PDV: Matematica Guía N°14 [3° Medio] (2012)
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UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN POLÍGONOS
POLÍGONOS
Definición: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y quese intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).Se clasifican en convexos y cóncavos.
Polígono convexo es aquel polígono que para todo par de puntos de su región interior,el segmento que los une está totalmente incluido en el interior del polígono. De lo contrariose dice que el polígono es cóncavo.
Un polígono regular, es aquel que tiene sus lados y ángulos, respectivamente congruentes.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS DE N LADOS
La suma de los ángulos interiores es 180° · (n – 2). La suma de los ángulos exteriores es 360°.
Si el polígono es regular, cada ángulo interior mide180º · (n 2)
n
.
Cada ángulo exterior de un polígono regular mide360º
n.
El número de diagonales que se puede trazar desde un vértice es n – 3.
El número total de diagonales que se pueden trazar esn · (n 3)
2
.
EJEMPLOS
1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?
A) 360ºB) 540ºC) 720ºD) 1.080ºE) 1.440º
2. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la sumade los ángulos exteriores?
A) Hexágono.B) Pentágono.C) Cuadrilátero.D) Triángulo.E) No existe tal polígono.
C u r s o : Matemática Tercero
Material N° MT-14
2
CUADRILÁTERO es aquel polígono que tiene 4 lados.
Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides
PROPIEDADES
La suma de los ángulos interiores es 360º.
La suma de los ángulos exteriores es 360º.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, el polígono ABCD es un polígono no convexo (cóncavo). Entonces, lamedida del ángulo es
A) 25ºB) 115ºC) 155ºD) 205ºE) 215º
2. En la figura 2, ABCD es un polígono cualquiera. El ángulo ABC mide 80° y el ángulo ADC
mide 120°. Si CM y AM son bisectrices de los DCB y DAB, respectivamente, entonces
el ángulo x mide
A) 160ºB) 120ºC) 100ºD) 80ºE) 20º
120ºx
M
A B
DC
fig. 2
80º
85º
40º
30º
A
B
D
C
fig. 1
3
PARALELOGRAMO
Definición: Un paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene 2 pares de lados opuestosparalelos.
Clasificación y Propiedades
EJEMPLOS
1. En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempreverdadera(s)?
I) ADFC es un paralelogramo.II) Si = 90º, entonces ADFC es un rectángulo.
III) Si AE = DB y = 90°, entonces ABED es un cuadrado.
A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III
2. Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que
A) sus diagonales sean congruentes.B) sus diagonales sean bisectrices.C) sus diagonales sean perpendiculares.D) sus diagonales se dimidien mutuamente.E) tengan un par de lados paralelos.
CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE
NOMBRE
PROPIEDADES
Lados opuestoscongruentes
Ángulos opuestoscongruentes
Las diagonalesse dimidian
Ángulos contiguossuplementarios
Diagonalesperpendiculares
Diagonalesbisectrices
Diagonalescongruentes
45º
45º
a45º
45º
45º
45º
45º
45ºa
a a
aa
a a
a
b
a
b
a
bb
a
D E F
A B C
fig. 1
L1
L2
4
TRAPECIOS
Definición: Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases.
Clasificación: – Los trapecios se clasifican en Isósceles y Escalenos. Los trapecios isósceles son aquellos que tienen sus lados no paralelos
iguales. Los trapecios escalenos, son los que tienen sus lados no paralelos
desiguales.
Propiedades
En todos los trapecios, los ángulos colaterales internosentre las bases ( AB y CD ) son suplementarios, esdecir: + = 180º y + = 180º.
TRAPECIO ISÓSCELES
Propiedades
Diagonales congruentes ( BDAC ). Ángulos basales congruentes (DAB ABC).
Ángulos opuestos suplementarios.
EJEMPLOS
1. En el trapecio ABCD de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el ángulo BDC mide 35º,entonces el ángulo ABC mide
A) 110ºB) 70ºC) 45ºD) 35ºE) 25º
2. Los ángulos interiores de un trapecio son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6. Entonces, el ángulointerior mayor mide
A) 40ºB) 60ºC) 66ºD) 80ºE) 120º
A B
D C
AB // CD
A B
D Cfig. 1
A B
D C
5
TRAPEZOIDES
Definición: Es aquel cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos.
Clasificación: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.
tRA
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
Diagonales perpendiculares.
Eje de Simetría (diagonal BD ) es:
Bisectriz de los ángulos ABC y CDA. Simetral de la diagonal AC .
EJEMPLOS
1. En la figura 1, el deltoide PQRS es tal que SP = PQ y SR = QR . Si RPQ =14º y
RSP = 109º, entonces el ángulo SRQ mide
A) 33ºB) 57ºC) 76ºD) 109ºE) 114º
2. En el deltoide MNST de la figura 2, ST = SN y TM = NM . Si MNS = 135° y
TSN = 70°, entonces STN + SMT es igual a
A) 45ºB) 55ºC) 65ºD) 90ºE) 125º
AB AD y CD CB
Trapezoideasimétrico
A B
CD
Trapezoidesimétrico(deltoide)
A
D B
C
fig. 1
P
S Q
R
fig. 2
M
T N
S
a b
D
C A
B
bb
aa
6
EJERCICIOS
1. Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entoncesel polígono es un
A) hexágono.B) octágono.C) decágono.D) dodecágono.E) eneágono.
2. Si en un polígono se pueden trazar en total 20 diagonales, entonces el polígono tiene
A) 6 lados.B) 8 lados.C) 9 lados.D) 12 lados.E) 15 lados.
3. Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígonoes tres, entonces el polígono tiene
A) 9 lados.B) 8 lados.C) 7 lados.D) 6 lados.E) 5 lados.
4. En el pentágono regular de la figura 1, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, el x
mide
A) 60ºB) 72ºC) 80ºD) 90ºE) 100º
5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo exterior mide el triple del ángulointerior correspondiente?
A) Triángulo equilátero.B) Pentágono.C) Hexágono.D) Decágono.E) No existe un polígono regular que cumpla la condición.
x
A
B
CD
EF
fig. 1
7
6. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 2, se prolonga de modo que CE AB ,entonces la medida del ángulo es
A) 18ºB) 22,5ºC) 24ºD) 30ºE) 45º
7. En el rectángulo ABCE de la figura 3, AE ED DC , entonces el ángulo mide
A) 30ºB) 45ºC) 60ºD) 90ºE) 105º
8. En la figura 4, ABCDEF es un hexágono regular. ¿Qué porcentaje es la medida del ánguloAEF respecto a la medida del ángulo FED?
A) 25%B) 30%
C) 3313
%
D) 40%E) 45%
9. En el pentágono regular ABCDE de la figura 5, ¿cuál es la medida del BED?
A) 36ºB) 54ºC) 60ºD) 72ºE) 108º
10. Si en el trapecio isósceles con bases AB y CD , de la figura 6, el y = 70°, entonces el
ángulo x mide
A) 210ºB) 140ºC) 110ºD) 70ºE) ninguna de las anteriores.
BC
D A
E
fig. 2
DE
BA
F C
fig. 4
BA
CE
D
fig. 5
BA
CD
fig. 6
y
x
fig. 3
A B
E CD
8
11. En la figura 7, ED AB , BC CE y =13. ¿Cuál es la medida del ángulo si = 120º?
A) 10ºB) 20ºC) 30ºD) 45ºE) 60º
12. Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de un rombo, se forma un
A) cuadrado.B) rectángulo.C) romboide.D) rombo.E) deltoide.
13. En el trapecio MNPQ, de la figura 8, MN // PQ , MQP = 105°, NPQ = 9x + 5º,
QMN = 3y y MNP = 2x + 10º. Entonces, el valor de (y – x) es igual a
A) 30ºB) 25ºC) 20ºD) 15ºE) 10º
14. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?
I) En todo cuadrilátero las diagonales se dimidian.II) En todo paralelogramo las diagonales son bisectrices.III) En el cuadrado, rombo y deltoide las diagonales son perpendiculares.
A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo III.D) Sólo I y III.E) Sólo II y III.
15. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 9, las bisectrices QB y QC de los ángulosen B y en C, respectivamente, forman un ángulo x que mide
A) 45ºB) 60ºC) 75ºD) 90ºE) 105º
M N
Q Pfig. 8
x
A B
D C
fig. 9Q
C
A D
E
fig. 7
B
9
16. En el polígono de la figura 10, AB // PC y AP // BC . Si AP y CP son bisectrices de losángulos interiores respectivos, entonces el valor del ángulo es
A) 160ºB) 140ºC) 120ºD) 100ºE) 60º
17. Al trazar las diagonales de un paralelogramo, éstas forman 4 triángulos que siempreson:
I) Congruentes.II) Equivalentes (de igual área).III) Rectángulos.
Es (son) verdadera(s)
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III
18. En la figura 11, el vértice A del cuadrado ABCD pertenece al lado EF del cuadrado DEFG.Si DB es diagonal del cuadrado ABCD y EAD = 70°, entonces el x mide
A) 75ºB) 65ºC) 35ºD) 25ºE) 15°
19. En la figura 12, ABCDEF es un hexágono regular, entonces la medida de 2y + 3x es
igual a
A) 330ºB) 150ºC) 144ºD) 108ºE) 72º
fig. 10
A B
D
E CP
80º
60º
E
D C
A B
G
F
70º
x
fig. 11
DE
BA
F C
fig. 12x
y
10
20. Al trazar una de las diagonales de un pentágono regular, se forman
A) un triángulo isósceles y un trapecio isósceles.B) un triángulo isósceles y un trapezoide.C) un triángulo equilátero y un cuadrado.D) un triángulo equilátero y un trapecio isósceles.E) un triángulo isósceles y un rombo.
21. En la figura 13, ABCD es un trapecio de bases AD y BC . Si DE DA , entonces x + y
es igual a
A) 135ºB) 90º + zC) zD) 180º – zE) 360º – z
22. En el rombo ABCD de la figura 14, P y Q son puntos medios y DCB = 50º. Entonces,
APQ =
A) 25ºB) 50ºC) 130ºD) 145ºE) 155º
23. En el paralelogramo MNOP de la figura 15, PI y MN son perpendiculares y el ángulo = 75°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A) = 7 · B) + = 180ºC) = D) = 5 · E) 2 · = 3 ·
24. Si en la figura 16, = 80º, = 50º y = 80º, entonces x mide
A) 70ºB) 80ºC) 110ºD) 130ºE) 140º
z
x
y
A
B
C
D
E fig. 13
A B
CD Q
Pfig. 14
M N
OP
I
fig. 15
x
BA
D C
fig. 16
11
25. En el cuadrilátero ABCD de la figura 17, = 60º y = 100º, entonces el valor de12
(x + y) es
A) 200ºB) 160ºC) 100ºD) 90ºE) 80º
26. En el deltoide ABCD de la figura 18, AB AD y DC BC . Si BAD = 50° y
ADC = 150°, entonces el valor del ángulo x es
A) 95ºB) 85ºC) 75ºD) 65ºE) 55º
27. En la figura 19, las diagonales AC y BD del rombo ABCD se intersectan en E. Si F es unpunto de AB tal que FE EB y DAE = 35º, entonces el complemento del ángulo x mide
A) 70ºB) 65ºC) 45ºD) 40ºE) 20º
28. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si se conoce:
(1) La suma de los ángulos interiores.
(2) El número total de diagonales.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
A B
DC
fig. 17y
x
A
B
C
D fig. 18
x
A B
CD
fig. 19
F
x
E
12
29. En el cuadrilátero ABCD de la figura 20, se puede calcular la medida del ángulo x si :
(1) Se conoce la medida del ACD.
(2) Se conoce la medida del ABC.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
30. En la figura 21, se puede determinar la medida del ángulo si :
(1) + + = 300º
(2) MNOP es un romboide y + = 180º.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS
.
DMDOMT-14
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/
xA
B
D C
fig. 20
M
P
O
N
fig. 21
EjemplosPágs. 1 2
1 D C2 C E3 A D4 B E5 E C
1. C 11. B 21. C
2. B 12. B 22. E
3. D 13. E 23. E
4. B 14. C 24. C
5. E 15. D 25. E
6. B 16. D 26. B
7. D 17. B 27. A
8. A 18. D 28. D
9. D 19. A 29. E
10. C 20. A 30. A
EJERCICIOS PÁG. 6