PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI MATEMATIKA · PDF filePembahasan soal sesuai qcqc uas mat...
Transcript of PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI MATEMATIKA · PDF filePembahasan soal sesuai qcqc uas mat...
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 1
PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS
MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA
SOAL 1
Perhatikan segitiga di bawah ini!
Tentukan nilai
cot
cosecsec
Jawab:
INGAT definisi:
miring
depansin
depan
miring
sin
1cosec
miring
sampingcos
samping
miring
cos
1sec
samping
depantan
depan
samping
tan
1cot
Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus
Pythagoras.
22 1517
225289
cm 864
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 2
Maka 8
17sec ,
15
17cosec dan
15
8cot
Sehingga 64
391
8
15
120
391
15
8120
391
15
8120
136
120
255
15
815
17
8
17
cot
cosecsec
.
(Hitung-hitungan mengenai pecahan mengingatkan kenangan indah waktu sd….)
SOAL 2
Nilai dari ....4
tan3
cos)2
(sin 2
Jawab:
Ingat tabel ini aaahhhh…..!!
O ya, untuk mengubah satuan radian ke satuan derajat, gunakan konversi:
Kembali pada soal,
2
11
2
11
45tan60cos)90(sin
4
180tan
3
180cos90sin
4tan
3cos
2sin
4tan
3cos)
2(sin
2
2
2
2
2
1
8
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 3
SOAL 3
Jika 330cosap , dan 120tanaq serta 36 qp maka nilai dari a = ….
Jawab:
Untuk sudut yang lebih besar dari 90o, ingat kuadran-kuadran:
INGAT!! Acuan sudut adalah terhadap sumbu X bukan sumbu Y…!!
INGAT….. INGAT!!!
Untuk menghitung 330cos , perhatikan bahwa sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X
(BUKAN sumbu Y!!!!) adalah 30o. Sudut 330
o ada di kuadran IV, nilai cos adalah positif.
Jadi, cos 330o = cos 30
o = 3
2
1.
Untuk menghitung tan 120o, perhatikan sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X adalah 60
o.
Sudut 120o ada di kuadran II, nilai tan adalah negatif.
Jadi, tan 120o
= – tan 60o = 3
Dari soal, 36 qp
36120tan330cos aa
36)3(32
1 aa
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 4
36)332
1( a
36)32
1( a
12
32
1
36
a
SOAL 4
Diketahui 5
2sin
px dengan x sudut lancip. Maka nilai dari tan x = ….
Jawab:
Buat segitiga bantu. Ingat, sin = depan/miring.
Maka nilai tan x adalah:
2425
2tan
p
p
samping
depanx
.
SOAL 5
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 32
13cos x untuk 3600 x
adalah….
Jawab: INGAT! Penyelesaian AX coscos adalah 360.kAX atau 360.kAX .
Pada soal, 32
13cos x
60cos3cos x
360.603 kx atau 360.603 kx
120.20 kx 120.20 kx
2
22
425
)2(5
p
p
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 5
22
1sin x
120.20 kx atau 120.20 kx
200 xk 200 xk (di luar batas)
1401 xk 1001 xk
2602 xk 2202 xk
3803 xk (di luar batas 0–360) 3403 xk
Jadi, HP = {20, 100, 140, 220, 260, 340} Solusinya ada 6 buah. SOAL 6
Himpunan penyelesaian dari persamaan 0)2)(sin1sin2( xx untuk 20 x adalah….
Jawab:
0)2)(sin1sin2( xx
01sin2 x atau 02sin x
2
1sin x 2sin x
[Tidak ada penyelesaian
sebab batas nilai sin x adalah
45sinsin x 1sin1 x ]
360.45 kx 360.)45180( kx (lihat pengumuman di bawah!)
450 xk 360.135 kx
4051 xk (di luar batas) 1350 xk
4851 xk (di luar batas)
Jadi , HP = {45O, 135O}
=
4
3 ,
4
SOAL 7
Banyaknya penyelesaian x dari persamaan 042tan4 x dengan 3600 x ada berapa buah?
Jawab:
042tan4 x
42tan4 x
12tan x
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 6
45tan2tan x
180.452 kx
90.5,22 kx
5,220 xk
5,1121 xk
5,2022 xk
5,2923 xk
5,3824 xk (di luar batas)
HP = {22,5 ; 112,5 ; 202,5 ; 292,5}
Banyak penyelesaian ada 4 buah!
CARA CEPAT:
Banyak penyelesaian x dari cbx tan pada selang 3600 x adalah 2b (asalkan )0c
Pada soal, b = 2. Maka banyak penyelesaiannya = 2b = 2 x 2 = 4 buah.
SOAL 8
Nilai dari cos 105o = ….
Jawab:
INGAT RUMUS:
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
)4560cos()105cos(
45sin60sin45cos60cos
22
13
2
12
2
1
2
1
64
12
4
1
(Catatan: Perhatikan tanda plus-minus pada rumus sinsincoscos)cos( )
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 7
SOAL 9
Diketahui 15tan x , maka ....2tan x
Jawab:
Gunakan rumus:
x
xx
2tan1
tan22tan
112
15
224
30
2251
30
151
1522
SOAL 10
Jika diubah ke bentuk penjumlahan, maka bentuk 20sin84cos2 = ….
Jawab:
Hafalkan rumuz berikut:
)cos()cos(sinsin2
)cos()cos(coscos2
)sin()sin(sincos2
)sin()sin(cossin2
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
Maka )2084sin()2084sin(20sin84cos2
)64sin()104sin(
SOAL 11
Jika diubah ke bentuk perkalian, maka ....cos8cos
Jawab:
Hafalkan rumuz berikut:
Udah hafal belum 4 rumuz ini? Kalau belum ….. hafalkan ya…!
2sin
2sin2coscos
2cos
2cos2coscos
2sin
2cos2sinsin
2cos
2sin2sinsin
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 8
Maka
2
8sin
2
8sin2cos8cos
2
7sin
2
9sin2 .
SOAL 12
Nilai ....12sin78sin
12cos78cos
Jawab:
45sin
45cos
33cos45sin2
33cos.45cos2
2
1278cos
2
1278sin2
2
1278cos
2
1278cos2
12sin78sin
12cos78cos00
00
12
2
21
21
.
SOAL 13
Jika xx cossin3 diubah menjadi bentuk )cos(xk , tentukan nilai k dan .
Jawab:
INGAT!
)cos(cossin xkxbxa
22 bak dan b
atan dengan sudut sesuai dengan tanda positif negatif
koefisien dari sin x dan cos x.
Pada soal, 3a dan 1b .
Maka 2413)1(3 2222 bak .
dan 31
3tan
b
a .
Nilai dengan 3tan ada 2 macam, yaitu 120 dan 300 .
Yang mana yang benerr?? Lihatlah pada koefisien sin (yaitu 3a ) bernilai positif, sedangkan
koefisien cos (yaitu 1b ) bernilai negatif.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 9
Naahhh… sudut dengan sin positif dan cos negatif ada di kuadran berapa hayoooo…??
Di kuadran II. Sehingga, 120 (karena di kuadran II).
Jadi, k = 2 dan 120 .
SOAL 14
Nilai maksimum dari fungsi xxxf 4cos64sin5)( adalah….
Jawab:
Yuk jadikan bentuk xxxf 4cos64sin5)( ke bentuk )4cos( xk ,
dengan 61362565 22 k .
Maka )4cos(614cos64sin5)( xxxxf
Jelas nilai maksimum fungsi ini adalah ketika 1cos . Jadi 61maksf .
SOAL 15
Sederhanakan bentuk xx
x
x
xcos
sin
cos
cos
sin
.
Jawab:
Samakan dulu penyebut pecahan yang ada di dalam kurung. Maka:
xxx
xx
xx
xxx
x
x
x
xcos
sincos
coscos
sincos
sinsincos
sin
cos
cos
sin
xxx
xxcos
sincos
cossin 22
xsin
1
x cosec
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 10
SOAL 16
Tuliskan rumus-rumus sudut ganda dong!
Jawab:
Boleh..
Ini:
cossin22sin
22 sincos2cos
1cos2 2
2sin21
2tan1
tan22tan
SOAL 17
Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!
a) ....3
5sin
0
x
xLimx
b) ....4tan5
7sin 2
0
xx
xLimx
c) ....2sin
9tan.8
0
x
xxLimx
Jawab:
Gunakan rumuz-rumuz berikut:
b
a
bx
axLim
bx
axLim
bx
axLim
bx
axLim
bx
axLim
bx
axLim
xxxxxx
sin
tan
tan
sin
tan
tan
sin
sin
000000
a) .3
5
3
5sin
0
x
xLimx
(Mudah …. Alhamdulillah….)
b) 20
49
4
7
5
7
4tan5
7sin.7sin
4tan5
7sin
0
2
0
xx
xxLim
xx
xLim
xx
.
c) 0040tan.2
89tan
2sin
8
2sin
9tan.8
00
x
x
xLim
x
xxLim
xx
.
INGAT! Pada soal c) tan 9x tidak ada pasangannya, jadi dimasukkan saja x = 0 ke tan 9x.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 11
SOAL 18
Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!
a) ....3
1)6(cos20
x
xLimx
b) ....)3(
)62cos(3323
x
xLimx
Jawab:
a) Rumus 2sin212cos sering digunakan dalam menghitung limit trigonometri yang
mengandung fungsi cos.
Dengan mengambil x3 , maka ).3(sin21)3(2cos6cos 2 xxx
Sehingga xx
xxLim
x
xLim
x
xLim
xxx
3
)3sin()3sin(2
3
1)3(sin21
3
1)6(cos
02
2
020
61
3
3
32
b) Untuk limit x tidak mendekati nol (0), maka buat variabel baru yang mendekati nol.
Misalkan 3 xu . Jika 3x maka 0u .
Maka:
2323 )3(
)]3(2cos[33
)3(
)62cos(33
x
xLim
x
xLim
xx
20
2cos33
u
uLimu
2
2
0
)sin21(33
u
uLimu
2
2
0
sin633
u
uLimu
uu
uuLimu
sinsin6
0
6
1
1
1
16
SOAL 19
....coscos
22
qx
qxLim
qx
Jawab:
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 12
Gunakan rumus selisih cos:
2sin
2sin2coscos
BABABA
Maka ))((
2sin
2sin2
coscos22 qxqx
qxqx
Limqx
qxLim
qxqx
)(
2.
)(
2sin2
qx
qx
Limqx
qx
Limqxqx
)1(
2
1
.)(
2sin2
2
1.
2
sin2
q
q
.2
sin
q
q
Perhatikan jawabannya dalam q.
CARA CEPAT:
Gunakan teorema l’Hopital dengan turunan
)(
)(
)(
)(
xg
xfLim
xg
xfLim
axax
Pada soal, .2
sin
2
sincoscos22 q
q
x
xLim
qx
qxLim
qxqx
INGAT TURUNAN FUNGSI TRIGONO:
y = sin x y’ = cos x
y = cos x y’ = – sin x
SOAL 20
Jika 43
cos220
bx
xaLimx
, maka nilai a + b = ….
Jawab:
Coba masukkan x = 0, maka 0
12
0.3
0cos2
3
cos222
a
b
a
bx
xa .
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 13
Karena 43
cos220
bx
xaLimx
, maka
40
12
a .
Hal ini mengharuskan 012 a sehingga bentuknya menjadi .0
0
(Jika 012 a maka
0
12a . Kontradiksi dengan 40
12
a . Sedangkan jika 012 a , maka
persamaan 40
0 masih memungkinkan).
Jadi,
012 a
2
1a
Masukkan 2
1a ke dalam limit, maka:
43
cos220
bx
xaLimx
43
cos120
bx
xLimx
43
)(2cos1
2
21
0
bx
xLimx
43
))(sin21(1
2
212
0
bx
xLimx
43
)(sin2
2
212
0
bx
xLimx
43
)sin()sin(221
21
0
xbx
xxLimx
4113
221
21
b
b1221
b241
Jadi, .2413
241
2412
241
21 ba
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 14
SOAL 21
Perhatikan busur lingkaran berikut ini!
Jika jari-jari r = 8 cm dan panjang busur s = 10 cm, maka besar sudut ... radian.
Jawab:
Besar sudut dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang
busur lingkaran (s) di hadapan sudut dengan jari-jari lingkaran (r).
Rumusnye:
r
s
Pada soal, 25,18
10
r
s radian.
Ternyata soal mengenai radian tidak sesulit
membuka tutup botol dengan peniti!!
SOAL 22
Tentukan persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini!
Jawab:
Sebelum menjawab soal, mari kita ingat-ingat grafik fungsi dasar sin dan cos !
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 15
gelombang 1 gelombang 1 gelombang 1
Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah:
dcxbay )(sin
dcxbay )(cos
Dimana: a = amplitudo b = banyaknya gelombang pada rentang 0o – 360o (atau 0 – 2) c = digeCer grafik dasar ke kiri (+) atau ke kanan (-)
d = diangkat grafik dasar ke atas (+) atau ke bawah (-)
Grafik pada soal:
Terlihat bahwa fungsi ini adalah fungsi cos karena mulainya dari puncak.
Nilai a = 6
b = 3 (ada 3 gelombang pada rentang 0 – 2)
c = 0
d = 0
Jadi, persamaan fungsinya y = 6 cos 3x.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 16
SOAL 23
Dari gambar grafik menawan berikut ini,
tentukan himpunan penyelesaian: 24sin8 x .
Jawab:
Karena yang ditanya daerah 8 sin xo yang lebih kecil sama dengan 24 ,
lihat aje bagian grafik y = 8 sin x0 yang berada di bawah garis y = 24 . Lalu arsir deh!
Jawabannye: HP = }360135atau 450 { xxx
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 17
SOAL 24
Perhatikan grafik fungsi y = 10 sin (x – 40)o berikut ini!
Tentukan koordinat P, Q dan R!
Jawab:
Titik P dan Q adalah titik-titik ketika y = 0 Karena )40sin(10 xy
Maka )40sin(100 x
)40sin(0 x
0sin)40sin(x
360.040 kx atau 360.18040 kx
360.40 kx atau 360.220 kx
400 xk 2200 xk 4001 xk
Perhatikan grafik, untuk titik P nilai x
yang sesuai adalah x = 40, sedangkan untuk
titik Q, nilai x = 400
Jadi, koordinat titik P(40, 0) dan
Q(400, 0)
Titik R adalah perpotongan grafik dengan sumbu Y, maka nilai x = 0 . Sehingga 40sin10)400sin(10)40sin(10 xy .
Jadi, koordinat titik R(0, –10 sin40o).
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 18
SOAL 25
Gambarkan grafik fungsi: (a) xy 2sin1
(b) )30sin(4 xy
(c) xy sin
(d) xy 2sin
Jawab:
(a)
xy 2sin1
Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya naik 1 satuan ke atas, dan ada 2 gelombang pada rentang 0 – 360o .
(b)
)30sin(4 xy
Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya mempunyai amplitudo 4 dan posisinya geser 30 satuan ke kiri.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 19
(c)
Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = – sin x dapat diperoleh dari mencerminkan grafik
y = x terhadap sumbu X.
(Komen: biasanya anak perempuan ahli deh dalam hal cermin-bercermin)
(d)
Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = sin2
x selalu berada di atas sumbu X (karena
bentuknya kuadrat sehingga nilainya selalu positif atau nol). Grafik y = sin2
x lebih ramping
daripada grafik y = sin x.
Pembahasan selesai…. Alhamdulillah…..
xy sin
xy sin
xy 2sin
xy sin