Partie 2 : Théorie des modules effectifs - Approximations de Voigt et Reuss

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S. DRAPIER 1

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss_______________________________________________________________________________________________________________________________

Partie 2 : Théorie des modules Théorie des modules effectifs -effectifs -

Approximations de Voigt et ReussApproximations de Voigt et Reuss•1. Théorie des modules effectifs• 1.1 Localisation• 1.2 Définition directe des tenseurs effectifs• 1.3 Caractérisation énergétique, propriétés variationnelles

•2. Approximations de Voigt et Reuss• 2.1 Approximation de Voigt• 2.2 Approximation de Reuss• 2.3 Bornes de Voigt et Reuss• 2.4 Exemple

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Les matériaux qui nous intéressent

xx

Prop

riét

és

x

Prop

riét

és

x

Prop

riét

és

l x

Prop

riét

és

l

Macrohétérogène, microhomogène Microhétérogène, macrohomogène Macrohétérogène, microhétérogène

Thermoélasticité linéaire

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S. DRAPIER 3


1. Théorie des modules effectifsMatériau homogène à l’échelle macroscopique

Matériau hétérogène à une échelle plus fine

tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle des hétérogénéités.

tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle macroscopique.

Méthodes d’homogénéisation

Notre cadre : élasticité linéaire et déformations infinitésimales

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S. DRAPIER 4


Rappel : relation entre les tenseurs des contraintes et des déformations aux échelles locale et macroscopique :

<ij> = ij = 1

|

ij(r)d

<ij> = Eij = 1

|

ij(r)d

V ou est le VER (volume élémentaire représentatif) Ces moyennes ( ) sont valables en

l’absence de cavités, fissures, inclusions <ij> = Eij

h, <ij> = ij

h

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S. DRAPIER 5


Analyse mécanique Équations du problème

Non unicité de la solution Non unicité de la solution (sollicitation)

maispas complètement défini

divx((x)) = 0 , x

x = L(x) : (u(x)) , x <> = h ou <> = h, x

Conditions aux limites : homogène au contourConditions aux limites : homogène au contour

1.1 LocalisationPourou E connu :Quels sont les champs locaux qui en résultent

dans ?

Équilibre intérieur

Condition de moyenne

Loi de comportement

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S. DRAPIER 6


Sollicitation homogène au contourFormulation d’un problème avec conditions sur la

frontière

Résultats démontrés

<ij> = 1

|

ij(r)d = ijh

<ij> = 1

|

ij(r)d = Eijh

<ij> = ij = 1

|

ij(r)d

<ij> = Eij = 1

|

ij(r)d

Déformations homogènes imposées

ui - Eijhxj = 0

Contraintes homogènes imposées

(ijh

- ij) nj=0

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S. DRAPIER 7


Condition de contraintes homogènes au bord

• Problème local à d donné:

• Problème local à Ed donnée :

ij

ij ) nj = 0, x

divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x x d) nx = 0 , x

divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x x ) nx = 0 , x , <u>=Ed

PCH

P’CH

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S. DRAPIER 8


Condition de déformations homogènes au bord

• Problème local à d donnée:

• Problème local à d donné :

ui

ij xj = 0, x

divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x ux d x = 0 , x

divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x

ux (u) x = 0 , x , <>=d P’DH

PDH

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S. DRAPIER 9


Remarques sur les conditions de contraintes et déformations homogènes

Si on impose des contraintes homogènes sur

Déformations inhomogènes sur

ui - Eijh xj 0

ij-ij

d) nj =0

<d

mais

VER

ijd

pas équivalent

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S. DRAPIER 10


ij(x) Aijkl

x (x) Ekl

Tenseur de localisation et de concentration : Propriétés en élasticité linéaire HPP - fonctionnelles

linéairesAx : Tenseur de localisation des déformations

Aijklx (x) = Ajikl

x (x) = Aijlkx (x), <Ax> = I

Symétrie des déformations (E,)

Bx : Tenseur de concentration des contraintes

ij(x) ijklx (x) kl

Bijklx (x) = Bjikl

x (x) = Bijlkx (x), <Bx> = I

Symétrie des contraintes ()

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S. DRAPIER 11


1.2 Définition DIRECTE des tenseurs effectifs

Tenseur des modules effectifs :

Tenseur des souplesses effectives :

= <LE : <(u)> = LE : Eh

= <(u)>M : <> = M

: h

PCH

PDH

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S. DRAPIER 12


Propriétés des tenseurs effectifs :LE = <L : A> M

= <M : B>

LijklE = Ljikl

E = LijlkE et Mijkl

= Mjikl

= Mijlk

1/ La loi des mélanges correspondrait àA = I et B = IRemarques :

2/ Seule la connaissance moyenne par phase de A et B est nécessaireL

= <L : A> = r fr Lr : Ar

M = <M : B> = r fr M

r : BrAr=<A>Vr B

r= <B>Vr

et fr = VrV

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S. DRAPIER 13


Cas particulier : matériau biphasé

L1(M1)

LE = LM + f1 A1 (L1- LM)

M = MM + f1 B

1 (M1-MM)

LM (MM)

A1=<A>V1 B1= <B>V1

et f1=V1V

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S. DRAPIER 14


Lemme de Hill

1.3.1 Caractérisation ENERGETIQUE : • Suite des propriétés des tenseurs effectifs : Lemme de Hill

< ij* ij' (u’) > = <ij*> <ij' (u’)> ijh Eij

h

LijklE = < Lpqrs Arskl Apqij>

Lpqrs = Lrspq LijklE = Lklij

E

• Relations de comportement inverses(Mijkl

)-1=L'ijkl

= < Lpqrs Arskl

Apqij

>

(Lijkl

)-1=M'ijkl

= < Lpqrs Brskl

Bpqij

>

ij = Aijkl

<ij>)

ij = Bijkl

<ij>)

1

<: M : > = hh<: L : > = E hLh2 démo

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S. DRAPIER 15


1.3.2 Propriétés variationnelles :Utilisation des Principes de Minimum

C.A. ={u(x)=ud, x u

u F =

u F =

fud

u

S.A. = {(x).n=Fd, x F, div(=0, x

Fd

F

• Principe du minimum en déplacements : Énergie PotentielleP(v) =

12

(v):L:(v) d

f.v d -

F

Fd.v d (v C.A.)

P(v) =W(v) - L(v)

Parmi tous les champs de déplacement v(x) C.A, la solution u(x) minimise l’EPP(u) P(v)

Énergie de déformationTravail des efforts donnés

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S. DRAPIER 16


P*() = - 12

:M: d

u

:d(ud) d ( S.A.)

P*() = W*() + L*()

• Principe du minimum en contraintes : Énergie Potentielle Complémentaire

Parmi tous les champs de contraintes (x) S.A, la solution (x) maximise l’EPC

P*() P*()

Énergie de déformation complémentaireTravail des contraintes dans les déplacements donnés

• Formules de Clapeyron : si (u,) solution

W(u) = W*() = L(u) + L*()

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S. DRAPIER 17


Énergies de déformation moyennesW(u) = < w(u)>

Lemme de Hill

W(u) = ||2 < > : Eh• En déformations homogènes au contour

W*() = ||2 < > =

||2 h : M

: h

• En contraintes homogènes au contour

W(u) = ||2 Eh : LE: Ehsi (u(x), ) solution

si (u(x), ) solution

<X> = 1

|

Xj(r)d

= ||2 < (u):L:(u) > =

||2 < > : <(u)>

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S. DRAPIER 18


Encadrement des tenseurs effectifs

W(u) = ||2 Eh : LE: EhW(v)=

||2 < (v):L:(v) >

• Énergie Potentielleu(x) sol.

h

Eh

(L(u)=0)

W(v) – L(v) = ||2 < (v):L:(v) > - || h:<(v)>

u(x) sol.

Clapeyron= -

||2 h : M

: h

• Énergie Pot. Complémentaire

sol.h

(L*()=0)

Eh

sol.

Clapeyron

W*() – L*() = ||2 < :M: > - || <>: Eh

= ||2 h : M

: hW*() =

||2 < :M: >

= - ||2 Eh : LE: Eh

f(x) = 0 (forces de volume)

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S. DRAPIER 19


Encadrement des tenseurs effectifs

12 < (v):L:(v) >

12 < (v):L:(v) > - h:<(v)>-

12 h : M

: h

h

Eh

<>: Eh - 12 < :M: >

- 12 < :M: >

12 Eh : LE: Eh

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S. DRAPIER 20


1.3.3 Influence des conditions de contourExemple : composite AL/Sic à fibres longues

Module d’Young(GPa)

Coefficient de Poisson

Matrice Al 70 0.3

Renforts Sic 420 0.2

• fibres circulaires, régulièrement réparties• fraction volumique : Vf=0,385

• composite supposé à symétrie carrée (symétries de l’arrangement)

2 3

1t , L, Et,EL,t, L

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S. DRAPIER 21


Résolution numérique de PCH et P’DH

• déformation ou contrainte homogène au contour• contrainte moyenne imposée• influence du maillage : 5 VER : V, Vm avec m=2,4,6,8 contenant mm fibres

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S. DRAPIER 22


Résultats : modules de cisaillement transverse (t) et de compressibilité latérale (K) (Hashin,1966)

Rappel : ij = pp ij + 2 ij = k pp ij + 2

ij -13pp ij =

k-23

pp ij + 2 ij

tDH = L66

E ; tCH = L66'

et KDH =

L11E + L12

E

2 ; KCH = L11'

+ L12 '

2# = homogénéisation périodique

1,5%

>10%

1,25%0,2%

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S. DRAPIER 23


Déformation équivalente

x d) nx = 0 , x

ux (u) x = 0 , x ,

<>=d

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S. DRAPIER 24


Influence des conditions de contour : Conclusions

• Suquet (1982)

limm +

Lm E= = lim

m + Lm '

= L#

• Hill-MandelM:LE = I + O(d3/l3)

Si l>>d : (M’)=LE et (L’)= M

M-1H=LH et L-1H= MH

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S. DRAPIER 25


2. Approximations de Voigt et Reuss : Bornes du premier ordre2.1 Approximation de Voigt (1887):• Déformations uniformes dans :

LV = <L>LH =<L:A>

A=I, on lève la nécessité de connaître les Ar=<A>Vr

(u(x)) = Eh x et u(x) C.A.

• Encadrement (Hill, 1952)

Eh : LH : Eh Eh : LV : Eh

Le tenseur des rigidités de Voigt est une estimation par excès

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S. DRAPIER 26


2.2 Approximation de Reuss (1929):• Contraintes uniformes dans :

B=IMH =<M:B>

• Encadrement (Hill, 1952)h : MH : h h : MR : h

Le tenseur des souplesses de Reuss est une estimation par excès

MR = <M>

= h x et (x) S.A.

Remarques• la connaissance de Lr et Mr suffisent• pas a priori de connaissance des symétries du MHE (->21 coeffs)• illustration sur un exemple isotrope macroscopiquement et dans les phases

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S. DRAPIER 27


2.3 Bornes de Voigt et ReussMatériaux composites isotropes et à phases isotropes :

r=0

n

fr

Kr

-1

Kr=0

n( )frKr

r=0

n

fr

r

-1

r=0

n( )fr

r

• Encadrement valable pour k et intervenant de manière découplée (partie hydrostatique et déviatorique) : plus valide pour E et

< >1E

-1

?

1

3 < > -1

+ 19 < >k

-1 -1

Encadrement des modules de compressibilité et de cisaillement

( )MR -1 LHLVau sens quadratique

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S. DRAPIER 28


Module d’Young(GPa)

Coefficient de Poisson

Matrice Al 70 0.3

Renforts Sic 420 0.2

2.4 ExempleDeux phases isotropes du composite Al/SiCp:

1/ Calcul des bornes de Voigt et Reuss2/ Montrer la relation précédente pour E

A faire

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0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Fraction volumique de fibres

t c

ompo

site

/ t m

atric

e

Voigt

Reuss

3,12

Module de cisaillement pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp

1,48

0,385

#t=1,56

Fuseaux de Hill

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S. DRAPIER 30


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fraction volumique de fibres

com

posi

te /

K m

atric

e Voigt

Reuss

Module de compressibilité latérale pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp

2,28

1,42

0,385

#=1,52

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