εt − 0, 2εt−1

Hitunglah forecast l-periode dimana l merupakan bilangan yang sangat besar (mendekati tak-hingga)

A. 1,4

B. 1,7

C. 2,1

D. 2,5

E. 3,0

Pembahasan: Diketahui:

yt = 0, 5yt−1 + 0, 7 + εt − 0, 2εt−1

267

Page 268: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Rumus yang digunakan:

liml→∞

yT(l) =δ

1− φ1

=0, 7

1− 0, 5= 1, 4

Jawab: A. 1,4

12. Dalam sebuah regresi model diberikanUntuk restricted model:

ESSR = 35TSSR = 60

Untuk unrestricted model:

ESSUR = 85TSSUR = 90

Hitunglah Statistik F1,97

A. 15

B. 66

C. 123

D. 194

E. Statistik tersebut tak dapat dihitung

Pembahasan:TSS = ESS + RSS dan F =

(RSSR − RSSUR)/rRSSUR/(n− k− 1)

Dari rumus kita bisa menentukan RSSR dan RSSUR tetapi karena tidak mengetahui nilai r, kdan n

dimana : r= jumlah restrictionk= jumlah variabel independentn= ukuran sampel

Sehingga statistik tersebut tidak dapat dihitung

Jawab: E. Sehingga statistik tersebut tidak dapat dihitung

268

Page 269: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

13. Diberikan proses MA(3) dibawah iniyt = µ + εt + θ1εt−1 + θ2εt−2 + θ3ε3, dimana σt merupakan sebuah white noise process

dengan nilai rata-rata nol dan variance σ2.Yang manakah pernyataan di bawah yang benar?

(i) Proses yt memiliki nilai rata-rata nol

(ii) Fungsi autocorrelation akan memiliki nilai 0 (nol) pada lag 5

(iii) Proses yt memiliki variance σ2

(iv) Fungsi autocorrelation akan memiliki nilai 1 (satu) pada lag 0

A. i) dan iii) saja

B. ii) saja

C. ii) dan iv) saja

D. i),ii) dan iii) saja

E. i),ii), iii) dan iv)

Pembahasan:Diketahui yt = µ + εt + θ1εt−1 + θ2εt−2 + θ3ε3, dimana σt merupakan sebuah white noise

process dengan nilai rata-rata nol dan variance σ2.Fungsi Auto korelasi untuk MA(q)

ρk =∑

qi=0 θiθk+i

∑q2

i=0 θ2i

k = 1, 2, ..., q

ρk = 0, k > q

Dimana θ0 = −1 dan θk = 0 untuk k ≥ q + 1

Varians dari fungsi MA(q)

Var(yt) = σt(1 + θ21 + θ2

2 + ... + θ2q)

Maka :

(i) Salah, karena yang memiliki rata-rata nol adalah σt sedangkan yt memiliki rata-rata µ

(ii) Benar, karena fungsi autocorrelation akan bernilai nol setelah lag ke-q pada MA(q)dalam hal ini akan bernilai nol setelah lag ke-3

(iii) Salah, karena untuk MA(3)

Var(yt) = σt(1 + θ21 + θ2

2 + θ23)

= σ(1 + θ21 + θ2

2 + θ23)

269

Page 270: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

(iv) Benar,

ρ0 =θ0θ0

θ20

=1.112

= 1

Jawab: C. ii dan iv saja

14. Diberikan

λX(x) = k, x > 0

Tentukanlah ma, tingkat kematian central dalam interval (a, a + 1)

A. k

B.k2

C.k

2a

D.2k

2a + 1E. 0

Pembahasan:Diketahui λX(x) = k, x > 0Akan dihitung ma dengan interval (a, a + 1), dimana :

ma =

∫ a+1a S(y)λ(y)dy∫ a+1

a S(y)dy

Jika :

S(x) = exp(−∫ x

0λ(y)dy

)= exp

(−∫ x

0kdy)

= exp(−kx)

270

Page 271: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

sehingga

∫ a+1

aS(y)λ(y)dy =

∫ a+1

ae−kykdy, misal u = −ky maka du = −kdy

= k[∫ −k(a+1)

−ka− eu

kdu]

=∫ −k(a+1)

−kaeudu

= −e−k(a+1) + e−ka

∫ a+1

aS(y)dy =

∫ a+1

ae−kydy, misal u = −ky maka du = −kdy

=∫ −k(a+1)

−ka− eu

kdu

=−e−k(a+1) + e−ka

k

maka nilai ma

ma =

∫ a+1a S(y)λ(y)dy∫ a+1

a S(y)dy

=−e−k(a+1) + e−ka

−e−k(a+1)+e−ka

k

=−e−k(a+1) + e−ka.k−e−k(a+1) + e−ka

= k

Jawab: A. k

15. Diketahui X1 dan X2 merupakan peubah acak bebas, didefinisikan bahwa:Apabila Y = Min(X1, X2) , Z = Max(X1, X2) Maka:

I. Fungsi Sebaran Survival (Survival Distribution Function) dari Y, S(y), merupakan perkaliandari fungsi sebaran survival X1 dan fungsi sebaran survival X2

II. Fungsi Sebaran Kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari Z, F(z), merupakanperkalian dari fungsi sebaran kumulatif X1 dan fungsi sebaran kumulatif X2

III. Apabila X1 dan X2 menyebar exponensial maka Z menyebar eksponensial namun Ytidak.

Yang manakah pernyataan di atas yang benar?

271

Page 272: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

A. I saja

B. I dan II saja

C. I dan III saja

D. II dan III saja

E. I, II, dan III benar

Pembahasan:Diketahui X1 dan X2 merupakan peubah acak bebas,didefinisikan Y = Min(X1, X2) , Z =

Max(X1, X2) maka:

I. Y = Min(X1, X2)

FY(y) = P(Y ≤ y) = 1− P(Y > y)

= 1− P(X1 > x, X2 > x)

= 1− [P(X1 > x)P(X2 > x)]

1− FY(y) = P(X1 > x)P(X2 > x)

SY(y) = SX1(x)SX2(x)

II. Z = Max(X1, X2)

FZ(z) = P(Z ≤ z)

= P(X1 ≤ x, X2 ≤ x)

= P(X1 ≤ x)P(X2 ≤ x)

= FX1(x)FX2(x)

III. Salah, karena jika X1 dan X2 sama-sama menyebar exponensial maka Z dan Y harusmemiliki sifat yang sama yaitu menyebar exponensial membawa sifat fungsi distribusi

Jawab: B. I dan II saja

16. Yang manakah dari pernyataan di bawah yang benar pada asumsi linier untuk lx+t dimana0 < t < 1?

1) 0,5qx < 0,5qx+0,5

2) tx = 1−t px . tqx+1−t

3) µx+t < tqx

A. 1 dan 2 saja

272

Page 273: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

B. 1 dan 3 saja

C. 2 dan 3 saja

D. 2 saja

E. 1,2, dan 3

Pembahasan:

a) 0,5qx < 0,5qx+0,5

0,5qx = 0, 5qx sedangkan 0,5qx+0,5 =(1− 0, 5)qx

1− 0, 5qxJika diambil sebarang bilangan jelas 0,5qx < 0,5qx+0,5 (Benar)

b) tx = 1−t px . tqx+1−t

1−t px . tqx+1−t = (1− (1− t)qx) .(1− 1 + t)qx

1− (1− t)qx+1

= (1− 1 + t)qx

= t . qx

= tqx Benar

c) µx+t < tqx

µx+t =qx

1− t.qxsedangkan tqx = t.qx

Jika diambil sebarang bilangan diperoleh µx+t > tqx (Salah)

Jawab: A. 1 dan 2 saja

17. Diberikan informasilx = 10.000, Lx+1 = 8.000, dan qx+1 = 0, 25lx+1 = 8.100, Lx+2 = 6.000, mx+2 = 0, 3645

Tentukanlah 2 px+0,5 dengan menggunakan metode eksponensial (constant force)

A. 0,44

B. 0,46

C. 0,54

D. 0,56

E. 0,64

Pembahasan:Diketahui

273

Page 274: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

lx = 10.000, Lx+1 = 8.000, dan qx+1 = 0, 25lx+1 = 8.100, Lx+2 = 6.000, mx+2 = 0, 3645 Akan kita hitung 2 px+0,5 dengan menggu-nakan metode eksponensial (constant force) maka : Langkah Pertama

qx+1 = 1− px+1

= 1− lx+2

lx+1

0, 25 =lx+1 − lx+2

lx+1

0, 25 . lx+1 = lx+1 − lx+2

lx+2 = lx+1 − 0, 25 . lx+1

= 0, 75 . lx+1

= 0, 75 . 8100

= 6075

Langkah Kedua

mx =dx

Lx=

Lx − Lx+1

Lxsehingga

mx+2 =lx+2 − lx+3

lx+2

0, 3645 =6075− lx+3

6000lx+3 = 6075− 0, 3645 . 6000

= 3888

Langkah Ketiga

2 px+0,5 =lx+0,5+2

lx+0,5

=lx+2 (px+2)

12

lx+0,5

=lx+2

(lx+3lx+2

) 12

lx

(lx+1

lx

) 12

=6075

( 38886075

) 12

10000(

810010000

) 12=

48609000

= 0, 54

274

Page 275: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Jawab: C. 0,54

18. Misakan ada 100 pengamatan dan diketahui

Var[S(t)] = 0, 00056, Var[S(r)] = 0, 00040

Jika S(t) > 2S(r) dan t < r,Tentukan 100Cov[S(t), S(r)]

A. 0,0010

B. 0,0015

C. 0,0020

D. 0,0025

E. 0,0030

Pembahasan:Diketahui

Var[S(t)] = 0, 00056, Var[S(r)] = 0, 00040S(t) > 2S(r) dan t < r

Akan dihitung 100Cov[S(t), S(r)]

Var[S(t)

]=

S(t)F(t)n

=S(t)(1− S(t))

n0, 00056(100) = S(t)− S(t)2

S(t)2 − S(t)− 0, 056 = 0

(S(t)− 0, 940454)(S(t)− 0, 059545) = 0

S(t) = 0, 940454 atau S(t) = 0, 059545

Var[S(r)

]=

S(r)F(r)n

=S(r)(1− S(r))

n0, 0004(100) = S(r)− S(r)2

S(r)2 − S(r)− 0, 04 = 0

(S(r)− 0, 95825)(S(t)− 0, 0417424) = 0

S(t) = 0, 95825 atau S(t) = 0, 0417424

275

Page 276: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

maka

100Cov[S(t), S(r)] =100.qt.qr

n

=100.0, 059545.0, 0417424

100= 0, 00224

Jawab: D. 0,00224

19. Pada sebuah pengamatan double-decrement

Jika µ(d)70+t dan µ

(w)70+t adalah konstan pada 0 < t < 1,

Tentukanlah q(d)70 jika diketahui q′(d)70 = q′(w)70 = 0, 20

A. 0,170

B. 0,180

C. 0,190

D. 0,195

E. 0,200

Pembahasan:Diketahui µ

(d)70+t dan µ

(w)70+t adalah konstan pada 0 < t < 1, dan q′(d)70 = q′(w)

70 = 0, 20sehingga:

q(d)x = q′(d)x

[1− 1

2. q′(w)x

]q(d)70 = q

′(d)70

[1− 1

2. q′(w)70

]= 0, 2

[1−

(12

)(0, 2)

]= 0, 18

Jawab: B. 0,180

20. Dalam sebuah sampel terdapat 10.000 orang pada usia x.

1) 1000 orang baru masuk pada usia x + 1/4

2) 2000 meninggal pada interval (x, x + 1)

Tentukanlah moment estimator dari qx dimana kematian menyebar linier (UDD).

276

Page 277: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

A. 0,186

B. 0,197

C. 0,205

D. 0,220

E. 0,235

Pembahasan:Diketahui :

• lx = 10.000

• 1000 orang baru masuk pada usia x + 1/4

• 2000 meninggal pada interval (x, x + 1)

sehingga moment estimator dari qx dimana kematian menyebar linier (UDD) adalah

qx =d

nx − (1− s).cx + (1− r).kx

=2000

10.000− 0, 5(2000) + 0, 75(1000)= 0, 20512

Jawab: C. 0,205

Untuk soal 21-22!Dalam studi mortalita untuk tahun kalender 2017, ada 240 jiwa yang lahir pada tahun 1986dan 1987, dimana 10 orang lahir pada tanggal 1 setiap bulannya . Berikut data kematian danwithdrawals

No Tanggal Lahir Tanggal Kejadian Kejadian

1 1 Februari 1986 1 Maret 2017 Withdrawal

2 1 April 1986 1 Maret 2017 Meninggal

3 1 Juni 1986 1 Juli 2017 Meninggal

4 1 Agustus 1986 1 Februari 2017 Withdrawal

5 1 Maret 1987 1 Januari 2017 Meninggal

21. Hitunglah q30 dengan perhitungan estimasi aktuaria.

A. 0,0060

B. 0,0073

C. 0,0084

277

Page 278: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

D. 0,0098

E. 0,0125

Pembahasan:Diketahui 240 jiwa yang lahir pada tahun 1986 dan 1987, dimana 10 orang lahir pada tanggal1 setiap bulannya.

No Tanggal Lahir Tanggal Kejadian Kejadian

1 1 Februari 1986 1 Maret 2017 Withdrawal

2 1 April 1986 1 Maret 2017 Meninggal

3 1 Juni 1986 1 Juli 2017 Meninggal

4 1 Agustus 1986 1 Februari 2017 Withdrawal

5 1 Maret 1987 1 Januari 2017 Meninggal

yi= tanggal awal pengamatan-tanggal lahirzi=tanggal akhir pengamatan-tanggal lahirθi=tanggal meninggal-tanggal lahirφi=tanggal withdraw-tanggal lahir

ri =

{0 , jika yi < x

yi − x , jika x < yi < x + 1

si =

{zi − x , jika x < zi < x + 1

1 , jika zi < x + 1

ιi =

0 , jika θi = 0

θi − x , jikax < θi < x + 10 , θi > x + 1

κi =

0 , jika φi = 0

φi − x , jikax < φi < x + 10 , φi > x + 1

εeksak =

si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawκi − ri , jika seseorang withdrawιi − ri , jika seseorang meninggal

278

Page 279: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

TanggalLahir

Yi zi θi φi ri si ιi κiExposureeksak

10ε

1-Jan-86 31.00 32.00 00.00 1.00 1.00 10.00

1-Feb-86 30.92 31.91 00.00 31.08 0.92 1.00 0 0 0.08 00.84

1-Mar-86 30.84 31.84 0.84 1,00 0.16 1.61

1-Apr-86 30.75 31.75 30.92 0.00 0.75 1.00 0.92 0 0.25 2.46

1-May-86 30.67 31.67 0.67 1.00 0.33 3.28

1-Jun-86 30.59 31.58 31.08 0.00 0.59 1.00 0 0 0.41 4.13

1-Jul-86 30.51 31.50 0.51 1.00 0.49 4.95

1-Aug-86 30.42 31.42 0.00 30.51 0.42 1,00 0 0.51 0.08 0.85

1-Sep-86 30.34 31.33 0.34 1.00 0.66 6.65

1-Oct-86 30.25 31.25 0.25 1.00 0.75 7.47

1-Nov-86 30.17 31.16 0.17 1.00 0.83 8.32

1-Dec-86 30.09 31.08 0.09 1.00 0.91 9.14

1-Jan-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 9.97

1-Feb-87 29.92 30.91 0.00 0.91 0.91 9.12

1-Mar-87 29.84 30.84 29.84 0.00 0.00 0.84 0 0 0.00 0.00

1-Apr-87 29.75 30.75 0.00 0.75 0.75 7.51

1-May-87 29.67 30.67 0.00 0.67 0.67 6.69

1-Jun-87 29.59 30.58 0.00 0.58 0.58 5.84

1-Jul-87 29.51 30.50 0.00 0.50 0.50 5.02

1-Aug-87 29.42 30.42 0.00 0.42 0.42 4.17

1-Sep-87 29.34 30.33 0.00 0.33 0.33 3.32

1-Oct-87 29.25 30.25 0.00 0.25 0.25 2.50

1-Nov-87 29.17 30.16 0.00 0.16 0.16 1.65

1-Dec-87 29.09 30.08 0.00 0.08 0.08 0.83

Total 11.63 116.28

Bisa dilihat pada kolom ιi terjadi satu kematian untuk usia 30 tahun sehingga

q30 =1

116, 28= 0, 008599

Jawab: C. 0,0084

22. Dengan menggunakan usia nearest birthday. Hitunglah p30 dengan menggunakan metodeexact exposure (asumsi konstan force of mortality).

A. 0,951

279

Page 280: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

B. 0,963

C. 0.972

D. 0.986

E. 0.991

Pembahasan:Diketahui 240 jiwa yang lahir pada tahun 1986 dan 1987, dimana 10 orang lahir pada tanggal1 setiap bulannya.

No Tanggal Lahir Tanggal Kejadian Kejadian

1 1 Februari 1986 1 Maret 2017 Withdrawal

2 1 April 1986 1 Maret 2017 Meninggal

3 1 Juni 1986 1 Juli 2017 Meninggal

4 1 Agustus 1986 1 Februari 2017 Withdrawal

5 1 Maret 1987 1 Januari 2017 Meninggal

yi= tanggal awal pengamatan-tanggal lahirzi=tanggal akhir pengamatan-tanggal lahirθi=tanggal meninggal-tanggal lahirφi=tanggal withdraw-tanggal lahir

ri =

{0 , jika yi < x

yi − x , jika x < yi < x + 1

si =

{zi − x , jika x < zi < x + 1

1 , jika zi < x + 1

ιi =

0 , jika θi = 0

θi − x , jikax < θi < x + 10 , θi > x + 1

κi =

0 , jika φi = 0

φi − x , jikax < φi < x + 10 , φi > x + 1

280

Page 281: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

εeksak =

si − ri , jika seseorang tidak meninggal dan withdrawκi − ri , jika seseorang withdrawιi − ri , jika seseorang meninggal

TanggalLahir

Yi zi θi φi ri si ιi κiExposureeksak

10ε

1-Jan-86 31.00 32.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Feb-86 31.00 32.00 0.00 31.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Mar-86 31.00 32.00 0.00 1,00 1.00 10.00

1-Apr-86 31.00 32.00 31.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 10.00

1-May-86 31.00 32.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Jun-86 31.00 32.00 31.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 10.00

1-Jul-86 31.00 32.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Aug-86 30.00 31.00 0.00 30.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1-Sep-86 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Oct-86 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Nov-86 30.00 31.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Dec-86 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Jan-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Feb-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Mar-87 30.00 31.00 30.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1-Apr-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-May-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1.00 10.00

1-Jun-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Jul-87 30.00 31.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Aug-87 29.00 30.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Sep-87 29.00 30.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Oct-87 29.00 30.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Nov-87 29.00 30.00 0.00 1.00 1,00 10.00

1-Dec-87 29.00 30.00 0.00 1.00 1.00 10.00

Total 22.00 220.00

Bisa dilihat pada kolom ιi terjadi dua kematian untuk usia 30 tahun sehingga

p30 = 1− q30 = 1−(

1− exp(− 2

220

))= 0, 99095

Jawab: C. 0,991

281

Page 282: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

23. Sebuah studi pada interval (x, x + 1)Diketahui:

s px = 1− 32

s2(qx)2 untuk 0 ≤ s ≤ 2

3

s px = 1− s(qx)2 untuk

23≤ s ≤ 1

Jika nx = 300, dan 1 kematian terjadi di usia x+ 0, 45 dan 1 kematian lagi pada usia x+ 0, 85

Tentukanlah MLE dari qx

A. 0,013

B. 0,018

C. 0,020

D. 0,022

E. 0,024

Pembahasan:Diketahui :

s px = 1− 32

s2(qx)2 untuk 0 ≤ s ≤ 2

3

s px = 1− s(qx)2 untuk

23≤ s ≤ 1

nx = 300

1 kematian terjadi di usia x + 0, 45 dan 1 kematian lagi pada usia x + 0, 85

Akan dihitung MLE dari qx

• Untuk 0 ≤ s ≤ 23

si pxµx+si =

[1− 3

2s2(qx)

2]

.

[(qx)2

1− 32 s2(qx)2

]= (qx)

2

• Untuk23< s < 1

si pxµx+si =[1− s(qx)

2]

.[

(qx)2

1− s(qx)2

]= (qx)

2

282

Page 283: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Sehingga diperoleh

L = (1− qx)nx−dx .

d

∏i=1

si px

= (1− qx)300−2.(qx)

2.(qx)2

l = ln[(1− qx)

300−2.(qx)2.(qx)

2]

= 288 ln(1− qx) + 2 ln qx + 2 ln qx

Selanjutnya dilakukan diferensial

dldqx

= 288 ln(1− qx) + 2 ln qx + 2 ln qx

0 = − 2881− qx

+2qx

+2qx

288(1− qx)

=4qx

4− 4qx = 288qx

qx =4

302= 0, 01324

Jawab: A. 0,013

24. Pada sebuah kota beberapa tahun silam, 5 bangunan sekolah dibangun. Peubah acak untukwaktu konstruksi memiliki sebaran yang sama. Berikut diberikan data kapan dimulai danselesai untuk setiap bangunan

Bangunan Mulai dibangun Selesai dibangun

1 1 Jan 2010 1 Feb 2012

2 1 Jan 2010 1 Mei 2012

3 1 Mei 2010 1 Feb 2012

4 1 Agu 2010 1 Feb 2012

5 1 Jan 2011 *

*Tidak selesai per tanggal 1 Juli 2012

Dengan menggunakan Product-Limit Estimator, estimasikanlah peluang penyelesaian kon-struksi dalam 2 tahun pada sebuah bangunan yang memiliki distribusi waktu konstruksi yangsama.

A. 0,40

B. 0,47

C. 0,50

283

Page 284: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

D. 0,53

E. 0,60

Pembahasan:Rumus yang digunakan:

qx = 1−m

∏i=i

(1− qi) = 1− φmi=i

(ni − di

ni

)

Durasi pengerjaan dan penyensoran1 −→ 2, 0832 −→ 2, 3333 −→ 1, 754 −→ 1, 55 −→ 1, 5 (tersensor)

Sehinga :

qx = 1−(

45

)(23

)= 1− 0, 5333

= 0, 466667

Jawab: B. 0,47

25. Dalam sebuah studi data yang lengkap, dengan satu kematian pada setiap waktu kematian,Λ(t)diestimasi oleh metode Nelson-Aalen. Diberikan: Λ(tk) = 0, 3101 dan Λ(tk+1) =

0, 3726

Tentukanlah Λ(tk+2)

A. 0,236

B. 0,342

C. 0,439

D. 0,655

E. 0,750

Pembahasan:Diketahui Λ(tk) = 0, 3101 dan Λ(tk+1) = 0, 3726

284

Page 285: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Λ(t) =k

∑j=1

1rj

=1n+

1n− 1

+ ... +1

n− k + 1, tk ≤ t < tk+1

Dari nilai yang diketahui kita dapat menghitung n− k untuk mencari Λ(tk+2)

Λ(tk) =1n+

1n− 1

+ ... +1

n− k + 1= 0, 3101

Λ(tk+1) =1n+

1n− 1

+ ... +1

n− k + 1+

1n− (k + 1) + 1

0, 3726 = 0, 3101 +1

n− k1

n− k= 0, 0625

n− k = 16

Jadi Kita peroleh hasilnya adalah:

Λ(tk+2) =1n+

1n− 1

+ ... +1

n− k + 1+

1n− (k + 1) + 1

+1

n− (k + 2) + 1

= 0, 3726 +1

n− k− 1

= 0, 3726 +1

16− 1= 0, 43927

Jawab: C. 0,439

26. Dari 10 bola lampu yang dites, 2 gagal sebelum waktu t = 3. Sebaran waktu kegagalandiasumsikan eksponensial, tentukanlah MLE dari λ

A. 0,0744

B. 0,0811

C. 0,0912

D. 0,1000

E. 0,1200

Pembahasan:Diketahui nilai N= 10 dan 2 lampu gagal sebelum t = 3

Maka MLE dari λ:

285

Page 286: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Fr(t) = P(T ≤ t) = 1− e−λt

Fr(3) = P(T ≤ 3) = 1− e−3λ

210

= 1− e−3λ

e−3λ = 0, 8

−3λ = ln 0, 8

λ =ln 0, 8−3

λ =−0, 223143−3

λ = 0, 07438

≈ 0, 0744

Jawab: A. 0,0744

27. Dengan menggunakan metode Panjer, tentukanlah peluang seseorang yang sedang berada diState 1a menuju State selanjutnya (1b) pada observasi 3-6 bulan dengan menggunakan infor-masi di bawah.

1) µ1a = 3k

2) µ2b = k

3) Peluang seseorang yang berada dalam State 2b keluar dari State tersebut pada observasi12-24 bulan adalah 0,36

A. 0,154

B. 0,170

C. 0,219

D. 0,248

E. 0,360

Pembahasan:Diketahui

1) µ1a = 3k

286

Page 287: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

2) µ2b = k

3) Peluang seseorang yang berada dalam State 2b keluar dari State tersebut pada observasi12-24 bulan adalah 0,36

akan kita hitung peluang seseorang yang sedang berada di State 1a menuju State selanjutnya(1b) pada observasi 3-6 bulan

Langkah Pertama

Dipilih t = 24 karena peluang seseorang keluar dari state berarti observasi yang dilakukantelah selesai waktunya yaitu bulan ke-24

FT2b(24) = 1− e−t.µ2b

0, 36 = 1− e−24.k

0, 64 = e−24.k

−0, 44629 = −24k

k = 0, 018595

Langkah kedua

µ1a = 3k

= 3(0, 018595)

= 0, 055786

Langkah Ketiga

Dipilih t = 3 karena peluang seseorang menuju state selanjutnya bisa saja terjadi pada waktuawal observasi yaitu bulan ke-3

FT1a(3) = 1− e−t.µ1a

= 1− e−3.0,055786

= 0, 1541

Jawab: A. 0,1541

28. Untuk sebuah model double-decrement, diberikan:

1. µ(1)10+t =

130− t

, 0 ≤ t < 30

2. µ(τ)10+t =

50− 2t600− 50t + t2 , 0 ≤ t < 20

287

Page 288: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

Hitunglah peluang bahwa (10) akan mati karena decrement kedua dalam tahun ke−6.

A. 0,0225

B. 0,0242

C. 0,0392

D. 0,0408

E. 0,0650

Pembahasan:Diketahui :

1) µ(1)10+t =

130− t

, 0 ≤ t < 30

2) µ(τ)10+t =

50− 2t600− 50t + t2 , 0 ≤ t < 20

akan dihitung peluang bahwa (10) akan mati karena decrement kedua dalam tahun ke-6.

µ(τ)10+t = µ

(1)10+t + µ

(2)10+t

50− 20t600− 50t + t2 =

11− 30t

+ µ(2)10+t

µ(2)10+t =

50− 20t600− 50t + t2 −

11− 30t

=50− 20t− 20 + t(20− t)(30− t)

=30− t

(20− t)(30− t)

=1

(20− t), 0 ≤ t < 20

t p(τ)10 = exp(−∫ t

0

50− 2s600− 50s + s2 ds

)

misal u = 600− 50s + s2 −→ du = −(50− 2s)ds

t p(τ)10 = exp

(−∫ 600−50t+t2

600

1u

du

)= exp

[ln(600− 50t + t2)− ln(600)

]=

600− 50t + t2

600

288

Page 289: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

f (t, j = 2) =600− 50t + t2

600(20− t)=

(20− t)(30− t)600(20− t)

=(30− t)

600

f (t = 6, j = 2) =30− 6

600= 0, 04

Jawab: D. 0,0408

29. Diberikan:

1) dx = k untuk x = 0, 1, 2, ..., ω− 1

2) eo20:20 = 18

3) Kematian menyebar seragam pada setiap usia

Hitunglah 10|30q30

A. 0,111

B. 0,125

C. 0,143

D. 0,167

E. 0,200

Pembahasan:Karena dx konstan untuk semua x dan kematian menyebar seragam dalam setiap tahun, makamortalitas mengikuti hukum de Moivre

eox:n = n px(n) + nqx

(n2

)eo

20:20 = 1020q20 + 2020 p20

karena tqx =t

ω− xdan t|uqx =

uω− x

maka :

18 = 10(

20ω− 20

)+ 20

(ω− 40ω− 20

)200 + 20ω− 800 = 18ω− 360

2ω = 240

ω = 120

Sehingga 10|30q30 = 10ω−30 = 10

120−30 = 0, 1111

Jawab: A. 0,1111

289

Page 290: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

30. Diberikan sebuah tabel mortalita dengan 2 tahun seleksi

[x] l[x] l[x]+1 lx+2 x + 2

65 8200 67

66 8000 68

67 7700 69

Juga diberikan:

1) 3q[x]+1 = 4q[x+1]

2) 4qx+2 = 5q[x+1]+1

Hitunglah l[67]

A. 7940

B. 8000

C. 8060

D. 8130

E. 8200

Pembahasan:l67 = 8200, l68 = 8000 dan l69 = 77003q[x]+1 = 4q[x+1] dan 4qx+2 = 5q[x+1]+1

Akan dihitung l[67]

q67 =l67 − l68

l67=

8200− 80008200

= 0, 02439

q68 =l68 − l69

l68=

8000− 77008000

= 0, 0375

q[66]+1 =45

q67

=45(0, 02439)

= 0, 01951

q[67]+1 =45

q68

=45(0, 0375)

= 0, 03

290

Page 291: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

9 A50 Periode November 2018

q[67] =34

q[66]+1

=34(0, 01951)

= 0, 01463

q[67]+1 =l[67]+1 − l69

l[67]+1

0, 03 =l[67]+1 − 7700

l[67]+1

0, 03.l[67]+1 = l[67]+1 − 7700

0, 97.l[67]+1 = 7700

l[67]+1 =77000, 97

= 7938, 144

q[67] =l[67] − l[67]+1

l[67]

0, 01463 =l[67] − 7938, 144

l[67]

0, 01463.l[67] = l[67] − 7938, 144

0, 98537.l[67] = 7938, 144

l[67] =7938, 1440, 98537

= 8056, 037

Jawab: C. 8060

291

Page 292: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

1. Diketahui persamaan regresi linear berikut:

Y = 1, 245 + 0, 17X

Jika diberikan data pengamatan sebagai berikut,

xi 7,5 4 3 1,25

yi 0,5 1 0 -1,5

Hitunglah nilai standard error dari persamaan regeresi linear tersebut.

A. 1,245

B. 1,425

C. 1,396

D. 1,963

E. 1,546

Pembahasan: Akan ditentukan terlebih dahulu nilai yi, εi, εi2, dari persamaan:

yi = βxi + εi

εi = yi − βxi = yi − 0, 17

yi = 0, 17xi

xi yi yi εi εi2 (εt − εt−1)

2

7,5 0,5 1,275 -0,7750 0,6006 0

4 1 0,68 0,32 0,1024 1,1990

3 0 0,51 -0,51 0,2601 0,6889

1,25 -1,5 0,2125 -1,7125 2,9327 1,4460

Total 3,8958 3,3339

292

Page 293: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

sehingga

s2 =∑ εi

2

N − 2

=3, 89584− 2

= 1, 9479

s =√

1, 9479

= 1, 3957

Jawab. C.

2. Dengan menggunakan data yang diberikan pada nomor 1, hitunglah statistic Durbin Watson

A. 0,8558

B. 0,7528

C. 1,0118

D. 1,01

E. 1,3587

Pembahasan:Dengan menggunakan data pada no 1. diperoleh :

d =∑n

t=2 (εt − εt−1)2

∑nt=1 εt

2

=3, 33393, 8958

= 0, 85577

Jawab. A.

3. Dalam sebuah regresi model diberikanUntuk unrestricted model:

ESSUR = 70TSSUR = 215

Untuk restricted model:

ESSR = 55TSSR = 82

293

Page 294: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Hitunglah Statistik F1,95

A. 64,2477

B. 60,3683

C. 62,2747

D. 63,3683

E. Statistik tidak dapat dihitung

Pembahasan:

R2UR = 1− ESSUR

TSSUR

= 1− 70215

= 0, 6744

R2R = 1− ESSR

TSSR

= 1− 5582

= 0, 3293

F1,95 =0, 6744− 0, 3293

1= 100, 6895

Jawab. E.

4. Manakah diantara asumsi berikut yang bukan merupakan asumsi model regresi ganda (multi-

ple regression model):

A. Y dan X memiliki hubungan linier

B. X merupakan peubah stokastik yang memiliki angka pasti

C. Error memiliki variansi konstan untuk semua observasi, E(ε2) = σ2

D. Error antar obervasi saling bebas dan tidak berkorelasi

E. Error berdistribusi normal

Pembahasan:Asumsi pada model regresi berganda

1. The relationship between Y dan X is linier

2. The X are nonstochastic variable whose values are fixed

3. The error has zero expected value: E(ε) = 0

294

Page 295: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

4. The error term has constant variance for all observations, i.e., E(ε2) = σ2

5. The random variables are statistically independent. Thus, E(εiε j) = 0 for all i 6= j

6. The error term is normally distributed

Sumber: Econometric Models and Economic Forecasts (Fourth Edition) 1998, by Pindyck,

R.S. and Rubinfeld, D.L, Halaman 58-59

Dari asumsi di atas maka yang tidak termasuk asumsi model regresi ganda adalah X meru-pakan peubah stokastik yang memiliki angka pasti karena X seharusnya merupakan peubahnon stokastik

Jawab. B

5. Manakah diantara beberapa uji berikut yang dapat digunakan untuk uji heteroscedasticity?

A. Cochrane-Orcutt Test

B. Hildreth-Lu Test

C. Durbin Watson Test

D. Chow Test

E. Goldfeld âASQuandt Test

Pembahasan:Uji-uji yang biasa digunakan untuk menetukan heteroscedasticity

1. Park Test (1966)

2. Glejser Test (1969)

3. White Test

4. Breusch-Pagan Test

5. Goldfeld-Quandt test

6. Cook-Weisberg Test

7. Harrison-McCabe Test

8. Brown-Forsythe Test

9. Levene Test

Beberapa penjelasan bisa dilihat di Econometric Models and Economic Forecasts (Fourth

Edition) 1998, by Pindyck, R.S. and Rubinfeld, D.L, Halaman 152-157

Dari list di atas hanya Goldfeld-Quandt test yang ada di pilihan

Jawab. E.

295

Page 296: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

6. Dalam model esktrapolasi sederhana, diberikan persamaan regresi sebagai berikut:

yt = 3, 67 + 4, 8t

Tentukan nilai parameter A dan r dari persamaan regresi diatas.

A. A = 39, 25 dan r = 121, 51

B. A = 0, 565 dan r = 0, 681

C. A = 3, 67 dan r = 4, 8

D. A = 4.677, 35 dan r = 4, 8

E. A = 3, 67 dan r = 63.095, 73

Pembahasan:Model ekstrapolasi sederhana dengan persamaan regresi yt = 3, 67 + 4, 8t

Dari sumber: Econometric Models and Economic Forecast (Fourth Edition), 1998, by Pindyck,

R.S. and Rubinfeld, D.L,Halaman 469

yt = Aert

log yt = log A + rt

diperoleh :

rt = 4, 8t

r = 4, 8

log A = 3, 67

A = 10(3, 67)

= 4677, 35

Jawab. A

7. Diberikan sebuah persamaan dalam proses ARMA (3,2) sebagai berikut:

yt = 0, 5yt−1 + 0, 3yt−2 + 0, 2yt−3 + 4, 2 + εt − 0, 4εt−1 + εt−2

Jika diberikan σ2ε = 1, 25, hitunglah γ0 dan ρ1

A. γ0 = 1, 267 dan ρ1 = 0, 133

B. γ0 = 1, 131 dan ρ1 = 0, 105

296

Page 297: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

C. γ0 = 1, 267 dan ρ1 = 0, 105

D. γ0 = 1, 131 dan ρ1 = 0, 133

E. γ0 = 1, 133 dan ρ1 = 0, 119

Pembahasan:Jawab. Dianulir

8. Dalam sebuah proses autoregresi yang terintegrasi (integrated autoregressive process), ARI(1,1,0) diberikan:

wt = 0, 73wt−1 + 1, 4 + εt

Tentukan persamaan forecast 1 periode untuk yt

A. yT(1) = 1, 73yT − 0, 73yT−1 + 1, 4

B. yT(1) = 1, 73yT + 0, 73yT−1 + 1, 4

C. yT(1) = 1, 73yT + 0, 73yT−1 − 1, 4

D. yT(1) = 0, 73yT − 1, 73yT−1 + 1, 4

E. yT(1) = 0, 73yT + 0, 73yT−1 + 1, 4

Pembahasan:Diketahui:ARI(1,1,0) dengan wt = 0, 73wt−1 + 1, 4 + εt

sehingga

yT(1) = yT + wT(1)

= yT + φ1yT − φ1yT−1 + δ

= yT + 0, 73yT − 0, 73yT−1 + 1, 4

= 1, 73yT − 0, 73yT−1 + 1, 4

Jawab. A.

9. Sebuah uji Dickey-Fuller dilakukan pada 100 pengamatan dari setiap tiga deret harga denganmemperkirakan regresi tidak terbatas (unrestricted regression)

Yt −Yt−1 = α + βt + (ρ− 1)Yt−1

297

Page 298: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

dengan regresi terbatas (restricted regression)

Yt −Yt−1 = α

Jika diberikan:

i.

Deret HargaError Sum of Square (ESS)

Tidak Terbatas (Unrestricted) Terbatas (Restricted)

I 3.233,8 3.552,2

II 1.131,8 1.300,5

III 211,1 237

ii. Nilai kritis pada tingkat kepercayaan 0,1 untuk distribusi F yang dihitung dengan Dickey-

Fuller adalah 5,47

Pada tingkat kepercayaan 0,1 , pada deret mana anda akan menolak hipotesa random walk?

A. Tidak ada

B. Hanya deret I dan II

C. Hanya deret I dan III

D. Hanya deret II dan III

E. Deret I, II dan III

Pembahasan:Deret Harga I

F =ESSR − ESSUR

q.

N − kESSUR

=

(3552, 2− 3233, 8

2

)(100− 43233, 8

)= 4, 726080

Deret Harga II

F =ESSR − ESSUR

q.

N − kESSUR

=

(1300, 5− 1131, 8

2

)(100− 41131, 8

)= 7, 154621

Deret Harga III

F =ESSR − ESSUR

q.

N − kESSUR

=

(237− 211, 1

2

)(100− 4211, 1

)= 5, 889152

298

Page 299: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Dari ketiga hasil di atas diperoleh Deret Harga II dan III yang memiliki nilai F lebih dari Nilaikritis 5,47.

Jawab: D.

10. Anda menggunakan model ARMA (p, q) untuk merepresentasikan sebuah deret waktu (time

series). Anda menjalankan pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) untuk menguji apakahmodel sudah ditentukan dengan benar.Diantara pernyataan mengenai pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) berikut, man-akah yang tidak benar?

A. Fungsi autokorelasi untuk deret simulasi / simulated series (deret waktu/ time series yangdihasilkan oleh model) seharusnya dapat dibandingkan dengan contoh fungsi autokorelasidari deret asli / original series

B. Jika fungsi autokorelasi tidak ditandai berbeda, maka langkah berikutnya adalah men-ganalisa residual dari model

C. Jika model ditentukan dengan benar, maka autokorelasi residual itu sendiri tidak berkore-lasi, peubah acak terdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T, ketika T adalahjumlah pengamatan dalam deret waktu

D. Jika model ditentukan dengan benar, maka residual harus menyerupai proses White- Noise

E. Statistik Q, dimana Q = T ∑Kk=1 γ2

k , diperkirakan berdistribusi Chi Square dengan (K−p− q) derajat kebebasan

Pembahasan:"If the model is correctly specified, then for large displacement k (for example, k > 5 for loworder models) the residual autocorrelatios rk are themselves uncorrelated normally distributedrandom variable with mean 0 an variance 1/T, where T is the number of observation in thetime series".Sumber: Econometric Models and Economic Forecast (Fourth Edition), 1998, by Pindyck,

R.S. and Rubinfeld, D.L,Halaman 555

Jawab. C.

11. Model dengan 48 observasi yang anda miliki, sesuai dengan model berikut:

Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε

Jika diberikan:

Sumber variasi Derajat Kebebasan Sum of Square

Regresi 3 103.658

Error 44 69.204

299

Page 300: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Hitunglah nilai R2

A. 0,57

B. 0,58

C. 0,59

D. 0,60

E. 0,61

Pembahasan:Diketahui :

• RSS = 69, 24

• ESS = 103, 658

• n = 48

• k = 4 karena Y = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε memiliki 4 parameter

sehingga

TSS = ESS + RSS

= 69, 204 + 103, 658

= 172, 862

R2 =ESSRSS

=103, 658172, 862

= 0, 599658

R2 = 1− (1− R2)(n− 1)(n− k)

= 1− (1− 0, 599658)(47)44

= 0, 572362

Jawab. A.

12. Diketahui model AR(1) dengan data sebagai berikut:

y1 = 2, 0 ; y2 = −1, 7 ; y3 = 1, 5 ; y4 = −2, 0 ; y5 = 1, 5

Diberikan nilai awal ε1 = 0, µ = 0, ρ1 = 0, 5

Tentukan nilai dari fungsi Sum of Square S = ∑[εt|ε1 = 0, µ = 0, ρ1 = 0, 5]2

300

Page 301: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

A. 2

B. 12

C. 15

D. 21

E. 27

Pembahasan:

ρ1 = φ1 = 0, 5

µ =δ

1− φ1

0 =δ

1− 0, 5δ = 0

sehingga diperoleh model AR(1) : yt = 0, 5yt−1 + εt

t yt yt εt ε2t

1 2 0 0

2 -1,7 1 -2,7 7,29

3 1,5 -0,85 2,35 5,52

4 2 0,75 -2,75 7,56

5 1,5 -1 2,5 6,25

Total 26,63

Jadi diperoleh ∑5i=1 ε2

i = 26, 63

Jawab.E.

13. Dalam sebuah populasi dimana jumlah wanita dan pria yang dilahirkan adalah sama, diberikan:

i. untuk pria, µpx = 0, 1 dimana x ≥ 0

ii. untuk wanita, µwx = 0, 08 dimana x ≥ 0

Hitunglah nilai q60 dari populasi tersebut.

A. 0,076

B. 0,081

C. 0,086

D. 0,091

E. 0,096

301

Page 302: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Pembahasan:Untuk Pria

µ(p)x (s) = 0, 1

t p(p)x = exp

(−∫ t

00, 1ds

)= exp(−0, 1t)

Untuk Wanita

µ(w)x (s) = 0, 08

t p(w)x = exp

(−∫ t

00, 08ds

)= exp(−0, 08t)

Untuk semua populasi

S(60) =exp(−0, 1.60) + exp(−0, 08.60)

2= 0, 00535425

S(61) =exp(−0, 1.61) + exp(−0, 08.61)

2= 0, 00491994

sehingga

q60 = 1− S(61)S(60)

= 1− 0, 004919940, 00535425

= 0, 081115

Jawab. B.

14. Sebuah perusahaan merekrut 200 karyawan untuk bergabung dalam sebuah program man-

agement trainee. Untuk memprediksi jumlah karyawan yang akan menyelesaikan programtersebut, perusahaan membuat multiple decrement table dengan asumsi sebagai berikut:

i. Dari 40 karyawan, jumlah yang gagal membuat kemajuan yang memadai dalam tiga tahunpertama adalah 10, 6, dan 8, secara berurutan

ii. Dari 30 karyawan, jumlah yang mengundurkan diri dalam tiga tahun pertama adalah 6, 8,dan 2, secara berurutan

iii. Dari 20 karyawan, jumlah yang meninggalkan program dengan alasan lain dalam tigatahun pertama adalah 2, 2, dan 4, secara berurutan

iv. Distribusi seragam (uniform) digunakan sebagai asumsi decrement setiap tahunnya

302

Page 303: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Hitunglah estimasi jumlah karyawan yang gagal membuat kemajuan yang memadai di tahunke-3

A. 4

B. 8

C. 12

D. 14

E. 17

Pembahasan:Peluang kegagalan karyawan sesuai penyebab pada tiap tahunnya

i. q′(1)0 =

1040

=1040

=14

, q′(1)1 =

630

=15

, q′(1)2 =

824

=13

ii. q′(2)0 =

630

=15

, q′(2)1 =

824

=13

, q′(2)2 =

216

=18

iii. q′(3)0 =

220

=110

, q′(3)1 =

218

=19

, q′(3)2 =

416

=14

Sehingga diperoleh peluang seluruh karyawan lolos pada tiap tahunnya

p(τ)0 = p′(1)0 .p

′(2)0 .p

′(3)0 =

(1− 1

4

)(1− 1

5

)(1− 1

10

)= 0, 54

p(τ)1 = p′(1)1 .p

′(2)1 .p

′(3)1 =

(1− 1

5

)(1− 1

3

)(1− 1

9

)= 0, 47407

p(τ)2 = p′(1)2 .p

′(2)2 .p

′(3)2 =

(1− 1

3

)(1− 1

8

)(1− 1

4

)= 0, 4375

Diperoleh l(τ)2 = l(τ)0 .p(τ)0 .p(τ)1 = 200.(0, 54).(0, 47407) = 51, 19956

q(1)2 =ln p

′(1)2

ln p(τ)2

.q(τ)2 =ln(

1− 13

)ln(0, 4375)

.(1− 0, 4375) = 0, 275892

d(1)2 = q(1)2 .l(τ)2 = (0, 275892).(51, 19956) = 14, 125556

Jawab. D.

15. Sebuah perusahaan produksi baru membeli dua buah alat baru yang memiliki waktu hidup(future lifetime) yang saling bebas. Jika diberikan;

i. Kedua alat merupakan alat baru (berusia 0 saat dibeli)

ii. Untuk alat pertama, S0(t) = 1− t10 dimana 0 ≤ t ≤ 10

303

Page 304: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

iii. Untuk alat kedua, S0(t) = 1− t7 dimana 0 ≤ t ≤ 7

Hitunglah waktu yang diharapkan sampai kedua alat tersebut tidak dapat digunakan.

A. 5,0

B. 5,2

C. 5,4

D. 5,6

E. 5,8

Pembahasan:Last Survivor

e0xy = e0

x + e0y − e0

xy

=∫ 10

0t pxdt +

∫ 10

0t pydt−

∫ 7

0t pxydt

=∫ 10

0

(1− t

10

)dt +

∫ 7

0

(1− t

7

)dt−

∫ 7

0

(1− t

10

).(

1− t7

)dt

= 5 + 3, 5− 2, 683

= 5, 817

Jawab. E.

16. Diberikan:

µx =

{0, 04 , 0 < x < 400, 05 , x ≥ 40

Tentukan nilai e025:25

A. 15,6

B. 15,2

C. 14,8

D. 14,4

E. 14,0

304

Page 305: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Pembahasan:

e0x:m+n = e0

x:m + m px.e0x:m:n

e025:25 = e0

25:15 + 15 p25.e040:10

=∫ 15

0exp(−0, 04t)dt + exp(−0, 04.15).

∫ 10

0exp(−0, 05t)dt

= 11, 279709 + 0, 548812(7, 869387)

= 15, 59852

Jawab. A.

17. Diketahui sebuah table mortalita dengan periode seleksi 3 tahun sebagai berikut:

x q[x] q[x]+1 q[x]+2 qx+3 x + 3

60 0,09 0,11 0,13 0,15 63

61 0,10 0,12 0,14 0,16 64

62 0,11 0,13 0,15 0,17 65

63 0,12 0,14 0,16 0,18 66

64 0,13 0,15 0,17 0,19 67

Hitunglah P dimana P adalah 5 p[60]+1

A. 0 ≤ P < 0, 43

B. 0, 43 ≤ P < 0, 45

C. 0, 45 ≤ P < 0, 47

D. 0, 47 ≤ P < 0, 49

E. 0, 49 ≤ P < 1, 00

Pembahasan:

5 p[60]+1 = p[60]+1.p[60]+2.p[60]+3.p[60]+4.p[60]+5

= p[60]+1.p[60]+2.p63.p64.p65

=(

1− q[60]+1

) (1− q[60]+2

)(1− q63) (1− q64) (1− q65)

= (1− 0, 11)(1− 0, 13)(1− 0, 15)(1− 0, 16)(1− 0, 17)

= 0, 458865

Jawab. C.

18. Diberikan informasi sebagai berikut:

305

Page 306: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

x 80 81 82 83 84 85 86

px 0,5 0,4 0,6 0,25 0,2 0,15 0,1

Hitunglah perubahan dari 2|q80:84

A. 0,03

B. 0,06

C. 0,10

D. 0,16

E. 0,19

Pembahasan:

tqx:y = tqx.tqy

2|q80:84 = 3q80:84 − 2q80:84 = 3q80.3q84 − 2q80.2q84

Dari data diperoleh

2q80 = 1− 2 p80 = 1− p80.p81 = 1− (0, 5)(0, 4) = 0, 8

3q80 = 1− 3 p80 = 1− p80.p81.p82 = 1− (0, 5)(0, 4)(0, 6) = 0, 88

2q84 = 1− 2 p84 = 1− p84.p85 = 1− (0, 2)(0, 15) = 0, 97

3q84 = 1− 3 p84 = 1− p84.p85.p86 = 1− (0, 2)(0, 15)(0, 1) = 0, 997

Jika p82 berkurang dari 0,6 menjadi 0,3 maka

3q80 = 1− p80.p81.p82 = 1− (0, 5)(0, 4)(0, 3) = 0, 94

sehingga 2|q80:84 = (0, 94).(0, 997)− (0, 8)(0, 97) = 0, 16118

Perubahan nilai 2|q80:84 adalah =0,16118-0,10136=0,05982

NB. Soal kurang, seharusnya dijelaskan di atas sebelumnya bahwa ada dua individu berusia80 tahun sebagai (x) dan berusia 84 tahun sebagai (y)

Jawab. B.

19. Untuk kehidupan pada usia 30, dampak suatu terobosan medis diperkirakan dapat meningkatkanharapan hidup selama 4 tahun.

Sebelum dilakukan terobosan medis, S0(t) = 1− t100 dimana 0 ≤ t ≤ 100

306

Page 307: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Setelah dilakukan terobosan medis S0(t) = 1− tω dimana 0 ≤ t ≤ ω

Tentukan nilai dari ω

A. 105

B. 106

C. 107

D. 108

E. 109

Pembahasan:Fungsi menggunakan asumsi De Moivre

e030 =

∫ ω−30

0

(1− t

ω− 30

)dt

=ω− 30

2

Sebelum dilakukan terobosan

e030 =

ω− 302

=100− 30

2= 35

Setelah dilakukan terobosan harapan hidupnya menjadi

ω′ − 302

= e030 + 4

ω′ − 30 = 2.(35 + 4)

ω′ = 108

Jawab. D.

20. Tingkat kematian untuk Audra (usia 25 tahun) adalah lx = 50(100− x), 0 ≤ x ≤ 100. JikaAudra menggunakan balon udara, maka tingkat kematiannya akan disesuaikan hanya untuktahun mendatang saja dan dia akan memiliki force of mortality yang konstan sebesar 0,1.Tentukan penurunan harapan hidup selama 11 tahun untuk Audra jika dia menggunakan balonudara.

A. 0,1

B. 0,35

C. 0,6

D. 0,8

307

Page 308: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

E. 1,0

Pembahasan:Jika Audra tidak menggunakan balon udara

t px =lx+t

lx=

50(100− x− t)50(100− x)

=100− x− t

100− x

e025:11 =

∫ 11

0

(1− t

100− 25

)dt =

[t− t2

150

]11

0= 10, 1933

Jika Audra menggunakan balon udara

t px = exp(−∫ t

00, 1dt

)= exp(−0, 1t)

e025:11 = e0

25:1 + e026:10

=∫ 1

0t p25dt + p25.

∫ 10

0

(1− t

100− 25

)dt

=∫ 1

0exp(−0, 1t)dt + exp(−0, 1).

∫ 10

0

(1− t

75

)dt

= 0, 95163 + 0, 90484(9, 32432)

= 9, 3886

Penurunan harapan hidupnya sebesar =10,1933-9,3886=0,8047

Jawab. D.

21. Diberikan informasi berikut:

i. e030:40

= 27, 692

ii. S0(t) = 1− tω dimana 0 ≤ t ≤ ω

iii. Tx adalah peubah acak future lifetime untuk x

Hitunglah Var(T30)

A. 332

B. 352

C. 372

D. 392

E. 412

308

Page 309: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Pembahasan:Fungsi survival diasumsikan menggunakan Hukum De Moivre

e0x:n =

∫ n

0

ω− x− tω− x

dt

e030:40 =

∫ 40

0

ω− 30− tω− 30

dt

=∫ 40

0

(1− t

ω− 30

)dt

= t− t2

2(ω− 30)

∣∣∣40

0

27, 692 = 40− 402

2(ω− 30)

ω =402

(40− 27, 692)+ 30

= 94, 998375 ≈ 95

Var(T30) = 2∫ 95−30

0t.t p30dt−

(∫ 95−30

0t p30

)2

= 2∫ 65

0

65t− t2

65dt−

(∫ 65

0

65− t65

dt)2

=4225

3− 4225

4= 352, 08333

Jawab. B.

Gunakan informasi berikut untuk menjawab pertanyaan nomor 22 dan 23.

Waktu (t)Jumlah yang

beresiko saat tJumlah

kegagalan saat t

1 30 5

2 27 9

3 32 6

4 25 5

5 20 4

22. Tentukan aproksimasi GreenwoodâAZs dari variansi 3 p1

A. 0,0067

B. 0,0073

C. 0,0080

D. 0,0091

E. 0,0105

309

Page 310: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Pembahasan:

ˆ3 p1 =

(27− 9

27

)(32− 6

32

)(25− 5

25

)= 0, 43333

Var[ ˆ3 p1] = [ ˆ3 p1]2 .

4

∑j=2

(dj

rj(rj − dj)

)

= (0, 433333)2.(

9(27)(18)

+6

(32)(26)+

5(25)(20)

)= 0, 006709

Jawab. A.

23. Tentukan interval kepercayaan 95% berdistribusi log transformed untuk H(3) berdasarkanestimasi Nelson-Aalen.

A. (0, 3 : 0, 9)

B. (0, 31 : 1, 54)

C. (0, 39 : 0, 99)

D. (0, 56 : 0, 79)

E. (0, 44 : 1, 07)

Pembahasan:

H(3) =3

∑j=1

dj

rj=

530

+927

+6

32= 0, 6875

Var[H(3)] =3

∑j=1

dj

r2j=

5302 +

9272 +

6322 = 0, 0238

U = exp

Z0,95+1

2

√Var[H(3)]

H(3)

= exp(

1, 96√

0, 02380, 6875

)= 1, 5519

Log Transformed confidence untuk estimasi Nelson Aaen(H(tk)

U: U.H(tk)

)=

(H(3)

U: U.H(3)

)=

(0, 68751, 5519

: (0, 6875)(1, 5519))= (0, 443 : 1, 0669)

Jawab. E.

310

Page 311: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

24. Diberikan dua deret waktu xt dan yt , dimana masing masing masing deret waktu diasumsikansebagai random walk. Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?

A. Tidak ada kombinasi linear dari dua deret waktu yang dapat tak berubah (stationary)

B. Deret waktu zt = xt − λyt , akan selalu tak berubah (stationary) untuk beberapa nilai λ

C. Deret waktu zt = xt − λyt dapat tak berubah (stationary) untuk beberapa nilai λ yangdapat ditentukan secara jelas menggunakan teknik regresi

D. Deret waktu zt = xt − λyt dapat tak berubah (stationary) untuk beberapa nilai λ yangdapat diestimasi dengan menjalankan ordinary least square regression dari xt dan yt

E. Tidak ada pernyataan yang benar

Pembahasan:Sometimes two variables will follow random walks but a linear combination of those variableswill be stationery. For example, it may be that variables xt and yt are both first order homoge-neous nonstationary random walks but the variable zt = xt − λyt is stationery. If this is thecase, we say that xt and yt are co-integrated and call λ the co-integrating parameter. One canthen estimate λ by running an OLS regression of xt and yt. (Unlike the case of two randomwalks that are not co-integrated, here OLS provides a consistent estimator of λ). Furthermore,the residual of this regression then can be used to test wether xt and yt are indeed co-integrated

Sumber: Econometric Models and Economic Forecast (Fourth Edition), 1998, by Pindyck,

R.S. and Rubinfeld, D.L., Halaman 513-514

Jawab. D.

25. Untuk sebuah table double decrement, diberikan:

Usia x l(τ)x d(1)x d(2)x

40 1000 60 55

41 - - 70

42 750 - -

Setiap decrement menyebar secara uniform, hitunglah nilai q′41(1)

A. 0,077

B. 0,078

C. 0,079

D. 0,080

E. 0,081

311

Page 312: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Pembahasan:

l(τ)41 = l(τ)40 − d(1)40 − d(2)40

= 1000− 60− 55

= 885

l(τ)42 = l(τ)41 − d(1)41 − d(2)41

750 = 885− d(1)41 − 70

d(1)41 = 65

q(1)41 =d(1)41

l(τ)41

=65

885= 0, 073446

q(τ)41 =d(τ)41

l(τ)41

=65 + 70

885= 0, 152542

q′(1)41 = 1− p

′(1)41

= 1−(

p(τ)41

) q(1)41

q(τ)41

= 1− (1− 0, 152542)0,0734460,152542

= 0, 076599

Jawab. A.

26. Diberikan sebuah informasi mengenai aktivitas penyelesaian klaim selama 3 tahun terakhir:

Jumlah Klaim yang Diselesaikan

Tahun PelaporanTahun Penyelesaian

2016 2017 2018

2016 6 3 1

2017 5 2

2018 4

L merupakan peubah acak yang menggambarkan tentang jeda waktu dalam proses penyelesa-ian klaim.

Hitunglah Pr[L = 1|L < 3] dengan terlebih dahulu memperkirakan fungsi survival untukdata sensor kanan.

312

Page 313: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

A. 0,30

B. 0,29

C. 0,28

D. 0,27

E. 0,26

Pembahasan:Diperoleh tabel :

Ti Li Ri di Yi Pr[L < li|L < 3]

0 0 2 6

1 0 2 5

2 0 2 4 15( 99

160)

.0 = 0

0 1 1 3

1 1 1 2 16( 9

10)

. 1116 = 99

160

0 2 0 1 10 910

Dengan

Yi = 15⇒ Yi = 21− 1− 2− 3 nilai 1,2, dan 3 dari nilai di untuk Ri < 2Yi = 16⇒ Yi = 21− 1− 4 nilai 1 dari nilai di untuk Ri < 1 dan 4 dari di untuk Li > 1Yi = 10⇒ Yi = 21− 5− 4− 2 nilai 5,4, dan 2 dari nilai di untuk Li > 0

Pr[L < li|L < 3] =9

10=

10− 110

Pr[L < li|L < 3] =(

910

)(1116

)=

(9

10

)(16− 2− 3

16

)Pr[L < li|L < 3] =

99160

.0 =

(99160

)(15− 4− 5− 6

16

)

Diperoleh Pr[L = 1|L < 3] =Pr[L < 2|L < 3]−Pr[L < 1|L < 3] =9

10− 99

160= 0, 28125

Jawab. C.

27. Untuk sebuah survival study, diberikan:

i. Product Limit estimator S(t0) digunakan untuk membangun interval kepercayaan untukS(t0)

ii. 95% interval kepercayaan berdistribusi log transformed untuk S(t0) adalah(0, 695 : 0, 843)

Tentukanlah nilai S(t0)

A. 0,758

313

Page 314: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

B. 0,762

C. 0,765

D. 0,769

E. 0,779

Pembahasan:Log-Transformed confidence untuk estimasi Product Limit(

S(tk)1U : S(tk)

U)

dengan

U = exp

( z p+12

√Var[S(tk)]

S(tk). ln[S(tk)]

)

sehingga

S(t0)1U = 0, 695⇒ 1

Uln[S(t0)

]= ln(0, 695)...(1)

S(t0)U = 0, 843⇒ U ln

[S(t0)

]= ln(0, 843)...(2)

Dengan membagi (2) dengan (1) diperoleh

U ln[S(t0)

]1U ln

[S(t0)

] = U2 =ln(0, 843)ln(0, 695)

U =

√ln(0, 843)ln(0, 695)

= 0, 6851

Diperoleh:

S(t0) =(

S(t0)1U

)U= 0, 6950,6851 = 0, 7794

Jawab. E.

28. Data pembayaran klaim dari 10 polis adalah:

2 3 3 5 5+ 6 7 7+ 9 10+

314

Page 315: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

Tanda + mengindikasikan bahwa kerugian melebihi limit polis.

Dengan menggunakan Product Limit estimator, tentukan probabilitas bahwa kerugian yangterjadi pada polis melebihi 8.

A. 0,40

B. 0,36

C. 0,30

D. 0,25

E. 0,20

Pembahasan:Akan dibuat tabel data

i di xi ui

entry event censored

1 0 2 -

2 0 3 -

3 0 3 -

4 0 5 -

5 0 - 5

6 0 6 -

7 0 7 -

8 0 - 7

9 0 9 -

10 0 - 10

Table Survival

j tj dj rj

1 2 1 10

2 3 2 9

3 5 1 7

4 6 1 5

5 7 1 4

6 9 1 2

Fungsi Survival

315

Page 316: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

t S(t)

0 ≤ t < 2 1

2 ≤ t < 3 1− 110 = 0, 9

3 ≤ t < 5 (0, 9)(1− 2

9)= 0, 7

5 ≤ t < 6 (0, 7)(

1− 17

)= 0, 6

6 ≤ t < 7 (0, 6)(

1− 15

)= 0, 48

7 ≤ t < 9 (0, 48)(

1− 14

)= 0, 36

t ≥ 9 (0, 36)(

1− 12

)= 0, 18

Diperoleh : S(8) = S(7) = 0, 36

Jawab. B.

29. Untuk model regresi Y = β1 + β2X2 + β3X3 + ε

i. rXY2 = 0, 4

ii. rXY3.X2 = −0, 4

Tentukanlah nilai R2

A. 0,03

B. 0,16

C. 0,29

D. 0,71

E. 0,84

Pembahasan:

r2YX3.X2

=R− r2

YX2

1− r2YX2

Dengan demikian diperoleh:

R2 = 1− (1− r2YX2

)(1− r2YX3.X2

)

= 1− [1− (0, 4)2].[1− (−0, 4)2]

= 0, 2944

≈ 0, 29

Jawab : C.

30. Diberikan beberapa informasi berikut:

316

Page 317: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

a) Z1 dan Z2 adalah peubah acak berdistribusi normal (0,1) yang saling bebas

b) a, b, c, d, e, f adalah konstanta

c) Y = a + bZ1 + cZ2 dan X = d + eZ1 + f Z2

Tentukanlah E(Y|X)

A. a

B. a + (b + c)(X− d)

C. a + (be + c f )(X− d)

D. a + [(be + c f )/(e2 − f 2)](X− d)

E. a + [(be + c f )/(e2 + f 2)](X− d)

Pembahasan: Rumus yang digunakan dalam soal ini adalah

E[Y|X] = E[Y] +Cov(X, Y)

Var[X](X− E[X])

Cov(X, Y) = E[XY]− E[X]E[Y]

E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]

Var[aX + bY + c] = a2Var[X] + b2Var[Y]

E[X2] = Var[X] + (E[X])2 = σ2 + µ2

Dengan demikian diperoleh:

E[Y|X] = E[Y] +Cov(X, Y)

Var[X](X− E[X])

= E[Y] +E[XY]− E[X]E[Y]

Var[X](X− E[X])

= E[a + bZ1 + cZ2] +E[(a + bZ1 + cZ2)(d + eZ1 + f Z2)]

Var[d + eZ1+ f Z2 ]

×(X− E[d + eZ1 + f Z2])−E[(a + bZ1 + cZ2)]E[(d + eZ1 + f Z2)]

Var[d + eZ1+ f Z2 ]

×(X− E[d + eZ1 + f Z2])

Selanjutnya:

E[a + bZ1 + cZ2] = a + bE[Z1] + cE[Z2] = a + b(0) + c(0) = a

E[d + eZ1 + f Z2] = d + eE[Z1] + f E[Z2] = d + e(0) + f (0) = d

(E[a + bZ1 + cZ2])(E[d + eZ1 + f Z2]) = ad

Var[d + eZ1 + f Z2] = e2Var[Z1] + f 2Var[Z2] = e2(1) + f 2(1) = e2 + f 2

317

Page 318: Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris...1 A50 Periode November 2014 Informasi berikut digunakan untuk mengerjakan soal no. 1 sampai dengan 3: Sebuah Survival Distribution didefinisikan

10 A50 Periode April 2019

dan

E[(a + bZ1 + cZ2)(d + eZ1 + f Z2)] = ad + aeE[Z1] + a f E[Z2] + bdE[Z1] + beE[Z21 ]

+b f E[Z1]E[Z2] + cdE[Z2] + ceE[Z1]E[Z2] + c f E[Z22 ]

= ad + ae(0) + a f (0) + bd(0) + be(1) + b f (0)(0) + cd(0)

+ce(0)(0) + c f (1)

= ad + be + c f

Jadi

E[Y|X] = E[a + bZ1 + cZ2] +E[(a + bZ1 + cZ2)(d + eZ1 + f Z2)]

Var[d + eZ1+ f Z2 ]

×(X− E[d + eZ1 + f Z2])−E[(a + bZ1 + cZ2)]E[(d + eZ1 + f Z2)]

Var[d + eZ1+ f Z2 ]

×(X− E[d + eZ1 + f Z2])

= a +ad + be + c f

e2 + f 2 (X− d)− ade2 + f 2 (X− d)

= a +be + c fe2 + f 2 (X− d)

Jawab : E.

318