parametrizacion curvas

VERANO DE 2004UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR M A 2 1 1 2Departamento de Matemáticas s e c c i ó n _ 7Puras y Aplicadas.

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Parametrización de curvas e integrales de linea.

En Ma1116 Ud. estudió representaciones paramétricas de recta en elespacio en forma escalar

⎩⎪⎨⎪⎧ x= x 0+ l t

y=y 0+ m t z = z 0 + n t t∈ R

⎝⎜⎜⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎟⎟⎞a s í c o m o e n f o r m a v e c t o r i a l : O P = r ( t )

s i endo r : R→ R 3 u n a f u n c i ó n c u y a i m a g e n e s l a r e c t a q u e s e e s t á r e p r e s e n t a n d o .

En manera análoga se pueden representar curvas en el plano y en elespacio, por medio de convenientes funciones r: A→ R 2 , r: A→ R 3 (siendoA un conveniente subconjunto del conjunto R de los números reales).Ejemplo 1.

El sistema de ecuaciones ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x= x0+r .cos( t )y= y 0+r . sen( t ) 0 t 2 π

representa la circunferencia de centro P0(x0 ,y0) y radio r ( en formaescalar) .Si deseamos una representación paramétrica de la misma circunferenciaen forma vectorial, podemos escribir : O P =O P 0+r.( cos(t) , sen(t) ) o también ,usando los vectores i=(1,0) , j=(0,1) : O P =O P 0+r.cos(t)i+r.sen(t)j .Observe que esta última representación paramétrica vectorial de unacircunferencia en el plano se puede facilmente generalizar para obteneruna representación paramétrica de una circunferencia en el espacio R3 ,simplemente reemplazando los vectores i, j por dos vectores unitarios,paralelos al plano de la circunferencia y perpendiculares entre ellos.Ilustraremos esto en el siguiente :Ejemplo 2.Hallemos una representación paramétrica de la circunferenciaintersección de la esfera de ecuación (x-2)2+(y+1)2+z2=9 con el planode ecuación x+y-z=0.El centro P0 de la circunferencia dada , será el punto de intersección conel plano dado, de la recta que pasa por el centro C(2,-1,0) de la esfera yes perpendicular al plano; esta recta está representada por :

x-21 =

y+11 =

z -0- 1 , es decir : x-2=y+1=-z ,


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y su intersección con el plano dado es el punto P0(53 ,

- 43 ,

13) ,

(verifíquelo).Dos vectores h=(u,v,w), k=(a,b,c) que sean mutuamenteperpendiculares y paralelos al plano dado, deberán cumplir con lascondiciones : au+bv+cw=0 , u+v-w=0 , a+b-c=0 , de manera quepodemos, por ejemplo poner v=0 , u=w=1 , h=(1,0,1) , por lo cual deberáser : au+bv+cw=a+c=0 , a+b-c=0 , luego poniendo b=2 resultará a=-1 ,c=1 , k =(-1,2,1) ; para que los vectores h , k sean unitarios, bastarádividir cada uno por su módulo, obteniendo :

h= (1

√⎯2 , 0 ,

1

√⎯2 ) , k = (

- 1

√⎯6 ,

2

√⎯6 ;

1

√⎯6 ) .

Por último, el radio de la circunferencia dada será igual a la longitud delsegmento AP0 siendo A cualquier punto de la circunferencia, es decir,cualquier punto cuyas coordenadas cumplan con el sistema deecuaciones:

⎩⎪⎨⎪⎧(x-2)2+(y+1)2+z2= 9 x+y-z=0

por ejemplo, podemos poner A(0,1,1) , (AP0)2=r2=7 89 .

Entonces (finalmente) obtenemos la representación paramétrica de lacircunferencia dada : O P =O P 0+r.cos(t)h+r.sen(t)k que se escribe, enforma escalar :

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ x =

53 +

√⎯⎯7 83 [

1

√⎯2c o s ( t ) -

1

√⎯6 s e n ( t ) ]

y = - 43 +

√⎯⎯7 83 [ +

2

√⎯6 s e n ( t ) ]

z = 13 +

√⎯⎯7 83 [

1

√⎯2c o s ( t ) +

1

√⎯6 s e n ( t ) ]

0 t 2 π

Ejemplo 3.Hállese una representación paramétrica escalar del segmento AB siendoA(-1,2,5), B(0,3,-2).Un vector paralelo al segmento será A B =(1,1,-7), luego la recta completapor A,B se podrá representar, por ejemplo, con :


3 8

x + 1

1 = y - 2

1 = z - 5- 7 = t de donde obtenemos :

⎩⎪⎨⎪⎧x=-1+t

y = 2 + t z = 5 - 7 t t∈ R

.

Como en esta representación el punto A se obtiene con el valor t=0 delparámetro y el punto B con t=1 , una representación paramétrica de

nuestro segmento será :

⎩⎪⎨⎪⎧x=-1+t

y = 2 + t z = 5 - 7 t 0 t 1 .

Ejerc ic ios .Halle una conveniente representación paramétrica para cada una de lascurvas siguientes:

E1 . La elipse de ecuación x2

4 + y2

9 = 1 (en el plano Oxy);

E2 . La elipse de ecuación x2+xy+y2= 4 ;

E3 . El arco de hipérbola de ecuación x2-y2 = 5 , de extremos A(3,2) , B(3,-2);

E4 . La poligonal ABC con A(0,0), B(1,-3) , C(7,3) ;

E5 . La curva intersección del cilindro x2+y2 = 1 con el plano x-2y+3z=4 (en el espacio tridimensional Oxyz );

E6 .La curva intersección de las dos superficies x2+y2+z2 = 169, x+y+z=5 ;

E7 . La curva intersección de las dos superficies x2+y2 = 1 , z=xy .

E8 . La curva intersección de la superficie z= 2x2+3y2 con el plano z=6;

E9 . La curva intersección de la superficie z= 2x2+3y2 con el plano 4x+6y-z+7=0;

E10 .La curva intersección de las dos esferas x2+y2+z2= 2x , x2+y2+z2= 1 .


3 9

E11 . La curva de ecuación x3+y3-3xy = 0 (en el plano Oxy);

E12 . Halle una representación paramétrica de la circunferencia de ecuación x2+y2 = 1 (en el plano Oxy) sin usar funciones trigonométricas ni raíces.

Algunas sugerencias.(para la resolución de los ejercicios anteriores).

1. Modifique en forma conveniente la representación paramétrica del ejemplo 1.

2. Observe que esta elipse es simétrica respecto a las bisectrices de los cuadrantes, luego con una rotación de ejes de 45º nos podemos reducir al caso anterior; en lugar de usar las fórmulas de una rotación de ejes, se pueden usar otras,como por ejemplo : x=x’+y’ , y=x’-y’ .

3. Use la identidad (para funciones hiperbólicas) :cosh 2(t) - senh2(t) = 1 .Observando que cosh(t) siempre es positivo, ¿como se podría obtener una representación paramétrica de la rama de la mismahipérbola situada en 2º y 3er cuadrante?

4. Proceda para cada segmento como en el ejemplo 3, luego cambie parámetro en una de las dos representaciones.

5. Use la representación paramétrica de la circunferencia en el plano Oxy y despeje z en la ecuación del plano.

6. Use lo que se explicó en el ejemplo 2.7. Análogo al 5.8. Proyecte sobre el plano Oxy.9. Proyecte sobre el plano Oxy , escriba la ecuación de la curva

proyección en la forma : (x-a)2

A 2 + (y-b)2

B 2 = 1 etc.

10. La curva dada es una circunferencia que también se obtiene comointersección de una de las esferas dadas con el plano de ecuación x=1/2;De esto sigue que la curva se puede representar por medio del sistema deecuaciones :


4 0

⎩⎪⎨⎪⎧ y 2+ z 2 =

34

x = 12

etc.

11. Haga sistema con una recta por el origen , de ecuación y=tx ; obtenga primero x=f(t) , luego y=t.f(t).

12. Proceda como en 11. con una recta por A(1,0) y simplifique por x-1 .

Integrales de linea.

Sean αααα la trayectoria definida por ⎩⎪⎨⎪⎧ αααα ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) t 1 ≤ t ≤ t 2

,

F (x, y, z) un campo vectorial y f(x, y, z) un campo escalar (definidos enun conjunto abierto E que contiene la curva imagen αααα ( [ t 1 , t2 ]) de latrayectoria αααα ). Recuerde entonces las definiciones:

I1 ) ∫αααα

F.dαααα = ∫

t1

t2F (x(t),y(t),z(t)).(x'(t),y'(t), z'(t) ) dt =

I2 ) ∫αααα

Pdx+Qdy+Rdz= ∫

αααα

Px'dt+Qy'dt+Rz'dt=

∫αααα

[P(x(t) ,y(t) ,z(t))x '( t)+Q(x(t) ,y(t) ,z(t))y '( t)+R(x(t) ,y(t) ,z(t))z ' ( t)]dt

observe que si F=(P, Q, R) entonces I1 , I2 representan lo mismo.

I3 ) ∫αααα

f.ds = ∫

t1

t2f(x(t) ,y(t) ,z(t))√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯(x ' ( t ) )2 +(y ' ( t ) ) 2 +(z ' ( t ) )2 dt

observe que si T es el vector tangente unitario a la curva representadapor αααα y si f(x,y,z)= F (x,y,z).T (producto escalar) , entonces I1 , I 3representan lo mismo.


4 1

e j e r c i c i o s .

E13.- Dada la trayectoria ⎩⎪⎨⎪⎧ αααα ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) t 1 ≤ t ≤ t 2

, con :

x(t) = t+1 , y(t) = 2-3t , z(t) = t2 , 1≤ t ≤ 2 , calcule cada una de lassiguientes integrales de linea :

13a) ∫αααα

F .dαααα , siendo F (x,y,z) = (2xy, y-z, x2-z ) ;

13b) ∫αααα

f.ds , siendo f(x,y,z) = x+⎥y⎥ ;

13c) ∫αααα

Pdx+Qdy+Rdz ,

siendo P(x,y,z)=y , Q(x,y,z)=x+z , R(x,y,z)=1 .

E14.- Sea OAB la poligonal (orientada de O hacia B) de vértices

O(0, 0), A(1, 1), B(1, 1, 2) y sea F=(P,Q,R) con P=Q=R= x+y+z+1 ;

14a) halle una representación paramétrica OP= αααα (t) para lapoligonal dada, de manera que la parte del segmento OA se recorracuando el parámetro varía desde t=0 hasta t=1 y la parte del segmentoAB se recorra cuando t varía desde t=1 hasta t=2 ;

14b) halle una representación paramétrica OP= ββββ (t) para

el segmento OB , orientado desde O hacia B;

14c) calcule las dos integrales ∫αααα

F.dαααα , ∫

ββββ

F.dββββ ;

¿ era de esperarse que el valor de las dos es el mismo ?

E15.- Calcule ∫αααα

F .dαααα , siendo F=(y, z, x) y siendo OP= αααα (t) una

parametrización del arco de curva, intersección de z = x2+2y 2 con elplano x+y-z = 0 , de extremos A(1, 0, 1) , B(4, -4, 8).


4 2

Se demuestra que [ ver teorema 3, pag. 429 de Marsden-Tromba] :si F = ∇ g = (gx, gy, gz) es gradiente de un campo escalar que tienederivadas parciales continuas y si αααα (t) es una trayectoria tambiénderivable con derivada continua, que comienza en αααα (t1) y termina enαααα (t2) , entonces :

∫αααα

F .dαααα = g(αααα (t2)) - g(αααα (t1)) ;

observe que de paso esto significa que el resultado es independiente, nosólo de la parametrización de la curva considerada, sino también esindependiente de la curva, con la única condición que no varíe el puntoinicial ni el punto final de la curva.Ejemplo 4.

Se quiere calcular la integral ∫αααα

F .dαααα , siendo F=(2x+1, 4y, 6z) y siendo

αααα (t) una parametrización de la poligonal (recorrida en el sentidocorrespondiente al orden en que estan escritas las letras)ABCDEFG , con A(1,2,3) , B(2,-7,5), C(1,0,3), D(-17,19,0), E(1,1,9),F(2,2,-7), G( 1,3,3) ., dado, es el gradiente del campo escalar definidopor g(x,y,z) = x2+x+2y2+3z2 , se puede calcular la integral, por medio deotra curva, que igualmente comience en A y termine en G, por ejemplo elsegmento AG , que tiene una parametrización muy sencilla, a saber : x=1,y= t , z=3 con 2≤ t ≤ 3 ; por lo tanto se

tiene : ∫αααα

F.dαααα = ∫

2

3(2x+1,4y,6z).(0,1,0)dt = = ∫

2

3(3,4t,18).(0,1,0)dt =

= ∫2

34tdt = 2t2] 3

2 = 18-8 = 10.

OJO : si el campo F asignado hubiese sido por ejemplo:

F =(2x+z, 4y, 6z) , todo esto no habría funcionado.

Es util observar que una condición necesaria para que el campo


4 3

F =(P,Q,R) sea un gradiente, es que se tengan las siguientes igualdadesentre las derivadas de sus componentes (supondremos que estasderivadas sean continuas) : Py=Qx , Pz=Rx, Qz=Ry .

Esta condición, en el caso de un campo vectorial de n variables, x1,...,xn

se expresaría así : ∂fi

∂xk =

∂fk

∂xi , i, k = 1,2,..., n .

En efecto, esta condición es consecuencia de la igualdad de las derivadassegundas mixtas de la función g , de la cual F sería el gradiente : si porejemplo (en el caso de tres variables) se tiene

F=(P,Q,R)= ∇g = (gx, gy, gz), entonces debe ser P=gx , Q=gy, R=gz , por locual , por ejemplo, gxy=gyx implica Py=Qx etc.

Por ejemplo, el campo F=(2x+z, 4y, 6z) no es un gradiente, ya que

se tiene, por ejemplo, ∂P∂z = 1 ≠

∂R∂x= 0 .

E16.- Conociendo que el campo vectorial F = (P, Q, R) , definido porP= x+y+z, Q= x+2y+z , R= x+y+4z es un gradiente de cierto campo escalarg(x,y,z), halle un tal campo (que no es único) .Una posibilidad, para hallar g(x,y,z) es la siguiente :

g(a,b,c) = ∫αααα

F .dαααα a lo largo de la poligonal OABC de vértices O(0,0,0),

A(a,0,0), B(a,b,0), C(a,b,c).

Para ejercicios sobre:integrales dobles y triples, teorema de Fubini, teorema deGreen, cambio del orden de integración, cambio de variables,uso de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas ya p l i c a c i o n e sver los textos de Marsden-Tromba y Apostol, así como la guía del prof.Morales Bueno.


4 4

Algunos ejercicios sobreaplicaciones del teorema de Greencampos conservativos y potencial.

1.- Calcule la integrale de linea, ∫αααα

Pdx+Qdy , en cada uno de los

siguientes casos, transformándola previamente en una integral doblemediante el teorema de Green.La curva, imagen de la función vectorial αααα , en cada ejercicio, es la que seindica en la hoja siguiente.

1a) P(x,y) = x+xy+y2+y.cos(xy) , Q(x,y)= x2+2xy+x.cos(xy) ;

1b) P(x,y) = -y

x2+y2 , Q(x,y) = x

x2+y2 ; 1d) P(x,y) = y2 , Q(x,y) = x2 ;

1c) P(x,y) = 3x2y+y3 , Q(x,y) = 2x3+6xy2 ;

2.- Calcule la integral de linea ⌡⎮⎮⎮⌠

αααα

y.dx-x.dy

x2+y2 ,

siendo αααα la circunferencia de radio r, con centro en el origen, parametrizada con x=r.cos(t), y= r.sen(t) , 0 ≤ t ≤ 2π ; explique por qué en este caso no es válida la tesis del teorema de Green.

3.- Sean αααα , ββββ las dos trayectorias (no cerradas) definidas en la manera siguiente : αααα = semicircunferencia parametrizada con x=r.cos(t), y= r.sen(t) , 0 ≤ t ≤ π , ββββ = poligonal ABCD (parametrizada convenientemente) con

A(2r, 0) , B(2r,2r), C(-2r,2r), D(-2r,0);

Usando el teorema de Green, demuestre que

⌡⎮⎮⎮⌠

αααα

y.dx-x.dy

x2+y2 = ⌡⎮⎮⎮⌠

ββββ

y.dx-x.dy

x2+y2


4 5


4 6

4.- Para cada uno de los siguientes campos vectoriales, averigue si es

o no es gradiente y en caso afirmativo halle una función potencial.

4.1) F= ( y3+1 , 3xy2+2 ) ; 4.2) F= (yz2,xz2,2xyz) ;

4.3) F= (x,y,z) ; 4.4) F = (y,z,x) ;

4.4) F= (z,y,x) ; 4.6) F= (y.cos(xy), x.cos(xy)) ;

4.7) F= ( 2 x z

(x2+y2+1)2 , 2 y z

(x2+y2+1)2 , - 1

(x2+y2+1) ) .

5.- Calcule cada una de las siguiente integrales de linea ∫αααα

Fdαααα :

5.1) αααα = poligonal P1P2.....P10 , siendo Pi=(i, (-1)i) , y siendoF (x,y) = ( y3+1 , 3xy2+2 ) [= campo del ejercicio 5.1 ] ;

5.2) αααα = arco de la curva representada por x=t, y=t2, z=t3 ,0 ≤ t ≤ 2 ; F (x,y,z)= (z,y,x) [= campo del ejercicio 5.4 ];

5.3) αααα = arco de la curva representada por y = arcsen(sen(x)),

con primer extremo O(0,0) y segundo extremo A(92π,

π2) ,

F (x,y)= (y.cos(xy), x.cos(xy)) ;

Algunos ejercicios sobre integrales dobles y triples.

6 . - Para cada uno de los siguientes sólidos : a ) trate de hacer un bosquejo; b ) exprese mediante una integral triple, la masa de cada uno,suponiendo que la densidad sea d(x,y,z);

c )exprese mediante una integral doble, en coordenadas cartesianas, el volumen de cada uno.

6.1) Sólido limitado por los cuatro planos de ecuaciones :x=0, y=0, z=0, 6x+3y+2z = 1 ; [observe que es una pirámide de base triangular y ubique los 4 vértices] .6.2) sólido ubicado en primer octante (x ≥0, y≥0 , z≥0 ) , limitado por la esfera de ecuación x2+y2+z2 = 16 , los planos z=0, y=0 y el cilindro de ecuación x2+y2-4y = 0.6.3) pirámide de vértices O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,1,1), D(0,0,2).


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6.4) E={ (x,y,z)⎪ (x2+y2) ≤ z ≤ √⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯6-(x2+y2) } .6.5) Sólido interno a la esfera de ecuación x2+y2+z2 = 6 y externo al paraboloide de ecuación z = -(x2+y2) [es decir :x2+y2+z2 ≤ 6 , z ≥ -(x2+y2)].6.6) E={(x,y,z)⎪ (x2+y2) ≤ z , 1 ≤ z ≤ 2 } ;6.7) pirámide de base cuadrada, y vértices O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,0,1), C(0,0,1), D(0,4,0) ;

7 ) Aplicando el teorema de Fubini, cierta integral triple ∫E

dxdydz

se escribe en la forma que se indica en cada caso;a ) haga un bosquejo de E ; b ) cambie el orden de integración,

escribiéndola en las formas : ∫

d y ∫

d z ∫

dx , ∫

d z ∫

d x ∫

d y

7 .1) ∫0

1

dx ∫0

1 - x

dy ∫2 x + 2 y

2

dz ; 7 . 2 ) ∫0

3

dx ∫0

2 -23x

dy ∫0

2 y

dz ;

7 . 3 ) ∫0

1

dx ∫0

2 x

dy ∫0

3 - 3 x

dz + ∫0

1

dx ∫2 x

2

dy ∫0

3 -32y

dz .

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