7. Posvet Sekcije za gradbeništvo in koordinatorje VZD

Celje 23.11.2007

OSNOVE STATIČNE VARNOSTI IN STABILNOSTI KONSTRUKCIJ

Prof. Dr. Vojko KILAR

Fakulteta za arhitekturo Ljubljana

2

VSEBINA VSEBINA ...............................................................................................................................................................................2 1. KONSTRUKCIJE IN MATEMATIČNI MODELI............................................................................................................3

1.1 MATEMATIČNI MODELI IN RAVNINSKA IDEALIZACIJA KONSTRUKCIJE...................................................3 1.2 PRIMERI RAVNINSKIH KONSTRUKCIJ .................................................................................................................4 1.3 TRODIMENZIONALNI MATEMATIČNI MODELI IN PROSTORSKE KONSTRUKCIJE....................................6

2. MATERIALI KONSTRUKCIJ ..........................................................................................................................................8 2.1 DOPUSTNE NAPETOSTI ............................................................................................................................................8 2.2 σ-ε DIAGRAM ..............................................................................................................................................................9 2.3 PRIMERJALNA TABELA LASTNOSTI GRADBENIH MATERIALOV ...............................................................10

3. OBREMENITVE KONSTRUKCIJ..................................................................................................................................11 3.1 OBTEŽBA ...................................................................................................................................................................11

4. OSNOVNA OBREMENITVENA STANJA: PRIKAZI, PROBLEMI, RAČUNI, REŠITVE ........................................12 4.1 NATEG ........................................................................................................................................................................12 4.2 TLAK IN UKLON.......................................................................................................................................................13 Račun uklona s kontrolo vitkosti........................................................................................................................................13 4.3 UPOGIB.......................................................................................................................................................................15 4.4 STRIG IN PREBOJ .....................................................................................................................................................17 4.5 TORZIJA .....................................................................................................................................................................18

5. OBNAŠANJE IZBRANIH TIPOV KONSTRUKCIJ IN NEVARNOSTI ZA NJIHOVO PORUŠITEV .......................19 5.1 PALIČJA – UKLON TLAČENIH ELEMENTOV......................................................................................................19 5.2 GRADBENI ODRI – UKLON IZVEN RAVNINE.....................................................................................................24 5.3 STENE – UKLON IZVEN RAVNINE .......................................................................................................................26 5.4 MEHKE ETAŽE – PORUŠITEV PRI HORIZONTALNI OBTEŽBI ........................................................................27 5.5 NEPRAVILNA RAZPOREDITEV ELEMENTOV V TLORISU .............................................................................28

3

1. KONSTRUKCIJE IN MATEMATIČNI MODELI

1.1 MATEMATIČNI MODELI IN RAVNINSKA IDEALIZACIJA KONSTRUKCIJE Za potrebe statičnega računa si dejanske tro-dimenzionalne konstrukcije ponazorimo z enostavnejšimi – kjer je to mogoče – dvo-dimenzionalnimi (ravninskimi modeli). Stebrov, gred, sten, plošč ipd. ne rišemo z dejanskimi debelinami, temveč le črtno. Spodnja slika prikazuje most na dveh stebrih, ki ga je mogoče dokaj natančno ponazoriti z ravninskim računskim modelom. Za močnejši temelj na boljših tleh lahko predpostavimo vpeto podporo, medtem ko drugje predpostavimo, da so podpore nepomične vrtljive. Ravninska idealizacija je mogoča, ko je:

a) konstrukcija simetrična na vzdolžno ravnino, b) konstrukcija obremenjena v tej ravnini in c) konstrukcija podprta v tej ravnini.

qp

H

Majhen temelj…

slaba tla…

Velik temelj…

dobra tla…

d

ql = qp ⋅ d

VB

VA

VC

VD

Hc

Mc

Hc

Hb

ql = qp ⋅ d

A

B

C

D

4

a b

qk

A B

Fα

a b

qk⋅a

VA

Fα

a b

VB

HA

a/2

1.2 PRIMERI RAVNINSKIH KONSTRUKCIJ Prostoležeči nosilec

razpona l obremenjen z zvezno obtežbo q ali koncentrirano silo F.

qA B

lVA

F

VB

HA

l/2

A B

lVA VB

HA

Konzolni nosilec previsa l

obremenjen z zvezno obtežbo q ali

koncentrirano silo F.

q

B

l

F

AB

lVA

HA

MA

A

VA

HA

MA

Okvirna konstrukcija razpona a in višine h obremenjen z zvezno

obtežbo q ali koncentriranima silama F.

Vozlišči A in B sta členkasti podpori, vozlišči C in D pa prosti, pri čemer

je steber v gredo vpet!

q

C D

lVA

F

VB

HA

l/2

B

F

A

h

Vpeti (npr. varjeni stik)C D

lVA VB

HA

BA

Vpeti (npr. varjeni stik)

Tročlenski okvir je statično določena

okvirna konstrukcija z razporno silo HA=HB. A

VA

HA

a

l

B

VB

HB A

VA

HA

a

l

B

VB

HB

Tročlenski lok je statično določena

okvirna konstrukcija z razporno silo HA=HB.

A

VA

HA

l/2

l

B

VB

HB A

VA

HAl

B

VB

HB

l/2

5

6

1.3 TRODIMENZIONALNI MATEMATIČNI MODELI IN PROSTORSKE KONSTRUKCIJE V mnogih primerih bočnih obtežb, ki povzročajo premike izven vzdolžne ravnine, nesimetričnih vertikalnih obtežb, ki povzročajo torzijo, nesimetričnega podpiranja ipd., ravninska idealizacija ni mogoča. Tudi v večini primerov stavb ravninska idealizacija omogoča obravnavanje le dela konstrukcije, ne pa stavbe kot celote.

veter

Ekscentrična vertikalna obtežba

7

8

2. MATERIALI KONSTRUKCIJ

2.1 DOPUSTNE NAPETOSTI Konstrukcije projektiramo tako, da ostajajo v elastičnem območju, to je v območju veljavnosti Hookovega zakona. Dejanska dodatna nosilnost materiala predstavlja dodatno varnost. Dopustna napetost do katere lahko obremenimo material je definirana kot:

γσ

σ ydop =

kjer je σy napetost na meji tečenja (imenovana tudi karakteristična trdnost), γ pa materialni varnostni faktor (običajno med 1,1 in 2,0).

L+∆LL NN

A

A

Prerez A-A

d

σ

ε (%)A

σu=36,0 kN/cm2

B

C

D

E

B'

Y

Elastično območje

Plastično območje

σdop= σy/γ =16,0 kN/cm2

εdop

Mehko jeklo – S235

σy=23,5 kN/cm2

15 250,12

Pri materialih brez izrazite meje tečenja to določimo kot napetost pri

permanentni deformaciji 0,2%.

σ

ε

σy

0,2%

Beton C25/30

σ

ε

σu=2,1 kN/cm2

0,2% 0,35%

9

Orientacijske vrednosti dopustnih napetosti za nekatere gradbene materiale so prikazane v spodnji preglednici:

Mehko jeklo 16 kN/cm2 Visoko vredno jeklo 30 kN/cm2 Jeklo za prednapenjanje – kabli

100 kN/cm2

Beton – malo armiran 1 kN/cm2 Beton – srednje armiran 2 kN/cm2 Beton višje trdnosti – močno armiran

do 4 kN/cm2

Les – upogib 0,75-1,40 kN/cm2 Opeka 1 kN/cm2

Aluminij 17 kN/cm2 Plastika s steklenimi vlakni 50 kN/cm2 Plastika s karbonskimi vlakni 100 kN/cm2 Steklo 0,50 kN/cm2

Iz σ-ε diagrama diagrama lahko tudi ugotovimo ali je material krhek ali duktilen. Material, ki odpove hitro po doseženi meji elastičnosti, na primer steklo ali opeka, imenujemo krhek material. Material z večjim plastičnim območjem in dvigom nosilnosti (utrjevanjem) po doseženi meji elastičnosti, na primer mehko jeklo ali armirani beton, imenujemo duktilen material. Za izdelavo konstrukcij raje uporabljamo duktilne materiale, ki imajo večjo rezervo nosilnosti. Spodnja slika prikazuje σ-ε diagrame za različne gradbene materiale.

2.2 σ-ε DIAGRAM

σ (kN/cm2)

ε (%)

20

Jeklena armatura za predenapenjanje

1 2 3

40

60

80

100

120

140

160

Plastika s karbonskimi vlakni (vzp. z vlakni)

Plastika s steklenimi vlakni (vzp. z vlakni)

Visokovredno jeklo

Aluminij (zlitina)

Mehko jekloBeton

OpekaLes (vzporedno z vlakni)

10

2.3 PRIMERJALNA TABELA LASTNOSTI GRADBENIH MATERIALOV

SPECIFIČNA TEŽA ELASTIČNI MODUL TRDNOST CENA ZA kg Razmerje Razmerje CENA ZA m3

ρ E σu D συ / ρ συ / D C

"teža" "velikost pomikov" "nosilnost" "denar" "Nosilen&lahek" "Nosilen&poceni" "cena"

MATERIAL % % % % %

NORMALNO JEKLO 100 100 100 100 1,0 1,0 100,0

VISOKOVREDNO JEKLO 100 100 200 140 2,0 1,4 140,0

NORMALNI BETON 31 15 10 2,8 0,3 3,6 0,9

BETON VISOKE TRDNOSTI 31 20 25 3,2 0,8 7,8 1,0

LES 7,8 8 5 65 0,6 0,1 5,1

ALUMINIJ (zlitina) 35 33 100 390 2,9 0,3 136,5

OPEKA 19 10 3 5 0,2 0,6 1,0

PLASTIKA S STEKLENIMI VLAKNI 25 25 450 350 18,0 1,3 87,5

NORMALNO JEKLO 7850 kg/m3 21000 kN/cm2 36 kN/cm2 1,72 € / / 13.500 € Tabela prikazuje specifično težo, elastični modul, maksimalno nosilnost (natezna trdnost, pri betonu in opeki tlačna trdnost) in okvirno ceno za kg in m3 posameznega materiala. Vrednosti so podane v % glede na navadno mehko jeklo, tako da je medsebojna primerjava med materiali lažja. Po potrebi si lahko vrednosti karakteristik za vsak material izračunamo iz podanih karakteristik za mehko jeklo. Tako lahko npr. izračunamo, da je elastični modul betona 15% elastičnega modula jekla kar znaša 3150 kN/cm2. Izračunani sta še razmerji nosilnost/teža in nosilnost/cena iz katerih lahko razberemo kateri meterial nosi največ in je najlažji oziroma najcenejši.

11

3. OBREMENITVE KONSTRUKCIJ

3.1 OBTEŽBA Obtežba je izraz za zunanje sile, ki delujejo na konstrukcijo. Ločimo med različnimi vrstami obtežb kot so: • Lastna teža (izračunamo jo lahko iz gostote materiala); Vrsta materiala Prostorninska teža (kN/m3)Beton (armirani) 25.0* Jeklo (nosilci) 77.0 Beton (nearmirani) 24.0* Les 4.0-10.0** Aluminij 27.0 Betonski zidaki 12.0-19.0 Opečni zidaki 15.0-20.0 * Odvisno od marke betona, armature in uporabljenega agregata. ** Odvisno od vrste lesa in njegove vlažnosti; glede na vlažnost so lahko razlike tudi ±30%.

• Stalna obtežba (fiksni elementi, ki so pritrjeni na konstrukcijo, kot na primer tlaki, predelne stene, stroji, ipd.); • Koristna obtežba (to je teža ljudi, opreme, ipd, koristna obtežba normalno zasedenih prostorov znaša 1.5 – 2 kN/m2;

obtežba prostorov kjer se lahko zbere večja količina ljudi lahko znaša tudi do 5 kN/m2); • Obtežba vetra (okvirno velja: vref=20 m/s → qv=0.25 kN/m2; vref=30 m/s → qv=0.56 kN/m2; vref=40 m/s → qv=1.0

kN/m2, merjeno na vertikalno površino izpostavljeno vetru; vref je določena v vetrovnih kartah za posamezne države); • Obtežba snega (odvisna od cone in nadmorske višine; Ljubljana qs=1.9 kN/m2, določena je s posebno karto, ki deli

državo na različne cone); • Obtežba potresa (pogosto jo simuliramo s horizontalnimi silami na objekte, ki so odvisne od njegove mase); • Temperaturne spremembe (dnevna temperaturna nihanja lahko dosežejo tudi 30°C); • Posebne obtežbe (zavorne sile, pritisk vodnega toka…).

12

4. OSNOVNA OBREMENITVENA STANJA: PRIKAZI, PROBLEMI, RAČUNI, REŠITVE

4.1 NATEG

σ N

AT

Pri dimenzioniranju moramo zagotoviti, da so osne napetosti manjše od dopustnih napetosti (glej poglavje 4).

dopnetoAN σσ ≤=

Pri tem je potrebno upoštevati neto velikost prereza, ki jo dobimo tako, da od celotne bruto površine prereza odštejemo površino odprtin v prerezu.

N

AnetoAbruto

13

4.2 TLAK IN UKLON

Račun uklona s kontrolo vitkosti Vitkost λ lahko izračunamo kot:

minilu=λ

kjer je: lu… uklonska dolžina stebra (cm) Običajno upoštevamo členkasto vpeti steber - lu= etažni višini stebra Enostransko vpeti steber - lu=0.7 etažne višine stebra

Obojestransko vpeti steber - lu=0.5 etažne višine stebra Konzolni steber - lu=2 etažni višini stebra

imin… Vztrajnostni polmer (cm)

A

Ii minmin =

Imin… manjši od obeh vztrajnostnih momentov (cm4) A… Prerez (cm2) Za pravokotni prerez širine b in višine h: ih=0.289⋅h; ib=0.289⋅b; upoštevamo manjšega! Za okrogli prerez premera D: i=0.354⋅D Za različne jeklene prereze so vztrajnostni polmeri podani v tabelah s karakteristikami prerezov. Največje dovoljene vitkosti za centrično obremenjene stebre: λmax

jeklo=250; λmaxles=175; λmax

beton=140 To so maksimalno dovoljene vitkosti, v tem primeru bo nosilnost stebra zaradi nevarnosti uklona približno desetkrat manjša (glej spodnjo preglednico, χ=0.1). Stebre s takšnimi vitkostmi je mogoče izdelati samo, če so zelo malo obremenjeni. V tem primeru izraba gradiva ni gospodarna, zato s konstrukcijskega stališča takšni stebri niso smiselni. Spodnja preglednica prikazuje faktor zmanjšanja nosilnosti χ zaradi nevarnosti uklona, geometrijskih nepopolnosti in zaostalih napetosti pri jeklu.

Tabela 1: Zmanjšanje nosilnosti jeklenih stebrov zaradi uklona (jeklo S235).

λ 250 200 150 100 75 50 20 χ 0.1 0.2 0.3 0.6 0.7 0.9 1

Tabela 2: Zmanjšanje nosilnosti lesenih stebrov zaradi uklona (rezan les, smreka).

λ 175 150 125 100 75 50 30 χ 0.1 0.15 0.2 0.28 0.5 0.85 1

Betonski stebri Nosilnost je močno odvisna od količine armature iz zahteva natančnejši račun. V primeru, da je vitkost betonskega stebra manjša od λdop

beton≤ 50, posebna kontrola uklona ni potrebna. Vidimo lahko, da je izraba gradiva je bolj gospodarna pri manj vitkih stebrih. Tako lahko na primer pri jeklenem stebru pri vitkosti 200 izkoristimo le 20% nosilnosti stebra, pri vitkosti 100 pa 60 % nosilnosti stebra. Pri krajših stebrih lahko gradivo izrabimo v polni meri. Pri takšnih stebrih nevarnosti uklona ni. V tem primeru so dopustne vitkosti precej manjše. Največje dovoljene vitkosti za stebre brez nevarnosti uklona: λdop

jeklo=20 λdop les=30 λdop

beton=50 λdop malo armirani beton=35

Iz tabele 1 ali 2 lahko približno odčitamo faktor zmanjšanja nosilnosti χ. Zaradi nevarnosti uklona steber lahko nosi za faktor χ zmanjšano osno silo svoje polne nosilnosti:

χσ ⋅⋅≤ AN upor

Dopustna sila s katero lahko obremenimo steber pa znaša:

χσ ⋅⋅≤ AN dopdop

Okvirne vrednosti dopustnih napetosti pa so (kN/cm2): σdop

jeklo=16 σdop les=0.75-1.4 σdop

beton=1-4

14

Obremenitev stebra 100ton, polna nosilnost 200 ton Konzolni steber: γ=0,07 (nosi 7 ton, nedovoljeno)

Zgoraj in spodaj členkasto vpeti steber: γ=0.27 Členkasto vpeti steber z vmesno podporo: γ=1.03

15

4.3 UPOGIB

++

-

xzq

Mmax

l2

l2

A B

B

A

2lqBA ⋅

==

8

2lqM ⋅=

σ-

σ+

σ-

σ+

b

h

6

2hbW ⋅=

dopWM σσ ≤=

16

Porazdelitev napetosti v enostavnem nosilcu (nategi so obarvani modro) Bočna zvrnitev tlačnega pasu

Armatura betonskega

nosilca

B - B

h<2,5·b

b > 15 cm

< 20 cm

Armirano betonski nosilec - pogledkonstrukcijska armatura

Armatura betonskega

nosilca

A - A

Streme z dvojnim

preklopom

Streme z enojnim

preklopom

<10 cm

stremena

Palice vzdolžne armaure

2 kosa

2 kosa

2 kosavzdolžna armatura A

A

B

B

17

4.4 STRIG IN PREBOJ

STEBER

STEBER STENA

STENA

STENA

STENA

PLOŠČANEVARNOSTPREBOJA

NEVARNOSTPREBOJA

STEBER

A A

POGLED A-A

STEBER

STEBER

STENA

PLOŠČANEVARNOST

PREBOJA

NEVARNOSTPREBOJA

A A

POGLED A-A

OKROGEL STEBER

PLOŠČA

ARMATURA

h s

d s

d s+h s

OBLIKA MOŽNEGAPREBOJA

UPOŠTEVANI KRITIČNPREREZ

sh )( ss hdN+

=π

τ

pri čemer je ds premer stebra, hs povprečna statična višina plošče, N pa osna sila v stebru. Če osne sile ne poznamo iz točnejšega računa, jo lahko ocenimo s pomočjo računa tlorisne površine Av, ki odpade na steber. V primeru, da je τ < τa nevarnost preboja ne obstaja. V primeru, da je τa < τ < τb, je potrebno prerez ojačati z dodatno armaturo. Primer τ > τb ni dopusten. Vrednosti za dopustne napetosti τa in τb so odvisne od marke betona, vrste uporabljene armature in količine armature. Kot orientacijske vrednosti lahko upoštevamo τa = 0.075 kN/cm2 in τb = 0.11 kN/cm2 (določene so za mrežasto armaturo, za marko betona C25/30 in za povprečno stopnjo armiranja v dveh pravokotnih smereh 0.6%).

V primeru potrebe po dodatni armaturi (τa < τ < τb) je možnosti za njeno razporeditev več. Spodnja slika prikazuje razporeditev armature pod kotom 45°, za primer, da se steber nahaja pod ploščo in za primer, da se steber nahaja nad ploščo.

1.5 hs

1.5 hs

18

4.5 TORZIJA Torzija je posebna oblika momentne obtežbe, ki povzroča rotacijo (zvoj) okrog lastne vzdolžne osi. Torzijske napetosti se na primer pojavijo v ključu s katerim odklepamo ključavnico, v cevastem ključu za odvijan je matic koles avtomobila ipd. Torzijo povzroča dvojica dveh nasprotno usmerjenih momentov. Desna slika prikazuje primer čiste torzije in mrežo ortogonalnih linij na torzijsko obremenjenem nosilcu pred in po obremenitvi. Spodnji sliki predstavljata primera nastopa torzije v konstrukcijah.

T

T T

T

TORZIJA TORZIJA NI TORZIJE

A

B

C

D

19

5. OBNAŠANJE IZBRANIH TIPOV KONSTRUKCIJ IN NEVARNOSTI ZA NJIHOVO PORUŠITEV

5.1 PALIČJA – UKLON TLAČENIH ELEMENTOV PALIČJE, JEKLENE CEVI, D=150 mm, t=8 mm, Pz=10 kN v lihih vozliščih zgornjega pasu, h=2.0 m, l=30.0 m, členkasti spoji

γ=32.51 γ=0.89

20

γ=0.94 γ=2.24

21

γ=10.02 γ=6.64

22

γ=11.27 γ=6.64

23

γ=4.63

24

5.2 GRADBENI ODRI – UKLON IZVEN RAVNINE OSNOVNI PODATKI Cevi FI 48mm, t = 3,2 mm Diagonale FI 27 mm, t = 3,2 mm Smer Z: 10 etaž x 2,20 m Smer X: 7 polj x 1,80 m Smer Y: 1 polje x 1,00 m Vozlišča toga, podpore nepomične vrtljive.

25

Obtežba q = 1 kN/m2 γ=0.69 γ=0.74

γ=1.57 γ=1.89

26

5.3 STENE – UKLON IZVEN RAVNINE

27

5.4 MEHKE ETAŽE – PORUŠITEV PRI HORIZONTALNI OBTEŽBI LEVO: Obnašanje okvirne konstrukcije s nepravilno razporejenimi polnili

DESNO: Obnašanje konstrukcije z nepravilno razporejenimi polnili (npr. MED GRADNJO)

28

5.5 NEPRAVILNA RAZPOREDITEV ELEMENTOV V TLORISU – PORUŠITEV PRI HORIZONTALNI OBTEŽBI LEVO: Obnašanje okvirne konstrukcije brez jedra

DESNO: Obnašanje konstrukcije z ekscentričnim jedrom