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Matemáticas Discretas
LOGICA PROPOSICIONAL
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Matemáticas Discretas
� Estudio de objetos discretos
� Habilidad para razonar y argumentar� Base otras áreas en computación
� Bases de datos� Lenguajes formales� Inteligencia Artificial� Procesamiento Lenguaje natural� Especificación formal de programas� Web semántica..
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Lógica
� Base razonamiento matemático
� Argumentación� Reglas para dar significado preciso a enunciados
� Base construcción argumentos válidos� Aplicaciones variadas(diseño circuitos lógicos,
verificación de programas, etc.)
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Razonamiento lógico
Todos los matemáticos utilizan sandalias
Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista
Por lo tanto, todos los matemáticos son algebristas.
Lógica
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� Proposición
� Notación: p,q,r,...
� Constantes proposicionales: v,f
� Valor de verdad (V, F)
� Operadores (conectivos) lógicos
� Fórmulas simples y compuestas
� Precedencia de operadores lógicos
Lógica Proposicional
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Ejemplos de proposiciones
Bogotá es la capital de Colombia
Lima es la capital de Perú
2 + 2 = 5
Lógica Proposicional
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Ejemplos afirmaciones no proposiciones
¿Qué hora es?
Mañana lloverá
Lógica Proposicional
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Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones
x + 1 = 7
11 es un número primo
Andrés vivirá 60 años
Sara es inteligente
Lógica Proposicional
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Representación: letras del alfabeto
q: Bogotá es la capital de Colombia
r: Lima es la capital de Perú
p: 2 + 2 = 5
Cada proposición tiene un valor de verdad, e indica si ésta es Verdadera (V) o Falsa (F)
Lógica Proposicional
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El secreto de la longevidad consiste en evitar el estrés
•Hoy es miércoles y la temperatura es de 21º C
•Si no llueve voy a la clase de MD
•No es cierto que Juan perdió el examen
Proposiciones Simples y Compuestas
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Sea p: Bogotá es la capital de Colombia,
¬p indica, , Bogotá NO es la capital de Colombia
Cómo son los valores de verdad de p y de ¬p
Negación
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Posibles valores de verdad de proposición p se pueden representar en la siguiente tabla
Negación
VF
FV
¬pp
Tabla de verdad para la negación de una proposición
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p: Bogotá es la capital de Colombia
q: Washington es la capital de USA
p ∧∧∧∧ q : Bogotá es la capital de Colombia y
Washington es la capital de USA.
Conjunción
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Conjunción
Tabla de verdad para la conjunción
FFF
FVF
FFV
VVV
p ∧∧∧∧ qqp
Tabla de verdad para la conjunción
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Los Red Sox ganaron la serie mundial y los Yankees fueron eliminados
Ayer el Dólar bajó 5 pesos y el Euro subió 25
En este salón hay más hombres que mujeres y además tienen un buen promedio de calificaciones
Ejemplos
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Los estudiantes quienes han visto cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
Disyunción
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or - inclusivo
Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación
or - exclusivo
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
Disyunción
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Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación
OR-inclusivo
?FF
?VF
?FV
?VV
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OR-inclusivo
FFF
VVF
VFV
VVV
pvqqp p∨∨∨∨qqp
Tabla de verdad del OR- inclusivo
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En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
OR-Exclusivo
?FF
?VF
?FV
?VV
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(p ⊕ q)
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
OR-Exclusivo
FFF
VVF
VFV
FVVp ⊕⊕⊕⊕ qqp
Tabla de verdad del OR- exclusivo
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Usted puede hacer el examen parcial o el opcional
Aquellas personas de 20 años o más, pueden entrar al concierto
Carlos fue a jugar Béisbol o fue al cine
Hamlet fue escrito en 1601 o en 1688
Sarah quiere a Oscar o a Juan
Simbolización
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Considere la siguiente proposición
Si es un día soleado entonces voy a la playa
¿Qué debe ocurrir para que no se cumpla la proposición?
Condicional
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Condicional
VFF
VVF
FFV
VVV
p → qqp
Tabla de verdad del Condicional
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Recríproca de p → q es la proposición q → p
p: Hoy es martes
q: Tengo un examen hoy
p →q: Si hoy es martes entonces tengo un examen
q →p: Si tengo un examen entonces es martes
Recíproca
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Contrapositiva de p → q es la proposición
¬¬ q → ¬¬ p
p: Hoy es martes
q: Tengo un examen hoy
¬¬ q → ¬¬ p: Si NO tengo un examen entonces NO es martes
Contrapositiva
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Sean p y q dos proposiciones, el bicondicional p↔↔q es la proposición que es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad
Bicondicional
VFF
FVF
FFV
VVV
p ↔ qqp
Tabla de verdad del Bicondicional
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Precedencia Operadores
Bicondicionalp ↔ qSi y solo si↔
Condicionalp → qSi .. Entonces→
Negación¬ pNo¬
Disyunciónp ∨∨∨∨ qO∨∨∨∨
Conjunciónp ∧∧∧∧ qY∧∧∧∧
Nombre en lógica
Proposición Compuesta
SignificadoConectivo
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Formalización
� Evita ambiguedad lenguaje natural� Facilita análisis
� Determinación valor de verdad
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FormalizaciónEjemplo
Tienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eresestudiante del PAIS
• Identificar frases componentes
• Asignarles variable proposicional• Utilizar conectivos
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FormalizaciónTienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eresestudiante del PAIS
� Identificar frases componentes y Asignarles variables proposicionales
• p: tienes una cuenta de correo electrónico en EISC• q: Estas matriculado en ITI• r: Eres estudiante del PAIS
� Utilizar conectivos
(q∨∨∨∨ r) → p
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Formalización : ejercicios
� No puedes conducir si eres menor de edad, a no ser que tengas un seguro especial
� No se puede actualizar campos de un registrode la base de datos a menos que tengas un perfil de administrador
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Operaciones con bits: aplicación
� Aplicación de lógica digital: Bits y conectivoslógicos
� Construcción de compuertas lógicas
� Bit: dos valores posibles 0 y 1 (Verdadero (V) es 1 y que Falso (F) es 0).
� Variable Booleana: variable cuyo valor puede ser V o F.
� Operaciones con Bits: conectivo lógicos (AND, OR, NOT, XOR)
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Aplicación
Cadenas de Bits: sucesión de cero o más bits
operaciones aplicadas a cadenas de bits01101101101100011101
1110111111 Operador ????01000101001010101011
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Asignación de valoresde verdad a las
variables proposicionales
Interpretación
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Modelo de una fórmula
Una Interpretación I que
satisface la fórmula ϕ es un
MODELO de ϕ
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� Tautología (Válidez)
� Contradicción (Insatisfactiblidad)
� Contingencia (Satisfactibilidad)
Tipos de Proposiciones
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Validez, Satisfactibilidad
Fórmula válida: si y solo si es verdadera para
todas las interpretaciones.
Fórmula insatisfactible (o inconsistente): si y solo
si es falsa para todas las interpretaciones.
Fórmula no válida: si y solo si hay al menos una
interpretación que la haga falsa
Fórmula satisfactible: si y solo si al menos una
interpretación la hace verdadera
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EjercicioClasificar las siguientes proposiciones como Tautología, Contradicción o Contingencia
(¬p ∧∧∧∧ p)
•¬ ( p ∨∨∨∨ (¬ p ∧∧∧∧ q) )
•(¬ p ∨∨∨∨ q) ↔↔ (p →→→→q)
•(¬p ∧∧∧∧ ¬q)
•¬(p ∨∨∨∨ q)
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Dos fórmulas ϕ , δ son lógicamente equivalentes si
para toda interpretacióntoman el mismo valor de
verdad
(ϕ ≡ δ)
Equivalencia Lógica
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Dos fórmulas ϕ , δ son lógicamente equivalentes si
y solo si
ϕ ↔ δ es una tautología
Equivalencia Lógica
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Equivalencia Lógica
VFFF
FVVF
FVFV
FVVV
¬(p ∨∨∨∨ q)p ∨∨∨∨ qqp
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Equivalencia Lógica
V
F
V
F
¬q
VVFF
FVVF
FFFV
FFVV
¬p ∧∧∧∧ ¬q¬ p qp
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Equivalencia Lógica
Las proposiciones (¬p ∧∧∧∧ ¬q) y ¬(p ∨∨∨∨ q) son entonces lógicamente equivalentes
Dos proposiciones compuestas p y q son
lógicamente equivalentes si p ↔ q es una tautología
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EjercicioIndique si las siguientes proposiciones
compuestas son lógicamente equivalentes
• p→q y ¬p ∨∨∨∨ q
• p ∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧ r) y (p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r)
• ¬(p ⊕ q) y p ↔ q
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Equivalencia Lógica
p ∧∧∧∧ ¬ p ⇔⇔⇔⇔ F
(p→ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬ p ∨∨∨∨ q)
p ∨∨∨∨ v ⇔⇔⇔⇔ V
p ∧∧∧∧ f ⇔⇔⇔⇔ F
p ∧∧∧∧ v ⇔⇔⇔⇔ p
p ∨∨∨∨ f ⇔⇔⇔⇔ p
Equivalencia
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Más Equivalencias Lógicas
Doble Negación : p ≡ ¬¬pIdempotencia : p ∧∧∧∧ p ≡ pIdempotencia : p ∨∨∨∨ p ≡ pLey asociativa : p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r) ≡ (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ rLey asociativa : p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r) ≡ (p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ rLey de contrarrecíproca : (p → q) ≡ (¬q → ¬p)Ley conmutativa : p ∧∧∧∧ q ≡ q ∧∧∧∧ pLey conmutativa : p ∨∨∨∨ q ≡ q ∨∨∨∨ pLey distributiva :p ∨∨∨∨ ( q ∧∧∧∧ r ) ≡ (p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r)Ley distributiva :p ∧∧∧∧ ( q ∨∨∨∨ r ) ≡ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r)
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Más Equivalencias Lógicas
Leyes de DeMorgan: ¬(p ∨∨∨∨ q) ≡ ¬p ∧∧∧∧ ¬q¬(p ∧∧∧∧ q) ≡ ¬p ∨∨∨∨ ¬q
Ley de implicación: p → q ≡ ¬p ∨∨∨∨ qLey de cobertura: p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ≡ p
p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ q) ≡ pLey de contradicción: ¬p ∧∧∧∧ p ≡ F
¬p ∨∨∨∨ p ≡ V
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Equivalencia LógicaMuestre que ¬ ( p ∨ (¬ p ∧ q) ) y ¬p ∧ ¬q son
lógicamente equivalentes
�� MMéétodotodo 1:1: Construir una tabla de verdad
�� MMéétodotodo 2:2: Utilizar las equivalencias lógicas
conocidas, y partiendo desde una de las dos
proposiciones lograr deducir la otra
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Ejercicio
Partir de ¬( p v (¬ p ∧∧∧∧ q) ) hasta llegar a la
proposición ¬p ∧∧∧∧ ¬q
¬ ( p v (¬ p ∧∧∧∧ q) ) ⇔ ???
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Ejercicio
Muestre que (¬p → ¬q) → q es lógicamente
equivalente con (¬ p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ q
Muestre que ( p ∧∧∧∧ q ) → (p ∨∨∨∨ q) es una tautología
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Más EjerciciosMuestre que las siguientes proposicionescompuestas son tautologías
(p ∧∧∧∧ q) → p
p → (p ∨∨∨∨ q)
¬p → (p → q)
(p ∧∧∧∧ q) → (p → q)
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Sean A y B dos formulas. Se dice B esconsecuencia lógica de A (A ╞ B) si toda
interpretación que hace verdadera a A haceverdadera a B
Consecuencia Lógica
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Teorema 1A ╞ B si y solo si A →B es una tautología
Por Ejemplo(¬p ∨ q) ∧ p╞ q dado que (¬p ∨ q) ∧ p → q es
una tautología
Consecuencia Lógica
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Ejercicio
Demuestre que (¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ p → q es una
tautología
Consecuencia Lógica