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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CÁLCULO 1

Primera Práctica

Ciclo Verano 2015-0

1. Hallar el dominio, rango y gráfica de la siguiente función,

() =| + 1| | 1|

(4 ptos.)

2. Dadas las funciones y

() = 2+1 , ≥ 12 y () = −1Halle ∘ , indicando su dominio. (4 ptos.)

3. Usando la definición de límite, demuestre que

lim→1 �5 3

√ = 2

(4 ptos.)

4. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a. Si lim→ () existe y lim→[ () + ()] no existe, entonces

lim

→ (

) no existe. (1 pto.)

b. Si lim→ () existe, entonces () existe. (1 pto.)

5. Calcule los siguientes límites, (2 puntos cada uno)

a. lim→4 (), sabiendo que |() + 5| ≤ 3(4 )2.

b. lim→0 √ 1+sin−√ 1−sintan

c. lim

→0 1−sec

San Miguel, 23 de enero del 2015

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones

que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

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CÁLCULO 1

Segunda Práctica

Ciclo Verano 2015-0

1.

Dada la función

() =

√ 22 1

, < 1/2

( 1)22 + 1

, > 1/2

Halle las asíntotas de la gráfica de y esboce la gráfica indicando los puntos de

intersección con los ejes coordenados. (6 ptos.)

2.

Dada la función

() =

5 + + 2 sin( 1/) , < 0

0 = 0

+ 5 2 cos(1/) , > 0

Halle los valores de y para que la función sea continua en = 0. (4 ptos)

3.

a.

Proporcione un ejemplo de una función tal que lim→

|

(

)| exista pero

lim→ () no exista. (2 ptos.)

b.

Sea : → una función continua. Demuestre que

lim→0 ( ) = ().

(2 ptos.)

4.

Demuestre que la ecuación sin = tiene al menos una raíz positiva. (3 ptos.)

5.

Dada las funciones

() =

( 1)2 + 1, < 4

10 = 4

3 2, > 4

y () = (−1)−4

−2 . Halle (3 ptos.)

lim→5( ∘ ) ()

San Miguel, 30 de enero del 2015



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CÁLCULO 1

Tercera Práctica

Ciclo Verano 2015-0

1.

El límite de velocidad en una autopista recta es de 65 km/h. Suponga que en un

punto un policía de caminos midió la velocidad del conductor y 1/2 hora

después, 35 km. de , un segundo policía también midió la velocidad del

conductor. Aunque los dos policías determinaron que el conductor se mantuvo

balo el límite de velocidad en los dos puntos y , el segundo policía detuvo al

conductor por alta velocidad. Usando el Teorema de Valor medio, verifique que

en realidad el conductor rebasó el límite de velocidad en algún punto entre y .

(Suponga que la ecuación de movimiento del conductor es () y que esdiferenciable).

(4 ptos.)

2.

Un embudo de forma cónica tiene un diámetro de 10 en su parte superior y

8 de altura. El agua entra al embudo a una velocidad de 12 3/ y sale de él

a una velocidad de 4 3/. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando éste

tiene una altura de 5 .? (4 ptos.)

3.

a.

Sea () = 2 cos

Usando el teorema de Rolle, demuestre que existe un ∈ ]0,/2[ tal que

tan = 2/. (2 ptos.)

b.

Calcule aproximadamente √ 10

(2 ptos.)

4.

La rigidez de una viga rectangular es proporcional a su ancho y al cubo de su

espesor. Determine las dimensiones de la viga de mayor rigidez que pueda

cortarse de un tronco con forma de cilindro circular recto cuyo radio es de 50 cm.

(4 ptos.)

Continúa…



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5.

Dos partículas y se mueven hacia la derecha sobre una recta horizontal. Ellas

inician su movimiento en el punto . Las leyes de movimientos son

= 42 + 5 ( ) = 72 + 3 ( )

Si en = 0 están en el inicio, ¿para qué valores de la velocidad de la partícula excederá la velocidad de la partícula de ? (4 ptos.)

San Miguel, 13 de febrero del 2015



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CÁLCULO 1

Cuarta Práctica

2015-0

1.

Grafique la siguiente función indicando sus asíntotas, intervalos de monotonía,

extremos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. (7 ptos.)

() = � 2

( 1)2 , < 1

−/2 , ≥ 1

2.

Halle la ecuación de la recta

que pasa por el punto

(12 , 2) de modo que el área

del triángulo que forma con los semiejes positivos sea mínimo. (4 ptos)

3.

Sea : → una función derivable tal que (0) = 0 y ′′() > 0, ∀ ∈ .

a.

Demuestre que ′() () > 0,∀ ∈]0,∞[. (2 ptos.)

b.

Usando la parte a), demuestre que () = ()/ es una función creciente

en ]0,∞[. (2 ptos.)

4.

Calcule los siguientes límites

a. lim→ sin/2+cos1+sin +cos (3 ptos.)

b. lim→0 −1sin (2 ptos.)




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PRIMER EXAMEN DE CÁLCULO 1

Ciclo Verano 2015-0

Indicaciones:

Resuelva cinco (5) de los siguientes seis (6) problemas.

Al finalizar la prueba, marque en la parte posterior del cuadernillo la pregunta que no

contestó. Si resuelve todas las preguntas y no indica cuál debe eliminarse, no se le

considerará aquella en la que haya obtenido el mayor puntaje.

Resuelva las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5 6

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

1.

Sea : → la función definida por

() =

⎩|6 + 9|√ 42 − 9

< −3/2

83(2 + 3)2 > −3/2

Calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de la gráfica de y bosqueje lagráfica de . (4 ptos.)

2.

Sean ,: → dos funciones derivables en = tal que () ≠ 0. Demuestre que

′ () = ′()()− ()′()

[()]2

(4 ptos.)

3.

a.

Sea

: [

,

]

→ [

,

] una función continua. Demuestre que existe un

∈ [

,

] tal

que () = . (2 ptos)

b.

Calcule el siguiente límite:

lim→1 1

1− − 3

1− 3 (2 ptos.)

1 de 2



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4.

Dada la función

() = � 2 sin(1/) + > 0

0 = 0

3 cos(1/) + + < 0

Halle los valores de y para que () sea derivable en = 0. (4 ptos.)

5.

a.

Sea () = (cos )√ 1 + sin2 ,

halle ′(). (2 ptos.)

b.

Sea ′() = 1/ . Si () es una función derivable tal que ∘ () = ,

demuestre que

′(

) =

(

) (2 ptos.)

6.

a.

Halle la derivada de orden de la función () = sin2

(2 ptos.)

b.

Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función () definida

implícitamente por la ecuación + =

en el punto de abscisa = 0 . (2 ptos)


2 de 2



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SEGUNDO EXAMEN DE CÁLCULO 1

Ciclo Verano 2015-0

Indicaciones:

Resuelva cinco (5) de los siguientes seis (6) problemas.

Al finalizar la prueba, marque en la parte posterior del cuadernillo la pregunta que no

contestó. Si resuelve todas las preguntas y no indica cuál debe eliminarse, no se le

considerará aquella en la que haya obtenido el mayor puntaje.

Resuelva las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5 6

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

1.

Sea : → la función definida por

() =

⎩

> 0

5

2/3

5/3

≤ 0

Halle las asíntotas horizontales, verticales, intervalos de monotonía y de concavidad,

puntos extremos, puntos de inflexión y bosqueje la gráfica de .

(4 ptos.)

2. Si la longitud de una de los catetos de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es

constante e igual a 30 cm, está aumentando a razón de 1/ cm/seg. ¿A qué razón está

variando el volumen del cono generado por la rotación de dicho triángulo alrededor del

otro cateto cuando el radio del cono mide 5 cm?

(4 ptos.)

….continúa



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3.

a.

Demuestre que, para todo > 0

( + 1) ln( + 1) >

(2 ptos)

b.

Sea : → una función tal que ´() > 0,∀ ∈ . Demuestre que ( −1)´() es

una función creciente. (2 ptos.)

4.

Calcule las siguientes integrales indefinidas.

a. ∫

cos (2+tan )

b. ∫ √

√

5.

a.

Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria con condición inicial:

� ( + 2)´ = 1 + 2´(0) = 2

(3 ptos.)

b.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la solución hallada en la

parte a) en el punto (0,2). (1 pto.)

6.

a.

Demuestre que existe una única solución de la ecuación = 2

en el intervalo ]0,1[.

(3 ptos.)

b.

Calcule el siguiente límite

lim→02()

3

(1 ptos)




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