PDF (Cuarta Parte)

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• Primer paso: Escoger un nodo arbitrariamente y elegir el ramal que esté más cercano a él.

• Segundo paso: Elegir el nodo más cercano a cualquiera de los nodos ya existentes en el árbol.

• Tercer paso: Anular todos los ramales que me puedan crear ciclos al entrar dicho nodo y volver al segundo paso hasta encontrar el árbol.

De acuerdo a la anterior gráfica, el árbol de mínimo recorrido se encuentra constituido por AD - DC - CE - EH - HJ - JI - CF - FG - BF, lo cual nos da un total de 55 unidades.

Problema del PERT / CPM / LPU / ROY / RAMPS

Para solucionar los problemas planteados en el Gráfico de Gantt se presentan los sistemas de trayectoria crítica, es decir, PERT, CPM, LPU, ROY y RAMPS.

A mediados de 1957, la E.I. Du Pont de Nemours de los Estados Unidos estaba interesada en ampliar cerca de 300 fábricas, lo cual implicaba un gran número de actividades; pensemos que cada ampliación tuviera 100 actividades, esto implicaba 30000 actividades, las cuales no podían ser planeadas en Gráfica de Gantt. Morgan Walker de Du Pont y James E. Kelley de la Remington Rand pensaron que la única posibilidad era utilizar la computadora e idearon un sistema que denominaron CPM Critical Path Method (Método del Camino Crítico).

A fines de 1957 la Oficina de Proyectos Especiales de la Armada de los Estados Unidos, fue encargada de administrar el gran proyecto Polaris. Se trataba de fabricar, probar y dejar en posición de combate un cohete balístico llamado Polaris. Dicha Oficina contrató la asesoría de las firmas Lockheed Aircraft y Booz, Alien y Hamilton, para que propusiera métodos apropiados al control del proyecto con tan especiales características de incertidumbre. Este grupo desarrolló los procedimientos que dieron origen al PERT Program Avaluation and Review Technique (Técnicas de Evaluación y Revisión de Programas).

Existe un sistema llamado LPU Lines Points Union (Líneas y Puntos de Unión) desarrollado en 1961 por John W. Fondahl, profesor de la Universidad de Stanford. Este trabajo inicialmente se denominó Sistema de Actividades en los Nodos; luego la IBM desarrolló en base a él un programa llamado Diagrama de Precedencias. La diferencia fundamental con el CPM / PERT es que este modelo (LPU) está orientado hacia el proceso manual y no hacia el computador.

En Europa un grupo constituido por ingenieros de los Chantiers de lAtlantique, la SEMA, la Compagnie des Machines BULL y el Matemático Francés B. Roy estudió el problema del equilibrado de las curvas de carga de las diferentes especialidades que intervienen en las operaciones de armamentos de buques; estos trabajos dieron origen al ROY o Método de los Potenciales. La principal ventaja del ROY sobre el PERT es que no exige tareas ficticias.

En un afán por sincronizar el mecanismo de la acción empresarial, respondiendo a ese deseo de mayor orden, mayor productividad y mayor gestión que imponen las nuevas formas de la economía actual y que viene sintetizado en la llamada gestión integrada, ha surgido el método RAMPS que se peocupa en coordinar los medios disponibles y las tareas de varios proyectos que se llevan a cabo a la vez.

Los modelos más extendidos en cuanto a su aplicación en nuestro medio y sus principales diferencias son:

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PERT

1. Probabilístico.

2. Se basa en eventos.

3. Orientado a quien controla.

4. Se puede utilizar en proyectos

de investigación.

CPM

1. Determinístico.

2. Se basa en actividades.

3. Orientado a quien ejecuta.

4. Se puede utilizar para todo tipo

de proyecto.

En este momento es importante advertir las ventajas de los sistemas de trayectoria crítica (PERT / CPM / LPU / ROY / RAMPS) sobre el sistema tradicional de barras (Gráfica de Gantt):

• Se puede conocer exactamente la secuencia de las actividades. • Podemos analizar el efecto de cualquier atraso o adelanto de una actividad en relación al

proyecto. • Se pueden estudiar rápidamente diferentes alternativas. • Podemos analizar todas las variables (tiempo, costos, recursos). • Se pueden conocer cuáles son las actividades que sufriendo retrasos no modifican el proyecto. • La efectividad del sistema es directamente proporcional al número de actividades; cuantas

más actividades existan, más detalles y más conocimientos del proyecto tenemos. • Podemos visualizar todos los problemas y situaciones en el papel, antes que ellos ocurran en

la realidad.

Problema PERT-CPM

Este problema resuelve situaciones atinentes a proyectos. Un proyecto está constituido por las tareas o actividades (hechos que consumen tiempo) y/o recursos (hechos que consumen dinero). Los recursos son los elementos necesarios de un proyecto para ejecutar una actividad; estos recursos pueden ser:

• Mano de Obra.

• Materiales:

Permanentes; no fungibles (quedan físicamente en lo que hemos hecho). Fungibles; dinero, energía utilizada, etc.

• Espacio.

• Maquinaria.

En todo proyecto el recurso más importante es el dinero.

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Entre las actividades existen unas relaciones que nos permiten ordenarlas y representarlas mediante un grafo valuado G = (X, Y) de dos formas:

1. X : Conjunto de actividades. Y : Relaciones entre las actividades.

2. X : Conjunto de actividades. X : Conjunto de elementos X tales que X es el final de una actividad y el comienzo de toda

actividad inmediatamente posterior.

La diferencia entre dos métodos es que para PERT la duración de las actividades es aleatoria, de la que conocemos su ley de distribución (Distribución P); se consideran tres clases de tiempos:

T0 = Tiempo optimista (duración prevista sin ningún tipo de retraso).

Tn = Tiempo normal (duración prevista desde un punto de vista real).

Tp = Tiempo pesimista (duración prevista si va mal la actividad en su desarrollo).

De acuerdo a la distribución P calculamos el tiempo medio de duración T^ , que estará en el

intervalo [TO ,TPJ como:

La desviación estándar nos dice el grado de confiabilidad de la estimación hecha con Tu . Luego calculamos la ruta crítica.

El método CPM considera que conoce exactamente lo que dura cada actividad.

Las convenciones por medio de grafos corresponden a:

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Luego la varianza y la desviación estándar corresponden a:

Donde :

TPj : Es el tiempo más próximo de empezar la actividad i . TL¡ : Es el tiempo más lejano de comenzar la actividad i . U : Es el identifícador del nodo. K : Es la duración de la actividad, i : Es la actividad.

Calculárnoslos T P¡ de la siguiente manera: TP¡ = [TP(i-l)+K.] inicializando TP¡ del nodo inicial en cero; si un nodo tiene varios predecesores se escoge el valor mayor entre los calculados. Cuando se llega al nodo final se habrá obtenido el tiempo más próximo de la finalización del proyecto.

El cálculo de TL; es así: TL¡ = [TL(i + l ) - K ] igualando TL¡ =TP¡ para inicializar TL¡ en

el último grado de grafo. Si un nodo tiene varios sucesores, se escoge el valor de TL (i + l) más pequeño; cuando se llegue al nodo inicial se obtendrá el tiempo más tarde de comenzar el proyecto.

Un suceso se dice que es crítico cuando T L¡ - T P¡ = 0; la ruta o camino crítico está constituida por el conjunto de actividades críticas. Holgura total de una actividad es el tiempo que se puede prolongar dicha actividad sin afectar el tiempo final del proyecto. Holgura libre es el tiempo que se puede prolongar la actividad sin afectar el suceso. Cuando una actividad tiene una duración nula se llama hito.

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Ejemplo

Se tiene un proyecto de sistematización de un Departamento de Programación:

La representación del proyecto anterior por medio de un grafo es:

270

Ahora se realizará la gráfica de tal manera que los nodos sean las actividades.

272

En cualquiera de los dos grafos podemos observar que la duración del proyecto es de 39 semanas determinadas a partir de las dos (2) rutas críticas siguientes:

i = 1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,7 , 15, 18, 19.

ii = 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 6 , 9 , 1 4 , 1 5 , 1 8 , 1 9 .

Las varianzas y la desviación estándar total de la ruta crítica corresponden a

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Es decir, el proyecto lo podemos realizar en un intervalo cerrado: [37 , 4l] con una holgura aproximada de 2 semanas por defecto y por exceso.

El proyecto se puede hacer en 39 semanas con una desviación a izquierda y derecha de 2 semanas, o sea, el trabajo deberá ser realizado entre 37 y 41 semanas respectivamente.

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TRAYECTORIAS DE EULER

En honor de Leonhard Euler, se llama una trayectoria de Euler a un camino que recorre todas las aristas de una gráfica conexa.

El prob lema de los puentes de Königsberg

Königsberg era un puerto de la antigua Alemania (actualmente pertenece a Rusia y se llama Kaliningrado), situado en la costa sur del mar Báltico, la segunda capital de Prusia, está dividido por el río Pregel en cuatro zonas, incluyendo la isla de Kneiphof. Hay siete puentes que conectan las diferentes partes de la ciudad y hay un acertijo acerca de ellos que intrigó grandemente a los ciudadanos de Königsberg hace unos doscientos años.

Dar un paseo por los puentes ha sido siempre un entretenimiento para recreación de los jóvenes. Según los viejos relatos, de una manera o de otra se presentó la pregunta de cuánto llevaría recorrer los puentes. Esto condujo a la sorprendente afirmación de que un recorrido completo de todos los puentes sin pasar más de una vez por ninguno de ellos era imposible.

Es un hecho histórico que un comité de jóvenes visitó a Leonard Euler, el matemático, en 1735, para pedirle que resolviera el conflictivo tema. Un año más tarde, Euler presentó un voluminoso informe a la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Allí afirmaba haber demostrado la imposibilidad de resolver el problema. Esta conclusión aparece en el informe de la Academia, 1741, Vol. 8, y ha sido publicada en inglés y francés por renombrados matemáticos, ya que se ocupa del principio aplicándolo a cualquier número de puentes.

El profesor W. Rouse Ball, de Trinity College, discute la antigüedad y los méritos del problema en su gran obra Mathematical Recreations, pero se equivoca al adjudicar su origen a Euler en 1736 y hace la notable afirmación de que había y aún hay, según Baedecker, solamente siete puentes. Los registros más antiguos se refieren a ocho y el mapa presenta un acertado esquema de Baedecker, quien se refiere especialmente a los ocho puentes.

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La cuestión de regresar al punto de partida no forma parte en absoluto del problema. Sólo se trata de demostrar si es posible partir de cierto sitio de la ciudad y llegar a otro sitio pasando una sola vez por todos los puentes. El problema es decir de cuántas maneras es posible hacerlo y cuál es la ruta más corta.

En el año 1935 se construyó un nuevo puente, uniendo las áreas de tierra B y C. Supongamos que cada vez que se cruza un puente de la ciudad de Königsberg se tienen que pagar $1000 y que se requiere hacer un recorrido cruzando cada puente por lo menos una vez.

i. ¿Existe una caminata?

ii. Describir el recorrido más barato que comienza y termina en el área de tierra B.

iii. Describir el recorrido más barato si se permite empezar y terminar en áreas de tierra diferentes.

i. Si existe una caminata; la gráfica que se obtiene posee exactamente dos vértices de grado impar, los vértices A y D. Una trayectoria de Euler que comienza en A y finaliza en D es A, B, A, C, A,

Solución

D, B, C, D.

C

B

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ii. El recorrido más barato cuesta $9000; de acuerdo con la gráfica del problema, un posible recorrido que empieza y termina en el área de tierra B es B, A, C, D, C, A, D, B, A, B. En este recorrido, tanto el puente CD como alguno de los puentes AB son cruzados dos veces.

C

iii. El recorrido más barato cuesta $8000. Un posible recorrido que comienza en C y finaliza en A es B, A, C, D, C, A, D, B, A; en este recorrido el puente CD se cruza dos veces.

TRAYECTORIAS DE HAMILTON

Este problema consiste en encontrar trayectorias que visitan cada vértice de una gráfica exactamente una vez. Este nombre se debe a que en el año 1857 el célebre matemático Irlandés William Rowan Hamilton inventó un juego que involucra un dodecaedro regular sólido, etiquetado cada vértice con el nombre de alguna ciudad importante; el objetivo del juego era que el jugador diseñara un viaje en el que visitara cada una de las veinte ciudades exactamente una vez.

La diferencia entre trayectoria de Euler y trayectoria de Hamilton consiste en la sustitución de la palabra arista por vértice, lo que constituye diferencias sustanciales.

El Problema del Agente Via jero

Son problemas en los cuales está involucrada una gráfica completa, cuyas aristas se encuentran etiquetadas con números; una gráfica donde sus aristas están etiquetadas con números se llama gráfica ponderada y a los números se les denomina pesos de las aristas. A estas gráficas se les llama gráficas completas ponderadas.

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El problema matemático que subyace a toda esta clase genérica de problemas, conocidos como problemas del agente viajero, se refiere a encontrar un circuito de Hamilton para una gráfica completa ponderada que tenga el menor peso total. El peso total de un circuito es la suma de los pesos de cada una de las aristas que lo forman.

Los principales algoritmos para resolver el problema del agente viajero son: algoritmo de la fuerza bruta, algoritmo ambicioso, algoritmo ambicioso repetitivo, algoritmo de mínima conexión.

Algoritmo de la fuerza bruta

Consiste en hacer una lista de todos los posibles circuitos de Hamilton de la gráfica; a continuación se calcula el peso total de cada circuito de Hamilton sumando los pesos de todas las aristas del circuito. Finalmente se encuentra el circuito con el menor peso posible, el cual constituye el circuito de Hamilton óptimo.

Algoritmo ambicioso o Algoritmo glotón o Algoritmo del vecino más cercano

Comienza con la elección de cualquier vértice como punto inicial; a partir del vértice inicial se va hacia el vértice cuya arista tenga el menor peso posible, en caso de existir más de uno, se escoge uno arbitrariamente; se sigue el proceso en forma sucesiva hasta que todos los vértices hayan sido escogidos. Desde el último vértice se regresa al punto inicial.

Algoritmo ambicioso repetitivo

Se inicia con la escogencia de cualquier vértice, al cual se aplica el algoritmo ambicioso y se calcula el costo total del circuito obtenido; se repite el proceso usando cada uno de los vértices restantes de la gráfica como vértice inicial. De los circuitos de Hamilton obtenidos se escoge el mejor; si hay un vértice inicial designado se reescribe este circuito con ese vértice como punto inicial.

Algoritmo de mínima conexión

Consiste en elegir la arista de menor peso, en caso de empate se toma una arbitrariamente; se escoge la siguiente arista disponible de menor peso; se sigue eligiendo la arista que no ha sido tomada de menor peso, excepto cuando i) se cierra un circuito que no es el final ii) se unen tres aristas en un sólo vértice. Cuando ya no hay más vértices para conectar se cierra el circuito.

Algunos ejemplos de problemas del agente viajero son: procesos industriales, cajeros automáticos, cristalografía de rayos X, transporte y entrega de mercancías por medio de vehículos de transporte terrestre, circuitos integrados y bodegas automatizadas, entre otros. Ejemplo:

Un agente viajero tiene clientes en cinco ciudades A, B, C, D y E; el agente viajero vive en la ciudad A y cada mes tiene que viajar a las otras cuatro ciudades para visitar a sus clientes y regresar a su ciudad A. Los costos son los siguientes: AB $18.500, BC $12.100, CD $17.400, DE $19.900, EA

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$ 13300, AC $ 11900, AD $ 15200, BD $ 15000, BE $20000, CE $ 12000. El negocio del agente viajero es de reciente creación y él sabe que para poder crecer es muy importante gastar lo menos posible en cada uno de sus viajes. El agente viajero requiere saber ¿cuál es la ruta más económica que comienza en su ciudad A, visita cada una de las cuatro ciudades exactamente una vez y regresa nuevamente a A?

Solución

Aplicando el algoritmo de la fuerza bruta, el cual consiste en encontrar un circuito de Hamilton óptimo (con el menor peso total) para la gráfica anterior:

Circuitos de Hamilton Costo Total Circuito Reflejado

A, B, C, D, E, A 18500+ 12100 + 17400+ 19900+ 13300 = 81200 A, E, D, C, B, A

A, B, C, E, D, A 18500+ 12100 + 12000+19900+ 15200 = 77700 A, D, E, C, B, A

A, B, D, C, E, A 18500+15000 + 17400+ 12000+13300 = 76200 A, E, C, D, B, A

A, B, D, E, C, A 18500+ 15000 + 19900+12000+ 11900 = 77300 A, C, E, D, B, A

A, B, E, C, D, A 18500 + 20000 + 12000 + 17400 + 15200 = 83100 A, D, C, E, B, A

A, B, E, D, C, A 18500 + 20000 + 19900 + 17400 + 11900 = 87700 A, C, D, E, B, A

A, C, B, D, E, A 11900+ 12100 + 15000+19900+ 13300 = 72200 A, E, D, B, C, A

A, C, B, E, D, A 11900+ 12100 + 20000+19900+ 15200 = 79100 A, D, E, B, C, A

A, C, D, B, E, A 11900+ 17400 + 15000 + 20000+13300 = 77600 A, E, B, D, C, A

A, C, E, B, D, A 11900+ 12000 + 20000+15000+15200 = 74100 A, D, B, E, C, A

A, D, B, C, É, A 15200+15000 + 12100+12000+13300 = 67600 \ . E, C, B, D, A

A, D, C, B, E, A 15200+ 17400 + 12100 + 20000+ 13300 = 78000 A, E, B, C, D, A

Al terminar de revisar la lista, se observa que los circuitos óptimos tienen un costo total de $67.600 correspondientes a los circuitos A, D, B, C, E, A y su circuito reflejado A, E, C, B, D, A.

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Si empleamos el algoritmo ambicioso, el cual consiste en que el agente viajero al abandonar su ciudad de residencia A se dirija a la ciudad hacia la cual el costo del viaje es más barato, y así sucesivamente hasta llegar a la cuarta ciudad y finalmente regresar a la ciudad de origen A.

El circuito que produce esta estrategia es A, C, E, D, B, A con un costo total de $77300.

Aplicando el algoritmo ambicioso repetitivo, una vez por cada vértice de la gráfica, se obtienen cinco circuitos de Hamilton de los cuales el mejor es el que utiliza a B como vértice inicial B, C, A, E, D, B con un costo total de $72200.

Si trabajamos con el algoritmo de mínima conexión la solución obtenida es el circuito de Hamilton A, C, E, B, D, A o el circuito reflejado, el cual nos da un costo total de $74100.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcule la ruta más corta en la red siguiente:

280

Encuentre el árbol de expansión mínima en la siguiente gráfica:

Calcule el flujo máximo que se puede transportar a través de:

tiempos (en minutos) y las restricciones de precedencia son:

Tarea Descripción de la tarea Tiem po Tareas precedentes

A Comprar el queso mozzarella 30 B Rayar el queso 5 A C Batir dos huevos 2

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Usted y varios amigos van a preparar lasagna para la cena; las tareas que deberán realizar, sus

Tarea Descripción de la tarea Tiempo Tareas precedentes

D Mezclar huevos y queso ricota 3 C E Picar cebollas y hongos 7 F Cocinar la salsa de tomate 25 E G Hervir agua en una vasija 15 H Hervir la pasta de lasagna 10 G I Enjuagar la pasta de lasagna 2 H J Mezclar los ingredientes 10 I, F, D, B K Precalentar el homo 15 L Hornear la lasagna 30 J, K

a) Formule este problema como un sistema tipo PERT dibujando la red de proyecto. Utilice un evento para representar la iniciación simultánea de las primeras tareas; al lado de cada arco, identifique la tarea que se realiza; en el otro lado mostrar el tiempo requerido.

b) Encuentre el tiempo más próximo, el tiempo más lejano y la holgura para cada evento, al igual que la holgura para cada actividad. Identificar además la ruta crítica.

ACTIVIDADES DURACIONES COSTOS

ACTIVIDADES Normal Promedio Normal Promedio

1 - 2 8 6 200 208 1 - 4 17 13 350 390 2 - 3 6 3 130 145 2 - 5 12 8 250 274 3 - 4 3 2 80 85 3 - 5 9 7 100 102 4 - 5 2 1 50 54

Los costos indirectos son imputados al proyecto, en su conjunto, estimándose que existe una relación lineal de la forma: C¡= 600 + 3 * Dp donde C¡: Costos indirectos y Dp: Duración del proyecto. Se desea conocer:

a) Duración y costos normales del proyecto. b) Duración del camino crítico irreductible y sus costos asociados. c) Duración del proyecto para un costo total mínimo.

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objeto de utilizar CPM. Los costos de ejecución del proyecto (en miles de pesos), asi como las duraciones estimadas de las actividades (en semanas) son las siguientes:

Una empresa quiere realizar un proyecto y para su programación se incluyen los costos, con el

casas a tres servicios públicos: agua, electricidad y telefono. Por razones de segundad es necesario que las conexiones no se crucen entre sí. ¿Es posible conectar los servicios de esta manera?

283

Resolver el problema de los servicios públicos, el cual se refiere a la necesidad de conectar tres

C A P Í T U L O X

P R O G R A M A C I Ó N N O L I N E A L

"Carecer de libros propios es el colmo de la miseria ". Benjamín Franklin

INTRODUCCIÓN

Existen muchos problemas que no pueden ser expresados en términos de funciones lineales, sino por medio de funciones no lineales.

Las soluciones a estos problemas son más dispersas que las de programación lineal, ya que no existe un método de solución general como, por ejemplo, el algoritmo Simplex; por lo tanto existen soluciones para algunos tipos muy especiales de problemas de programación no lineal.

El problema general de programación no lineal es:

Con las siguientes restricciones:

La OPT puede corresponder a un problema de maximización o de minimización.

En Programación No Lineal se trabajan en general los siguientes tópicos:

• Programación Clásica Libre

• Programación Clásica con Restricciones

• Programación No Lineal Diferenciable

• Programación No Lineal No Diferenciable

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PROGRAMACIÓN CLÁSICA LIBRE

Este problema consiste en encontrar los valores de las variables X e M n que maximiza o minimiza una función f: R " —» R . La programación clásica libre se utiliza en formulaciones sencillas, en ciertas modelizaciones algo más complejas en las que se presentan restricciones de tipo presupuestal que se pueden incluir en la función objetivo, por ejemplo, en problemas de producción, cuando el equilibrio de la unidad económica de producción se alcanza cuando el beneficio es máximo.

Ejemplo OPT f (X, Y) = X2 + Y2

Condiciones necesarias de óptimo local

Condición de primer orden

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Teorema 1. Si f: ss una función de clase uno, la condición necesaria para que x* sea un óptimo local es que , es decir, el gradiente de la función debe ser igual a cero.

Condición necesaria de segundo orden

Teorema 2. Consideremos un punto crítico de f en el cual la matriz hessiana no es la nula. Si x* es un máximo local de f, entonces la forma cuadrática asociada a semidefinida negativa.

es

Teorema 3. Consideremos un punto crítico de f en el cual la matriz hessiana no es la nula. Si x* es un mínimo local de f, entonces la forma cuadratica asociada a H f (x*) es semidefinida positiva.

Punto de silla: Un punto crítico x* es punto de silla si para todo entorno y también ales que

Ejemplo

Si tenemos la función f (X, Y) = X2 - Y2 podemos encontrar sus puntos críticos anulando el

es una matriz indefinida, ni máximo,

Condición suficiente de óptimo global

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ni mínimo; con lo cual se concluye que (0, 0) es un punto de silla:

Cuando la matriz hessiana es la matriz nula, podemos estar ante diferentes casos: la matriz hessiana es nula para ciertos vectores, el estudio de la optimalidad depende de las derivadas de tercer orden y la matriz hessiana se hace idénticamente nula, en ambos casos se realiza un estudio local de la función.

Teorema 8. Si f e C ' ( R n ) es una función convexa diferenciable y x* un punto crítico, entonces x* es mínimo global de f. Si f es estrictamente convexa el punto crítico x* es mínimo global único.

PROGRAMACIÓN CLÁSICA CON RESTRICCIONES

Sirve para resolver el siguiente tipo de problemas:

OPT f (X)

Sujeta a: g(X) = b

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Condición suficiente de óptimo local

Teorema 10. Dado el problema MAX f (x) sujeta a: g (x) = b, en el que las funciones

es un punto crítico de la función de Lagrange, la condición suficiente para que X* sea

máximo local estricto del problema es que la forma cuadrática relativa a la variable sea definida negativa respecto a los vectores del plano tangente a la superficie restricción g (x) = b, es decir, respecto a los vectores h e R " tales que

existe un vector de multiplicadores tal que es un punto crítico de la función lagrangeana.

siendo f: funciones diferenciables y m, n finitos y n > m: el número de variables debe ser mayor que el número de restricciones; n°: número de grados de libertad = n - m.

La programación clásica con restricciones se utiliza en la mayor parte de los modelos económicos (utilidad o producción sometidas a restricciones presupuestarias).

Función de Lagrange: Se define de la siguiente manera:

de Lagrange. El punto crítico de la función de Lagrange gradiente de la lagrangeana.

es el que anula el vector

2S el vector de multiplicadores

Condiciones necesaria y suficiente de máximo local

Condición necesaria de óptimo local

Teorema 9. Si X* es un óptimo local del problema de programación clásica con restricciones

Condición suficiente de mínimo local

Teorema 11. Dado el problema MIN f (x) sujeta a : g (x) = b, en el que las funciones

es un punto crítico de la función de Lagrange, la condición suficiente para que X* sea

mínimo local estricto del problema es que la forma cuadrática relativa a la variable X, HXL (x*, A,*), sea definida positiva respecto a los vectores del plano tangente a la superficie restricción g (x) = b, es decir, respecto a los vectores h e M n tales que hl Jg (X*) = 0.

Ópt imo Global

Teorema 12. En los problemas convexos de programación clásica con restricciones, la condición necesaria y suficiente para que X* sea óptimo global es que (x*, 7*) sea punto crítico de la función de Lagrange. Problema convexo: f ha de ser cóncava o convexa (máximo/mínimo) y g¡ han de ser funciones lineales; si f es estrictamente cóncava (estrictamente convexa), entonces el máximo (mínimo) global es único.

Ejemplo: OPT f (X, Y) = X -Y 2

Con sus restricciones:

X2 + Y2 = 4

290

• P4 es un mínimo local estricto en

Máximo global en

Máximo local en

Mínimo global en

292

Mínimo global en

Teorema 13 (Teorema de Weierstrass). Sea continua en el intervalo cerrado [a, b]; entonces, la función toma todos los valores entre f (a) y f (b). Una función es continua en un subconjunto D de R si es continua en todos los puntos de D.

293

En otras palabras, si y0 es un número real tal que entonces

Sea X cerrado y acotado, f continua en X, entonces f alcanza un máximo y un mínimo global en X.

Ejercicios

1. ¿Que significado tiene el multiplicador de Lagrange.

Mide la tendencia de la función objetivo o mide el grado de sensibilidad de la función objetivo

frente a cambios infinitesimales (desde la interpretación matemática de derivada) o cambios unitarios (bajo la óptica de los problemas económicos) de la limitación del recurso i - ésimo.

Precio sombra-pseudoprecio-costo de oportunidad-valor implícito-costo marginal.

El valor del multiplicador en el óptimo nos indica que si la limitación del recurso bi = k b

aumenta una unidad, la función objetivo crece en el óptimo y si dicha limitación disminuye, entonces la función objetivo decrece.

El valor del multiplicador en el óptimo nos dice que si la limitación del recurso b2 = k2, aumenta una unidad, la función objetivo disminuye en el óptimo y si el recurso se limitara más, entonces la función objetivo en el óptimo aumentaría.

2. Dado el problema MIN f (x), donde f es una función convexa en R n. ¿Podemos asegurar que siempre existe mínimo de f ?

Si f es una función convexa en R n y X* un punto crítico, entonces X* es un mínimo global de f; si f es estrictamente convexa, entonces el punto crítico X* es un mínimo global único. Si la matriz hessiana en X* corresponde a una forma cuadrática definida positiva, entonces X* es un mínimo local estricto.

PROGRAMACIÓN NO LINEAL DIFERENCIABLE

Este problema refleja mejor las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica. El problema tipo a resolver es:

MAX f (x)


Siendo __ funciones diferenciables y b e R m.

Suficiencia de las Condiciones de Karush - Kuhn - Tucker

Teorema 14. En el problema MAX f (x) sujeto a: f es una función cóncava diferenciable y g una funciónconvexa diferenciable, Vi = 1,2, 3,..., m en el conjunto convexo X. Supongamos que el punto verifica las hipótesis de cualificación de las restricciones y además las condiciones necesarias de Karush - Kuhn - Tucker, entonces x* es máximo global.

Siendo el conjunto factible.

Teorema 15. En el problema MIN f (x) sujeto a: f es una función convexa

294

diferenciable y g una funciónconvexa diferenciable, m en el conjunto convexo X. Supongamos que el punto verifica las hipótesis de cualificación de las restricciones y además las condiciones necesarias de Karush - Kuhn - Tucker, entonces x* es mínimo global.

Siendo el conjunto factible.

Ejemplos ¿

1. ¿En qué tipo de problemas se deben utilizar las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker?

Se debe usar cuando se tiene un problema de optimización con restricciones de desigualdades, considerando que el punto X* verifica las hipótesis de cualificación de las restricciones.

M I N f ( x )

Sujeta a:

295

MAX f (x)


M A X f ( x )

Sujeta a:

MAXf(x)

Sujeta a:

M I N f ( x )


2. Calcular el óptimo global del problema:


Formulamos la función de Lagrange:

Aplicamos las condiciones de Karush - Kuhn - Tucker:

1.

2.

3.

Se verifican las hipótesis de cualificación de las restricciones, ya que el conjunto factible en este problema es convexo y tiene un interior no vacío.

Realizando las operaciones que aparecen en las seis condiciones, obtenemos:

296

Para resolver este sistema podemos hacerlo de forma secuencial, aplicando las condiciones de holgura complementaria (ítems 2. y 5.), lo que nos lleva a resolver una serie de sistemas más sencillos determinados por los posibles valores de las variables. En este problema se pueden plantear hasta 23

(porque son tres variables X, Y y ) sistemas que surgen de las siguientes combinaciones:

cuya solución es:

MAX(X = 0; Y>0; X=0)

297

Escogemos de las ocho ecuaciones el caso 6. : se obtiene el sistema:

Análisis de la convexidad del problema: La función objetivo es una función estrictamente cóncava, ya que su matriz hessiana es definida negativa:

La función restricción es convexa, porque su matriz hessiana es semidefinida positiva:

por tanto el conjunto nivel que expresa la restricción del problema es

convexo; el conjunto factible es convexo por ser intersección de conjuntos convexos. Por tanto, el máximo global del problema es único, como tiene que cumplir las condiciones de Karush - Kuhn -

Tucker, según la condición suficiente, está en el único punto que hemos encontrado

de aplicar otra técnica para encontrar sus óptimos.

Algor i tmo de Levenberg-Mardquardt

El algoritmo de Levenberg-Mardquardt es un algoritmo iterativo de optimización en el que el método de iteración presenta una lisera modificación sobre el método tradicional de Newton. Las

298

PROGRAMACIÓN NO LINEAL NO DIFERENCIABLE

Si en el problema de optimización: MAX f (X)

Sujeta a:

Siendo f: alguna de las funciones f o g no son diferenciables, hemos

Punto de silla del lagrangeano: El punto es un punto de silla del lagrangeano del problema anterior si :

ecuaciones normales (donde J representa el Jacobiano de la función, A los incrementos de los parámetros y s el vector de errores residuales del ajuste), son reemplazadas por las

ecuaciones normales aumentadas ,donde El valor

de es inicialmente puesto a algún valor, normalmente Si el valor de A obtenido resolviendo las ecuaciones aumentadas conduce a una reducción del error, entonces el incremento es aceptado y

es dividido entre 10 para la siguiente iteración. Por otro lado, si si el valor de conduce a un aumento del error, entonces es multiplicado por 10 y se resuelven de nuevo las ecuaciones normales aumentadas, este proceso continúa hasta que el valor de encontrado da lugar a un decremento del error. Este proceso de resolver repetidamente las ecuaciones normales aumentadas para diferentes valores de hasta encontrar un valor aceptable de es lo que constituye una iteración del algoritmo de Levenberg - Mardquardt. En el caso de diferenciación numérica, cada variable independiente x¡ se incrementa por turnos en , se calcula es valor de la función en el nuevo punto y la derivada se calcula como un cociente. Buenos resultados han sido encontrados colocando el valor de 8 al máximo entre En la practica no se aprecia ventaja en usar un método de diferenciación numérica o dar una rutina de cálculo de la derivada.

Algunos de los principales métodos de solución son los siguientes:

• La solución gráfica, cuando son máximo tres (3) variables.

• Las restricciones son ecuaciones en lugar de desigualdades m < n; lo anterior constituye un caso de optimización clásica y se puede aplicar para su solución los Multiplicadores de Lagrange.

• f (X b X2, X3, , Xn) es no lineal, pero las g¡ (X], X2, X3, Xn) son lineales; para las anteriores condiciones hay dos (2) casos especiales:

1. Programación Cuadrática

2. Programación Convexa Separable

Donde f¡ (X¡) es una función de una sola variable.

• La Búsqueda Gradiental para Programación Convexa, si la función lineal es cóncava y las restricciones son convexas.

• Restricciones no lineales, pero separables:

Para garantizar una solución óptima estos problemas deben contener restricciones

299

muy estrictas en las

300

y en la función objetivo.

3. La Programación Geométrica

Los métodos más generales de solución aplicables en programación no lineal son los Multiplicadores de Lagrange y Karush - Kuhn - Tucker.

El método de los Multiplicadores de Lagrange consiste en aplicar la función

luego calcular las primeras derivadas parciales, igualarlas a cero

y encontrar el óptimo del problema ; para verificar el máximo o mínimo de la función se encuentran las segundas derivadas parciales.

Las condiciones necesarias de Karush - Kuhn - Tucker también son suficientes si la función objetivo y el espacio solución satisfacen ciertos requerimientos con respecto a la convexidad y a la concavidad.

Una solución óptima de un problema de programación no lineal, corresponde a la solución óptima definitiva si existen n números negativos siguientes:

tales que satisfacen las condiciones

indica que la i - ésima restricción es equivalente a donde es la i - ésima

explica que la i - ésima restricción no es limitante a

variable de holgura.

5.

6.

Para definir estas condiciones, definimos el problema de Programación No Lineal generalizado como:

OPT Z = f (x)

Sujeto a :

La OPT puede corresponder a una maximización o minimización y el multiplicador de Lagrange es:

301

Solución Gráfica: Nos permite visualizar el óptimo, pero tiene la desventaja de servir únicamente para representar pocas variables, hasta tres (3). Ejemplos:

1. MIN W = (X, - 2)2 + (X2 - 1 )2

En esta gráfica podemos observar la región sombreada, la cual es cerrada, acotada, convexa, así como también algunas curvas de nivel.

Este problema posee solución global en la región factible; todo mínimo local es global y al verificarse las condiciones de convexidad, todo punto candidato a mínimo lo es.

Buscamos los puntos candidatos a mínimo Construyendo la función de Lagrange:

Las derivadas parciales igualadas a cero son:

302

Sujeto a:

Graficamos:

303

Es decir, al verificar las condiciones del problema

Solución gráfica:

Resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (primeras derivadas parciales)

obtenemos:

2

3

4

es un mínimo global estricto.


Construimos la función de Lagrange:

304

Sujeta a:

Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones (primeras derivadas parciales) llegamos a:

valores que corresponden al máximo propuesto inicialmente.

1

2

3

Formamos los multiplicadores de Lagranee por las restricciones

Aplicando las condiciones de Karush - Kuhn - Tucker el problema se reduce a encontrar la

Calculamos las primeras derivadas:

Calculamos las segundas derivadas:

305

1

2

3

4

solución del sistema

Por y por el vector de las variables libres por Y; sea:

306

Resolviendo las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 llegamos a:

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

Consideremos un problema de programación no lineal cuya función objetivo es la suma de términos de la forma

el grado del término

Un problema de programación no lineal, cuyas restricciones son lineales y cuya función objetivo

es la suma de términos de la forma (en la cual cada término tiene un grado de 2, 1 o 0) es un problema de programación cuadrática.

Vamos a ilustrar de manera general el método de WOLFE para resolver problemas de programación cuadrática:

Se define un problema de programación cuadrática como:

El problema de optimización anterior tiene restricciones lineales, si Q es una matriz nula se convierte en un problema de programación lineal. Como Q es positiva definida, implica que W es una función estrictamente convexa y por lo tanto el mínimo si existe es global; si Q es negativa definida, W es estrictamente cóncava y si el máximo existe es global.

A continuación se escribe el problema en notación algebraica, se le aplican los multiplicadores de Lagrange, se verifican las condiciones necesarias y suficientes de Karush-Kuhn-Tucker que deben e x i s t i r en u n ón t i r no plobal .

Sujeta a:

Donde (Vector en En con componentes continuas), C es un vector de precios con n

componentes, Q es una matriz de n x n, simétrica y positiva definida, es decir, para toda

excepto X = 0, b es el vector de recursos con m componentes, A es una matriz de m * n coeficientes tecnológicos y 0 es un vector con n ceros.

El método de Wolfe sigue con la reescritura del problema original como un problema de programación lineal con holguras complementarias; este último problema es equivalente al problema original. El problema de programación lineal a resolver será de 2 (m + n) variables, m + n restricciones lineales y m + n restricciones de holgura complementaria.

Ejemplo

Resolver el siguiente problema de programación cuadrática por el método de Wolfe:


Aplicando los multiplicadores de Lagrange tenemos:

Las primeras derivadas parciales son:

El problema de programación lineal equivalente al original de acuerdo al método Wolfe es:

Sujeto a:

307

308

Con las siguientes restricciones de holgura complementaria:

Utilizando el método Simplex se tiene que la solución básica inicial es:

En la primera iteración entra X, (n,=0) a la base y sale V, de la base; el punto extremo después de iterar es:

En la segunda iteración entra (es de aclarar que aunque el Simplex escoge

para entrar a la base antes que lo haga no son aceptables, ya que Y, y Y2 son positivos). El punto extremo luego de recalcular es:

En la tercera iteración no pueden entrar a la base son positivas; el

Simplex toma como siguiente candidato a ju, y de salida Y, ; el punto extremo después de iterar es:

En la última iteración debe entrar pero no puede porque es positivo;

el siguiente elemento a entrar a la base es el cual reemplaza a Luego de recalcular (pivotear) el punto extremo es:

La solución anterior corresponde al óptimo:

Algunos métodos para resolver problemas de Programación Cuadrádita son: Beale, Hildreth-D"Esopo, Zheil-Van de Panne, Barankin-Dorgman y Graves-Whinston, entre otros.

Un caso especial de programación separable ocurre cuando las funciones son convexas,

resultando así un espacio convexo de solución; además la función es convexa en caso de minimización, y cóncava en caso de maximización.

No existe un algoritmo único para solucionar problemas de programación convexa; en general los algoritmos conocidos se pueden clasificar así:

1. Algoritmos de gradiente, en estos casos se modifica de alguna manera el procedimiento de búsqueda del gradiente para evitar que la trayectoria de búsqueda penetre la frontera de restricción.

2. Algoritmos secuenciales no restringidos, incluye los métodos de función de penalización y de función barrera; estos algoritmos convierten el problema de optimización restringida original en una sucesión de problemas de optimización no restringida, cuyas soluciones óptimas convergen a la solución óptima del problema original.

3. Algoritmos de Aproximación Secuencial, incluye métodos de aproximación lineal y aproximación cuadrática; estos algoritmos sustituyen la función objetivo no lineal por una sucesión de aproximaciones lineales o cuadráticas. Para problemas de optimización linealmente restringidos, estas aproximaciones permiten la aplicación repetida de los algoritmos de programación lineal o cuadrática.

A continuación resolvemos un problema de programación separable aplicando el método de la base restringida.

PROGRAMACIÓN SEPARABLE

Una función es separable si se puede expresar como la suma de n

funciones de una sola variable, , es decir,


309

El método de aproximación nos sugiere que las variables separables son:

tienen puntos de ruptura (K2 = 4), como X2 < 3, entonces:

310

Las funciones se dejan como están (son lineales);

Luego:

Entonces el problema original por aproximación se convierte en:

Sujeto a:

1.

2.

El tablero simplex inicial corresponde a:

Donde S, es una variable de holgura (relleno).

La solución óptima por el Simplex a este problema equivalente es:

Luego el óptimo en términos de

PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA

La Programación Geométrica es una técnica de optimización aplicable a problemas de programación que impliquen funciones de una forma matemática especial, llamada posinomios; se

define un posinomio como: donde

Ejemplo:

La Programación Geométrica soluciona un caso especial de problemas de Programación No Lineal. Este método resuelve al considerar un problema dual asociando a los siguientes tipos de Programación No Lineal:

311

• Problema Geométrico No Restringido

• Problema Geométrico Restringido

signo, las funciones W y W0 toman la forma de un polinomio. La Programación Geométrica fue diseñada por Duffín, Peterson y Zener.

La lógica de la Programación Geométrica se basa en la desigualdad de Cauchy-Schwarz (desigualdad de media aritmética-geométrica):

Es decir,

312

supone para ambos casos n, m y p son finitas, los exponentes no tienen restricciones de

Donde a¡j son los coeficientes positivos, m es el número de variables y n el número de términos. Generalmente, el número de términos determina el número de factores de peso, y el número de variables independientes señala el número de ecuaciones.

Cuando n = m + 1, se dice que el problema tiene cero grados de dificultad.

Cuando n - (m + 1) > 0, es un problema que no se puede resolver mediante Programación Geométrica. Finalmente se resuelven los sistemas de ecuaciones simultáneas planteadas y se obtiene la solución del problema. Ejemplo:

1. Encontrar la cantidad económica de pedido de un producto, es decir, se debe decidir qué cantidad del artículo conviene almacenar periódicamente; los costos totales asociados al producto y su almacenamiento se pueden expresar como:

Donde:

CT Costo total. CCI Costo cargado al inventario. CHP Costo total de pedidos. VC Valor de compra. Q Cantidad económica de pedido. H Costo de almacenamiento por unidad anual. A Costo de hacer un pedido. D Consumo promedio al año. K , P Constantes.

313

El método de solución consiste en calcular las primeras derivadas parciales de W y W0; de la función objetivo se obtiene la ecuación:

condición de normalidad.

De las primeras derivadas parciales iguales a cero se escribe la relación:

condición de ortogonalidad.

La función objetivo tiene la siguiente fórmula general:

Luego 1 2

De tal modo que al resolver el anterior sistema de ecuaciones simultáneas llegamos a que p, = p2

y la variable Q* debe ser tal que haga que los dos términos de la función objetivo sean iguales:

Aparte de los métodos de solución para problemas de Programación No Lineal ya mencionados, algunos de los conocidos son:

• Técnicas de Búsqueda Unidimensional: Minimax, Búsqueda Simultánea: Dos Experimentos, Búsqueda Simultánea: n Experimentos, Resolución, Distinguibilidad, Escalamiento, Búsqueda Secuencial, Método de Bolzano, Búsqueda por Bloques, Búsqueda en Bloques Pares, Búsqueda Dicotòmica, Búsqueda de Fibonacci, Búsqueda con Resolución Desconocida, Búsqueda de Sección Áurea, Búsqueda de Fibonacci Inverso y Búsqueda Mediante Bloques Impares, entre otros.

• Técnicas de Búsqueda Multidimensional: algunos modelos son: Eliminación Multivariate, Métodos Geométricos, Métodos Lógicos, Búsqueda Aleatoria, Procedimientos de Aproximación Estocásticos, Búsqueda en Forma de Malla, Método de Búsqueda Patrón: Hooke-Jeeves, Método de Interpolación Cuadrática de Powell, Método del Ascenso Acelerado, Método de Newton-Raphson, Método de Davidon-Fletcher-Powell, Método de Broyden-Fletcher, Método de Fletcher-Reeves, Método de Smith.

314

Otros métodos: método de Levenberg - Marquardt, Cuasi - Newton, Gradiente Conjugado, Subgradiente, Zoutendijk, Programación Sucesiva Lineal (PSL), Programación Sucesiva Cuadrática (PSC), Rosen, Zangwill y Técnica de Minimización Secuencial No Restringida (SUMT), entre otros.

ALGUNOS PROGRAMAS DE COMPUTADORA

NOMBRE AUTOR

1. MÉTODOS DE BÚSQUEDA OPTIM Boas Búsqueda Secuencial Cooper COMPLEX Davies Rosenbrock Davies Técnica de suma multigradiente Himmelblau CANDIDE Himmelblau Búsqueda Simplex Miller PROBE Sullivan

2. MÉTODOS DE GRADIENTE CON RECORRIDOS CORTOS

POP/360 Colville Pivote gradiental Greenstadt POP 11/7094 Grigsby Paquete de optimización Carburo Hutton Búsqueda del gradiente generalizado Kephart Método de programación aproximado Miller Ascenso deflectado Miller

3. MÉTODOS DE GRADIENTE CON RECORRIDOS LARGOS

Gradiente generalizado reducido Abadie GRGII Abadie Direcciones factibles Anthony Davidon con CRST Davies Programación convexa Gauthier Gradiente conjugado Goldfarb Gradiente Reducido Huard Proyección de gradiente corregido Kalfon Gradiente proyectado Miller Proyección de la variable métrica Murtagh Gradiente revisado reducido Ribiere Direcciones factibles modificadas Zzchach

315

4. MÉTODOS QUE USAN HESSIANAS Gauss - Newton - Carroll SUMT SOLVER

Bard MCcormick Wilson

5. OTROS Programación separable Método de centros QSB LINDO/LINGO WINQSB CPLEX GAMS XPRESS MATHEMATICA MATLAB

Harvey Huard Chang / Sullivan Schagre Yih - Long Chang ILOG GAMS Software GmbH Dash Optimization Wolfram Research The Mathworks Inc

Es importante aclarar que existen estudios comparativos de algoritmos en los cuales se analiza el número de iteraciones en la obtención de un óptimo local y su respectivo tiempo de computadora; estos estudios corresponden a Colville, Holzman y Stocker. Algunos métodos como los de tolerancia flexible (Paviani - Himmelblau) han resultado ser bastante eficientes en la práctica; los resultados de los estudios de los algoritmos concluyeron que los métodos que mejor se pueden aplicar en la práctica por orden de importancia son:

1. Método Generalizado de Reducción de Gradiente (Abadie/Carpentier)

2. Método de Tolerancia Flexible (Paviani - Himmelblau)

3. Técnica de Minimización Secuencial No Restringida -SUMT- (Fiacco/Mccormick).

4. Método de Aproximación Lineal de Smith (Smith).

5. Método Generalizado de Búsqueda de Gradiente de Cross y Kephart (Cross/Kephart).

procesos productivos consecutivos. En el primero de ellos se obtienen a partir de las materias primas, los productos intermedios E y F según la función:

EJERCICIOS PROPUESTOS

316

Para la producción de un bien X a partir de las materias primas A, B, C y D son necesarios dos

En el segundo proceso productivo se obtiene el artículo X a partir de E y F según la función:

X = Q2 (E, F) = eE+F

317

a) Calcular la productividad marginal del factor B en la producción intermedia del factor E. b) Calcular la productividad marginal del factor intermedio E en la producción final. c) Calcular la productividad marginal del factor A y del factor C en la producción final.

En una fábrica el costo de poner en marcha las máquinas es directamente proporcional al numero de maquinas empleadas; el costo de operación es inversamente proporcional al número de máquinas utilizadas. Demuestre que cuando el costo total es mínimo, el costo de puesta en marcha es igual al costo de operación.

Un consumidor con renta $7 puede adquirir dos bienes A y B; si X y Y son el número de unidades compradas de cada uno de los bienes, su renta se distribuye según la función g (X, Y) = X + Y2 y la función de utilidad viene dada por u (X, Y) = 4 X + 16 Y. Calcular el valor máximo de la función de utilidad para dicho consumidor.

Un fabricante con derechos exclusivos sobre una nueva maquinaria industrial planea vender una cantidad limitada de ésta y calcula que si se suministran X máquinas al mercado nacional y Y al

mercado extranjero, las máquinas se venderán a

mercado nacional y a

a) ¿Cuántas máquinas debería suministrar el fabricante a cada mercado para obtener el mayor ingreso total posible?

b) ¿Cuántas máquinas debería suministrar a cada mercado para obtener el mayor ingreso total posible si está obligado a servir un total de 1150 máquinas?

Una empresa produce un bien A a partir de dos factores productivos F. y F2, según la función de producción Q (X, Y) = X Y, donde X y Y son respectivamente, las cantidades utilizadas de F] y F2 en el proceso. La función de costo es C (X, Y) = 3 X + 2 Y. Determinar las cantidades X y Y que minimizan el costo para una producción fija de 600 unidades del bien A.

unidades monetarias cada una en el extranjero.

unidades monetarias cada una en el

C A P Í T U L O XI

P R O G R A M A C I Ó N D I N Á M I C A

"De ahí que siga siendo algo sublime el llegar a ser maestro, cosa enteramente distinta de ser un docente afamado". Martín Heidegger

INTRODUCCIÓN

La Programación Dinámica debe su desarrollo en gran parte a Richard Bellman (1950) y consiste en una técnica que permite determinar de manera eficiente las decisiones que optimizan el comportamiento de un sistema que evoluciona a lo largo de una serie de etapas. En otras palabras, trata de encontrar la secuencia de decisiones que optimiza el comportamiento de un proceso polietápico.

La naturaleza del racionamiento que se debe realizar en Programación Dinámica es muy diferente al de la Programación Lineal. La Programación Lineal, intenta describir una determinada situación en términos de un modelo matemático determinado; una vez conocida la naturaleza de las variables de decisión y expresadas la función objetivo y las restricciones en función de esas variables, la solución del modelo puede confiarse, sin mayores dificultades, a un programa informático. La Programación Dinámica no admite una solución sistemática de este tipo; más que un modelo concreto, es una estrategia de solución común a muchas situaciones en principio diferentes entre sí. Además, es frecuente que la solución del modelo esté muy relacionada con la situación que se ha de modelizar. En contrapartida, las simplificaciones que en ocasiones deben realizarse en Programación Lineal para poder resolver el modelo no son necesarias en Programación Dinámica, la cual admite gran variedad de relaciones entre variables.

Los elementos principales para trabajar en Programación Dinámica son: procesos polietápicos de decisión, etapas, estados, variables de decisión, descomposición, problemas de decisión en una o en n etapas y función de recurrencia. La Programación Dinámica se clasifica en Programación Dinámica No Homogénea y Programación Dinámica Homogénea (horizonte finito o infinito), Programación Dinámica Determinística y Programación Dinámica Estocástica. Las Cadenas de Markov con remuneración y decisión son un caso particular de Programación Dinámica Estocástica Homogénea en el tiempo.

Procesos polietápicos de decisión

Las situaciones susceptibles de ser representadas mediante Programación Dinámica pueden describirse como procesos polietápicos de decisión. El problema suele dividirse en etapas, en cada una de las cuales debe tomarse una decisión; conocemos la solución del problema cuando conocemos la decisión óptima para cualquier situación que pueda presentarse en el desarrollo de un sistema. La Programación Dinámica va asociada a situaciones de evolución que se van desarrollando a lo largo de varias etapas (de ahí su carácter dinámico). En la mayoría de las ocasiones, se tratará de representar el comportamiento de un sistema que evoluciona a lo largo del tiempo; en otros casos, se trata de decisiones en las que las decisiones se toman de manera simultánea en el tiempo, pero en las que se

319

evalúan las decisiones de manera secuencial. La diferencia con la Programación Lineal, es que en esta última las decisiones se toman de manera simultánea (aunque en ocasiones se representan sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, como los planes de producción).

Al comenzar cada una de las etapas, antes de tomar la decisión, el sistema podrá encontrarse en un estado de los varios posibles para esa etapa; lo anterior significa que para cada etapa debe definirse un conjunto de estados; el estado debe sintetizar toda la información que debemos conocer de la evolución del sistema en las etapas anteriores; los estados posibles para una etapa no tienen por qué ser los mismos que para las etapas siguientes (aunque sí deben definirse de la misma manera: los estados aseguran la continuidad entre una y otra etapa) y el número de estados puede ser finito o infinito.

Una vez tomada la decisión en el estado correspondiente, el sistema evolucionará hacia alguno de los estados posibles para la etapa siguiente; por lo tanto, el comportamiento del sistema puede percibirse como una secuencia de decisiones y evoluciones; dicha evolución puede ser conocida con certeza, una vez tomada la decisión (tendremos una situación de Programación Dinámica Determinística) o bien el sistema puede evolucionar hacia diferentes estados, según una ley de probabilidad conocida (siendo entonces Programación Dinámica Estocástica).

El objetivo de la Programación Dinámica es encontrar la política óptima para cada una de las etapas de la evolución del sistema; la política para una determinada etapa es la decisión óptima en cada uno de los posibles estados del sistema en dicha etapa. Para cada etapa debe definirse una variable de decisión Xn; si el sistema tiene k estados en esa etapa, una política será un vector de k componentes, cuya componente i - ésima es el valor de la variable de decisión para el estado e en la etapa n.

La esencia de la estrategia de la Programación Dinámica se expresa mediante el principio de Optimalidad de Bellman:

En un modelo de Programación Dinámica, la política óptima para las etapas que faltan hasta la finalización del proceso es independiente de las políticas adoptadas en las etapas anteriores. Esta propiedad es la esencia de la Programación Dinámica.

Descomposición

Se denomina a un problema de optimización susceptible de descomposición si puede resolverse por optimización recursiva a través de n etapas, efectuándose la optimización en cada etapa sobre una variable de decisión. En otras palabras, un problema se puede descomponer en subsistemas y su sintetización vuelve a generar el sistema original.

El problema de decisión de una etapa o de N etapas

En una etapa cualquiera del sistema se identifican los siguientes elementos: un vector de entrada, un vector de salida, un conjunto de decisiones, una transformación y un vector de medida de eficiencia del sistema.

320

El vector de entrada proporciona toda la información de las componentes importantes del sistema, antes de tomarse una decisión; el vector de salida brinda toda la información de las componentes importantes del sistema, después de tomarse una decisión; el conjunto de decisiones son los instrumentos utilizados para alcanzar los objetivos del sistema; la transformación relaciona la salida en función de la entrada y las decisiones; el vector de medida de eficiencia del sistema es una función en términos de la entrada, la salida y la decisión que se toma. Cuando el problema es de n etapas es repetir el proceso anterior en forma secuencial.

La Función Recursiva

El objetivo es descomponer un problema de optimización de n etapas; se presenta el modelo de formulación recursiva (la solución secuencial recursiva se hace del vector de entrada al vector de salida, es decir, de izquierda a derecha) y el modelo de función de recursiva (la solución secuencial recursiva se hace del vector de entrada al vector de salida, es decir, de derecha a izquierda). Algunos problemas de Programación Dinámica solo pueden ser resueltos en uno de esos sentidos, pero la gran mayoría se pueden solucionar de ambas maneras.

Características generales de los problemas de Programación Dinámica

• El problema se divide en etapas, con una decisión requerida en cada etapa.

• Cada etapa tiene algunos estados asociados.

• El efecto de una decisión en cada etapa es transformar el estado corriente (actual) en uno asociado con la próxima etapa.

• Dado el estado corriente, la política óptima para las etapas que quedan es independiente a la política adoptada en etapas anteriores; en este caso etapa anterior quiere decir, en tiempo, no en el proceso de decisión.

• El procedimiento comienza por escoger la decisión (política) óptima para cada estado de la última etapa.

• Una relación recursiva puede derivarse, la cual identifica la decisión óptima para cada estado cuando quedan n etapas.

• Usando una relación recursiva, el método de solución mueve hacia atrás (hacia delante) etapa por etapa, determinando la decisión óptima a cada etapa hasta llegar a la etapa inicial (final).

321

EJERCICIOS RESUELTOS

destino son fijos, el viajero debe escoger los terrenos por donde atravesar. El viajero debe atravesar cuatro etapas desde el origen en A hasta el destino en J; el viajero debe estar lo más seguro posible en el viaje, luego de los ofrecimientos de pólizas de seguros para el viaje; el costo de cada póliza se basa en una cuidadosa evaluación de la seguridad de la ruta. La ruta más segura será aquella con póliza de seguro de vida más barato.

¿Qué ruta minimizará el costo total de la póliza?

en el punto S (estado) y escoge a Xn como su destino inmediato. Dados S y n, sea X el valor de

322

Sea el costo total de la mejor póliza para las últimas n etapas, dado que el viajero está

Xn que optimiza a así que para nuestro caso el objetivo es encontrar

y el valor de su correspondiente póliza. Debemos encontrar sucesivamente

Cuando el viajero tiene una etapa más para recorrer, su ruta será:

Un viajero tiene que atravesar territorios hostiles en una diligencia; el punto de partida y de

al sitio 5, el mínimo costo total será: f3 (2, 5) = C25 + f* (X3) = 7 + 4 — 11; X 3 = 5. Si está en 2

y decide ir a 6, el mínimo costo será: C26 = 4 más el mínimo después de 6: f3 (2, 6) = C26 + f*

(X3) = 4 + 7 = 11; X 3 = 6. Si está en 2 y decide ir a 7, el mínimo costo será: C27 = 4 más el mínimo después de 7: f3 (2, 7) = C27 + f* (X3) = 6 + 6 = 12; X3 = 7. El mínimo costo total desde

el estado 2 en adelante es f 3 (2) = 11 y el destino inmediato será: X 3 = 5 o X 3 = 6.

Asumamos que el viajero está en 3 y decide ir a 5, el mínimo costo total será: C35 = 3 más el

mínimo después de 5: f3 (3, 5) = 3 + 4 = 7; X 3 = 5. Si está en 3 y escoge ir a 6, el mínimo costo

323

Cuando el viajero tiene dos etapas más para recorrer, la solución será:

Si el viajero está en 5 tiene que ir a 8 ó a 9, con costos de 1 y 4 respectivamente; si escoge 8, el mínimo costo adicional después de estar en 8 es 3; la relación recursiva será:

Entonces el viajero debe escoger la ciudad 8, que le da el costo mínimo total para ir entre 5 y 10,

así:

Asuma que el viajero está en 6, tiene que ir a 8 ó a 9 con costos de 6 y 3. Si escoge 8, el mínimo costo adicional, después de estar en 8 es 3; así que: f2 (6, 8) = 6 + 3 = 9; X2 = 8; si escoge 9, el mínimo costo adicional, después de estar en 9 es 4; así que: (6, 9) = 3 + 4 = 7; X = 9; entonces el menor valor desde 6 hasta 10 es por 9:

Asuma que el viajero está en 7, tiene que ir a 8 ó a 9 con costos de 3 y 3. Si escoge 8, el mínimo

costo adicional, después de estar en 8 es 3; así que: Í2 (7, 8) = 3 + 3 = 6; X 2 = 8; si escoge 9, el mínimo costo adicional, después de estar en 9 es 4; así que: Í2 (7, 9) = 3 + 4 = 7; X2 = 9;

escogiendo el óptimo tenemos:

En este caso Si el viajero está en el sitio 2 y escoge ir inmediatamente

Observando el problema de 4 etapas, el costo de la póliza óptima nos da el destino inmediato y es nuevamente, la suma del costo de la póliza en la primera etapa más el mínimo costo posterior.

Asuma que el viajero está en 1 y decide ir a 2; el costo mínimo será: C12 = 2 más el mínimo

Entonces la solución óptima será:

324

Los resultados para el problema de tres etapas son:

La solución óptima en el denominado problema de la diligencia es múltiple; existen tres rutas con un costo mínimo de $11.

uvas frescas; la distribución de ventas potenciales de las uvas antes que se dañen es diferente en las cuatro tiendas; entonces el propietario desea saber cómo debe situar las seis canastas, en las cuatro tiendas, buscando maximizar la ganancia esperada. Por razones administrativas, el propietario no quiere dividir canastas entre tiendas, pero él está dispuesto, si es necesario, a no dejar canastas en cualquier tienda.

La variable de decisión Xn, n = 1, 2, 3, 4 corresponde al número de canastas situadas en la i-ésima etapa, es decir, que se dejan en las tiendas, contando desde el final. Se considera que el estado del sistema es la cantidad de canastas aún disponibles, que no han sido dejadas en las tiendas que se visitaron antes. Si planteamos este problema, como uno de Programación Lineal, siendo P¡ (X) la ganancia esperada al dejar X canastas en la tienda i:

325


fn (S, Xn) es la ganancia asociada con la política óptima, dado que hay S canastas disponibles para n tiendas restantes y Xn es la cantidad de canastas que se ha decidido dejar.

La función objetivo será:

entonces la relación recursiva es:

Cuando n = 1 tenemos que

Comenzamos con la última etapa n = 1 y seguimos hacia atrás hasta llegar a la primara etapa n = 4:

El propietario de una cadena de cuatro tiendas de víveres ha comprado seis canastas de

El estado en una etapa particular es igual al estado en la etapa precedente menos la decisión (cantidad de canastas asignadas) en esa etapa.

En este problema de las canastas existen ocho soluciones óptimas múltiples:

peso de 10 unidades; hay cuatro clases de artículos con sus cuatro pesos y valores unitarios respectivos; el problema consiste en maximizar la carga del barco.

326

Se está cargando un barco con varias clases de artículos; el barco tiene una capacidad de

Artículo Peso (P¡) Valor ($) 1 2 4 2 3 6 3 4 8 4 5 9

El problema se puede expresar de la siguiente manera por Programación Lineal:

Para el artículo 2:

327

Sujeta a:

Para el artículo 1 :



Para este problema de la carga del barco se obtienen las siguientes cinco soluciones óptimas

múltiples, con f* (10) = 20:

viaje debe regresar al punto de partida; supongamos una red de cinco ciudades, cuyas longitudes de viaje se muestran en la matriz siguiente:

Definimos f (i; Jn, J2, ... , Jp) = Mínimo costo de ir de la ciudad 1

328

Un agente viajero debe visitar n ciudades partiendo de una ciudad origen y al final del

a la ciudad i utilizando las ciudades Ji, J2, ... , Jp donde J|< = 2, ... , N ; entonces:

De acuerdo con la relación recursiva anterior se tiene:

De la misma forma:

De igual forma:

329

donde :orresponde a la ruta más corta sin utilizar ciudades intermedias.

Para el caso de tres ciudades intermedias se tiene:

Para encontrar la ruta más corta empleando dos ciudades intermedias se tiene:

En forma similar se consiguen:

Para ir de la ciudad 1 a la ciudad 2 se pueden utilizar las ciudades intermedias 3, 4 ó 5; por lo tanto:

solamente 12 horas que puede dedicar a estudiar; cree que es más efectivo estudiar en bloques de cuatro horas y está dispuesto a dedicar cualquier número de bloques a las materias con el fin de maximizar su promedio académico. El estima que las notas obtenidas según el tiempo dedicado son las siguientes:

¿Cuál debe ser la política del alumno?

Sea NS X n la nota obtenida por el estudiante si estudia Xn horas para la materia n.

Materia W:

330

Un alumno tiene que presentar exámenes finales en tres materias U, V y W, pero tiene

La ruta de mínimo costo que visita todas las ciudades y regresa al punto de origen es 5; entonces la ruta es 1 - 3 - 5 - 4 - 2 - 1 . Se puede observar que el número de rutas posibles para el problema del agente viajero es (n - 1) !.

Luego, después de los cálculos anteriores:

Materia V:

Materia U:

Solución Ó p t i m a :

Estudiar 4 horas para la materia U, 0 horas para la asignatura V y estudiar 8 horas para la materia W.

ventas que puede asignar a tres regiones distintas del país. Ha decidido que cada región debe tener por lo menos un agente y que cada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones, pero ahora quiere determinar cuántos agentes debe asignar a las respectivas regiones con el fin de maximizar las ventas.

La siguiente tabla da el incremento estimado de las ventas en cada región si se le asignan diferentes cantidades de agentes.

Resolver el anterior problema construyendo las tablas normales para: n = 1, n = 2 y n = 3.

331

El gerente de ventas de una editorial de libros de textos universitarios tiene seis agentes de

Soluciones Ópt imas Múltiples:

La distribución de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los tres supermercados. El propietario quiere saber cómo debe asignar las cinco cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razones administrativas, no quiere dividir las cargas entre las tiendas; sin embargo, está de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas; la siguiente tabla proporciona la ganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas:

332

El propietario de una cadena de tres supermercados compró cinco cargas de fresas frescas.

Determine cuántas cargas deben asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.

sus tres productos mas importantes; como los tres son bastante diterentes, cada estuerzo de publicidad estará dedicado a un solo producto; se dispone de un total de $ 6 0 0 0 0 0 0 para esta campaña de publicidad y se supone que el gasto para cada producto deberá ser un número entero mayor o igual a 1; el Vicepresidente de Mercadotecnia ha establecido el objetivo como sigue: determinar cuánto gastar en cada producto con el fin de maximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incremento estimado en ventas para los diferentes gastos de publicidad:

333

Una compañía está planeando una estrategia de publicidad durante el año próximo para

Gasto en publ icidad Productos

Gasto en publ icidad 1 2 3

1 7 4 6 2 10 8 9 3 14 11 13 4 17 14 15

elección está pareja; uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de televisión por un total de cinco comerciales en horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en cuatro áreas diferentes; con la información de las encuestas se hizo una estimación del número de votos adicionales que se pueden ganar en las diferentes áreas de difusión, según el

334

Una campaña política se encuentra en su última etapa y las encuestas indican que la

número de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en la siguiente tabla en miles de votos:

Determine cómo deben distribuirse los cinco comerciales entre las cuatro áreas con el fin de maximizar el número estimado de votos ganados.

335

Considere un sistema electrónico que consta de cuatro componentes, cada uno de los cuales debe trabajar para que el sistema funcione; la confiabilidad de éste se puede mejorar si se instalan varias unidades paralelas en una o más de las componentes; la siguiente tabla muestra la probabilidad que las respectivas componentes funcionen si consisten en una, dos o tres unidades paralelas:

Un idades pa ra le las

Probabi l idad de funcionamiento Un idades pa ra le las Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4

1 0,5 0,6 0,7 0,5 2 0,6 0,7 0,8 0,7 3 0,8 0,8 0,9 0,9

La probabilidad que el sistema funcione es el producto de las probabilidades que las respectivas componentes funcionen. En la siguiente tabla se da el costo (en miles de pesos) de instalar una, dos o tres unidades paralelas en las respectivas componentes:

U n i d a d e s Costos p a r a l e l a s Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4

1 1 2 1 2 2 2 4 3 3 3 3 5 4 4

Dadas las limitaciones de presupuesto, se puede gastar un máximo de $1000000. Determine cuántas unidades paralelas deben instalarse en cada una de las cuatro componentes para maximizar la probabilidad que el sistema funcione.

Sea Xn el número de unidades paralelas a ser instalas en el componente n; sea Pn (Xn) la probabilidad que el componente funcione si tiene Xn unidades paralelas; sea Cn (Xn) el costo de instalación de Xn unidades en el componente n; sea Sn el dinero (en miles de pesos) que puede ser gastado.

Sea

336

Para cuatro componentes n = 4:

Para tres componentes n = 3:

Para dos componentes n = 2:

337

donde

Para un componente n = 1:

Así, la solución óptima es X, = 3; X2 = 1; X3 = l ; X 4 = 3 con una fiabilidad del sistema d«

0 ,3024 .

y quiere asignar el tiempo que tiene para estudiar de la manera más eficiente posible; necesita por lo menos un día para cada curso y quiere concentrarse sólo en un curso cada día por lo que quiere asignar uno, dos, tres o cuatro días a cada curso. Como hace poco tomó un curso de Investigación de Operaciones, ha decidido aplicar programación dinámica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los cuatro cursos; estima que las distintas opciones en días de estudio le representarán puntos de calificación según la siguiente tabla:

Número de días Cursos

Número de días 1 2 3 4 1 3 5 2 6 2 5 5 4 7 3 6 6 7 9 4 7 9 8 9

artículos del año próximo; por ahora debe tomar una decisión en cuanto a qué productos comercializar y a qué niveles de producción. La preparación de la producción de dos de estos productos requerirá un costo fijo sustancial, como lo muestra la tabla, además de los otros datos:

338

Una estudiante universitaria tiene siete días para preparar los exámenes finales de cuatro cursos

El gerente de una compañía está estudiando tres nuevos productos posibles para las líneas de

que tiene que ser resuelto antes que el hombre pueda viajar en forma segura hasta Marte. Actualmente hay tres equipos de investigadores intentando resolver el problema; se estima que bajo las circunstancias actuales, la probabilidad que los respectivos equipos, llamados A, B y C fracasen, es 0,4, 0,6 y 0,8 respectivamente; entonces la probabilidad actual que los tres equipos fallen es 0,192. Puesto que el obj etivo es minimizar esta probabilidad, se ha decidido asignar dos científicos más entre los tres equipos, buscando bajar esa probabilidad tanto como sea posible; en la tabla se da la probabilidad estimada que los respectivos equipos fallen si se le agregan a cada equipo 0, 1 ó 2 científicos adicionales. ¿Cómo deben ser repartidos los científicos entre los equipos?

subdesarrollados del mundo. Dispone de cinco brigadas médicas para asignarlas a tres de estos países con el fin de mejorar el cuidado de la salud, la educación para la salud y los programas de capacitación. Entonces, el consejo necesita determinar cuántas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno de estos países para maximizar la medida de eficiencia de las cinco brigadas. Los equipos deben mantenerse como están formados por lo que el número asignado a cada país debe ser un entero.

La medida de desempeño se tomará en términos de los años de vida adicionales por persona. (Para un país específico, esta medida es igual al incremento en el promedio de vida esperado en años, multiplicado por su población.) En la tabla se dan las estimaciones de estos años de vida adicionales por persona (en múltiplos de 1000) para cada país y para cada número posible de brigadas médicas asignadas.

¿Cuál es la asignación que maximiza la medida de desempeño?

339

Sólo se pueden vender tres unidades del producto 1, mientras que es posible la venta de todas las unidades de los otros dos productos que se pueden fabricar. El objetivo es determinar el número de unidades que deben fabricarse de cada producto para maximizar la ganancia total (ingreso neto total menos costos fijos).

Un proyecto espacial del gobierno conduce una investigación sobre cierto problema de ingeniería

Una organización mundial de salud se dedica a mejorar la atención médica en los países

Una joven emprendedora experta en estadística cree haber desarrollado un sistema para ganar un popular juego en un casino. Sus colegas no piensan que este sistema sea tan bueno, por lo que le apuestan que si comienza con tres fichas, ella no tendrá al menos cinco fichas después de tres jugadas. Cada jugada incluye apostar cualquier cantidad de las fichas disponibles y ganar o perder este mismo número de fichas. La joven cree que su sistema le dará una probabilidad de ganar una jugada dada.

Suponiendo que la experta en estadística está en lo correcto, se quiere usar programación dinámica para determinar su política óptima sobre cuántas fichas apostar (si apuesta) en cada una de las tres jugadas. La decisión en cada jugada deberá tomar en cuenta los resultados de las jugadas anteriores. El objetivo es maximizar la probabilidad de ganar la apuesta hecha a sus colegas.

C A P Í T U L O XI I

M O D E L O S DE I N V E N T A R I O S

'La Universidad saca a la luz todas las capacidades, incluyendo la incapacidad". A. Chéjov.

INVENTARIOS

Lo que se debe comprar y cómo lo debo de hacer de acuerdo a las necesidades de la Empresa (teniendo en cuenta oferta y demanda), los inventarios sirven para desacoplar las diferentes fases, para que ninguna dependa de la otra; para ello se deben tomar dos decisiones:

• Cuánto debo comprar, se deben tener en cuenta los costos cargados al inventario, costos por pedidos (llamadas, papelería) y costos por agotamiento de existencias.

• Cuándo debo comprar, se deben manejar las existencias de seguridad, así como el tiempo de entrega de los diferentes pedidos.

Cant idad Económica de Pedido (CEP)

Es el tamaño de la orden que disminuye al mínimo el costo total anual (o el período que la empresa trabaje) de mantenimiento de inventario y el costo de los pedidos.

Situación ideal

Cuando el tiempo de entrega de mis pedidos es constante, conocida y cuando también la demanda es constante y conocida.

Cantidad

341

Cantidad económica de pedido (cantidad de costos mínimos). Consumo promedio anual.

Inventario promedio.

Costo de hacer un pedido. Valor unitario de compra. Costos cargados al inventario en porcentaje del inventario promedio.

FIGURA N°2

342

Donde CT es costo total, CCI corresponde a costos cargados al inventario en pesos, CPP es costos por pedidos y VC es el valor de compra.

Calculamos la primera y la segunda derivada del costo total (CT) con respecto a la cantidad económica de pedido(Q):

A continuación graficamos los costos totales en términos de los costos cargados al inventario, los costos por pedidos y el valor de compra con la abscisa cantidad y la ordenada costos:

Ahora vamos a calcular a

Problema: Se tienen unos requerimientos anuales en la Empresa Manizales para el artículo X iguales a 800000 unidades; el costo de hacer un pedido es de $1250; el costo cargado al inventario es del 20% anual y el valor unitario de compra anual es de $100. ¿Cuánto debo pedir? ¿Número de pedidos anuales?

¿Cuánto dura un pedido?

Solución:

R = 800.000 unidades / año; S = $1250 / pedido; I = 0,2 ; C = $100/pedido ;

Q* = ?; N = ?; d = ?

COMPRAS EN GRANDES CANTIDADES

Es indudable que la mayoría de empresas prefieren comprar volúmenes altos de mercancías con el objeto de obtener una mayor utilidad en sus ventas, ya que reciben frecuentemente rebajas y/o descuentos. Algunos de los criterios utilizados son:

1. Enfoque de comparación de costos

Consiste en comparar los costos totales de nuestra situación actual con los costos totales que nos causaría un descuento.

Problema: una Compañía compra algunas materias primas para usarlas en su línea de producción en una cantidad de 400 al año con un costo de $5000 cada una; los costos cargados al inventario son del 20% del valor promedio de inventario y los costos de pedido son de $2000 por pedido. La empresa ha recibido una propuesta de otro proveedor para concederle un descuento del 2% en compras de 100 o más unidades. ¿Debe aceptar la oferta?

Solución:

R = 400 unidades / año; C = $5000 / unidad; I = 0,2; S = $2000 / pedido;

343

N = 80 pedidos al año

Q* = 10000 unidades/pedido

Si el año tiene 360 días, entonces un pedido dura:

D = 0,02 en compras de más de 100 unidades; CTA = ?; CTD = ?

Situación Actual:

VC = C * R; VC = 5000 * 400; VC = $2'000000

CT a = $20000 + $20000 + $2'000000; CTA = $2'040000

Situación propuesta (con descuento):

CCI = 50 * 5000 * 0,98 * 0,02; CCI = $49.000

CPP = 4 * 2.000; CPP = $8.000

VC = 400 * 5.000 * 0,98; VC = $1'960.000

CTd = $49.000 + $8.000 + $1'960000; CTD= $2'017.000

Debo aceptar esta oferta.

2. Enfoque de cambio de precios

Hay ahorros en el valor de compra (AD) y en los costos por pedidos (A).

Existen recargos en los costos cargados al inventario (R); A > R acepto la propuesta; A < R no aceptamos la propuesta; A = R da lo mismo aceptar una cualquiera de las propuestas, habría que observar algunas condiciones adicionales.

X : Máximo valor en pesos que podemos comprar, de tal manera que A= R si se compra más se incrementan los costos y se rebajan los costos cuando se realiza la operación contraria; A: Consumo promedio anual en pesos; B: Cantidad económica de pedido en pesos.

X = f (A, B, S, I, D )

344

AHORROS:

Problema: La Compañía Caldas compra materia prima para su producción industrial; actualmente compra $4obooooo al año de dicho producto; su proveedor le ha hecho una proposición que consiste en el 1,25% de descuentojti le hace un pedido trimestral; la empresa ha calculado que el costo de hacer un pedido es de $2250 por pedido y que los costos cargados al inventario son del 22%. ¿Debe aceptar la oferta de descuento; si la respuesta es negativa ¿qué contrapropuesta debe hacerle en términos de algún descuento?

345

Ahorros = VC + CPP

RECARGOS:

RECARGOS = CCI

Ahorros = Recargos

Despejando X tenemos:

Solución:

A = $40'000000; D = 0,0125; N = 4 pedidos / año; S = $2250 / pedido; I = 0,22; B = ? ;X = ?;x = ? A = C * R; B = C * Q;

Reemplazando 1) en 2) y despejando D, :

Luego no aceptamos la oferta.

por pedido.

Entonces X, = $ 9.415 por pedido corresponde a lo máximo que podemos comprar con descuento,

x = Exigencia

B = $ 2860 por pedido

X, = $ 9415 por pedido; X2= $ 859 por pedido (Este último resultado se desecha).

1)

2)

346

El anterior sería el descuento mínimo a aceptar, ya que el proveedor nos había ofrecido un descuento de 1,25% si le hacíamos un pedido trimestral.

3. Enfoque de r e b a j a de precios

Nos permite analizar aquellas situaciones en las cuales nos dan una escala diferencial de precios, bien sea de tipo ascendente o descendente, de acuerdo a las cantidades que compremos cada vez.

Para el análisis de los problemas es usual utilizar el siguiente diagrama de flujo: Donde n corresponde al nivel de menor precio (mayor cantidad), RPn es el límite inferior del nivel n

DIAGRAMA DE FLUJO

347

Problema: a la Compañía Colombia se le ha ofrecido una escala de descuentos para el producto X; el costo de pedidos es de $80 por pedido, el costo cargado al inventario es del 22% y el consumo anual es de 5000 unidades; la escala de descuentos es la siguiente:

¿Qué cantidad se debe comprar?

Solución:

R = 5000 unidades / año; S = $ 25 / pedido; I = 0,22; CEP = ?

Q, = 269 unidades por pedido

Q2 = 272 unidades por pedido


Es decir, escogemos Q3 = 276 unidades por pedido, ya que es la única que se encuentra en el intervalo correspondiente a la escala del nivel 3 de los descuentos ofrecidos por el proveedor (dicho intervalo está entre 200 y 3C$inidades).

348



Aplicando el segundo enfoque:

Existencias de seguridad (Z)

Su finalidad es subsanar las deficiencias que se tienen en la entrega de proveedores y/o incrementos en la demanda, es decir, cómo se deben calcular las existencias de seguridad y en qué momento se deben hacer los pedidos.

donde MP: Momento de pedido, TR: Tiempo de reposición y CPD: Consumo promedio diario.

349

Desechamos el último resultado por la definición de la variable X = $ 149159

X = f ( A, B, D, I, S )

A = R * C; A = 5000 * 47,7; A = 238500

B = Q * C; B = 276 * 47,7; B = 13165

En este caso tomamos como respuesta el costo total más bajo $227982, el cual nos dice que debemos comprar en la escala correspondiente a 401 o más unidades.

El cálculo de las existencias de seguridad se debe realizar de tal manera que nos cause los costos mínimos, tanto en costos cargados a las existencias de seguridad como en los costos por agotamiento.

Problema: Se ha comprobado que para el artículo A la cantidad económica de pedido es de 250 unidades con un promedio diario de consumo de 5 unidades, el tiempo de reposición es de 21 días; el número óptimo de pedidos al año es de 5 y el costo por agotamiento es de $3000 por unidad; los costos cargados al inventario son de $400 por unidad. Se tiene la siguiente historia de períodos de renovación (se analizaron 100 períodos de renovación):

Consumo durante el período de renovación (unidades)

Número de veces que se presentó dicho consumo

Probabilidad que se presente dicho consumo (%)

90 7 0,07

95 10 0,1

100 25 0,25

105 50 0,5

110 6 0,06

115 2 0,02

¿A qué valor deben corresponder las existencias de seguridad y cuál es el momento adecuado para pedir?

21 *5 + Z = 105 + Z; suponiendo Z = 0, la situación de arranque es de 105 unidades.

Z = 0; momento de pedido = 105 unidades; probabilidad de agotamiento = 8%

Z = 5; momento de pedido =110 unidades; probabilidad de agotamiento = 2%

Z = 10; momento de pedido=l 15 unidades; probabilidad de agotamiento= 0%

Se debe escoger cuando Z = 5, es decir, cuando existan 110 unidades en bodega es el momento ideal de pedido.

350

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