7/26/2019 Pauta Control 1 Bloque 1-2

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Pauta Control 1 Taller Bloque 1-2

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Nombre:

1. Encontrar enR el conjunto solucion de la inecuacion: 2x + |x 5| 25

|x 5|.

Solucion: De inmediato se ve que una restriccion es x= 5. Notar que, bajo la premisa de que x= 5, esposible multiplicar toda la ecuacion por|x 5|sin necesidad de separar por casos, puesto que |x 5|> 0si x= 5. Por lo anterior, se tiene que:

2x|x 5| + (x 5)2 25, x= 5

Separando por casos:

Si x 5, |x 5|= x 5, y con ello la inecuacion se reduce a 3x2 20x 0, lo cual se cumple six] , 0] [20

3 , [. Sin embargo, recordar que x >5, y como 5 < 20

3, se concluye que la solucion

para este caso es el intervalo [ 203

, [.Finalmente, el conjunto solucion viene dado por S= {0} [20

3, [.

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2. Sean a, b R y a= 0. Demuestre que si a es racional y ab es irracional, entonces b es irracional.

Solucion: Por contradiccion: Supongamos que a es racional, ab es irracional y b es racional. Como tanto

a y b son racionales, entonces es posible escribira = m1

n1, b=

m2

n2, con m1, m2, n1, n2 Z, n1, n2= 0.

Por lo anterior, se sigue que la expresion:

ab= m1m2

n1n2

es racional, puesto que Q es cerrado con el producto, lo que es una contradicci on.