Pontificia UniversidadCatlica de ValparasoTutorias Virtuales-Clculo Integral y SeriesAyudante: Catherine Hardy G.

Pauta de Correccin Gua N 2 Integrales

1) x sin4xdx = 116 sin 4x 14 x cos4xSean:

u = x dv = sin4xdxdu = dx v = cos4x4

Reemplazando en udv = uv vdu (Integracin por partes)

x sin4xdx = cos4x4 x cos4x

4 dx

=cos4x

4 x +14 cos4xdx

=cos4x

4 x +14

sin4x4 + C

= 14 cos4xx +1

16 sin4x + C

2) x2 sin xdx

Sean: u = x2 dv = sin xdxdu = 2xdx v = cosx

Utilizando la frmula de integracin por partes: x2 sin xdx = x2 cosx cosx2xdx

= x2 cosx + 2 x cosxdx

Nuevamente utilizando integracin por partes

Sean z = x dw = cosxdxdz = dx w = sin x

x cosxdx = x sin x sin xdx = x sin x + cosx

Reemplazando en x2 sin xdx = x2 cosx + 2x sin x + cosx = x2 cosx + 2x sin x + 2 cosx + C

3) ex cos3xdx

Sean:u = ex dv = cos3x

du = exdx v = sin3x3

ex cos3xdx = ex sin3x3 ex sin3x

3 dx

= exsin3x

3 +13 e

x sin3xdx Seanu = ex dv = sin3xdu = exdx v = cos3x3Por lo tanto: ex sin3xdx = cos3x3 e

x ex cos3x3 dx =cos3x

3 ex 13 e

x cos3xdxReemplazando en :

ex cos3xdx = ex sin3x3 +13

cos3x3 e

x 13 ex cos3xdx

ex cos3xdx = ex sin3x3 19 cos3xe

x

19 e

x cos3xdx + ex cos3xdx = ex sin3x3 19 cos3xe

x

109 e

x cos3xdx = ex sin3x3 19 cos3xe

x

ex cos3xdx = 310 ex sin3x 110 cos3xe

x + C

4) cosx lnsin xdxSean:u = lnsin x dv = cosxdxdu = 1

sin x cosxdx v = sin x

cosx lnsin xdx = sin x lnsin x sin x 1sin x cosxdx = sin x lnsin x cosxdx

= sin x lnsin x cosxdx= sin x lnsin x sin x + C

5) arcsin xdxSean

u = arcsin x dv = dxdu = 1

1 x2dx v = x

arcsin xdx = x arcsin x x 11 x2

dx

Ocupando el mtodo de sustitucin simple:Sea z = 1 x2

dz = 2xdx dz2 = xdx

x 11 x2

dx = 12 1z

dz = 12 z 12 dz = 12

z12

12

= z = 1 x2

Reemplazando en arcsin xdx = x arcsin x + 1 x2 + C

6) 2x ln x3dxSean: u = ln x3 dv = 2x dx

du = 1x3

3x2dx v = 23 2 x 3

du = 3x dx 2x lnx3dx = 23 2 x 3 lnx3 23 2 x 3 3x dx

= 23 2 x 3 lnx3 2 2 x

12 dx

= 23 2 x 3 lnx3 2 2 x

32

32

= 23 2 x 3 lnx3 43 2 x

3+ C

7) x sin x cosxdxSean u = x sin x dv = cosxdx

du = sin x + x cosxdx v = sin x

x sin x cosxdx = x sin2x sin xsin x + x cosxdx x sin x cosxdx = x sin2x sin2xdx x sin x cosxdx

2 x sin x cosxdx = x sin2x sin2xdx

sin2xdx = sin x sin xdxSea u = sin x dv = sin xdx

du = cosxdx v = cosx

sin2xdx = cosx sin x cosx cosxdx sin2xdx = cosx sin x + cos2xdx sin2xdx = cosx sin x + 1 sin2x dx sin2xdx = cosx sin x + dx sin2xdx

2 sin2xdx = cosx sin x + x

sin2xdx = 12 cosx sin x +12 x

Reemplazando en 2 x sin x cosxdx = x sin2x sin2xdx2 x sin x cosxdx = x sin2x 12 cosx sin x +

12 x + C

2 x sin x cosxdx = x sin2x + 12 cosx sin x 12 x + C

x sin x cosxdx = 12 x sin2x + 14 cosx sin x

14 x + C

8) ln xx

dx

Sean u = ln x dv = 1x

dx

du = 1x dx v = 2 x

ln xx

dx = 2 x ln x 2 x 1x dx

= 2 x ln x 2 x 12 dx= 2 x ln x 2 x

12 +1

12 + 1+ C

= 2 x ln x 4 x + C