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Laminazione e regolazione 197 Parte quarta Riduzione e regolazione delle portate attraverso il processo di laminazione Premessa Con il termine laminazione viene definita l’attenuazione di un’onda di piena per l’effetto dell’inserzione di un serbatoio lungo un corso d’acqua. Vengono così a ridursi le portate di piena ed accrescersi quelle di morbida in virtù del fatto che la variazione di portata Q e dell’emissario è lega- ta alla possibilità di immagazzinamento temporaneo di un volume d’acqua, funzione del massimo ammissibile sopralzo h della superficie libera dell’invaso. Quarto richiamo di idraulica applicata . Il principio dell’energia nelle correnti a superficie libera. Come già detto nel Secondo richiamo (Parte seconda pag.96) in regime di moto permanente le ca- ratteristiche geometriche ed idrauliche della corrente variano da una sezione ad una altra. Figura 1 .Elementi caratteristici del moto permanente Il carico totale in una sezione riferito ad un piano orizzontale di riferimento, è la somma dell’altezza geometrica z, dell’altezza piezometrica h e dell’altezza cinetica g 2 V 2 : g 2 V h z E 2

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Laminazione e regolazione 197

Parte quarta

Riduzione e regolazione delle portate attraverso il processo di laminazione

Premessa

Con il termine laminazione viene definita l’attenuazione di un’onda di piena per l’effetto

dell’inserzione di un serbatoio lungo un corso d’acqua. Vengono così a ridursi le portate di piena ed

accrescersi quelle di morbida in virtù del fatto che la variazione di portata Qe dell’emissario è lega-

ta alla possibilità di immagazzinamento temporaneo di un volume d’acqua, funzione del massimo

ammissibile sopralzo h della superficie libera dell’invaso.

Quarto richiamo di idraulica applicata . Il principio dell’energia nelle correnti a superficie libera.

Come già detto nel Secondo richiamo (Parte seconda pag.96) in regime di moto permanente le ca-

ratteristiche geometriche ed idrauliche della corrente variano da una sezione ad una altra.

Figura 1 .Elementi caratteristici del moto permanente

Il carico totale in una sezione riferito ad un piano orizzontale di riferimento, è la somma dell’altezza

geometrica z, dell’altezza piezometrica h e dell’altezza cinetica g2

V2

:

g2

VhzE

2

198

La linea dei carichi discende sempre nel senso del moto ; tra due sezioni 1 e 2 il carico totale E su-

bisce una variazione LJE corrispondente alle perdite di carico per attrito.

Mentre il carico totale E decresce sempre nella direzione del moto il carico rispetto al fondo , o ca-

rico specifico, può restare costante, come visto per il moto uniforme, o crescere o decrescere, nel

senso del moto, secondo le caratteristiche della corrente; se la velocità diminuisce (h2>h1), il moto

è permanente ritardato. Se la velocità aumenta (h2<h1) , il moto è permanente accelerato.

La funzione H = (h) per Q = costante

Fissato un valore della portata Q, questa potrà defluire attraverso una sezione trasversale con

qualsiasi valore del tirante h compreso tra lo zero (portata nulla) ed il massimo consentito dalle

dimensioni e dalla scabrezza della sezione stessa e dalla pendenza longitudinale; aumentando il ti-

rante crescerà la sezione bagnata con conseguente diminuzione della velocità media V della corren-

te e viceversa. Pertanto per Q=costante la corrispondente altezza cinetica V2/2g è una funzione

univoca del tirante h e del carico totale H (Figura 2).

Se il tirante h diminuisce, tendendo a zero, aumenta e tende all'infinito la velocità V e, quindi, l'al-

tezza cinetica che costituisce il secondo termine della H. Al contrario se h cresce tendendo teori-

camente all'infinito , la velocità e l'altezza cinetica tendono a zero ed il carico totale H tende a ri-

dursi alla sola parte potenziale h.

Figura 2. Andamento della funzione H = (h) per Q = costante

La curva H=(h) avrà un asintoto coincidente con l'asse delle H e l'altro sulla retta di equazione

H=h bisettrice del quadrante. E' evidente che la H(h), essenzialmente positiva tendendo all'infinito

per sia per h 0 che per h deve presentare un minimo in corrispondenza di un determinato

valore di h.

Sempre dalla Figura 2 si vede che assegnata una portata Q , a parità di carico specifico H, potrà

defluire con due differenti altezze : h1 per il regime di corrente lenta e h2 per il regime di corrente

veloce. Tali altezze sono dette profondità coniugate del carico specifico H .

Il punto della curva corrispondente alle coordinate Hmin e hc rappresenta lo stato critico; Hmin

rappresenta il carico minimo per esitare la portata Q mentre, la profondità hc viene detta altezza

critica della corrente.

L'esistenza di un minimo valore del carico specifico H indica che al disotto di esso non è più possibi-

le esitare l'assegnata portata Q .

Esempio 26. Soglia di fondo

Un alveo rettangolare, rivestito in cls k=75, con base 5,00 m e debole pendenza di fondo

(i=0,00038) convoglia una portata di 8,00 m3/s con un tirante h1 di moto uniforme pari a 1,25 m.

Introdotta una soglia di fondo di altezza = 0,25 m , determinare l'altezza h2 del tirante idrico sul-

la stessa.

Laminazione e regolazione 199

Figura a

Per prima cosa si verifica il tipo di regime confrontando l'altezza critica hc con il tirante di moto

uniforme h1 m64,081,95

64

gb

Qh 3

23

2

2

c

La corrente è lenta essendo 1,25 > 0,64. Potendo trascurare le perdite di carico tra la Sezione 1 e

2 è possibile tracciare la curva dell'energia a portata costante : g2

VhH

2

(Tabella I)

Tabella I

Trascurando le perdite di carico tra la Sez.1 e 2 varrà la relazione H1=H2+

Noto il tirante h1 è possibile determinare il valore del carico totale H1 :

analiticamente 62,19*25,1*5

825,1

g2

VhH

2

221

11 = 1,33 m

graficamente punto a del diagramma H = (h) di Figura b detratto a questo la quantità si de-

termina il valore di H2 e da questo si risale al valore del tirante h2 .

Figura b

Noto H1 H2=H1-= 1,33 - 0,25 = 1,08 m, dalla tabella o graficamente (punto b diagramma di

Figura 8) si risale al valore di h2 0,94 m

Per un’altezza della soglia =40 cm la retta H1- = 1,33 - 0,40 = 0,93 m non taglia il grafico

della H(h) (punto a del grafico di Figura c) , la corrente in arrivo è lenta e non possedendo l'energia

200

sufficiente per superare la soglia, è costretta a rigurgitare fintanto che a monte si stabilirà un cari-co totale H* = Hmin,Q + (punto b del grafico) e tirante h'1>h1.

La corrente, passata la soglia con tirante critico hc , è veloce e raggiungerà l’altezza minima h'2 (

punto c del grafico) per poi ristabilire il moto uniforme a seguito di un risalto idraulico.

Figura c

Resta da definire la lunghezza del risalto. Pertanto dalla relazione

31

3c1

2h

h811

2

hh con le

dovute sostituzioni :

3

3

238,0

64,0811

2

38,0h 1,0 m 72,338,016hh6L '

22 m

La funzione Q = (h) per H = costante

Per una sezione di forma qualunque per un prefissato valore della portata Q al valore minimo

dell’energia la corrente assume il valore dell’altezza critica hc ; la relazione generale è :

m22

32

hbbg

Q

[3]

che consente di determinare, analiticamente o graficamente l’altezza critica hc .

Nel caso particolare di sezione rettangolare : 32

32

2

cg

q

gB

Qh cc hgV

[4]

cc

c

2c

cQmin, h2

3

g2

ghh

g2

VhH [5]

Nel caso in cui sia definita la geometria della sezione trasversale ed il valore dell'energia

H=costante è possibile definire la relazione tra la portata Q ed il tirante h risolvendo l'espressione

[2] rispetto a Q

)hH(g2Q [6]

rappresentata graficamente dalla Figura 3

Laminazione e regolazione 201

Figura 3.

Per valori di h = 0 ed h = H, la portata Q è ovviamente nulla, mentre per un assegnato valore di H

la medesima portata Q potrà defluire con due differenti tiranti, h1 ed h2, corrispondenti , rispetti-

vamente, al regime di corrente lenta e veloce. Al punto Qmax,H e hc corrisponde lo stato critico ,

coincidente con lo stato critico definito in precedenza.

Esempio 27. Sezione di controllo del livello di un bacino di grande ampiezza.

La funzione di controllo di livello di un bacino di grande ampiezza è preposta ad un canale rettan-

golare, largo 4,00 m, in calcestruzzo in buone condizioni (k = 80 m1/3 s-1). Determinare la portata

e l'altezza del tirante in condizioni di moto uniforme allorché nell'invaso si determini una quota

+2,50 m sull'incile del canale, posto a quota 50,00 m s.m.

a. pendenza di fondo if = 0,001< ic

Nell'ipotesi che le condizioni di moto uniforme si stabiliscano a breve distanza dall'imbocco e che

questo provochi una perdita di carico pari a g2

V5,0

2

è possibile applicare l'equazione dell'energia tra le

Sez.1 e 2:

g2

22

V5,0

g2

22

V

2h2zg2

21

V

1h1z

5,01

g2h*b

Qh505,52

22

2

2

5,1

2h5,2g22hbQ

[a]

Poiché le incognite sono 2 la [a] ovviamente non è sufficiente per risolvere il problema, pertanto

occorrerà associare a questa un'ulteriore equazione che leghi la portata Q al tirante h. Nell'ipotesi

che il moto possa essere considerato uniforme è possibile utilizzare l'equazione di Chezy:

iRV [b]

esplicitato il coefficiente di attrito con l'espressione di Strickler la [b] può essere riscritta in fun-

zione della portata :

2/13/2 iRkQ [c]

essendo 2hb ed 2

2

h2b

hbR

Uguagliando la [a] alla c] è possibile risolvere l'equazione nell'unica incognita h2 e, successiva-

202

mente, determinare la portata Q: 2/13/22

2 iRk5,1

h5,2g2hb

2/13/2

2

22

22 001,0

h20,4

h0,480h*0,4

5,1

h5,281,92h00,4

h2 2,00 m

La soluzione può anche essere trovata utilizzando un metodo grafico riportando per diversi valori

del tirante h, in scala opportuna, sia l'espressione Q[a] che la Q[c].

Tabella I Grafico A

Dal grafico A si deduce la soluzione data dall'intersezione delle due curve: Q 20,20 m3/s per

h2 2,00 m.

b. pendenza di fondo if = 0,004 > ic

Aumentando la pendenza del canale si modifica l'andamento della

sola curva Q[b] che intersecherà la prima in un punto più basso,

nel campo delle correnti veloci. In questo caso la soluzione non è

quella indicata dal punto di intersezione delle curve poiché nell'au-

mento di pendenza è corrisposta una diminuzione del tirante idrico.

Immaginando che tale fenomeno possa essere seguito nel suo

evolversi, durante l'aumento della pendenza si passerà per lo stato

critico, condizione di portata massima Qmax . Ulteriori abbassa-

menti del fondo non produrranno variazioni sul valore della portata Qmax mentre il tirante assume-

rà il valore corrispondente a quello di moto uniforme per l'assegnata portata Qmax e pendenza i.

Questa condizione viene letta sul Grafico B riportando sulla curva Q[c] il valore della Qmax ; in cor-

rispondenza di tale punto si legge il valore di h2, tirante di moto uniforme per la portata Qmax e

pendenza i = 0,004.

Tabella II Grafico B

Laminazione e regolazione 203

1. Laghi Un lago è caratterizzato da una massa d’acqua che riempie una cavità o depressione terrestre sen-

za comunicazioni dirette con il mare ed ha una profondità sufficientemente elevata da non presen-

tare vegetazione sommersa. Quando la profondità è minima nasce vegetazione sul fondo: se que-

sta rimane sommersa lo specchio liquido assume il nome di stagno ovvero palude. Un lago è aperto

se è presente uno o più emissari, in caso contrario si dice chiuso.

Quando lo specchio d’acqua è comunicante col il mare, dal quale è separato da sottili strisce di ter-

ra, si ha la formazione di lagune.

Nel caso di lago aperto è presente una sezione di incile, coincidente con la sezione iniziale

dell’emissario.

I laghi artificiali vengono realizzati per disporre di una capacità utile che consenta di soddisfare la

domanda d’ acqua nei periodi in cui la disponibilità idrica, costituita dalle fluenze, non è sufficiente.

La presenza di un lago artificiale, pertanto, modifica i deflussi naturali del corso d’ acqua, consen-

tendo l’adattamento della successione temporale delle portate alla successione delle richieste

dell’utilizzatore che è della natura più varia:

potabile

irrigua

idroelettrica

industriale

alimentazione delle vie di navigazione

la difesa dalle inondazioni

la fruizione del tempo libero

Nei tempi recenti si è sempre più affermata la concezione di laghi artificiali ad uso promiscuo.

L’ opera di sbarramento è costituita dalla diga dotata, sempre, delle opere cosiddette complemen-

tari, costitute da:

scarico di superficie

scarico di fondo

eventuali scarichi di alleggerimento

opera/e di presa

I laghi sono alimentati:

dalle precipitazioni dirette sulla loro superficie ;

dal ruscellamento sui versanti del bacino imbrifero ;

da falde ;

204

da corsi d’acqua immissari.

Mentre perdono acqua :

per evaporazione ;

per infiltrazione ;

per corsi d’acqua emissari.

1.1. Termica dei laghi – Stratificazione termica

La massa liquida contenuta in un lago è soggetta a scambi di calore sia con l’ambiente esterno, at-

traverso la superficie, sia con il fondo.

Irraggiamento solare, precipitazioni atmosferiche, immissioni di acqua da affluenti superficiali e da

falde sotterranee, evaporazione, congelamento, fenomeni biologici e chimici legati alla flora e fauna

lacustre, sono fattori che influenzano la temperatura all’interno del lago creando movimenti della

massa liquida prevalentemente sotto forma di moti convettivi.

Trascurando gli effetti delle correnti, non sempre possibile, il gradiente termico varia con la pro-

fondità in funzione della densità. Poiché la massima densità dell’acqua è a 4°C a seconda della va-

riazione della temperatura con la profondità potrà aversi la stratificazione termica diretta o inversa.

Stratificazione Termica Diretta : quando la temperatura della superficie del lago è superiore a 4°C

la temperatura dell’acqua diminuisce dall’alto verso il basso fino a raggiungere i 4° in profondità.

Aumentando ulteriormente la temperatura, tb, la densità decresce , non si hanno moti convettivi e

la variazione di temperatura si risente entro profondità ha limitate. Ad un abbassamento della tem-

peratura, tc, consegue un aumento di densità con conseguente moto convettivo, che interessa una

successione di strati fino alla profondità hd di pari temperatura tc. Ne consegue che alla profondità

hd si interrompe la stratificazione diretta con una discontinuità ed al disopra di tale quota si ha uno

strato omotermico (Figura 1)

Figura 1. Stratificazione termica diretta

Stratificazione Termica Inversa : la temperatura della superficie del lago è inferiore a 4°C e pertan-

to la temperatura dell’acqua cresce dall’alto verso il basso fino a raggiungere i 4° in profondità. Una

ulteriore diminuzione della temperatura non produce moti convettivi mentre, un aumento della

temperatura consegue un aumento di densità con conseguente rimescolamento degli strati fino alla

profondità hd .

Quando la temperatura scende sotto lo zero inizia il congelamento che interessa solo spessori su-

perficiali limitati sia perché la temperatura aumenta con la profondità e sia perché il ghiaccio pro-

dotto esercita una funzione coibente (Figura 2).

Nei laghi temperati la stratificazione termica diretta avviene in estate; in autunno, diminuendo la

temperatura, gli strati superficiali raffreddandosi aumentano di densità e scendono verso il basso .

Laminazione e regolazione 205

Questo processo detto Rimescolamento autunnale, cessa quando l’acqua del lago raggiunge la

temperatura di 4°, in tutta la profondità, consentendo un ricambio di ossigeno su tutta la massa.

A primavera l’acqua, con temperatura in superficie inferiore a 4 °C, riscaldandosi aumenterà di

densità e scenderà verso il basso dando vita al Rimescolamento primaverile.

Figura 2. Stratificazione termica inversa

Nei laghi tropicali, non scendendo mai la temperatura superficiale sotto i 4°, si ha solo stratificazio-

ne diretta; al contrario i laghi polari hanno solo stratificazione inversa.

1.2.Evaporazione

Il fenomeno dell’evaporazione interviene nel ciclo idrologico dal momento in cui le precipitazioni

raggiungono la superficie del suolo. Gli idrologi definiscono l’evaporazione l’insieme dei fenomeni

che trasformano l’acqua in vapore attraverso un processo specificatamente fisico: un liquido passa

gradualmente allo stato gassoso, senza ebollizione (Figura 3).

Figura 3. Schema dell’Evaporazione terrestre

In relazione al suo ruolo essenziale nel ciclo dell’acqua c’è evaporazione:

dalla superficie libera degli specchi d’acqua

dalla neve e dal ghiaccio (sublimazione)

dal suolo privo di vegetazione

dalla traspirazione delle piante

206

Ciò avviene a tutte le temperature e termina quando lo spazio sopra la superficie libera raggiunge

la tensione di saturazione. In questo caso l’evaporazione è bilanciata dal fenomeno opposto: la

condensazione.

Potendo rimuovere il vapore man mano che si forma il liquido evapora più velocemente; per questo

motivo l’evaporazione dagli specchi liquidi è facilitata dal vento.

L’altezza di evaporazione, in un intervallo di tempo , è il rapporto tra volume evaporato ed area

della superficie evaporante, mentre, l’intensità media di evaporazione è il rapporto tra altezza di

evaporazione ed il correlato intervallo di tempo .

Studi sperimentali sull’evaporazione furono condotti, in laboratorio, da Dalton; i relativi risultati

definirono la dipendenza dell’intensità di evaporazione con la differenza tra tensione di saturazione

s alla temperatura del liquido e la tensione effettiva del vapore contenuto nell’aria ed inversa-

mente proporzionale con la pressione atmosferica p.

p

p1c

p

pcE n

ss

ns

[1]

c= 0,56 per acqua leggermente mossa

c= 0,70 con vento moderato pn = pressione atmosferica normale

s

= umidità relativa Ur

La formula proposta da Dalton male si presta per la de-

terminazione dell’evaporazione da grandi superfici liquide,

come appunto i laghi, pertanto sono proposti due metodi,

derivanti da misure, osservazioni e determinazioni.

metodo idrologico: è basato sul bilancio tra gli afflussi al lago ed i corrispondenti deflussi e volumi

invasati. Data l’incertezza delle misure dovuta anche alla difficoltà di valutazione di eventuali ap-

porti e deflussi sotterranei, il metodo non riesce a fornire, oltre l’andamento qualitativo, una suffi-

ciente certezza del dato ricercato.

misure dirette attraverso l’utilizzo di strumenti di misura per rilevare la quantità di evaporato:

Atmometri : sono costituiti da un bilancino tipo “pesa lettere” portante sul piatto una vaschetta

(di 250 cm2 di superficie e profonda 35 mm). La variazione del peso dà una misura dell’evaporato

affetta da due sensibili errori: l’esiguità del volume e lo scambio termico con la parete della va-

schetta .

Figura 4. Atmometri

Laminazione e regolazione 207

Vasche d’evaporazione : sono, generalmente, realizzate con contenitori metallici posti a terra, in

prossimità della riva, o leggermente sopraelevati (15 cm) detti di Classe A secondo il tipo in uso

dall’Ufficio Meteorologico USA (Figure 5 e 6 ); benché la misura sia condizionata dall’irraggiamento

delle pareti.

Figura 5. Vasca d’evaporazione classe A – Weather Bureau USA

Figura 6. Stazione di misura

Per ridurre gli scambi termici con le pareti causati dall’irraggiamento è stato realizzato il modello

Colorado ( Figura 7). Una vaschetta quadrata di circa 1 m di lato viene interrata fino a sporgere

dal terreno circa una decina di cm; questa altezza però non è sufficiente per evitare che schizzi

prodotti dalle gocce di pioggia impattanti sul suolo, possano ricadere nella vaschetta portandosi

dietro detriti che possono, ovviamente, alterare la misura.

Figura 7. Vasca d’evaporazione tipo Colorado - USA

Per misure dirette dagli specchi liquidi dei laghi vengono utilizzate vasche evaporimetriche alloggia-

te su zattere galleggianti (Figura 8) .

208

Figura 8

Pur avendo cura della posa in opera in condizioni simili alle acque del lago (giacitura, esposizione ai

venti ed irraggiamento solare) tutti gli evaporimetri sono affetti da errori di misura sistematici:

tipi a terra: le temperature sono leggermente superiori di quelle del lago, perdite di acqua

causate da piogge violente; inserimento di detriti e foglie portati dal vento

tipi galleggianti: entrate e uscite d’acqua causate da onde, misure in eccesso derivanti dalla

maggiore superficie del vaso bagnata per oscillazione dello strumento.

Agli evaporimetri, volendo correlare le letture di altezze di evaporazione con le grandezze dei prin-

cipali fattori che influenzano il fenomeno, vengono affiancati, generalmente, un pluviometro, un

termografo, un anemometro ed uno psicrometro.

Le numerose serie di dati hanno consentito di esprimere formule derivate da quella di Dalton

1. Formula di Meyer : w0621,0115E s [mm Hg]

E = altezza di evaporazione media mensile espressa nelle stesse unità di misura di s ;

s = tensione di saturazione corrispondente alla temperatura media mensile dell’aria presso la

superficie del lago; [mmHg]

= tensione reale media mensile [mmHg]

w = velocità del vento in prossimità del lago [km/ora]

2. Formula del Conti : più semplice della precedente, è basata sulla dipendenza della evaporazio-

ne con la sola temperatura media mensile p

pCE n

sii

s = tensione di saturazione corrispondente alla temperatura media mensile dell’aria presso la

superficie del lago; [mm Hg]

pn = pressione atmosferica normale

p = pressione locale media mensile

Ci = coefficienti mensili desunti da numerose osservazioni su laghi americani

Mese Ci Mese Ci Mese Ci

Gennaio 4,54 Maggio 9,93 Settembre 7,36

Febbraio 5,70 Giugno 8,86 Ottobre 6,95

Marzo 8,24 Luglio 8,20 Novembre 5,45

Aprile 9,50 Agosto 7,78 Dicembre 4,59

Laminazione e regolazione 209

Il complesso delle osservazioni raccolte indicano una diminuzione dell’evaporazione in funzione ol-

treché dell’altitudine anche della latitudine essendo peraltro analogo il comportamento delle tempe-

rature. Negli Stati Uniti si passa da valori di circa 1250 mm/anno, a quote minime, ad altezze di

circa 860 mm/anno a quota 2.500 m s.m.

In Italia sono rilevabili valori compresi tra 800 1200 mm /anno.

2. Idraulica dei laghi – Laminazione

Con il termine laminazione viene definita l’attenuazione di un’onda di piena per l’effetto della pre-

senza di un lago naturale o della realizzazione di un serbatoio artificiale in un corso d’acqua (Figu-

ra 9).

Figura 9

210

Vengono così a ridursi le portate di piena ed accrescersi quelle di morbida in virtù del fatto che la variazione di portata Qe dell’emissario è legata alla possibilità di immagazzinamento di un volume

d’acqua, funzione del massimo ammissibile sopralzo h della superficie libera del lago. Pertanto, de-

finite:

Qa=Portata massima dell’onda di piena affluente al serbatoio sotto forma di precipitazioni dirette

sullo specchio liquido, affluenti superficiali depurati dell’evaporazione ed infiltrazioni;

Qe= Portata massima scaricata dal serbatoio durante la piena, ovvero portata di deflusso

dell’emissario, funzione crescente di h e caratteristica dell’elemento (canale, sfioratore, diga traci-

mabile, ecc.);

h = sopralzo della superficie libera del lago rispetto al livello di ritenuta;

= area dello specchio liquido , funzione crescente di h;

V = volume invasato = h

0dh , funzione crescente di h;

il Grado o rapporto di laminazione di un’onda di piena

a

ea

Q

QQ dipende: dalle caratteristiche

idrologiche, dal massimo sopralzo della superficie libera del lago e quindi dall’area dello specchio

liquido ed, infine, dalle caratteristiche idrauliche degli organi di scarico.

Schematizzando il lago come un recipiente di forma tronco conica dotato di un unico dispositivo di

vuotatura, posto poco superiormente al fondo, ed alimentato, superiormente, da un’unica condotta,

in assenza di afflussi, il livello nel secchio sarà coincidente alla quota di fondo della soglia della luce

di efflusso: per h=0 eQ =0 aQ =0 . Per aQ = eQ il livello rimane costante. eQ aumenta

solo se il livello h sale, cioè quando aQ > eQ ; parte della portata di afflusso si accumula nel reci-

piente e non defluisce istantaneamente (Figura 10).

Figura 10. Schematizzazione della laminazione degli invasi

In modo analogo ed inverso la eQ decresce con il diminuire del livello h quando cioè aQ < eQ . (Fi-

gura 11).

Figura 11.

Considerando un intervallo di tempo dt restano definiti :

volume affluito al lago: dtQa

Laminazione e regolazione 211

volume defluito nella sezione di incile: dtQe

volume accumulatosi nel lago: dV = dh per effetto della variazione di livello dh .

Per il Principio della Conservazione della Massa il concetto espresso in precedenza si traduce anali-

ticamente nell’equazione di continuità

dVdtQQ ea dt

dVQQ ea [1]

poiché eQ e V sono funzioni di h

dt

dQ

dQ

dh

dt

dQ

dQ

dh

dh

dV

dt

dV e

e

e

e

[2]

dh

dQ e , Funzione di moderazione, ha la dimensione di un tempo ed è caratteristica del lago al-

la quale si riferisce 1.

La è sempre positiva per esserlo e la dh

dQ e (variazione della portata di efflusso con il tirante).

Con le dovute sostituzioni la [2] si riduce nella

dt

dQ)h(

dt

dV e [3]

mentre la [1] assume la forma dt

dQ)h(QQ e

ea [4]

E’ dallo studio della funzione [4] che è possibile trarre delle considerazioni sul potere moderatore

dei laghi (Figura 12).

Per aQ > eQ essendo (h) positivo risulta 0dt

dQe eQ è crescente ;

per aQ < eQ dt

dQe è negativo e eQ è decrescente.

Nei punti in cui aQ = eQ 0dt

dQe , la eQ può assumere valore massimo o minimo.

Figura 12. Riduzione della portata al colmo con portata di deflusso non regolata

1 è tanto maggiore quanto più grande è l’area del lago rispetto all’incremento della portata di afflusso attraverso una sezione di incile di ri-

dotte dimensioni

212

La condizione si analizza con la derivata di secondo ordine della

ee

ea Qdt

dQ)h(QQ [5]

dt

Qd)h(

dt

dQ

dt

)h(d

dt

dQ

dt

dQ e2

eea

[6]

dt

Qd)h(

dt

dQ

dt

)h(d1

dt

dQ e2

ea

eea QQ1Q [7]

Quando aQ = eQ 0Qe

Si ha un minimo se 0Qe

e cioè per la [f] 0Qa

aQ crescente

Si ha un massimo se 0Qe

e cioè per la [f] 0Qa

aQ decrescente

I massimi ed i minimi della eQ si hanno nei punti di intersezione delle curve aQ , eQ ; i punti di

massimo ricadono nei rami discendenti della aQ , quelli di minimo sui rami ascendenti.

2.1. Funzioni tipiche Qe=(h)

Ribadita l’unicità della aQ quale portata netta di afflusso al lago, definita con uno dei metodi anali-

tici di trasformazione afflussi_deflussi, questa è rappresentata, generalmente, dall’idrogramma di

piena.

La Portata di deflusso eQ dell’emissario, funzione crescente di h, è esprimibile solo quando è defi-

nita la geometria dell’elemento che ne caratterizza la tipologia (canale, sfioratore, paratoia, ecc.);

a. Canale emissario:

Nella pratica progettuale trova un impiego diffuso l’equazione di Manning- Strikcler, dedotta dalla

formula di Chézy : 2/13/2

e iRkQ

Questa relazione, che lega in modo univoco la portata Qe al tirante h, è generalmente chiamata

scala di deflusso (o delle portate) dell’alveo.

L’espressione [8] consente, fissata la geometria della sezione e la scabrezza k, di esprimere la

portata Qe in funzione del tirante h.

Nella seguente Figura 29 è riportata una sezione rettangolare di un canale emissario con le seguen-

ti caratteristiche:

base = 4,00 m rivestimento con calcestruzzo gettato in casseforme metalliche k=80

pendenza del canale emissario i=0,001:

Figura 13.

Nella successiva Tabella I è riportata la successione delle coppie dei valori Q ed h e la correlata

rappresentazione grafica della scala delle portate con la funzione interpolare:

4671,1h4121,7Q

Laminazione e regolazione 213

Tabella I

b. Soglia sfiorante – Flusso libero

Spesso il dispositivo di sfioro è inglobato nella struttura di sbarramento del corso d’acqua e di rite-

nuta dell’invaso (Figura 30). Ricordato che il legame funzionale tra portata Qe, la larghezza L del-

la soglia e l’altezza ho sulla soglia di sfioro è data dalla formula degli stramazzi:

00e hg2hLQ

con coefficiente di efflusso che, per soglie sagomate può assumersi uguale a 0,450,48.

Per Qe= massima portata di massima piena , h0 è il Carico fondamentale.

Figura 14. Complesso degli scarichi di superficie e di fondo di una diga tracimante

214

c. Luci sotto battente – Flusso regolato2

Nel caso in cui il serbatoio, di grandi dimensioni e profondità, sia provvisto di scarico di fondo e per

questo sia prevista una regolazione dell’apertura in modo tale da non produrre né un innalzamento

né un abbassamento della superficie libera del lago che si suppone al livello di ritenuta. Pertanto,

durante il periodo di regolazione la portata affluente è uguale alla portata defluente (Figura 32) .

Figura 15. Serbatoio munito di solo scarico profondo

Il realtà il livello del lago, per effetto della portata di piena, subirà una sopraelevazione della super-

ficie libera che può ritenersi trascurabile in confronto al battente h sulla luce di fondo; pertanto ver-

rà assunta h = costante e di conseguenza anche la portata defluente Qe che, per velocità di arrivo

Vo pressoché nulla, può essere espressa con la relazione:

hg2Qe

= area totale della luce

h = carico sul baricentro della luce

µ = 0,610,62 è il coefficiente di efflusso o di portata3

Funzioni tipiche V=(h)

2 Gli scarichi liberi assicurano la laminazione senza la necessità di governo mentre gli scarichi regolati richiedono un controllo e, pertanto, per motivi di sicurezza, generalmente, non sono inferiori a due. 3 i valori, rilevati sperimentalmente risultano dal prodotto di un coefficiente di velocità Cv (che per efflusso in parete sottile vale 0,98) ed un coefficiente Cc di contrazione (rapporto tra l’area della sezione contratta e l’area della luce)

Laminazione e regolazione 215

Il volume invasato V= h

0dh , è funzione dell’area dello specchio liquido , funzione crescente di

h. Pertanto, nota la porzione di territorio nella quale realizzare la conca d’invaso (Figura 16), si ri-

levano le superfici

Figura 16

i delimitate dalle varie curve di livello e conseguentemente si stimano i volumi Vi compresi tra

due superfici consecutive. Dalla costruzione dei diagrammi delle superfici e dei correlati volumi di

invaso si individuano il legame funzionale tra volume invasabile V e quota h. (Tabella I).

Tabella I

Infine la Figura 17 sintetizza sia la variabilità delle arre e dei correlati volumi invasati in fun-

216

zione delle quote dei livelli di invaso.

Figura 17

Poiché la probabilità che un evento a ricorrenza bicentenaria, ed oltre, vada ad interessate

un invaso e le correlate opere di scarico di superficie e di fondo è molto bassa, i progetti pre-

vedono utilizzi molteplici del serbatoio (produzione di energia idroelettrica, irrigazione o

l’approvvigionamento idropotabile).

Esempio 28. Riduzione e regolazione delle portate di piena

Per un bacino caratterizzato dalle seguenti grandezze :

superficie del bacino A= 53,31 km2, pendenza media del bacino p = 35%, lunghezza dell’asta flu-viale L=13,55 km tempo di corrivazione tc =3,73 è stata stimata la portata al colmo Qmax ,

con tempo di ritorno bicentenario:

Q = 470 [m3/s]

Per descrivere l’andamento della portata Q(t) in funzione del tempo, si approssima l’idrogramma di

piena ad un triangolo (Figura a) ; il volume defluito nella durata tb risulta:

36002

10470

2

tQV bmax 8.460.000 m3

Figura a. Idrogramma triangolare del Metodo SCS

Si vuole valutare l’effetto di laminazione dell’onda di piena imputabile alla capacità di accumulo di

Laminazione e regolazione 217

un serbatoio artificiale creato da uno sbarramento costituito da una diga tracimabile. La formula-

zione matematica è espressa dall’equazione differenziale:

dVdtQQ ea [a]

Comunemente risolta alle differenze finite una volta note, per un generico intervallo di tempo dt :

Qa= portata di ingresso, nota;

Qe = portata smaltita dall’organo di sicurezza, incognita;

dV = volume d’acqua invasato nel lago per un incremento del livello dh.

Il volume invasabile, funzione della curva dei volumi di invaso (variabilità della superficie liquida

del lago con la quota) e della tipologia e dimensioni dell’opera di scarico, viene limitato da

un’altezza massima di 1,0 m sul livello di ritenuta normale, ritenuta compatibile con la Normativa

vigente.

Figura b.

1. Funzione V =(h)

La costruzione dei diagrammi delle superfici e dei correlati volumi di invaso individua il legame

funzionale tra volume invasabile V e quota h : 610*202,0

hV

2. Funzioni Qe =(h)

2.a Canale emissario

Il problema pratico è quello di stabilire a priori delle dimensioni dell’opera di scarico prima di cono-

scere la massima portata Qe uscente. Pertanto fissato un valore della Q’e,max (prossimo alla

Qa,max ) si ipotizza l’uso di un canale fugatore realizzato, nella sezione di incile, con un box cul-

vert in cls armato, con quattro luci larghe ciascuna 12,0 m (Figura c), e con pendenza di fondo

i= 0,0125 (coefficiente di scabrezza ks=90); nota la Qe’ =(h) si determina attraverso la [a] un

nuovo valore della Q’’e,max conseguente all’effetto di laminazione esercitato dal serbatoio artificia-

le.

Figura c

218

Per questa struttura si costruisce la scala di deflusso 5,03/2 iRkQ :

Figura d - Scala di deflusso del box culvert b=4*12,00 m

L’evoluzione della dVdtQQ ea può essere stimata con un procedimento numerico alle diffe-

renze finite, una volta stabilito l’intervallo di tempo dt; utilizzando, ad esempio, lo schema di Ta-

bella I:

Tabella I

Colonna 1 : intervallo di tempo in ore

Colonna 2 : dt - tempo trascorso, in secondi, tra due intervalli

Colonna 3 : portata in ingresso (Figura a)

fase di crescita 0 t tc espressa dalla funzione: ii t*01,126Q

fase di esaurimento t tc cii tt96,74470Q

Colonna 4 : Qa-Qe pari alla differenza tra il valore della colonna 3 – il valore della colonna 8 della

riga precedente

Colonna 5 : variazione del volume invasato nel lago dtQQdV ea

Colonna 6 : innalzamento del livello dh, nella sezione di sfioro, causato dalla variazione di livello

dV dh=0,202*10-6 dV

Colonna 7 : altezza di sfioro hi al termine dell’intervallo di tempo dt

Colonna 8 : correlato valore della portata in uscita Qe= 429,57 * hi1,5875

Laminazione e regolazione 219

Dai grafici delle funzioni Qa=(t) e Qe =(t), raffigurati nella Figura e, si evidenzia che, per effetto

della laminazione dell’invaso, la portata massima in uscita è di circa 290 m3/s con tirante idrico di

circa 0,80 m.

Figura e

Pertanto è possibile ridurre sensibilmente la sezione del box culvert, mantenendo il modulo a 4 luci,

ma riducendone la base b=6,50 m di ciascuna “canna” (Figura f).

Si ricalcola, per questa sezione, la scala di deflusso verificando nuovamente attraverso la

dVdtQQ ea che l’effetto di laminazione dell’invaso resti contenuto nel massimo sopralzo

consentito di 1,00 m sulla quota della sezione di incile del box culvert. (Tabella II – Figura f)

220

Tabella II

Laminazione e regolazione 221

Figura f

2.b Sfioratore longitudinale

In questo caso, le opere di scarico sono realizzate con uno sfioratore a soglia libera; il problema

pratico è quello di fissare a priori la scala delle portate proporzionando l’opera prima di conoscere

la massima portata uscente Qe.

La scala delle portate è espressa dall’equazione degli stramazzi :

2

3

e hChg2hLQ [c]

È possibile seguire un procedimento rapido di dimensionamento dello sfioratore 4 dalla definizione

del rapporto di laminazione :

max,a

emax,a

Q

QQ ovvero in termine di volumi

d

ed

W

WW essendo:

Wd = Volume defluito durante la piena (Area dell’idrogramma di Figura a)

che in questo caso vale: Wd = 8.460.000 m3 [f]

ide WWW = differenza tra affluito Wd ed il volume trattenuto Wi ; pertanto il rapporto di la-

minazione assume la forma d

i

W

W1 [g]

Per 6i 10*

202,0

00,1W = 4.950.495 m3 414,059,01

000.460.8

495.950.41

4 R.Gregoring : Sulla laminazione dell’onda di piena per effetto dell’inserzione di un serbatoio in un corso d’acqua – L’Energia Elettrica mag-

gio 1940

222

Qe’=0,414* Qa-max=0,41*470 195 m3/s

Dalla [c] 0,162,190,1L45,0hg2hL195 L 98 m

Nota la lunghezza della soglia di sfioro è possibile definire la funzione Qe=(h) (Figura g) e verifi-

carne l’efficacia (Tabella III – Figurah)

Figura h

Tabella III

Dalla correlazione tra livello nel lago e portata impegnata nello sfioratore, per mantenere il livello a

circa 1,00 m si porta la lunghezza della soglia a 105,00 m .

Laminazione e regolazione 223

Figura i

Quinto richiamo di idraulica applicata . Flusso con portata crescente

Generalmente a questo dispositivo è associato un canale fugatore che raccoglie la portata sfiorata

e la convoglia verso valle . In questa coso c’è da definire il moto che ha luogo nel collettore stesso

a monte della sezione dove la totale portata sfiorata viene avviata ad uno scivolo oppure ad altra

equivalente struttura di scarico (Figura 1).

Figura 1

Nel caso non sia presente una soglia a monte dello scivolo, il moto si svolge con modalità dipen-

denti dalla posizione della sezione nella quale si verifica la condizione critica di deflusso, sempre

nell’ipotesi che il moto nel tratto successivo di canale, per essere a forte pendenza, non abbia ad

influire su quello che si svolge nel collettore (Figura 2) .

Figura 2

224

Volendo, invece, munire il dispositivo di sfioro di una sezione di controllo si realizza una soglia in

modo da realizzare, sulla soglia stessa, la condizione critica di deflusso; in questo modo però si

sviluppa a monte una corrente sicuramente lenta che potrebbe rigurgitare la soglia inficiandone il

funzionamento (Figura 3)

Figura 3

Lo studio idraulico per il dimensionamento del canale collettore si svolge, applicando il teorema del-

la conservazione della quantità di moto con riferimento ai simboli ed allo schema riportati nella Fi-

gura 4.

Figura 4

Indicati con:

x, l’ascissa 8curvilinea a partire da monte;

, C, R ed h, rispettivamente, area, contorno bagnato, raggio idraulico ed altezza d’acqua;

Q, la portata fluente con velocità media V;

C x la tensione tangenziale

La spinta totale MS è la somma della spinta idrostatica = e della quantità di moto

M= QV

è la profondità del baricentro della sezione d’area ; e sono rispettivamente peso specifico e

densità dell’acqua.

L’equazione che esprime la condizione d’equilibrio si deduce, isolando un tratto elementare di cana-

le e considerando le forze attive e resistenti ad esso applicate:

jidxdS

La quale, nella semplice ipotesi che possa, in ogni ascissa, ritenersi i=J assume la forma:

S= costante

Nel caso di soglia sfiorante orizzontale e carico costante e, quindi, dx

dQq anch’esso costante:

g

xq 22

costante

Nel caso di canale prismatico (a sezione trapezia isoscele o trapezia rettangolare, raramente a se-

zione rettangolare) la precedente assume rispettivamente le forme:

Laminazione e regolazione 225

sezione trapezia isoscele :

hhbg

xq6h2b3h

222

costante [1]

sezione trapezia rettangolare :

hhbg

xq12hb3h

222

costante [2]

sezione rettangolare:

hbg

xq2hb

222

costante [3]

Il valore della costante può facilmente determinarsi quando sia noto od imposto il valore che il pri-

mo membro delle precedenti equazioni assume in un’assegnata sezione ed in particolare per x = L.

In questo caso se al termine del canale la portata Q = qL defluisce in condizione critica o per la

presenza d’una soglia o per essere la pendenza i < ic.

L’altezza hL e quindi l’area L che si stabiliscono poco a monte della soglia stessa si deducono, con

pochi tentativi, dalla relazione: g2

Vhp

g

Qh

2c

c2L

2

L

[4]

avendo designato con hc e Vc rispettivamente altezza e velocità critiche, deducibili con le seguenti

le relazioni:

226

— soglia a sezione trasversale rettangolare larga b : 32

2

cbg

Qh

cc hgV [5]

— soglia a sezione trapezia isoscele con base minore b:

ricordato che per una sezione di forma qualunque e per un prefissato valore della portata Q al valo-

re minimo dell’energia la corrente assume il valore dell’altezza critica hc ; la relazione generale è :

m22

32h

bbg

Q

[6]

g

Q

h2b

hhb 2

c

3c

3c

c

ccc

h2b

hhbgV

Se la semplificazione i=J non è ammissibile, l’equazione del moto, sempre nell’ipotesi che il canale

sia prismatico o cilindrico, il che comporta che sia dx

d =

dx

dh, dopo alcuni passaggi, assume la

forma:

3

22

2

2

32

22

g

xq1

g

xq2Cxqi

dx

dh

[7]

avendo indicato con larghezza (variabile con h e, quindi, con x) della superficie liquida.

L’integrazione della precedente equazione può essere risolta alle differenze finite, con un processo

passo per passo, reso un poco più laborioso del normale per la necessità di dovere procedere per

tentativi, ad ogni passo, per cogliere il corretto valore di h.

Nel caso in cui nella sezione d’ascissa x = L si abbia la condizione critica (con o senza soglia) - det-

ta anche sezione di controllo — il procedimento numerico prende origine da valle e si svolge verso

monte. Si suddivide il canale collettore in tronchi di lunghezza x (non necessariamente uguali) e si

determina, partendo dalle grandezze note per la sezione di valle di ogni tronco, il valore dell’altezza

h che soddisfa l’equazione di equilibrio scritta alle differenze finite.

Il tirante idrico di partenza per le elaborazioni, di regola, si determina imponendo, attraverso la

realizzazione di un gradino di fondo associato al restringimento della sezione, il passaggio della

corrente attraverso lo stato critico in corrispondenza della sezione finale, lato valle, del canale col-

lettore. Per tale condizione, infatti, la dipendenza funzionale tra variabili geometriche e variabili

idrauliche è data dalla relazione:

g

Q

l

23

con: , area della sezione bagnata

l, larghezza della superficie libera

Esempio 29. Flusso con portata crescente – Canale fugatore

Dall’esempio precedente si ha uno sfioratore longitudinale con soglia lunga L = 105,00 m è in gra-

do di evacuare una portata di circa 210 m3/s con un’ altezza di sfioro h= 1,0 m. Le acque sfiorate

vengono raccolte in un canale fugatore a sezione trapezia isoscele, con base b=5 m e pendenza

delle sponde 1/1. In corrispondenza della fine della soglia sfiorante nel canale presenta un tronco

di raccordo, lungo 15 m, tra la sezione del collettore e la sezione rettangolare con base b= 14 m

posta 5,00 m a monte di una soglia di fondo alta p=2,00 dalla quale inizia il canale a forte penden-

za. Sulla soglia si stabilisce lo stato critico mentre a monte le condizioni della corrente saranno si-

Laminazione e regolazione 227

curamente lente.

Pertanto l’altezza critica sulla soglia è:

84,21481,9

210

lg

Qh 3

2

23

2

2

c

m

Nell’ipotesi di perdite di carico trascurabili, applicando il teorema di Bernoulli tra le sez.6 e 7e tra le

sez. 5 e 6 restano definiti i tiranti idrici h6 ed h5

g2

Vhz

g2

Vhz

27

77

26

66 g2

Vhz

g2

Vhz

26

66

25

55

con le dovute sostituzioni (Tabella 1- Figura a) :

Tabella 1

228

Figura a

Lungo lo sfioratore lo studio idraulico si svolge applicando il teorema della conservazione della

quantità di moto. L’equazione che esprime la condizione di equilibrio si deduce suddividendo il ca-

nale collettore in un numero di tronchi e considerando le forze attive e resistenti applicate. Con

tutte le semplificazioni di cui al paragrafo precedente e per sezione del canale collettore trapezia

isoscele si ottiene, pertanto, la semplice relazione :

hhbg

xq6h2b3h

222

costante

Successivamente si suddivide il canale collettore in 5 parti, non necessariamente uguali ma come

riportate nella Figura b, in modo da seguire meglio l’andamento del profilo della corrente a monte

della soglia. In corrispondenza di ogni ascissa xi si determina la portata esitata e, partendo dalle

grandezze note della sezione di valle di ogni tronco, si determina il valore dell’altezza h che soddi-

sfa la precedente equazione di equilibrio.

Figura b

Il procedimento di calcolo è riportato nella Tabella 2 ed i risultati sono illustrati nella Figura c.

Laminazione e regolazione 229

Tabella 2

Figura c

230

A valle della soglia, lungo il canale fugatore si stabilirà un tirante di moto uniforme di corrente ve-

loce; i livelli vengono calcolati integrando con l’equazione del moto permanente

Jids

dH

(Seconda Parte – Secondo richiamo di idraulica applicata. Pag 103).

2c. Flusso regolato con una luce sotto battente

Nel caso in cui il serbatoio sia provvisto di uno o più scarichi di fondo regolati con paratoie piane, nell’ipotesi di funzionamento contemporaneo alla durata dell’onda di piena tp=10 ore, dal volume

Wd = 8.460.000 m3 (Area dell’idrogramma di Figura a )

Figura a

si deduce la portata di dimensionamento pari a: 00,235360010

000.460.8qm

m3/s .

Questa dovrà essere uguale alla portata massima esitata dagli scarichi di fondo per la quota di

massimo invaso hm= 9,00 m : mm hg2q ; con le dovute sostituzione, si ottiene:

981,92b2*b362,0235 da cui si determina un complesso di tre paratoie piane b=2,2 m

ed altezza h=2b=4,4 m.

Figura b

Laminazione e regolazione 231

3. La Regolazione

Le risorse idriche costituite dalle acque correnti superficiali sono variabili nel tempo in quanto con-

nesse con il regime delle precipitazioni. L’utilizzazione di tali risorse, in genere, ha variabilità diver-

sa da quella dei deflussi naturali.

Nella Figura 18 sono riportati, ad esempio, il diagramma cronologico ed il valore medio delle porta-

te qa defluenti in una sezione di un corso d'acqua, unitamente al diagramma cronologico contem-

poraneo ed al valore medio della portata utilizzata qu.

Qualunque tempo si consideri, la domanda è sempre soddisfatta dalle fluenze naturali. In tali con-

dizioni non risulta necessario realizzare un serbatoio; peraltro l'impiego della risorsa risulta limitato

Figura 18. Diagrammi cronologici

Il livello di utilizzazione può essere elevato e portato a circa il 100% della risorsa con la realizzazio-

ne di invasi.

Nel caso illustrato nella Figura 19 in alcuni intervalli di tempo la portata richiesta risulta superiore

alla contemporanea portata fluente, in altri inferiore.

Figura 19

Risulta ancora dalla Figura 20 che la portata media utilizzata qu. è inferiore alla portata media del

corso d'acqua aq . In tale caso è possibile soddisfare la domanda, secondo la legge di utilizzazione

prevista, realizzando un serbatoio di compenso che accumuli acqua nei periodi di fluenze superiori

alla richiesta e restituisca i volumi precedentemente invasati quando la domanda supera i contem-

poranei deflussi.

232

Il problema della regolazione ha pertanto soluzione se au qq e se sarà possibile realizzare un

serbatoio di capacità sufficiente ad accumulare e trasferire nel tempo i volumi idrici dai periodi in

cui risultano esuberanti ai periodi in cui verranno utilizzati.

La regolazione, il cui fine è la determinazione della capacità da assegnare al serbatoio perchè la

domanda d'acqua risulti soddisfatta, è governata dalla equazione di continuità idraulica :

dt

dVqqq evua

Trascurando le perdite o i contributi per infiltrazione dalla conca dell'invaso, evq è la portata eva-

porata dallo specchio liquido, V è il volume invasato e t è la variabile tempo.

Risultano noti o facilmente determinabili:

)t(qq

)t(qq

)t(qq

evev

uu

aa

L’integrazione della equazione differenziale si esegue o con il metodo delle differenze finite o trami-

te metodo grafico basato sulla funzione integrale delle portate. Il passo di integrazione può essere

qualche minuto, l'ora, il giorno, la decade, il mese. Intervalli brevi si adottano per fenomeni idrolo-

gici a rapido sviluppo ed esaurimento, quali le piene; intervalli lunghi si adottano nello studio dei

serbatoi per uso irriguo, potabile ecc.

Nell'ipotesi di trascurare il termine evq e che nell'intervallo di regolazione T risulti:

dtqdtqT

0a

T

0u [1]

i volumi presenti nel serbatoio per t=0 e per t=T sono coincidenti.

3 a. Soluzione numerica alle Differenze Finite

Nella Figura 20 sono riportati i diagrammi cronologici di qa e di qu. Il valore dell'integrale dtq2t

1t

rappresenta il volume affluito nel serbatoio (q = qa) o erogato dal serbatoio (q = qu) nell'intervallo

di tempo t1 t2. L'area compresa tra le due curve nei differenti intervalli di tempo 0 t1, t1 t2,

........, t4 T, rappresenta il volume di supero (qu < qa) o il volume deficitario (qu > qa) rispetto

alla richiesta.

Figura 20

Negli intervalli di tempo 0 t1, t2 t3, e t4 T la qa risulta inferiore alla qu. I volumi V1, V3 e V5

debbono pertanto essere erogati dal serbatoio ad integrazione dei deflussi naturali contemporanei

del corso d'acqua. Negli intervalli t1 t2 e t3 t4 i volumi V2 e V4 debbono essere invasati nel ser-

batoio. All'eguaglianza tra volume affluito e volume erogato nel periodo T consegue che

V1 + V3 + V5 = V2 + V4

Laminazione e regolazione 233

Perchè la prefissata successione delle portate q risulti realizzabile il serbatoio dovrà avere un volu-

me di invaso iniziale Vo ed una capacita non inferiore a C.

La determinazione delle due grandezze discende dalla integrazione a passi finiti della equazione dif-

ferenziale dt

dCcqq ua ; V0 è incognito; i Vi sono noti. Riportata, in forma tabellare, la successio-

ne cronologica dei volumi invasati

Regolazione del serbatoi

tempo intervallo Volumi invasati

t = t0 = 0 V = V0

t = t1 t1 - t0 V = V0 - V1

t = t2 t2 - t1 V = V0 - V1 + V2

t = t3 t3 - t2 V = V0 - V1 + V2 - V3

t = t4 t4 - t3 V = V0 - V1 + V2 - V3 + V4

t = T T - t4 V = V0 - V1 + V2 - V3 + V4 - V5

Riga per riga si effettuano le cumulate dei valori noti. La somma negativa massima in modulo è V0.

Noto V0, riga per riga, si effettua la somma. La somma massima è la Capacità di Compenso del

serbatoio .

Esempio 30 a. Determinazione della capacità di compenso – metodo analitico

Stabilita la porzione di territorio nella quale realizzare l’invaso, si rilevano le superfici i delimi-

tate dalle varie curve di livello e conseguentemente si stimano i volumi Vi compresi tra due superfi-

ci consecutive. In base ai diagrammi delle superfici e dei volumi di invaso, costruiti con i valori del-

la seguente tabella, stimare le portate medie mensili derivabili al netto dell'evaporazione che, in

prima approssimazione, si assume pari ad un'altezza di evaporazione mensile costante di 100 mm.

Il volume utile del serbatoio realizzabile è di circa 21,4*106 m3.

Nella Tabella A sono rese le portate medie mensili (PMM valori in m3/s) rilevate nella sezione del

corso d'acqua, ove dovrà essere realizzato il serbatoio artificiale di regolazione.

Tabella A

G F M A M G L A S O N D

6,6 7,7 6,2 8,1 4,0 1,7 1,9 1,3 1,1 2,8 2,7 5,9

Con i dati disponibili si determinano:

234

[Vam] i volumi mensili affluiti al serbatoio, al netto dell’evaporazione

[Vam] i volumi progressivi accumulati nel serbatoio

Nella Tabella B sono ripotati:

[qum] le portate medie mensili derivabili, nell’ipotesi di regolazione totale,

[Vum] i volumi mensili derivabili

[Vum] i volumi progressivi derivati dal serbatoio

Tabella B

La retta che unisce il punto iniziale e finale rappresenta la legge di erogazione dal serbatoio del vo-

lume Vu(t) con una portata media mensile costante umq = 4,146 m3/s.

In questo caso il serbatoio è a regolazione totale ed il volume di compenso necessario viene de-

terminato sommando algebricamente, riga per riga, i valori dei volumi affluiti Vam e prelevati

Vum di Tabella B.

Laminazione e regolazione 235

La somma negativa massima in modulo rappresenta il volume iniziale V0 = 4,698 *106m3. Noto

V0, sempre riga per riga, si effettua la somma di umiami0 VVV . La somma massima è la

Capacità di Compenso del serbatoio C = 35,5*106 m3

3 b. Soluzione Grafica

Di largo impiego, perchè immediato e sintetico, è il metodo grafico che trova fondamento nelle

funzioni integrali : t

dtqV

Risultano dati :

il volume Va(t) affluito al serbatoio fino al tempo t dtq)t(Vt

0aa

il volume Vu(t) erogato dal serbatoio fino al tempo t dtq)t(Vt

0uu

il volume V0 presente nel serbatoio al tempo t=0

la capacità C del serbatoio

Si consideri il piano cartesiano t, Vu(t) di Figura 21 e si riporti

sullo stesso la funzione Va(t) a partire dall'ordinata V0 al

tempo t = 0. Per un generico tempo t*, l'ordinata letta sulla

curva Va(t) rappresenta il volume idrico disponibile a partire

dal tempo t = 0.

E' infatti costituita dalla somma di due segmenti, 01 coinci-

dente con V0 ed 12 = dtq*t

0a

Figura 21

Si consideri successivamente il piano cartesiano t,

Vu(t) di Figura 22 sul quale è riportata la curva

Va(t) a partire dalla ordinata V0. Si consideri, sem-

pre sullo stesso piano t, Vu(t), una curva Vu(t) che,

partendo dalla origine degli assi, con andamento non

decrescente, raggiunga in un generico istante la curva Va(t).

236

Figura 22

Al generico tempo t1 l'ordinata del punto 2 rappresenta il volume disponibile, somma di 0V01 e

di 1t

0adtq12 ; il segmento dtq03

1t

0u rappresenta il volume erogato. La differenza 0302

rappresenta, pertanto, il volume invasato al tempo t1 nel serbatoio. In corrispondenza del tempo t2,

risultando : dtqdtqV22 t

0u

t

0a0 il serbatoio risulta vuoto.

Nella Figura 23 è riportato, sempre su diagramma cartesiano t, Vu(t), unitamente alla curva Va(t)

tracciata a partire dalla ordinata V0, la stessa curva Va(t) traslata verso il basso, parallelamente

all'asse delle ordinate, della quantità C. E' riportata inoltre la curva Vu(t) che, partendo dall'origine

degli assi, con andamento non decrescente, al tempo generico t1 incontra la curva Va(t) inferiore. Il

volume disponibile al tempo t1 risulta:

Il volume erogato al tempo t1 risulta: dtq031t

0u

La differenza tra i segmenti C031201 è pari

alla capacità del serbatoio.

Al tempo t1 il serbatoio è pieno. La curva Va(t) superio-

re rappresenta pertanto la condizione di serbatoio vuo-to; la curva Va(t) inferiore, di serbatoio pieno. In base

alle considerazioni svolte, riportato sul diagramma t,

Vu(t) il valore V0; tracciata, a partire da V0, la curva

Va(t).

Figura 23

Traslata la Va(t) verso il basso della quantità C; si può concludere che qualsiasi curva non decre-

scente con origine nella origine degli assi, tale che dtqdtqT

0u

T

0a contenuta entro la fascia de-

finita dalla curva Va(t) e Va(t) - C, è una curva di possibile regolazione dei deflussi.

Quando la funzione Vu(t) è rappresentata da un segmento di retta in tutto il campo 0 T, la porta-

ta qu è costante. In tale caso la capacità del serbatoio è detta di regolazione totale. Le conclusio-

ni cui si è pervenuti consentono di determinare, per qualsiasi funzione Vu(t) non decrescente, il

valore da assegnare alla capacità del C serbatoio ed il valore del volume iniziale V0.

Nella Figura 24 sono riportati ad esempio i due casi di regolazione totale e di regolazione per Vu(t)

a tre segmenti.

Figura 24

Le operazioni da eseguire sono:

Laminazione e regolazione 237

tracciare sul diagramma t, Vu(t) la funzione Vu(t) ,tracciare sullo stesso diagramma la funzione

Va(t) e traslare verticalmente il diagramma della Va(t) fino a far toccare superiormente ed infe-

riormente il diagramma della Vu(t).

Eseguite queste operazioni, la distanza tra i due diagrammi Va(t) è la capacità C minima da asse-

gnare al serbatoio per consentire la prestabilita regolazione dei deflussi. L'ordinata della intercetta

della Va(t) superiore con l'asse delle ordinate fornisce il valore del volume iniziale V0

Esempio 30. b Determinazione della capacità di compenso – metodo grafico

Si riprenda l’Esempio precedente: costruita la cumulata dei volumi affluiti al serbatoio [Va] si uni-

sce il punto iniziale e finale (retta tratteggiata) questa rappresenta la Vu(t) con qum= 4,146 m3/s

costante.

Traslando verticalmente la Va(t) sulla Vu(t) si determina il volume di compenso

Cc = 35,5*106 m3

Grafico A

Quando ragioni morfologiche e geologico-tecniche non consentano la realizzazione di un serbatoio

della capacità quale risulta dallo studio della regolazione (nel caso in esame la massima capacità è

fissata in 21,4*106m3 contro una Cc = 35,5*106 m3) si pone il problema di determinare, compati-

bilmente con la capacità C'<C realizzabile, la successione delle portate qu caratterizzate dal minimo

238

valore dello scarto quadratico medio rispetto alla successione prefissata.

Nel caso di regolazione totale la soluzione è immediata tramite la così detta regola del "filo teso".

Si considerino, quali valori estremi della funzione Vu(t), per t = 0, Vu = 0, e per t = T, Vu = Va. Si

riportino sul diagramma t, Vu (t) le curve Va (t) e Va (t) - C'.

Considerate le due curve quali frontiere non valicabili, ponendo un filo all'interno del campo delle

stesse definito, lo si ponga in tensione dai punti fissi di estremità.

La condizione mistilinea che assumerà il "filo te-

so" fornirà la successione delle portate di minimo

scollamento quadratico rispetto alla successione

prefissata. Nella Figura 43 è riportato un esem-

pio di applicazione del metodo.

Per quanto suddetto e volendo per la Vu(t) una

legge prossima all’utilizzazione a portata costan-

te si ricorre alla regola del filo teso, si trasla la

cumulata dei volumi affluiti al serbatoio [Va]

della capacità assegnata C = 21,4 *106 m3

(Grafico B).

Figura 25

Nel campo delimitato dalla Va(t) e dalla stessa curva traslata si fissa il valore del volume V0 = 1,4

*106m3, all’interno del serbatoio, al tempo t = 0 e t = T, si traccia una mistilinea congiungente

questi punti e contenuta tra le due curve. (Grafico C)

Grafico B

Grafico C

Laminazione e regolazione 239

Il serbatoio sarà pieno durante il periodo aprile-maggio mentre completamente vuoto alla fine del

mese di novembre; il volume a fine anno coincide con quello dell’inizio dell’anno successivo.

Grafico D

Dal Grafico D si rilevano i valori dei volumi utilizzabili Vut quali ordinate, dal filo teso alla curva

Va(t) superiore. Dai grafici di Superfici - Volumi si risale al valore dell’area dello specchio liquido

dell’invaso Aev , soggetto all’evaporazione. Da questi valori si desumono i volumi perduti per eva-

porazione Vev ed infine i volumi netti Vn. Questi ultimi ridivisi per i giorni forniranno i valori delle

portate medie mensili utilizzabili qum.

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