Departamento: Física Aplicada IIIMecánica Racional (Ingeniería Industrial) Curso 2007-08.

Partícula en el interior de una superficie cónica Obténgase las ecuaciones del movimiento –en forma de integrales primeras– de una partícula de masa m que, considerada como un punto material P, desliza sin rozamiento sobre el interior de una superficie cónica recta e invertida, Σ. Dicha superficie forma un ángulo α con su eje de simetría OZ; el cual coincide con la vertical gravitatoria. En el instante de iniciar su movimiento la velocidad de la partícula tiene de módulo v0, y es tangente a la circunferencia Γ definida por la intersección de la superficie cónica con el plano horizontal, situado este a una altura h sobre el vértice O. Determine la ecuación algebraica que le permite obtener las alturas máxima zmax y mínima zmin alcanzada por el punto P en su movimiento.

Σ

P

Z

X

YO

αΓ

Partícula en el interior de superficie cónica

Solución Análisis previo Se trata de una partícula vinculada a una superficie cónica en presencia del campo gravitatorio. Para describir la posición de la partícula se utilizará coordenadas esféricas. La posición viene dada por

φ, ρ, θ = α.(cte.). en consecuencia existen dos grados de libertad. Integrales primeras. a) Conservación de la energía. Al tratarse de un vínculo bilateral, geométrico, esclerónomo, e ideal la fuerza de reacción vincular

uθΦ = Φ , no trabaja porque es normal a la superficie cónica y con ello a los desplazamientos. La única fuerza que realiza trabajo es el peso y es conservativa; por ello aplicaremos el teorema de conservación de la energía E=T+V

212

mv m g z E+ =

La constante E se calcula con los valores iniciales. 2102E mv mg= + h

Velocidad en coordenadas esféricas v u u sen uρ θ ϕρ ρθ ρ αϕ= + +

teniendo en cuenta que θ α= , , resulta U m0θ = cosg ρ α= , con lo cual 2 2 2 21

2 ( ) com sen mgρ ρ α ϕ ρ αs E+ + =

Sustituyendo los valores iniciales y simplificando resulta 2 2 2 2 2

02 cos 2sen g vρ ρ α ϕ ρ α+ + = + g h (1) b) Conservación de la componente z del momento cinético El teorema del momento cinético con centro de reducción en el vértice O, se expresa

OOO

dL M C vdt

= + ×

donde , 0Ov = ( )OM OP mg= × +Φ , OL OP mv= × Se observa que las fuerzas son coplanarias con el eje OZ porque el peso es paralelo a OZ y la reacción vincular Φ corta a ese eje, por lo tanto

Dinámica de la partícula Partícula en superficie cónica

0OM k⋅ = → .OL k cte⋅ = (Integral primera del movimiento) La expresión en función de las coordenadas se obtiene calculando el producto mixto

( )k u u u sen uρ ρ θ ϕρ ρ ρθ ρ ϕ α⎡ ⎤⋅ × + +⎣ ⎦ , donde 0θ =

Para el cálculo anterior se debe proyectar k en el triedro de coordenadas esféricas cosk u u senρ θα α= −

cos 00 0 .0

sencte

sen

α αρρ ρ α ϕ

−= 2 2 .

α

ϕ

ρ

α

uθ

uρ

uϕ

k

P=mgΦ

sen cteρ α ϕ = ; 2 Cρ ϕ =/

El valor de C se obtiene con las condiciones iniciales. En ese instante la única componente de la velocidad es la azimutal, luego

0(0) (0)sen vρ α ϕ = Sustituyendo en la expresión anterior (0) / coshρ α= ,

Se obtiene 0 cos(0) vh sen

αϕα

=/ , 0

coshvC

senα α=

2 0

coshv

senρ ϕ

α α=/ (2)

c) Ecuación para el cálculo de las alturas máximas y mínimas Los valores requeridos, son los puntos de libración del problema unidimensional equivalente para la coordenada z. Para obtenerlos debemos expresar la ecuación (1) en función de la coordenada z sustituyendo, ϕ obtenido de (2) y ρ de la expresión / coszρ α=

2 2 2 2

202

cos 2 2cos

z C sen g z v g hzα α

α⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+

0

Los puntos de retroceso ó libración se obtiene anulando la velocidad z

3 2 2 2 20 02 ( 2 )g z v gh z h v− + + =

Mecánica Raciona (Industriales) pag. 2 / 2