96

CHƯƠNG 9.

BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI Z

Biến đổi Fourier thường được sử dụng chủ yếu với không gian biến số. Trong một vài trường hợp, vì lý do cần thiết, ta loại bỏ biến thời gian như một biến hoạt động. Phương pháp này được sử dụng trong phép biến đổi Laplace. Các bài toán có không gian của tập xác định không bị chặn nhưng nghiệm bị phân rã nhanh một cách không trông đợi so với điểm ban đầu được giải quyết bằng phương pháp này.

9A. Định nghĩa và tính chất

9.1 Định nghĩa hàm Heaviside. Hàm H được định nghĩa bởi: 0,

(0

1, 0

)t

H tt

được gọi là hàm Heaviside (bậc đơn vị).

Rõ ràng với mọi số thực 0t ta có:

0 00

0 0

0, 0 0,

1, 0( )

1,

t t t tH t t

t t t t

9.2 Chú ý.

Hàm Heaviside H là hàm liên tục từng khúc. Như trong chú ý 2.4, các nội dung và phân tích ta đang xét không bị ảnh hưởng bởi giá trị của hàm liên tục từng khúc tại các điểm mà nó không liên tục. Vì thế, giá trị của hàm Heaviside tại 0, H(0)=1 được chọn vì tính thuận tiện, chủ yếu để hàm H xác định đúng như một hàm số trên toàn trục số, tuy nhiên thực tế điều này không quan trọng lắm.

Trong toán mô hình, ta thường tiếp xúc với các loại dữ liệu vật lý đặc biệt như các xung đơn vị và các nguồn điểm. Chẳng hạn, ta giả thiết rằng một xung đơn vị được tạo ra bởi lực liên tục có cường độ 1/ε tác động trong một khoảng thời gian rất ngắn

0 0; , 02 2

t t

. Ta có thể diễn tả xung đơn vị này dạng toán học như sau:

0

0 0

,

0

1/ ,2 2

0,2

t

t t tg t

t t

Và ta tính được tổng xung là: 0

0

0

2

,

2

1 1. 1

t

t

t

g t dt dt

Ta thấy rằng tích phân ở trên luôn bằng 1. Nếu ta muốn thể hiện rằng xung được sinh

97

ra chỉ tại thời điểm 0t t ta xét giới hạn hàm 0 ,tg t khi tiến về 0, ký hiệu là

0t t .

9.3 Định nghĩa

Cho hàm toán học 0t t được định nghĩa bởi:

i) 0 00,t t t t

ii) 0 1t t dt

Hàm này được gọi là hàm Dirac Delta.

9.4 Chú ý

i) Từ định nghĩa 9.3 dễ thấy rằng hàm không thể nhận giá trị hữu hạn tại 0t ,

bởi vì khi đó tích phân của hàm này trên toàn trục sẽ là 0 chứ không phải là 1. Hệ quả

là không phải một hàm số. Chính xác thì δ được gọi là một hàm phân bố (hàm tổng

quát) và nội dung của nó nằm ngoài mục đích của tài liệu này.

ii) Nếu 0t t ta có: 0 0 0t t

t d d

Nếu 0t t ta có thể tìm 0 đủ nhỏ sao cho 0 2t t

; do đó sử dụng hàm

0 ,tg được giới thiệu ở trên ta có:

0

00

/2

0 , /20 0

1lim lim 1

t t t

t tt d g d d

Do đó kết hợp các kết quả trên ta có thể viết:

0 0

tt d H t t

Nói cách khác ta có:

0 0H t t t t

iii) Nếu f là hàm liên tục, theo định lý giá trị trung bình tồn tại t’ thỏa mãn

/ 2 ' / 2t t t sao cho:

98

/2

,0 0

/2

0

1lim lim

1lim / 2 / 2 '

t

tt

f t d f g d f d

f t d t t f t f t

Trong lý thuyết phân bố, δ, trên thực tế, được xác định một cách nghiêm ngặt

bởi một công thức thuộc loại này và không như trong Định nghĩa 9.3. Cũng giống như

vi phân, phép tính tích phân vế trái phương trình trên được hiểu theo nghĩa rộng, theo

nghĩa phân bố.

iv) Hàm Dirac delta có thể được sử dụng trong bài toán thành lập trên khoảng

nữa hữu hạn hay khoảng hữu hạn. Trong những trường hợp đó, nó đại diện cho giới

hạn của phân bố này trên khoảng tương ứng.

9.5 Định nghĩa.

Biến đổi Laplace của một hàm , 0f t t được xác định bởi:

0

stf s F s f t e dt

với s gọi là tham số biến đổi.

Phép biến đổi Laplace ngược được tính toán bằng kỹ thuật biến phức là:

1 1

2

c ist

c i

F t f t F s e dsi

Các toán tử , 1 được gọi là phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Laplace

ngược.

9.6 Chú ý. Toán tử có thể áp dụng với các lớp hàm rộng hơn toán tử .

9.7 Định lý (điều kiện đủ để tồn tại phép biến đổi Laplace)

Cho f là hàm liên tục từng khúc trên [0, ) . Giả sử tồn tại hằng số C và sao cho:

, 0tf t Ce t

thì f s F s tồn tại với mọi s .

9.8 Ví dụ.

i) Hàm số 1, 0f t t thỏa mãn các điều kiện của định lý 9.7 với C=1 và 0 .

Ta có: 0

0

1 11. , 0st stF s e dt e s

s s

99

ii) Hàm số 2 , 0tf t e t thỏa mãn các điều kiện của định lý 9.7 với C=1 và 2 .

Ta có: 22

0 0

1. , 2

2s tt stF s e e dt e dt s

s

iii) Tốc độ tăng của hàm 2

, 0tf t e t khi t nhanh hơn hàm mũ được mô tả

trong Định lý 9.7. Do đó, hàm này không có biến đổi Laplace.

9.9. Định lý (các tính chất của biến đổi Laplace)

i) Toán tử là toán tử tuyến tính.

1 2 221 112 c cc f c f f f

Với 1 2,f f là các hàm có biến đổi Laplace và 1 2,c c là các số tùy ý.

ii) Nếu ,u u x t và , ,u x s U x s thì:

2

, ( ) ( )

,

, ,0

, ,0 ,0( ) ( ) ( )

t

ttt

u sU x s u x

s U x s su

x s

u x xx us

iii) Với cùng hàm u như trên, đạo hàm theo biến x và biến đổi Laplace được

tính như sau.

, ,, ( )x xu x s u x ss U x

iv) Biến đổi Laplace của tích chập hai hàm số:

*f g f g

Trong đó:

0 0

* *t t

f g t f g t d f t g d g f t

9.10. Chú ý

i) Giống như biến đổi Fourier, nói chung .f g f g

ii) Toán tử 1 cũng là một toán tử tuyến tính

Bảng biến đổi Laplace của một số hàm thường dùng được cho trong bảng A5

phần phụ lục như dưới đây.

100

101

9.11 Ví dụ. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 2

1

1s s

Ta có (xem bảng A5)

1

s là biến đổi Laplace của hàm hằng 1f t hay 1

1 ss

2

1

1s là biến đổi Laplace của hàm sing t t hay 2

1sin

1t s

s

Vậy theo Định lý 9.9 về tích chập ta có:

22

1 1 1. 1 . sin 1*sin

11t t

s ss s

Do đó:

12

0 0

11*sin 1.sin sin 1 cos

1

t t

t t dt dt ts s

Cách khác. Đưa 22

1 1

11

s

s ss s

và sử dụng biến đổi ngược Laplace cho từng số

hạng.

9.12. Chú ý

Cách dễ nhất để tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm phân thức là phân rã

(tách) thành nhiều phân thức với bậc nhỏ hơn và đơn giản hơn. Chẳng hạn tìm biến đổi

ngược của hàm sau:

2

2 22

3 2 12 3 2

24

s s

s ss s

Khi này áp dụng các công thức trong bảng phụ lục A5 ta có:

2

12

3 2 123 sin 2

4

s st

s s

9.13 Một vài tính chất

Nếu f s F s thì:

) ,

) , 0

at

bs

i e f s F s a s a const

ii H t b f t b s e F s b const

102

9.14 Ví dụ.

Vì 22 32

2sin 2 , [ ( )] [ ]3

4

2 ,

9

scos t t

s s st

Nên theo định lý 9.13 ở trên ta có:

2 22 3

52

2sin 2 , [ ( )]

5 4cos 3 , [ 2 ]

1 42 2

5 9

t t se ts

t t H t eess s

Vậy

252

2

2 3

2sin 2 ( ) 2

5 4cos 3 2 2

51 4 9

t st st t H t ee

s se t

s

9.15 Ví dụ.

Tương tự ta có:

1 12 2 2 2 22

12 2

1 1 1 1

2 10 4 21 3

1 1 1cos3 1 sin 2 1

22 10 4

s s

s t

s se e

s s s ss

se e t H t t

s s s

9B. ỨNG DỤNG

Bài toán tín hiệu cho phương trình sóng.

Xét một sợi dây đàn hồi rất dài trọng lượng không đáng kể, ban đầu ở trạng thái

nghỉ (trạng thái cân bằng), với độ chênh lệch theo phương ngang (tín hiệu) được mô tả

tại điểm đầu ở gần và hoạt động cơ học giảm đáng kể ở điểm biên ở xa. Một bài toán

như thế được mô hình toán học bằng bài toán biên giá trị ban đầu dạng:

2 0 0

0 0

0

0 0 0 0 0

, , , , ,

, , ,, bò chaën khi ,

( ) ( )

( ) ( ) ,

, , , ,)

) (( ) (

tt xx

t

u x t c u x t x t

u t f t tu x t x tu x u x x

Ta sử dụng các ký hiệu sau:

[ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ), , ,u x s U x s f s F s

Áp dụng cho phương trình và các điều kiện, sử dụng tính chất của biến đổi Laplace

trong Định lý 9.9 ta có bài toán biến đổi sau:

2 2 0

0

, , , ,,( ) ( )

( ) ( )( )

, bò chaën khi .

s U x s c U x s xU s F sU x s x

103

Phương trình vi phân thường ở trên ta viết lại dạng sau:

2

0

( ) (, ), U x s U x ssc

Nghiệm tổng quát là:

1 2 ( )/ ( / )( ) ( ), ) ( s c x s c xU x s C s e C s e

Trong đó C1(s) và C2(s) là các hàm ngẫu nhiên đối với tham số biến đổi.

Do U(x,s) cần bị chặn khi x → ∞, nên ta suy ra C1(s) = 0. Khi này từ điều kiện biên ta

dẫn đến C2(s) = F(s)

/ ) ( )/(( (, ) ( ) )s c x x c sU x s F s e F s e

Theo định lý 9.13 ý ii) nghiệm của bài toán ban đầu là:

1

0 0

/( )( ) ( ) ( )

, // ,

, /

,/

/x scu x t F s e H t x c f t x c

ut x c

f t x c t x cx t

Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng:

0

,/ ,

,x tc

f t x c x tx t

cu

Khi này hàm u(x,t) là hàm hằng khi 0 x tc . Theo nghĩa vật lý điều này có nghĩa là

nghiệm là một sóng có hình dạng cố định (được xác định bởi điều kiện biên f) với tốc

độ biến đổi dx cdt

. Công thức (9.3) cho thấy rằng tại thời điểm t các tín hiệu xuất phát

từ x= 0 và không chạm đến các điểm x>ct, các điểm này vẫn ở trạng thái nghỉ ban đầu.

9.16 Chú ý. Kết quả ngược tương tự có thể đạt được bằng cách sử dụng tích chập.

Theo công thức 12 trong bảng A5 ta có: /( ) ( )/x c se t x c do đó ta có thể viết:

( / )( ) ( ) (, ) ) / * /(x c sU x s F s e f t x c f t x c

Từ đó ta có:

1

0

, , * / ( /( ) )t

u x t U x t f t x c x cf dt

104

Nếu /t x c thì / 0t x c do đó ( )/ 0t x c nên , 0u x t khi

x tc

Nếu /t x c thì / 0 0 /t x c t x c t do đó theo công thức

(9.1) ta có:

0 0

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

x x xf t d f t d f tc cu x t c

Kết quả này tương tự kết quả (9.3)

Truyền nhiệt trên thanh nửa hữu hạn.

Một thanh rất dài không có nguồn nhiệt, với một đầu ở gần được giữ trong

không khí mở với nhiệt độ 0, với các hoạt động thermal được bỏ qua tại đầu mút ở xa

và hằng số phân bố nhiệt ban đầu được mô tả bởi bài toán IBVP sau đây:

0

0 0

0 0 0 0

0

0 0

( ) ( )

( )

( )

, , , , ,

, , , ,

, bò chaën khi , , ) (

,,

t xx

x

u x t u x t x t

u t u t t

uu const

x t x tu x x

Đặt [ ]( ) (, , )u x s U x s và áp dụng cho phương trình và các điều kiện, ta có bài

toán biến đổi sau:

0 0 0

0 0 0

( ) (, , , ,

, ,

, .

)

( )

( )

U x s sU x s u x

U s U s

U x s bò chaën khi x

Nghiệm tổng quát của bài toán dạng:

1 2 0

1 . .( ) ( ) (, )s x s xU x s C s e C s e us

Trong đó C1(s) và C2(s) là các hàm ngẫu nhiên đối với tham số biến đổi.

Do U(x,s) cần bị chặn khi x → ∞, nên ta suy ra C1(s) = 0. Khi này đạo hàm hai vế và

sử dụng điều kiện biên tại x=0 ta được:

2 2 0

10 ( ) ( )C s s C s u

s

Từ đó ta có:

02

1

( )

uC s

s s từ đó:

105

0

0 0

1 1 1

1 1

. .,( ) s x s xuU x s e u u e

s ss s s s

Tính toán và biến đổi Laplace ngược ta được (kết hợp công thức bảng A5)

10 1

2 2

( ) [ ]( ), , x tx xu x t U x t u erfc erfc t e

t t

Các bài toán biên giá trị đầu trên thanh nửa vô hạn có thể được giải bằng cùng một

phương pháp.

9C. BIẾN ĐỔI Z

Trong phần này ta mở rộng lý thuyết về tín hiệu rời rạc thông qua biến đổi

Laplace. Ta xem xét hàm f(t) với t là biến số thực, thể hiện thời gian. Ta giả sử t là

biến chỉ nhận các giá trị 0,1,2,… có nghĩa là t chỉ nhận các giá trị nguyên dương.

Trong ứng dụng, đôi khi ta xét cả trường hợp t là biến liên tục, tương ứng với việc đo

trong các khoảng thời gian bằng nhau.

Một hàm với biến số nguyên thường được viết dạng dãy số. Phần sau ta cũng

viết như vậy, ít nhất là trong phần mở đầu,

Cho 1

n na là một dãy số. Ta xây dựng chuỗi vô hạn

0 0

nnnn

n n

aA z a z

z

Nếu chuỗi số hội tụ thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối bên ngoài một đường tròn nào đó

trong mặt phẳng phức (mặt phẳng z). Thông thường miền hội tụ (ROC) là một tập hợp

trong mặt phẳng z có dạng z với 0 (đôi khi chuỗi hội tụ tại các điểm trên

đường tròn z nhưng trường hợp này ít quan trọng). Chuỗi lũy thừa là chuỗi dạng

này và có thể qua cả lũy thừa âm và lũy thừa dương của z, được gọi là chuỗi Laurent.

(một trường hợp riêng là chuỗi Taylor không chứa lũy thừa âm của z; trong trường hợp

đang xét ta xét trường hợp ngược lại, đó là không có lũy thừa dương).

Điều kiện cần và đủ để cho chuỗi hội tụ là tồn tại M và R sao cho: n na MR

với mọi n. Điều kiện này cũng tương tự như điều kiện tăng trưởng mũ đối với các hàm

trong biến đổi Laplace.

106

Hàm A(z) gọi là biến đổi Z của dãy 1

n na . Nó có thể được sử dụng để giải

các bài toán liên quan đến chuỗi, tương tự như sử dụng biến đổi Laplace có thể được

sử dụng để giải các bài toán đối với hàm thông thường. Ứng dụng quan trọng nhất là

trong điện tử, hệ thống cơ khí và điều khiển tự động.

Khi sử dụng biến đổi Z, ta phải có kiến thức về chuỗi hình học. Nhớ lại rằng

chuỗi hình học là chuỗi dạng:

0

n

nw trong đó w có thể là số thực hay số phức.

Chuỗi này hội tụ nếu |w| < 1 và tổng của chuỗi là 1/(1 -w). Ta có thể sử dụng theo cả

“2 hướng” như trong ví dụ dưới đây.

9.17. Ví dụ. Cho 1 ,na n . Hãy tìm biến đổi Z của dãy trên.

Giải.

Ta có biến đổi Z là: 0 0

1 1 11 1

1

n

nn n

zz zz

z

Chuỗi trên hội tụ khi 1z . Mặt khác nếu là số phức khác 0 thì ta có thể viết:

0 0

1

1

,n n

nn n

zB zz z z

z

Điều này có nghĩa là B z là biến đổi Z của dãy 0 ,nnb n .

9.18. Ví dụ. Cho dãy số na xác định bởi: 0 11 2 , a a và 2 13 2 n n na a a (3.9)

Hãy tìm công thức tổng quát cho dãy số trên.

Giải.

Phương trình : 2 13 2 n n na a a được gọi là phương trình sai phân, cũng gần

giống như phương trình vi phân. Nếu phương trình vi phân dùng để mô tả quá trình

trong thời gian liên tục thì phương trình sai phân dùng để mô tả quá trình trong thời

gian rời rạc.

Đầu tiên ta nhân hai vế phương trình với nz và lấy tổng. Ta có:

2 10 0 0

3 2

n n nn n n

n n na z a z a z

107

Ta xét biến đổi Z của dãy số trên. Ta có:

322 3

0

21

...nn

n

aaA z a z

z z z

Chú ý rằng:

11 0 0

0 1 1 0

1

n k k k

n k k kn k k k

a z a z z a z z a z a z A z a z A z

Tương tự ta có:

2 2 2 1 2 12 0 1

0 2 2 0

1 2

n k k k

n k k kn k k k

a z a z z a z z a z a a z z A z z

Từ đó ta có phương trình:

2 21 3 1 2

2

zz A z z A z A z A zz z

Từ ví dụ trên ta thấy 2

zA z

z là biến đổi Z của dãy 2 n

na

Vậy công thức của dãy số cần tìm là: 2 0 1 2 , , , ,...nna n

Sinh viên có thể tự kiểm tra lại công thức trên.

9.19. Ví dụ.

a) Biến đổi Z của : 0 { }n

na là 0

,n n

n

za z z zz

b) Biến đổi Z của : 0

1

!{ }nan

là 1

0

0

/ ,!

nz

n

za z e zn

c) Dãy số 0 { }! na n không có biến đổi Z vì chuỗi

0

! n

nn z phân kỳ với mọi giá trị

của Z.

Như đã phát biểu, điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Z là các giá trị của dãy số

na tăng trưởng thấp hơn hàm mũ (tăng trưởng tối đa theo hàm mũ), nghĩa là

nna MR với M và R là hai hằng số nào đó. Dễ dàng thấy rằng điều kiện này ngầm

đưa đến kết quả là chuỗi hội tụ với mọi z nằm ngoài đường tròn tâm 0, bán kính R

nghĩa là z R

108

Sau đây là một số tính chất của biến đổi Z.

Đặt , ,n n n na a b b a b a b và na a

Ký hiệu biến đổi Z của các dãy trên là: ,A a B b

Bán kính hội tụ của biến đổi Z của dãy a ký hiệu là: a . Điều này có nghĩa là chuỗi sẽ

hội tụ khi z a và phân kỳ khi z a .

9.20. Định lý.

a) Biến đổi Z có tính chất tuyến tính:

b) Nếu là số phức và 0 1 2 , , , ,...nn nb a n thì:

/ , aB z A z z

c) Nếu k là số nguyên dương cố định và 0 1 2 , , , ,...n n kb a n thì:

11 20 2 1

10 1 1

...

... ,

k kk

k k kk a

aa aB z z A z a

z z z

B z z A z a z a z a z z

d) Ngược lại nếu k là số nguyên dương và ,n n kb a n k và 0 ,nb n k thì:

kB z z A z

e) Nếu 0 1 2 , , , ,...n nb na n thì , aB z zA z z

9.21. Ví dụ. Tìm biến đổi Z của chuỗi 0 1 2

, , , ,...!

n

nc nn

Sử dụng ví dụ 9.19 b và tính chất b) trong định lý 9.10 ta có:

Ta có: 1 / / /z zC z e e

9.22. Ví dụ. Tìm công thức cho dãy số Fibonacci, được định nghĩa bởi:

0 1

2 1

1

0

,

,n n n

f f

f f f n

Giải.

Đặt F f . Áp dụng biến đổi Z cho dãy ta có:

2 2 ( ) ( ( ) ) ( )z F z z z zF z z F z

109

Từ đây ta giải được: 2

2 21 1

·

( ) z zF z z

z z z z

Để tìm lại công thức cho dãy nf ta nên khai triển biểu thức trên thành các phân số

đơn giản và sử dụng bảng biến đổi Z. Chú ý phân số phải chứa z ở dưới mẫu số. Ta có:

2 1

( )F z z A B

z z zz z

Bằng tính toán ta được:

1 5 1 5 5 1 5 1

2 2 2 5 2 5

-, , , A B

Vậy ta có:

( ) Az BzF zz z

Dùng bảng biến đổi Z ta được:

5 1 1 5 5 1 1 5

2 22 5 2 5

-. .n n

n nnf A B

Ta viết lại công thức dạng:

1 11 1 5 1 5

0 1 22 25

-. , , , ,...n n

nf n

9.23. Tích chập của hai dãy số: 0 0

0 1 2

, , ,...n n

n n k k k n kk k

c a b a b n

Ký hiệu: * *c a b b a hay * *n n nc a b b a

Tính chất: .C z A z B z , miền hội tụ max ,a bz

9.24. Ví dụ. Tìm công thức của 0 1 2, , , ,...x t t biết 0

3 2 0 1 2

, , , ,...t

k t

kx t k t

Nhận xét: dễ thấy vế trái là tích chập của hai dãy số 1

3

t

và x t .

Sử dụng biến đổi Z cho mỗi thành phần ta được:

1 13 2

z zX zz z

.

110

Từ đây ta tính toán được: 1 11 132 2

zX zz z

Từ định lý có: 1

1 0

11 2 1 2 1

3

,

/(

,)

/t t

tx t

t

Thu gọn ta được: 1

1 1 11 2 1

6 2 3

. , . ,t

tx t t hay x t t

Trong ví dụ cuối dưới đây, ta chỉ ra rằng biến đổi Z là trường hợp đặc biệt của biến đổi

Laplace. Phần này ta sử dụng biến đổi của hàm Dirac delta.

9.25. Ví dụ. Cho dãy na có biến đổi Z là A z và hàm f xác định bởi:

0 0

n n nn n

f t a t a t n

Biến đổi Laplace của hàm trên là:

0 0 00

nst ns s s

n n nn n n

F s a t n e dt a e a e A e

Như vậy nếu ta đổi biến sz e thì hai phép biến đổi là như nhau.

BÀI TẬP BIẾN ĐỔI Z

1. Xác định biến đổi Z của các dãy số sau:

213 2

2

· ·

nn n

n n na a b a n c a n

2. Xác định dãy số na biết biến đổi Z của nó là:

1

3 2

za A z b A zz z

3. Xác định dãy số ,n na b biết: 1

1

20 1 2

1

, , ,...n n

n n

a b nn

a b

4. Xác định dãy số ,n na b biết 0 00 1 ,a b và 1

1

20 1 2

0

, , ,...n n

n n

a bn

a b

5. Xác định dãy số na biết 0 10 0 ,a a và 2 13 2 1 2 0 1 2 , , , ,...n n na a a n n

111

6. Xác định dãy số na biết 0 10 0 ,a a và 2 12 1 0 1 2 . , , , ,...n

n n na a a n n

7. Xác định dãy số na biết 0 11 3 ,a a và 2 2 4 0 ,n na a n n

8. Xác định dãy số y t biết 0 1 2 3 , , , ,...t sao cho:

0

0 03

1 1 2 3

(

, , ,...)

tt k

k

tt k y k

t