Pascal

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Artculo solicitado por Suma en febrero de 2012 y aceptado en abril de 2012

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Hace

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ace 350 aos, el 19 de agosto de 1662, a la tem-prana edad de 39 aos, mora en Pars Blaise

Pascal, un espritu genial y polifactico, que dedictodos sus esfuerzos a materias tan dispares comoMatemticas, Filosofa, Fsica, religin, y tecnolo-ga, y en todas ellas dej pruebas de su extraordinariainteligencia y un talento singularmente original.

eran tiempos convulsos en la Francia del siglo xVii,siglo dominado, en su primera mitad, durante losreinados de Lus xiii y Lus xiV, con sus ministrosrichelieu, y Mazarino, por las guerras de religinentre catlicos y protestantes, y los abundantes con-flictos civiles. eran tiempos as mismo de grandesavances cientficos, en particular matemticos. Lafigura del fraile Marin Mersenne, filsofo, fsico,matemtico, y entendido en Msica y Medicina, seconverta en el catalizador de un notable grupo deintelectuales, entre los que se encontraban Descartes,Fermat, Desargues, torricelli, roberval, Huygens,etc. Mersenne se carteaba con ellos y los acabarareuniendo en sesiones de estudio e intercambio deideas, sesiones que constituiran el germen de la fu-tura academia de Ciencias de Francia.

Blaise Pascal haba nacido en Clermont (hoy Cler-mont-Ferrand), capital del departamento de Puy-de-Dme y de auvernia, el 19 de junio de 1623.

Blaise Pascal:

un matemtico virtuoso

Santiago gutirrez VzquezSeccioneSJulio 2012

H

pp. 105-114

S70-Hace (2)_Maquetacin 1 25/06/12 23:28 Pgina 105

SAntiAgo gutirrez

Segundo hijo de tienne Pascal y antoinette Begontena dos hermanas, gilberte, mayor que l, y Jac-queline, ms pequea, a la que se sinti siempremuy unido. Desde su nacimiento, Blaise mostr unasalud muy endeble, con gran preocupacin de suspadres. tienne, jurista, era a la sazn presidentedel tribunal de impuestos, y un gran aficionado alas Matemticas, a la Fsica y a las lenguas clsicas.antoinette muri en 1626, de modo que tiennedecidi ocuparse personalmente de la educacin delos tres nios, en especial de Blaise, que desde muypequeo daba muestras de una notable inteligencia.no gustaba tienne de la enseanza memorsticaque entonces se practicaba en Francia, era partidariode la enseanza por razonamiento, incluso con lasnias. Se adelantaba as en siglos a la poca actual.La contrapartida de esa educacin individual fue elobligado aislamiento con que priv a sus hijos deuna adecuada socializacin.

La aficin de tienne a las Matemticas le llev aencontrar varias propiedades de los tringulos, y aestudiar la curva conocida como caracol (limaon, enfrancs), que dara a conocer a sus amigos matem-ticos con las correspondientes demostraciones, cau-sando no poco asombro entre ellos. De todo estodan cuenta Mersenne, Fermat y roberval, entre otros.Precisamente, fue roberval el que propuso el nom-bre de caracol de Pascal, en honor de su descubridor.Dice as: dada una circunferenciade dimetro oa, se trata del lugargeomtrico del punto P, situado so-bre la recta oa, a una distancia fijade a, cuando el punto o perma-nece fijo, y el punto a recorre lacircunferencia. el punto P puedeser interior o exterior a la circunfe-rencia. Matemticamente, estacurva es conocida como concoide delcrculo, y el punto o es el polo de laconcoide. Como se ve, el ambientede la casa de Pascal no poda serms favorecedor para el desarrollode la inteligencia de un nio excep-cionalmente dotado como Blaise. tambin su her-mana Jacqueline dio muestras de un gran talento,que se manifest a travs de la poesa. Compona

versos con una gran facilidad. ambos her-manos establecieron una fuerte amistad,que jugara un importante papel en su vida.

Los primeros pasos

en Matemticas

en 1631, se traslada a Pars la familia Pas-cal, y en 1634, tienne vende a su her-mano el cargo de presidente del tribunalde impuestos, con la idea de dedicarsepor entero a la educacin de sus hijos. aBlaise le gustaba escuchar a su padrecuando le explicaba la razn de todas lascosas que trataban. iba surgiendo en luna curiosidad y un deseo sin lmites derazonarlo todo. as se expresa su hermanagilberte en la biografa del hermano quenos dej escrita:

quera saber la razn de todas las cosas ycuando no se le daban buenas razones, l lasinvestigaba por s mismo.

tienne no quera asomar a su hijo almundo de la matemtica. tema que su ce-

rebro enfermara, dada sudbil constitucin fsica. in-cluso esconda los libros degeometra para que ni si-quiera los viera. eso s, elpadre le interesaba por lasLenguas y los fenmenos dela naturaleza. en este sen-tido, se dice que en una oca-sin, observando el ruido deun plato al caerse, comenza reflexionar sobre las causasdel sonido. era todava muynio cuando recogi los re-sultados de sus reflexiones

en un Tratado sobre los sonidos.

Pero, su curiosidad por las matemticas,como suele ocurrir con todo lo prohi-

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Blaise Pascal


BlAiSe PAScAl: un mAtemtico virtuoSo

bido, no decaa, ms bienaumentaba. Y, en algnmomento se le debi esca-par a su padre la palabrageometra, o debi verla enalgn libro de su biblioteca, el caso esque un buen da, cuando Blaise tena yadoce aos, pregunt a su padre qu erala geometra, y ste le contest algo ascomo que era el arte de dibujar figurasbien hechas y ver las relaciones entreellas. esto debi estimular la imaginacindel pequeo Blaise, y su reaccin no sehizo esperar. Segn nos cuenta su her-mana gilberte:

tomaba carbn y haca figuras sobre las bal-dosas, buscando la manera de dibujar unacircunferencia perfectamente redonda, untringulo cuyos lados y ngulos fuesen igua-les, y otras cosas semejantespona sus pro-pios nombres a esas cosas: llamaba redondoa la circunferencia, barra a la recta. Despusde los nombres haca axiomas y demostracio-nes perfectas.

De este modo lleg a formular y demos-trar que la suma de los ngulos internosde un tringulo es igual a dos rectos, cues-tin incluida en la proposicin 32 de losElementos de euclides. Sorprendidotienne de la precocidad de su hijo, al verde lo que haba sido capaz sin informacinalguna, decidi cambiar de estrategia y ledio a leer los Elementos de euclides, cosaque hizo Blaise sin mucho esfuerzo y agran velocidad.

Ensayo sobre las cnicas

en 1635, Mersenne funda su famosa aca-demia Parisiense, a cuyas reuniones acu-den los ms importantes matemticosfranceses del momento. entre los asisten-tes asiduos est tienne Pascal, conocidocomo matemtico y amigo de Mersenne,

que solicita sea admitido a las sesio-nes de la academia su hijo Blaise, apesar de que an no ha cumplido lostrece aos. all tiene Blaise ocasinde conocer de primera mano a los

grandes de la matemtica, la materia que ya tanto lefascina, y entre ellos a Desargues, con su geometrade las proyecciones y secciones, que llama podero-samente su atencin.

ese mismo ao de 1635, Francia entra en la guerrade los treinta aos, que de religiosa en un principiose torna ya en poltica, y para paliar los gastos co-rrespondientes, en 1638 decide richelieu subir losimpuestos. en contra de esta subida se produceuna manifestacin en Pars por parte de los afecta-dos en la que participa el seor tienne Pascal. Laconsiguiente persecucin policial obliga a tiennea huir a auvernia, cosa que hace dejando a sushijos en Pars al cuidado de la gobernanta seoraDelfaut.

La ausencia del padre crea no pocos problemaseconmicos en la casa, pero Blaise sigue a lo suyo.estudia a los clsicos, en particular a apolonio,que va a tener una gran importancia en su obra ge-omtrica, y trabaja sobre las ideas de Desargues. araz de la lectura de este ltimo sobre las cnicas, einspirado en sus ideas, escribe un pequeo textotitulado Ensayo sobre las cnicas consistente en unapgina impresa, en la que anuncia un tratado com-pleto sobre las cnicas y del cual el Ensayo es soloun resumen. en l se incluye ya una proposicinque Blaise denomina mysterium hexagrammicum (he-xagrama mstico), conocido desde entonces comoteorema de Pascal. Siguiendo el lenguaje de Desargueslo formula as:

la lnea quebrada hexagonal cerrada ABcABcA cuyosvrtices alternados estn respectivamente sobre r y r estal que los pares de lados opuestos AB y AB, Bc y Bc,cA y cA, se cortan en tres puntos alineados.

La recta que contiene a los tres puntos se conocecomo recta de Pascal. La deuda contrada con Desar-gues al escribir esta obra queda bien reconocida porPascal cuando refirindose a l escribe:

Quisiera decir que lo poco que yo he descubierto por mimismo sobre el tema se lo debo a sus escritos.

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...trabaja sobre las ideas deDesargues ...e inspirado en susideas escribe un pequeo texto

titulado Ensayo ...


SAntiAgo gutirrez

Por su parte, Desargues consider tan importantela obrita de Pascal que le invit a presentarla en laacademia de Mersenne. Y as lo hizo en septiembrede 1639. Los trabajos de Pascal asombraron al mis-msimo Descartes que no daba crdito a semejantehazaa en un joven de tan solo diecisis aos. Sepublic el ao siguiente, pero de esa publicacinsolo se conservan dos ejemplares: uno en Paris yotro en Hannover.

Pascal sigue trabajando sobre las cnicas y redactael prometido tratado completo que comunica a laacademia en 1654. Parte de la definicin de las c-nicas como las secciones de un cono completo porun plano que lo corta segn distintas posicionesangulares respecto del eje. Contempla seis casos po-sibles: un punto, una lnea recta, un par de rectasque se cortan, una elipse (antbola, la llama), una pa-rbola, y una hiprbola. Descubre una propiedadcomn a todas ellas. en realidad, se trata de la ex-tensin a las cnicas de su teorema, citado ante-riormente, y demostrado en el Ensayo. Lo enunciaas:

si un hexgono, o quebrada hexagonal cualquiera, estinscrito en una cnica, los tres pares de lados opuestos secortan en tres puntos que estn en lnea recta.

de tal importancia el teorema que un au-tor, attali, llevado quiz de un excesivoentusiasmo, escribi:

De este teorema deriva toda la geometraproyectiva de los siglos xix y xx sin la cual nohubiera existido ni arquitectura moderna nidibujo industrial.

Lo cierto es que Pascal caus una granimpresin a los miembros de la academia,por la profundidad de sus ideas geom-tricas y el rigor de sus demostraciones,aunque estas resultaban un tanto pesadasy engorrosas. incluso Leibniz, a quien unsobrino de Pascal, tienne Prier, habaenviado el manuscrito habiendo ya falle-cido su autor, lo coment aos ms tardeen trminos muy elogiosos y escribi atienne aconsejndole que lo publicase.Pero tienne no lo hizo y el manuscritose ha perdido. Menos mal que el manus-crito era conocido por Leibniz y a travsde l tenemos ahora noticias de su exis-tencia y contenido.

La Pascalina

en 1640 la familia Pascal se traslada arouen, ya que el ao anterior tiennePascal recibi el perdn del cardenal ri-chelieu y lo destin a normanda comocomisario delegado para recaudar im-puestos con el fin de sufragar los gastosde la guerra de la que ya se ha habladoanteriormente. all, en rouen, BlaisePascal hace imprimir su Ensayo sobre lascnicas.

Mientras tanto, tienne trabajaba inten-samente en sus tareas administrativas,teniendo que realizar clculos muy com-plicados debido a que no haba en la re-gin un sistema monetario unificado.Viendo Blaise la penosa tarea de su pa-dre, se le ocurri imaginar un aparato

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!

la recta de Pascal

Se sigue denominando pues teorema de Pascal, aunquems general que en el Ensayo, y la recta resultantees, por tanto, la recta de Pascal. Deduce del teoremaal menos 400 corolarios, entre ellos la determinacinde la tangente a una cnica. Ha sido considerado



que hiciera operaciones mecnicamentey poder liberar as a su progenitora detener que realizar las operaciones amano.

inspirado en el funcionamiento del reloj,comienza a disear un sistema de engra-najes que desemboca en una mquina ca-paz de realizar sumas y restas, incluso, apartir de estas, multiplicaciones, divisiones,proporciones, y hasta races cuadradas.Parece que el primer modelo de mquinalo construy l solo. Pero, un obrero derouen aprendi a hacerla, y bajo su di-reccin se realizaron otros modelos, siem-pre pocos, dado su costo. no todos losmodelos realizaban las mismas operacio-nes. adems de algunos para el simpleclculo aritmtico (Museo nacional deartes y oficios, y Museo de Clermont-Ferrand ), se conservan dos para aplica-ciones contables (Museo de Clermont-Fe-rrand y Museo de Dresde ) y otro para elclculo de longitudes.

a la mquina de Pascal se la conoce fa-miliarmente como Pascalina. es, desdeluego, un invento queasoma a Pascal al terrenode la ingeniera. no obs-tante, Pascal nunca msva a proseguir intentandootros inventos. incluso,si de algn provecho ma-temtico le sirvieron los trabajos de la pa-calina, fue el de introducirse en el mundode los nmeros, por el cual no se habainteresado y para el que se considerabapoco dotado. as lo prueba la respuestaque le da a Fermat cuando este le envapor carta sus trabajos y descubrimientossobre nmeros:

Buscad en otra parte los que os sigan envuestros inventos numricos, de los que mehabeis hecho la gracia de enviarme los enun-ciados. Para mi, os confieso que eso me ex-cede en mucho. no soy capaz nada ms quede admirarlos.

El problema del vaco

en 1647, se deteriora gravemente la frgil salud dePascal, y se va a Pars con su hermana Jacqueline.es entonces, en ese ao, cuando recibe la visita deDescartes, durante los das 24 y 25 de septiembre.ambos estaban acompaados de personas de con-fianza, como roberval por parte de Pascal. a Des-cartes le interesaba sobre todo hablar del problemadel vaco. Pues saba que, retomando el experimentode torricelli, el propio Pascal estaba realizando nue-vos experimentos en busca de una explicacin.

Lo que torricelli haba hecho es llenar un tubo demercurio, taparlo con un dedo, volcarlo sobre unrecipiente que a su vez contena mercurio, y destaparel tubo. observaba entonces torricelli que el mer-curio del tubo descenda hasta quedarse en una al-tura de solo 76 centmetros. Por qu descenda elmercurio? Por qu, si haba alguna causa, en lugarde vaciarse todo el tubo, quedaba una columna de76 centmetros? qu haba entonces en la partesuperior vaca? era aire o vaco? no se encontrabarespuesta a estas cuestiones. torricelli se lo comu-nic a Mersenne, y ste al fsico e ingeniero PierrePetit, quien lo hizo llegar finalmente a Pascal.

Pascal, junto con su padre y con Pe-tit, repite el experimento de torri-celli, con tubos de distinto tamao,y obtiene siempre el mismo resul-tado. Hace varias repeticiones condistintos lquidos, y el resultado sigue

siendo el mismo. Formula su hiptesis: el mercuriodesciende y en la parte superior lo que se producees el vaco. rompe as con la vieja idea de que el va-co no puede existir. Pero, entonces por qu des-ciende lo que desciende el mercurio? Por la presindel aire. Para probarlo, aprovechando que su cuadoPerier est en Clermont-Ferrand, cercano al Puy-de-Dme, le encarga que repita el experimento alpie y en la cima del monte.

realizan el experimento en 1648, y observan que ladiferencia en la altura del mercurio entre el pie y lacima es de 8,4 centmetros. Definitivamente, escribePascal:

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Viendo Blaise la penosa tarea de supadre, se le ocurri imaginar unaparato que hiciera operacionesmecnicamente y poder liberaras a su progenitor de tener que

realizarlas a mano.


SAntiAgo gutirrez

la naturaleza no siente ninguna repugnancia por el vacoy todos los efectos que se le han atribudo proceden delpeso y de la presin del aire.

De todo esto hablaron Pascal y Descartes, aunquelos experimentos del Puy-de-Dme no se habanhecho todava. Descartes se despidi dndole algu-nos consejos para el cuidado de su salud.

El tringulo aritmtico

a partir de 1648 Pascal decide incorporarse a lavida mundana. Su padre est muy enfermo, su her-mana Jacqueline se encuentra ensimismada en susreflexiones religiosas y la casa respira un ambientede soledad que se le hace insoportable. Prefiere salir,encontrarse con sus amigos en la academia de Mer-senne y acudir a los salones de sociedad. all juega,baila, y habla de caza. entabla contactos, entre otros,con Madame de Svign y Madame de la Fayette,que admiran sus dotes oratorias. reaparece en suvida el duque de ranes, viejo amigo de la familia,que se encargara, a la muerte de Pascal, de reunir ypublicar bastantes de sus escritos. este ambiente lepermite conocer a Milton, apasionado jugador, y aun tal antoine gombaud, caballero de Mr, hom-bre muy versado en lenguas, afamado seductor, afi-cionado a los juegos de dados y cartas, y que acabaradesempeando un importante papel en los trabajosde Pascal sobre la probabilidad.

en contraposicin a una vida disoluta,durante este breve periodo de disipacin,las desgracias se abaten sobre la familiaPascal. en 1651 muere su padre y dosmeses despus Jacqueline, a la que Blaisese senta tan unido, decide ingresar en elconvento jansenista de Port-royal.

Sin embargo, Pascal sigue con sus inves-tigaciones matemticas. ahora se interesapor los nmeros, pero a travs de su re-presentacin geomtrica. estudia los n-meros poligonales (triangulares, cuadran-gulares, pentagonales,), y construye sutringulo aritmtico. aunque era cono-cido desde antiguo (chinos y rabes lohaban tratado, y, posteriormente, tarta-glia, Cardano, Stifel,), nadie haba idotan lejos como Pascal en el descubri-miento de las propiedades del tringuloaritmtico.

Pascal dispone los nmeros en forma detringulo rectngulo. a las lneas horizon-tales las llama rangos paralelos; a las vertica-les, rangos perpendiculares; y a las paralelas ala hipotenusa del tringulo, las denominabases. Las intersecciones de los rangos pa-ralelos y perpendiculares las llama celdas ocasillas. numera los rangos, tanto paraleloscomo perpendiculares, mediante lo quellama les exposants (coordenadas, diramoshoy). De este modo, queda perfectamentedeterminada la posicin de cada casilla.

en el interior de las casillas coloca losnmeros. Comienza colocando el nmero1 en todas las casillas de los primeros ran-gos paralelo y perpendicular. al nmero1 de la casilla de coordenadas (1, 1) lollama generador del tringulo, ya que a partirde l salen todos los nmeros. Dos casillasde una misma base son recprocas si equi-distan de sus respectivos extremos msprximos.

Pascal contabiliza hasta dieciocho propie-dades. Por ejemplo:

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tringulo aritmtico original de Pascal



todo nmero de un rangoparalelo cualquiera es iguala la suma de todos los n-meros contenidos en elrango anterior, desde sucomienzo hasta el que sehalla situado sobre el n-mero considerado.

as, el 10 del cuarto rangoes igual a la suma 1 + 3 + 6del tercer rango.

tiene particular inters la siguiente pro-piedad:

Si se toman dos casillas consecutivas de unamisma base, la superior es a la inferior comoel total de casillas que hay desde la superiorhasta el extremo ms alto de la base, incluidaella misma, es al nmero de casillas desde lainferior hasta el extremo ms bajo de la base,incluida ella misma.

as, si se toman las casillas 20, como su-perior, y 15, como inferior, de la base 7,el nmero de casillas del 20 hasta su ex-tremo es 4; y el nmero de casillas del 15hasta su extremo es 3. La propiedad diceentonces que 20: 15 = 4:3.

Pascal hace muy diversas aplicacionesde este tringulo, para la combinato-ria, los coeficientes del binomio, lasuma de potencias numricas, el pro-ducto de nmeros consecutivos, y elclculo de probabilidades.

El clculo de probabilidades

en 1654, el Caballero de Mr le plantea a Pascaldiversos problemas relativos al juego de dados. Pas-cal se los plantea a su vez a Fermat en varias cartas.en la primera de estas cartas aparece el problemaque se refiere al justo reparto de una apuesta entredos jugadores cuando se interrumpe el juego antesde la terminacin convenida. Por desgracia, estacarta se perdi, si bien sabemos de su contenido atravs de la contestacin que le da Fermat:

Pero vd me propone en el ltimo ejemplo de su carta(utilizo sus propios trminos) que si intento encontrar elseis en ocho partidas y si ya he jugado tres veces sin en-contrarlo, si mi jugador (el jugador contrario) me proponeque no juegue mi cuarta y quiere desinteresarme de elloporque podra obtenerlo (el seis), me pertenece el125/1296 de la suma total de nuestras apuestas.

a continuacin, Fermat da su propia solucin,que difiere de la de Pascal, y en la que aqul apreciacorrectamente un error. Se inicia as una abun-dante correspondencia entre ambos genios quedar origen al clculo de probabilidades. Pascalllegar a formular con todo rigor un mtodo universalpara resolver los problemas de los repartos me-diante su tringulo aritmtico, que incluir en suTrait du Triangle aritmtique, publicado pstuma-mente en 1665.

La nocin de probabilidad no figura todava en lasolucin de los problemas de repartos, en los quems bien se tratan problemas de decisin bajo in-certidumbre. Sorprendentemente, la nocin de pro-babilidad figura por primera vez en las Cartas pro-vinciales, de carcter moral y religioso, escritas entre1656 y 1657 para combatir la moral de los jesuitasque haban atacado a los jansenistas.

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El inters de esta propiedadreside en el hecho de que, en

su demostracin, Pascal utilizapor primera vez el

razonamiento por recurrencia,o, lo que es lo mismo, la

induccin completa.

mnaco homenajea a Pascal

el inters de esta propiedad reside en elhecho de que, en su demostracin, Pascalutiliza por primera vez el razonamientopor recurrencia, o, lo que es lo mismo, lainduccin completa.


SAntiAgo gutirrez

La cuestin del infinito

La largas noches de insomnio del ao1658, debido a su persistente enfer-medad, las dedic Pascal a retomarlos trabajos matemticos, interrum-pidos por sus escritos religiosos.

trataba de calcular el rea y el centrode gravedad de un arco de cicloide,as como el volumen del slido engendrado por di-cho arco al rotar en torno a su base y el rea de susuperficie. Se sirvi para ello del mtodo de exhaucinde arqumedes, por un lado, y del mtodo de los in-divisibles de Cavalieri, por otro.

arqumedes, para calcular el rea encerrada por unacurva proceda inscribiendo y circunscribiendo fi-guras poligonales, como tringulos, cuadrados, rec-tngulos, etc., de modo que por aproximaciones su-cesivas se llegase al clculo deseado. el mtodo deexhaucin gozaba de gran prestigio en la poca. Loaplica Pascal, por ejemplo, en la comparacin dearcos de una parbola y una espiral.

Cavalieri parta de la idea de que toda figura geo-mtrica est generada por otras figuras, que llamaindivisibles, de una dimensin menos. Se trata decomparar figuras de dimensin heterognea. unsegmento est pues constituido por infinitos puntos,carentes de magnitud, y una superficie cerrada estconstituida por infinitos segmentos, mientras que

un slido est constituidopor una infinidad de super-ficies cerradas planas. Deeste modo, realiza sus cl-culos por comparacin,pero de ningn modo uti-liza las aproximaciones su-cesivas del mtodo de ex-haucin. el gran principio desu mtodo se puede enun-

ciar diciendo que dos superficies cerradaso dos cuerpos que tienen la misma altura,y tales que las rectas o planos paralelosentre si produzcan secciones equivalentes,ambas superficies o cuerpos son equiva-lentes.

Pero, la idea de Cavalieri molestaba encierto modo por la heterogeneidad de lasfiguras comparadas. Para salvar ese escollo,roberval propone sustituir, los indivisiblespor figuras de la misma dimensin que laoriginal. Por ejemplo, considera un recintoformado por pequeos rectngulos para-lelos, en lugar de segmentos, cuya sumase aproxima al rea de la figura tanto mscuanto menores sean las bases de los rec-tngulos. es decir, que se produce unasuerte de mezcla de los dos mtodos, po-dra decirse, de Cavalieri y de arqumedes.Se prefigura aqu la descomposicin deuna figura tal y como hacemos hoy al in-troducir la integral.

Pascal utiliza finalmente la idea de rober-val, y calcula de ese modo reas, volme-nes y centros de gravedad.

resulta especialmente interesante la ideadel tringulo caracterstico que introduce ensu Tratado de los senos del cuadrante de circun-ferencia.

Considera el cuadrante de una circunfe-rencia de radio aB dividido en arcos igua-les. en cada uno de los puntos de divisintraza la tangente a la circunferencia. Sobrela tangente en un punto, por ejemplo D,

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...la lectura del Tratado de lossenos del cuadrante de

circunferencia y, sobre todo, lautilizacin del tringulocaracterstico fue lo queinspir a Leibniz para

descubrir el clculodiferencial, segn confesin

propia.

el tringulo caracterstico de Pascal



construye lo que denominatringulo caracterstico, porejemplo, en la figura, egF.Sirvindose de este trin-gulo, obtiene relaciones tanimportantes como:

Con los trabajos sobre el tringulo carac-terstico, anduvo Pascal muy cerca de to-parse con el clculo diferencial. Precisa-mente, la lectura del Tratado de los senos delcuadrante de circunferencia , y, sobre todo, lautilizacin del tringulo caracterstico, fue loque inspir a Leibniz para descubrir elclculo diferencial, segn confesin delpropio Leibniz.

El problema de la cicloide

Segn cuenta Marguerite Prier, hija degilberte y sobrina por tanto de Pascal, unda de 1658 su to tena un fuerte dolorde dientes y muelas, y para aliviarse no sele ocurri mejor cosa que ponerse a estu-diar un problema sobre la ruleta, matem-ticamente conocida como la cicloide. estacurva, generada por un punto de una cir-cunferencia cuando rueda sin deslizarsesobre una recta o base, y cuyo nombre

parece deberse a galileo, era conocidapor grandes matemticos como to-rricelli, Wallis, roberval, Fermat yDescartes. el problema que ocupabaa Pascal haba sido planteado porMersenne, quien confunda la curvacon una elipse.

Pascal describa la ruleta, con graciosaingenuidad, como sigue:

esta curva no es otra cosa que el camino que dibuja enel aire el botn de una rueda cuando sta gira en su mo-vimiento ordinario.

una vez terminados sus estudios sobre la cicloide,Pascal convoca un concurso, entre los matemticosde su tiempo, sobre los problemas en torno a la ci-cloide que l haba logrado resolver. Lo hace en ju-nio de 1658 de forma annima. en su primera cir-cular propone los siguientes problemas: rea de lasuperficie determinada por un lazo de la cicloide ysu centro de gravedad; volumen de los slidos en-gendrados por el giro de esa superficie alrededorde su base y de su eje o dimetro de la cicloide;centro de gravedad de cada uno de esos volmenes;centro de gravedad de los semivolmenes obtenidoscortando los anteriores por planos que pasan porel eje.

Daba un plazo de tres meses, un premio de 40 pis-tolas, moneda de la poca, y un segundo premio de20 pistolas. el tribunal estara presidido por Carcavi,asistido por roberval y por el notario de Pars, ga-llois. entre los concursantes figuraba el ingls Wallis,inventor del smbolo del infinito.

el da 1 de octubre, de terminacin del plazo, Pascal,bajo el pseudnimo de amos Dettonville, entregalas soluciones al tribunal. el 24 de noviembre, eltribunal , a la vista de que nadie haba entregado lassoluciones correctas, hace llegar el dinero del premioal annimo, esto es, a Pascal.

Pascal da a conocer las soluciones correctas en unaserie de cartas, Lettres de A. Dettonville. en estas car-tas, adems del Tratado general de la ruleta: Problemasrelativos a la ruleta propuestos pblicamente y resueltos por

A. Dettonville, aade muchas otras cuestiones degeometra, como Tratado del seno del cuarto cuadrante,

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la cicloide

sen cos

0

2

=

sen sen cos

4

1

2

1

2

2

0

2 = +

Pascal convoca un concursoentre los matemticos de su

tiempo sobre los problemas entorno a la cicloide que l haba

logrado resolver. Lo hace enjunio de 1658 de forma

annima.


SAntiAgo gutirrez

Pequeo tratado de los slidos circulares, y Tratado de losarcos de la circunferencia. Hay tambin algunas otrascartas interesantes, como la que dirige a Huygensen la que estudia la Dimensin de las lneas curvas detodas las ruletas.

Consideraciones finales

Pascal no se consideraba un matemtico, tena unespritu abierto a toda clase de conocimiento y unpensamiento divergente. gustaba de explorar te-rrenos desconocidos. Sin embargo, se mostraba muycauteloso a la hora de dar por buenos unos resulta-dos o de formular nuevas teoras.

Haba un terreno que se le resista, y era el de losnmeros, hua de investigar sobre nmeros. as selo haba manifestado a Fermat. quiz esa fuese lacausa por la cual no quiso adentrarse en el dominiode la geometra algebraica o analtica, al contrarioque Descartes y prcticamente todos los matem-ticos de su poca. trabajaba siempre sobre el te-rreno firme de la geometra sinttica. Su punto departida eran las imgenes. en esto discrepaba ra-dicalmente de Descartes, que trataba de sustituirlas figuras por ecuaciones, no lleg nunca a enten-derse con l, incluso le atac duramente en oca-siones.

Para D alambert, los trabajos de Pascal constituyenel puente entre la geometra de arqumedes y elclculo infinitesimal e integral de newton y Leibniz.

Descartes persegua un mtodo aplicable a todoslos saberes; Pascal, en cambio, sostena que a cada

saber hay que aplicarle su propio mtodo.Proceda inductivamente, acometa losproblemas de forma concreta, no abs-tracta. Se interesaba por captar y conjugarlos extremos contrapuestos, como el or-den y el azar, lo finito y lo infinito.

Sobre la grandeza de Pascal, dice Boyer:

Si Pascal no se hubiera muerto, como torri-celli, poco despus de cumplir 39 aos, obien si su mentalidad hubiera sido ms exclu-sivamente matemtica, o si se hubiera vistoms atrado por los mtodos algoritmicosque por la geometra pura y las especulacio-nes sobre la filosofa de la matemtica, ape-nas cabe duda de que se hubiera anticipadoa newton y a leibniz en sus ms grandes des-cubrimientos. Pascal es, sin duda, el msgrande podra-haber-sido de toda la histo-ria de la matemtica.

Pascal, ms que un matemtico, que s loera y con muchas aportaciones originalesa la matemtica, era un genio.

Referencias bibliogrficas

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SAntiAgo gutirrez vzQuezSociedad Madrilea de Profesores de Matemticas Emma Castelnuovo


Pascal

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