FOURIER SERIES USING Maple™ 18

Dr. Ayad M. Shahoot

Mergib University, Faculty of Sciences

Khoms-Libya. drshahoot@yahoo.com

متسلسالت فورييه باستخدام Maple 18

Part I

FOURIER

SERIES

FOURIER INTEGRA

L

FOURIER TRANSFOR

M

FOURIER ANALYSIS

Fourier Sine Series

Fourier Cosine Series

Fourier Sine Integral

Fourier Cosine IntegralSine Fourier TransformCosine Fourier Transform

Complex Fourier Series

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

العلم$$$$$$ي المس$$$$$$تشار كانوكان مص$ر، غزا عندم$ا لنابليونبه$م تقطع$ت الذي$ن ضم$ن م$نتدمي$$$ر ت$$$م عندم$$$ا بل الس$$$ُف$$$$ي الفرنس$$$$ي االس$$$$طول

. النيل ُ معرك$$$$ة علي$$$$ه ُأ لق$$$$يم$ن نج$ى وبالكاد مرتي$ن القب$ض

.المقصلة1768 – 1830

Jean Baptiste Joseph Fourier

الدوري$ة الظواه$ر فوريي$ه درس(Periodic Phenomena) تعي$$د الت$$ي

حي$$$ث دوري، بشك$$$ل نفس$$$هابالدوال تس$$$$مى بدوال مثله$$$$ا

.(Periodic Functions)الدورية

ف$$$$$$ي ُأعمال$$$$$$ه تعرض$$$$$$تالمثلثي$$$$$$$ة المتس$$$$$$$لسالت

(Trigonometric Series) للنق$$$$د . والبالس الجرانج من الشديد

ظاهرة ع$ن ل$ه عم$ل ُأول نُش$راالجس$$ام ف$$ي الحرارة إنتشارفي$$ه إس$$تخدم والذي الص$$لبةتعرف ) المثلثي$$ة متس$$لسالته

.) فورييه بمتسلسالت االن

الرياضيات فوريي$$$$$$$ه درسالجران$$ج م$$ن ك$$ل ي$$د عل$$ىف$$$ي. درس كم$$$ا والبالس$$$

الحراري االنتشار الفيزياء. التذبذب وظاهرة

ومؤرخ وفيزياء رياضيات عالم ه$والثام$ن ول$د، فرنس$ي القرن ف$ي

الميالدي الثورة عش$$$$$$$$$$$ر إبانة ذنُب$الفرنسية.

تاريخية

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Fourier Laplace Lagrange LaguerreLegendre Cauchy

D’ Alembert Poincare

Periodic Functionf (x) x 2

f ( 2 ) f ( )

f (x)

0

2

x

0x

0x

f (x 2 ) f (x)

x, x 0,f (x)

x, 0 x

f (x) x, x

1, x 0,f (x)

1, 0 x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Triangular Wave

Sawtooth Wave

Rectangular Wave

periodic functions.mw

n 1

f (x) cos(nx) sin(nx)2

01a f (x)dx

n1a f (x)cos(nx)dx

n1b f (x)sin(nx)dx

مع$$$$$$امالت فوري$$يه

Fourier Coefficients

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

For any function f(x) with period 2, we can describe the f(x) in terms of an infinite sum of sines and cosines

na0anb0a

na nb

Example 1

?x 0

n nn 1

aa cos(nx) b sin(nx)

2

f (x)

f (x) x, x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

f (x) x, x

? 0n n

n 1

ax a cos(nx) b sin(nx)

2

n1b f (x) sin(nx)dx

01a f (x)dx

n1a f (x) cos(nx)dx

Example 1

1

2x2

2 2( ) ( )

2 2

1

0

n n2

1 ( 1) ( 1) 0n

1 2

x sin(nx) cos(nx)n n

2x cos(nx) sin(nx)

n n

2cos(n )n

1

x dx

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

cos(n )cos(1 ) 1cos(2 )cos(3 )

cos(4 )

cos(5 )

1111

n 1n 2n 3n 4n 5

na 0

n2b

n

0a 0Example 1

cos(n ) n( -1)

? 0n n

n 1

ax a cos(nx) b sin(nx)

2

n?

n 1

x sin(nx20 0 1) )(n

n?

n 1

( 1)x 2 sin(nx)n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

n 1 to 4

1 2 3 4? ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x 2 sin(1x) sin(2x) sin(3x) sin(4x)

1 2 3 4

? 2 12sin(x) sin(2x) sin(3x) sin(4x)3 2

x

Example 1 n?

n 1

( 1)x 2 sin(nx)n

xn=1to 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

xn=to10

xn=to4

xn=to50

(x+0.1)n=to∞

n

n 1

( 1)2 sin(nx)xn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

n=to2

n=to6

n=to70

n=to∞

2 22

2 22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

x, x 0f (x) x

x, 0 x

n2

2 ( 1) 1n

Example 2

? 0n n

n 1

ax a cos(nx) b sin(nx)

2

0

0

x dx x dx

0

1a x dx

2 21 ( ) ( )2 2

n1a x cos(nx)dx

n1b x sin(nx)dx

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Fourier Series1.mw

Example 2

nn 2

2a ( 1) 1n

nb 0

0a

? 0n n

n 1

ax a cos(nx) b sin(nx)

2

n2

?

n 1

2 [( 1) 1]x co ( )2 n

s nx

n?

2n 1

2 [( 1) 1]x cos(nx)2 n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Fourier Series1.mw

n 1 to 4

? 4 4cos(x) 0 cos(3x) 0

2 9x

n?

2n 1

2 [( 1) 1]x cos(nx)2 n

Example 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Fourier Series1.mw

n 1 to ? 4 4 4

x cos(x) cos(3x) cos(5x) .... inf inity2 9 25

Example 2

n

2n 1

2 [( 1) 1]x cos(nx)2 n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Fourier Series1.mw

الدالة كانت دالة f(x)إذا هي فورييه بمتسلسلة تمثيلها فإن فرديةالمراد ،: فورييه معامالت

الدالة كانت دالة f(x)إذا هي فورييه بمتسلسلة تمثيلها ، زوجيةالمراد: فورييه معامالت فإن

Odd and Even Functions

نظرية

Fourier sine series

نظرية

Fourier cosine series

0a 0, na 0

n

0

2b f (x)sin(nx)dx

nb 0

0

0

2a f (x)dx

n

0

2a f (x)cos(nx)dx

0n n

n 1

af (x) a cos(nx) b sin(nx)

2

nn 1

f (x) cos(nx) b sin(nx)0 02

nn 1

f (x) b sin(nx)

0n

n 1

af (x) a cos(nx)

2

0n n

n 1

af (x) a cos(nx) b sin(nx)

2

0n

n 1

af (x) a cos(nx) sin(nx)

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

1, x 0f (x)

1, 0 x

من f(x)الدالة إذن فردية، دالة:0a النظرية 0

na 0

n

n 1

( 1) 12f (x) sin(nx)n

0

nn

0

2 2 cos(nx) 2 cos(n ) 1 2b 1 sin(nx)dx ( 1) 1n n n n

Example 3

nn

2b ( 1) 1

n

n to3 n to7

n to20

n to

n

0

2b f (x)sin(nx)dx

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Boxcar Function

Square Wave Function

APPLICATIONS & SIMULATIONS

االوت$$ار تذبذبSTRING VIBRATIONS

2 22

2 2

x 0 x

t 0t 0

u ua , 0 xt x

u 0 , u 0,

uu f x , F xt

المتغيرات فصل طريقة بإستخدام المسألة هذه تحل(Separation of Variables)

2X (x) X(x) 0 2 2T (t) a T(t) 0

1 2X x C cos x C sin x 3 4T t C cos at C sin at

k kk 1

k a k a ku x, t C cos t D sin t .sin x

kt 0k 1

ku C sin x f x

kk 1t 0

u k a kD sin x F xt

k0

k0

2 k xC f x sin dx,

2 k xD F x sin dxk a

على االبتدائيين الشرطين بتطبيق: ُأن نجد العام، الحل

String Vibration

u(x, t)

X(x) T(t)

k

kwhere,

u u(x, t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 22

2 2

x 0 x

t 0t 0

u ua , 0 x ,t x

u 0, u 0,

uu f (x), F(x) .t

0

أوج--د تذبذب الوت--ر المثب--ت عن--د نهايتي--ه ف--ي النقطتي--ن و إذا كان النقط--ة عن--ذ رأس--ه مثل--ث شك--ل عل--ى للوت--ر االبتدائ--ي وس--رعته )c,h(االنحراف

).F(x)=0االبتدائية تساوي الصفر (

x 0x

xo

f(x)

c

h

o0

hx , 0 x c,cf (x)

h( x) , c x .c

تص$اغ هذه المس$ألة عل$ى النحو التالي:

Example 1

الح$ل

Dirichlet Problem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

بم$$ا ُأنن$$ا وجدن$$ا ح$$ل مس$$ألة تذبذب الوتر على الصورة:

k0

2 k xC f x sin dx

hxc

h( x

, 0 x c,f (x)

, c .c

x)

k0

2 k xD F x sin dxk a

c

k0 c

hx h( x)c c

2 k x k xC sin dx sin dx

2

2 2k 1

k a ku x, t .cos t2h k csink c

.sin( )

xc

0

Example 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

، يج$ب (Numerical Solutions)الج$ل الحص$ول عل$ى حلول عددي$ة إعطاء قيم عددية للثوابت:

برمجة الحلول

نُعرف دال$ة االنحراف االبتدائي:

نرس$م دالة االنحراف االبتدائي:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

برمجة الحلول

t 0u f (x)

نحس$$$$$$$ب معامالت فورييه :

kC

نُعرف دال$ة الح$ل :

u(x, t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

مراح$$$$$$ل تذبذب الوت$$$$$$ر لعدة لحظات زمنية متفاوتة.

برمجة الحلول

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

محاكاة ظاهرة التذبذب

برمجة الحلول

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

hxc

h( x

, 0 x c,f (x)

, c .c

x)

Application.mw

بحي-ث يكون f(x)س-نفرض نف-س المثال الس-ابق، ولك-ن س-نعطي قي-م أخرى للدال-ة ائي عبارة عن مثلث متساوي الساقين:داالنحراف االبت

Example 2

t 0u f (x)

xo

f(x)h

o0 c

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

مراح$$$$$$ل تذبذب الوت$$$$$$ر لعدة لحظات زمنية متفاوتة.

برمجة الحلول

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

محاكاة ظاهرة التذبذب

برمجة الحلول

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

سلوك مقارنةالتذبذب

xo

f(x)

c

h

o0

xo

f(x)h

o0 c

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

xo

f(x)

c

h

o0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Application.mw

Initial)يمك$$$ن نمدج$$$ة تذبذب الوت$$$ر عندم$$$ا يكون االنحراف االبتذائي Condition:على شكل قطع مكافئ )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Application2.mw