Pdi Unidad Vi 2015 - fich - morfologia matematica

Procesamiento Digital de Imgenes

Morfologa Matemtica

Departamento de Informtica - FICHUniversidad Nacional del Litoral

Morfologa Matematica p. 1

Generalidades

Usos de la morfologa matemtica realce de imgenes anlisis de formas segmentacin de imgenes compresin de imgenes restauracin de imgenes anlisis de componentes deteccin de ejes espesamiento de curvas anlisis de texturas adelgazamiento general anlisis de partculas deteccin de caractersticas generacin de caractersticas reduccin de ruido obtencin de esqueletos filtrado espacio-tiempo


Contenido

1. Conceptos preliminaresb Operaciones matmaticas, lgicas y relacionales con imgenesb Definiciones, propiedades y operaciones con conjuntosb Imgenes como conjuntos

2. Morfologa matemtica binariab Elemento estructuranteb Operaciones bsicas: dilatacin, erosin, apertura, cierre y Hit-or-Miss

3. Algoritmos y aplicacionesb Extraccin de contornosb Relleno de agujerosb Extraccin de componentes conectadasb Envoltura convexab Adelgazamientob

...


Morfologa matemtica en imgenes

Elemento estructurante (EE)b Son pequeos conjuntos o sub-imgenesb Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudiab Debe tener especificado un origenb Se deben definir las condiciones de borde



Elemento estructurante (EE)b Son pequeos conjuntos o sub-imgenesb Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudiab Debe tener especificado un origenb Se deben definir las condiciones de borde

Columna jColumna j

Fila iFila i

Elementoestructurante

Imagen Imagen

Pixel desalida

Operacinmorfolgica



Erosin binariab Prueba: Est el EE completamente contenido en el conjunto?b Considerando A y B como conjuntos de Z2 , la erosin se define como:

AB = {z|(B)z A}



Erosin binariab Prueba: Est el EE completamente contenido en el conjunto?b Considerando A y B como conjuntos de Z2 , la erosin se define como:

AB = {z|(B)z A} o AB = {z|(B)z Ac = }



Erosin binariab Encoge y/o adelgaza objetos en una imagen binariab Puede considerarse una operacin de filtrado morfolgico



Dilatacin binariab El EE reflejado en su origen y la imagen coinciden en, al menos, un elemento?b Considerando A y B como conjuntos de Z2 , la dilatacin se define como:

AB = {z|(B)z A 6= }



Dilatacin binaria: ejemplo usando el EE reflejadob El EE reflejado en su origen y la imagen coinciden en, al menos, un elemento?



Dilatacin binariab Hace crecer y/o ensancha objetos en una imagen binariab La manera especfica y el grado de ensanchamiento est controlado por el EE



Aperturab Suaviza el contorno de un objeto, rompe los istmos estrechos y

elimina salientes delgadasb La apertura de un conjunto A y B se define como:

A B = (AB)B

Cierreb Suaviza el contorno de un objeto, elimina agujeros pequeos,

fusiona discontinuidades estrechas y golfos largos y finos,y rellena lagunas en el contorno

b El cierre de un conjunto A y B se define como:

A B = (AB)B



Apertura y Cierre



Propiedades

(A B)c = (Ac B) y (A B)c = (Ac B)

Aperturab Si C D, entonces (C B) (D B)b A B A

b A B = (A B) B

Cierreb Si C D, entonces (C B) (D B)b A A B

b A B = (A B) B



Apertura y Cierre



Transformacin de localizacin (Hit-or-Miss)

AB = (AD) [Ac (W D)]

AB = (AD) (A E) con E = (W D)



Algoritmos: extraccin de contornos (gradiente morfolgico)

E(A) = A (AB)

D(A) = (AB) A

DE(A) = (AB) (AB)

EE de 3x3.Morfologa Matematica p. 17


Algoritmos: extraccin de contornos (gradiente morfolgico)

E(A) = A (AB)

D(A) = (AB) A

DE(A) = (AB) (AB)

EE de 5x5.Morfologa Matematica p. 18


Algoritmos: relleno de agujeros semi-automtico (dilatacin condi-cionada)

Xk = (Xk1 B) Ac k = 1, 2, 3, . . .



Algoritmos: extraccin de componentes conectadas

Xk = (Xk1 B) A k = 1, 2, 3, . . .



Algoritmos: envoltura convexa (Convex Hull)El conjunto convexo C(A) que contiene a A se obtiene mediante

Xik = (Xk1 Bi) A i = 1, 2, 3, 4 y k = 1, 2, 3, . . .

b Xi0 = A

b Converge cuando Xik= Xi

k1

b C(A) =4

i=1Xi

k

B B

B B

1 2

43



Algoritmos: envoltura convexa (Convex Hull)El conjunto crece ms all de lo mnimo necesario para garantizar convexidad ( limitar)



Algoritmos: adelgazamiento (Thinning)AB = A (AB) = A (AB)c

b El adelgazamiento simtrico de A, se puede definir de forma ms tilbasada en una secuencia de EE:

{B} = {B1, B2, B3, . . . , Bn}, Bi es una versin rotada de Bi1

A {B} = ((. . . ((AB1)B2) . . . )Bn)



Algoritmos: adelgazamiento (Thinning)



Algoritmos: espesamiento (Thickening)AB = A (AB)

b Similar al adelgazamiento simtrico de A, el espesamiento se puede definirde forma ms til basada en una secuencia de EE (complementos de los previos):

A {B} = ((. . . ((AB1)B2) . . . )Bn)



Algoritmos: esqueletos (Skeletons)El esqueleto S(A) de un conjunto A, puede deducirse segn:

b Si z S(A), se define (D)z A al mayor disco posible centrado en z.b El disco mximo (D)z toca el borde de A en al menos 2 puntos.b Serra [1982] defini el esqueleto en trminos de erosin y apertura:

S(A) =

Kk=0

Sk(A) con Sk(A) = (A kB) (A kB) B

K = max{k | (A kB) 6= }



Algoritmos: esqueletos (Skeletons)



Algoritmos: reconstruccin morfolgicab Dilatacin geodsica (tamao 1):

D(1)G

(F ) = (F B) G, F G

b Dilatacin geodsica (tamao n):

D(n)G

(F ) = D(1)G

[D(n1)G

(F )], D(0)G

(F ) = F



Algoritmos: reconstruccin morfolgicab Erosin geodsica (tamao 1):

E(1)G

(F ) = (F B) G, F G

b Erosin geodsica (tamao n):

E(n)G

(F ) = E(1)G

[E(n1)G

(F )], E(0)G

(F ) = F



Algoritmos: reconstruccin morfolgicab Reconstruccin por dilatacin:

RDG(F ) = D(k)G

(F ), hasta que D(k)G

(F ) = D(k+1)G

(F )

b Reconstruccin por erosin:

REG(F ) = E(k)G

(F ), hasta que E(k)G

(F ) = E(k+1)G

(F )



Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Apertura por reconstruccin:

O(n)R

(F ) = RDF [(F nB)] , para n erosiones de F y B



Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Relleno de agujeros automtico:

F (x, y) =

{1 I(x, y) si (x, y) pertenecen al borde de I

0 para otros casos

La imagen, similar a I , con los agujeros rellenos se obtiene por:

H =[RDIc(F )

]c



Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Relleno de agujeros automtico:



Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Limpieza de objetos en el borde:

F (x, y) =

{I(x, y) si (x, y) pertenecen al borde de I

0 para otros casos

La imagen, similar a I , sin objetos que tocan el borde:

X = I RDI (F )


Fin de teora

Bibliografab J. Serra (1982): Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, London.b R. Gonzales and R. Woods (2007): Digital Image Processing (3rd Edition), Prentice Hall.b E. R. Davies (2005) Machine Vision: Theory, Algorithms, Practicalities (3rd Edition), Elsevier.b F. Shih (2009) Image Processing and Mathematical Morphology: Fundamentals and

Applications, CRC Press.b W. Burger and M. J. Burge (2010) Digital Image Processing - An algorithmic Introduction Using

Java, Springer.b J. Goutsias, L. Vincent and D. S. Bloomberg (Editors). (2000) Mathematical Morphology and

Its Applications to Image and Signal, Springer.b Online course on mathematical morphology, by Jean Serra (in English, French, and Spanish).http://cmm.ensmp.fr/~serra/cours/index.htm


GeneralidadesContenidoMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesFin de teora

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