PARAMETRIK DENKLEMLER ve KUTUPSAL …fef.ogu.edu.tr/mkocak/pdf/dersNotlari/19.pdfparametrik denklem...

Parametrik . . .

Parametrik . . .

Kutupsal Ko‌ . . .


Kartezyen Ko‌ . . .


ANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ IANALİZE GİRİŞ I

PARAMETRİK DENKLEMLERveKUTUPSAL KOORDİNATLAR

PARAMETRİK DENKLEMLER

ve

KUTUPSAL KOORDİNATLAR


ve

KUTUPSAL KOORDİNATLARPARAMETRİK DENKLEMLER

ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve


ve



ve



ve



ve


PARAMETRİK DENKLEMLERve










Mahmut KOÇAK

c© 2008 [email protected] http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008 Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008

mailto:[email protected]

http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/

Parametrik . . .

Parametrik . . .





2/33

Parametrik Denklemler ve Kutupsal Koordinatlar

Bu bölümde parametrik eğri çizimleri ve kutupsal fonksiyonların grafiklerinin çizimlerini inceleyeceğiz.

Bir fonksiyonda y bağımlı değişkeni bir x bağımsız değişkenine bağlıdır. y ve x bağımlı değişkenleri parametredenen bir t bağımsız değişkenine bağlı sürekli iki fonksiyon olmak üzere x = x (t ), y = y (t ) denklemlerine birparametrik denklem denir. x = x (t ), y = y (t ) parametrik denklemi verildiğinde t nin her bir değeri için bir(x (t ),y (t )) noktası elde edilir. Bu noktaları düzlemde işaretleyerek elde edilen grafiğe parametrik eğri denir.Örneğin hareket halindeki bir cismin pozisyonu, hızı, ivmesi zaman paremetresine bağlıdır. Bir y = f (x ) fonk-siyonu x = t , y = f (t ) şeklinde parametrik denklem şeklinde ifade edilebilir. Örneğin, y = x 2 parabolü x = t ,y = t 2 parametrik denklemiyle ifade edilebilir. Buna y fonksiyonunun parametrik gösterimi denir. Paremetre yokedilerek her zaman y = f (x ) şeklinde bir fonksiyon elde edilemez. Örneğin, (0,0) merkezli r yarıçaplı bir çemberx = r cosθ , y = r sinθ parametrik denklemiyle ifade edilmesine rağmen θ yok edilerek y = f (x ) biçiminde birfonksiyon elde edilemez.

Parametrik Denklemler

Tanım 1 I ⊆ � ve I bir aralık olmak üzere sürekli bir h : I → �2 fonksiyonuna (yada h(I ) ya) bir eğri denir.Eğrinin düzlemdeki görüntüsü genellikle C (= h(I )) ile gösterilir.

Parametrik . . .

Parametrik . . .





Parametrik Denklemler 3/33

Yani f , g : I → � sürekli iki fonksiyon olmak üzere h(t ) = ( f (t ), g (t )) fonksiyonuna bir eğri denir. I = [a ,b ]şeklinde bir aralık ise h(a ) ya C eğrisinin başlangıç ve h(b ) ye C eğrisinin bitim noktası denir. h(a ) �= h(b ) iseh(a ) ve h(b ) noktalarına eğrinin uç noktaları denir. Eğer h(a ) = h(b ) ise C eğrisine kapalı eğri denir.�

Tanım 2 (i). I bir aralık ve f , g : I →� iki sürekli fonksiyon olmak üzere

x = f (t ),y = g (t )

denklem ikilisine bir parametrik denklem ve t ye parametre denir.(ii). f ve g , bir I aralığı üzerinde tanımlı sürekli iki fonksiyon olmak üzere

x = f (t ),y = g (t )

parametrik denklemi verilsin. t , I aralığında değişirken (x ,y ) = ( f (t ), g (t )) noktaları düzlemde bir C eğrisibelirtir. Bu durumda

x = f (t ),y = g (t )

denklemlerine C eğrisinin parametrik denklemi denir.�

Örneğin f , herhangi bir I aralığı üzerinde tanımlı x e bağlı sürekli bir fonksiyon ise

x = t ve y = f (t )

ikilisi bir eğridir.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Parametrik denklemix = f (t ),y = g (t )

olan bir C eğrisi çizilirken şunlara dikkat edilmelidir.

(i). f (t ) =− f (−t ) ve g (t ) = g (−t ) ise C eğrisi y -eksenine göre simetriktir. Şekil .? ye bakınız.(ii). f (t ) = f (−t ) ve g (t ) =−g (−t ) ise C eğrisi x -eksenine göre simetriktir. Şekil .? ye bakınız.(iii). f (t ) =− f (−t ) ve g (t ) =−g (−t ) ise C eğrisi O ya göre göre simetriktir. Şekil .? ye bakınız.(iv). t , parametresi yok edilebiliyorsa y = g ( f −1(t )) =G (x ) veya x = g (g −1(y )) = F (y ) şeklinde bir fonksiyon elde

edilir. Bu durumda grafik bilinen yöntemlerle çizilebilir. t parametresinin yok edilmesi f nin yada g nintersi varsa söz konusu olur.

Örnek 1 t ∈� olmak üzere x (t ) = t 3−3t ve y (t ) = t 2 parametrik denklemleriyle verilen eğriyi çizelim.

Çözüm. x (t ) = t 3 − 3t ve y (t ) = t 2 foksiyonları herhangi bir [a ,b ] aralığı üzerinde sürekli olduklarından buparametrik denklemler düzlemde bir eğri belirtir. x (−t ) = −x (t ) ve y (−t ) = y (t ) olduğundan eğri y -ekseninegöre simetriktir. Böylece t ≥ 0 için eğri çizilir ve y -eksenine göre simetriği alınarak eğri çizimi tamamlanır. Bazıt değerleri için x ve y değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Şekil .? ye bakınız.

t −2 −�3 −3/2 −1 −1/2 0 1/2 1 3/2�

3 2x −2 0 9/8 2 11/8 0 −11/8 −2 −9/8 0 2y 4 3 9/4 1 1/4 0 1/4 1 9/4 3 4

1

2

3

4

-1

1 2 3-1-2-3

t =−�

3

x

y

O

t = 0t = 1/2

t = 1

t = 3/2

t =�

3

t = 2

t =−1/2

t =−1

t =−3/2

t =−2

x

y

O

( f (t ), g (t ))

(− f (−t ),−g (−t ))

x

y

O

( f (t ), g (t ))

( f (−t ),−g (−t ))

x

y

O

( f (t ), g (t ))(− f (−t ), g (−t ))

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Örnek 2 t ∈� olmak üzere x (t ) = t −1 ve y (t ) = t 2−2t parametrik denklemleriyle verilen eğriyi çizelim.

Çözüm. x (t ) = t − 1 ve y (t ) = t 2 − 2t foksiyonları herhangi bir [a ,b ] aralığı üzerinde sürekli olduklarındanbu parametrik denklemler düzlemde bir eğri belirtir. Bazı t değerleri için x ve y değerleri aşağıdaki tablodaverilmiştir. Şekil .? ye bakınız.

t −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y 5.25 3 1.25 0 −0.75 −1 −0.75 0 1.25 3 5.25

x (t ) = t −1 ve y (t ) = t 2−2t denklemleri arasında t parametresi yok edilirse y = (x+1)2−2(x+1) yani y = x 2−1parabolü bulunur.

Teorem 1 C , parametrik denklemi herhangi bir I aralığı üzerinde tanımlı x = f (t ), y = g (t ) fonksiyonları olanbir eğri ve f ′, g ′ fonksiyonları I aralığı üzerinde sürekli olsun.

(i). Her t ∈ I için f ′(t )> 0 veya f ′(t )< 0 isedy

dx=

dy

d t /dx

d t=

g ′(t )f ′(t )

dir.

1

2

3

4

5

−1−2−3−4 1 2 3 4 x

y

O

t =−1.5

t =−1

t =−0.5

t = 0t = 0.5

t = 1

t = 3.5

t = 3

t = 2.5

t = 2t = 1.5

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(ii). Her t ∈ I için g ′(t )> 0 veya g ′(t )< 0 isedx

dy=

dx

d t /dy

d t=

f ′(t )g ′(t )

dir.

Parametrik denklemin ikinci türevi zincir kuralı kullanılarak şu şekilde bulunur.d2 y

dx 2=

d

dx

�dy

dx

�=

d

dx

�g ′(t )f ′(t )

�=

d

d t

�g ′(t )f ′(t )

�d t

dx

=f ′(t )g ′′(t )− g ′(t ) f ′′(t )

( f ′(t ))21

f ′(t ) =f ′(t )g ′′(t )− g ′(t ) f ′′(t )

( f ′(t ))3

dir.

Parametrik Eğrilerin Teğet ve Normalleri: Teorem 1 in koşulları altında bir t0 noktasındadx

d t

��t=t0

= f ′(t0) �= 0

olmak üzeredy

dx

��t=t0

=dy

d t

��t=t0

/dx

d t

��t=t0

=g ′(t0)f ′(t0)

Parametrik . . .

Parametrik . . .






değeri C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) noktasından geçen teğetinin eğimini vedy

d t

��t=t0

= g ′(t0) �= 0 ise

−dx

dy

��t=t0

=−dx

dt

��t=t0

/dy

d t

��t=t0

=− f ′(t0)g ′(t0)

değeride C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) noktasından geçen normalinin eğimini verir. Böylece bir t0 noktasındadx

dt

��t=t0

= f ′(t0) �= 0 vedy

d t

��t=t0

= g ′(t0) = 0

oluyorsa t0 noktasında eğrinin bir yatay teğeti vardır. Benzer şekilde bir t0 noktasındady

d t

��t=t0

= g ′(t0) �= 0 vedx

d t

��t=t0

= f ′(t0) = 0

oluyorsa t0 noktasında eğrinin bir düşey teğeti vardır. Buna göre f ′ ve g ′ sürekli iki fonksiyon ve bir t0 noktasındaher ikisi birden 0 değeri almıyorlarsa

x = f (t ) ve y = g (t )parametrik denklemiyle verilen C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) = (x0,y0) noktasındaki teğetinin denklemi

y − y0 = y ′(x0)(x −x0)

dany = g (t0)+

g ′(t0)f ′(t0)

(x − f (t0)) veya x = f (t0)+f ′(t0)g ′(t0)

(y − g (t0))

Parametrik . . .

Parametrik . . .






şeklindedir. C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) = (x0,y0) noktasından geçen normalinin denklemi de

y − y0 =− 1

y ′(x0)(x −x0)

dany = g (t0)− f ′(t0)

g ′(t0)(x − f (t0)) veya x = f (t0)− g ′(t0)

f ′(t0)(y − g (t0))

şeklindedir.

Not 1 Bir t0 noktasında f ′(t0) = g ′(t0) = 0 ise C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) noktasında teğeti olabilir veya olmayabilir.Bu şu şekilde incelenir: f ′, g ′ fonksiyonları t0 noktasını içeren bir açık I aralığı üzerinde sürekli iki fonksiyonolmak üzere f ′(t0) = g ′(t0) = 0 ve t �= t0 özelliğindeki t ∈ I için f (t ) �= 0 ve g (t ) �= 0 olsun. Bu durumda

(i). limt→t0

g ′(t )f ′(t ) limiti var ve t �= t0 özelliğindeki her t ∈ I için f ′(t ) > 0 veya t �= t0 özelliğindeki her t ∈ I için

f ′(t )< 0 ise C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) noktasında teğeti vardır.

(ii). limt→t0

f ′(t )g ′(t ) = 0 ve t �= t0 özelliğindeki her t ∈ I için g ′(t )> 0 veya t �= t0 özelliğindeki her t ∈ I için g ′(t )< 0

ise C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) noktasında teğeti vardır.

(iii). (i) ve (ii) şartlarından herhangi biri sağlanmıyorsa C eğrisinin ( f (t0), g (t0)) noktasında teğeti yoktur.�

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Parametrik Eğrilerin Konkavitesi: x = f (t ), y = g (t ) parametrik eğrisinin konkavitesi f ′(t ) �= 0 ise

d2 y

dx 2=

f ′(t )g ′′(t )− g ′(t ) f ′′(t )( f ′(t ))3

türevi yardımı ile bulunur. Buna göred2 y

dx 2< 0 ise eğri konkav ve

d2 y

dx 2> 0 ise eğri konveks dir.

Örnek 3 Parametrik denklemi x (t ) = t 3, y (t ) = t 6 olan C eğrisinin teğetinin olduğu noktaları bulalım.

Çözüm.dy

dx=

6t 5

3t 2= 2t 3 ve

dx

dy=

3t 2

6t 5=

1

2t 3

dür. Buna göre t �= 0 içindy

dx= 2t 3 �= 0 ve

dx

dy=

1

2t 3�= 0

olduğundan eğrinin t �= 0 özelliğindeki her noktada teğeti vardır.

limt→0

dy

dx= lim

t→0

�2t 3�= 0

Parametrik . . .

Parametrik . . .






ve her t içinx ′(t ) = 3t 2 > 0

olduğundan C eğrisinin t = 0 noktasında teğeti vardır. Şekil .? ya bakınız.

Örnek 4 Parametrik denklemi x (t ) = cos3 t , y (t ) = sin3 t olan C eğrisinin teğetinin olduğunu noktaları bulalım.

Çözüm.dy

dt= 3 sin2 t cos t ve

dx

d t= −3 cos2 t sin t olur. Böylece k ∈ � olmak üzere t0 �= kπ ve t0 �= π

2+ kπ

noktalarındady

d t

��t=t0

= 3 sin2 t cos t �= 0

vedx

d t

��t=t0

=−3 cos2 t sin t �= 0

olduğundan eğrinin bu noktalarda teğeti vardır.

t = 0 içindy

dt

��t=0= 3 sin2(0)cos 0= 0 ve

dx

d t

��t=0=−3 cos2 0 sin0= 0

dır. Diğer yandand y

dx=

3 sin2 t cos t

−3 cos2 t sint=− sint

cos tve

x

y

O

Parametrik . . .

Parametrik . . .






dx

d y=−3 cos2 t sint

3 sin2 t cos t=−cos t

sin tolur. Bu durumda

limt→0

dy

dx= lim

t→0

�− sin t

cos t

�= 0

velimt→0+

dx

dy= lim

t→0+

�−cos t

sin t

�=−∞, lim

t→0−dx

dy= lim

t→0−

�−cos t

sin t

�=∞

olduğundan

limt→0

dx

dy= lim

t→0

�−cos t

sin t

�

limiti yoktur. Diğer yandan t ∈ 0,π2

için

x (t ) = cos3 t �= 0, y (t ) = sin3 t �= 0 ve x ′(t ) =−3 cos2 t sin t < 0

ve t ∈ − π2

,0

içinx (t ) = cos3 t �= 0, y (t ) = sin3 t �= 0 ve x ′(t ) =−3 cos2 t sin t > 0

olduğundan eğrinin (x (0),y (0)) = (1,0) noktasında teğeti yoktur. Benzer şekilde k ∈ � olmak üzere t =π

2+ kπ

ve t = kπ noktalarında teğetin olmadığı gösterilebilir. Şekil .? ye bakınız.

x

y

1

−1

1−1

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Örnek 5 x = r (θ − sinθ ), y = r (1− cosθ ) parametrik denklemiyle verilen sikloid eğrisi verilsin.

(a).dy

dxve

d2 y

dx 2türevlerini bulalım.

(b). θ =π

3noktasında sikloid eğrisinin teğetini ve normalini bulalım.

(c). Yatay teğetinin olduğu noktaları bulalım.(d). Düşey teğetin olduğunu noktaları bulalım.(e). Konkavitesini inceleyelim.

Çözüm.

(a).x (θ ) = r (θ − sinθ ) ve y (θ ) = r (1− cosθ )

olduğundanx ′(θ ) = r (1− cosθ ) ve y ′(θ ) = r sinθ

dir. Buna göre

Parametrik . . .

Parametrik . . .






dy

dx=

d y

dθ/dx

dθ=

y ′(θ )x ′(θ )

olduğundandy

dx=

r sinθ

r (1− cosθ )=

sinθ

1− cosθolur. Diğer yandan

x ′′(θ ) = r sinθ ve y ′′(θ ) = r cosθ

olduğundan

d2 y

dx 2=

x ′(θ )y ′′(θ )− y ′(θ )x ′′(θ )(x ′(θ ))3 =

r (1− cosθ )(r cosθ )− r sinθ r sinθ

r 3(1− cosθ )3

=r 2 (cosθ − cos2θ )− r 2 sin2θ

r 3(1− cosθ )3=

r 2 cosθ − r 2 cos2θ − r 2 sin2θ

r 3(1− cosθ )3

=r 2 cosθ − r 2

r 3(1− cosθ )3=

r 2(cosθ −1)r 3(1− cosθ )3

=cosθ −1

r (1− cosθ )3=

−1

r (1− cosθ )2

olur.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(b). θ =π

3noktasında

x�π

3

�= r�π

3− sin

π

3

�= r

�π

3−�

3

2

�, y�π

3

�= r�

1− cosπ

3

�=�

1− 1

2

�=

r

2

ve

dy

dx

��t=π3

=sinπ

3

1− cosπ

3

=

�3

2

1− 1

2

=

�3

21

2

=�

3

olur. Böylece teğetin denklemi eğimi�

3 olan ve�x�π

3

�,y�π

3

��=

�r

�π

3−�

3

2

�,

r

2

�

noktasından geçen

y =�

3x +2r −�

3rπ

3doğrusudur. �

x�π

3

�,y�π

3

��=

�r

�π

3−�

3

2

�,

r

2

�

Parametrik . . .

Parametrik . . .






noktasından geçen normal ise

y =−x�

3+

rπ

3�

3doğrusudur.

(c).dy

dθ= 0 ve

dx

dθ�= 0 özelliğindeki noktalarda yatay teğet vardır. Buna göre

d y

dθ= r sinθ = 0 ve

dx

dθ= r (1− cosθ ) �= 0

ise r �= 0 olduğundansinθ = 0 ve 1− cosθ �= 0

dır. Yani k ∈� olmak üzere θ = kπ ve θ �= 2kπ olmalıdır. Bu durumda k ∈� tek bir tam sayı olmak üzereθ = kπ olur. Yani k ∈� olmak üzere θ = (2k −1)π dir. Dolayısıyla k ∈� olmak üzere eğrinin

(x ,y ) = (r (θ − sinθ ),r (1− cosθ )) = (r ((2k −1)π− sin(2k −1)π),r (1− cos(2k −1)π))= (r (2k −1)π,r (1+1)) = ((2k −1)πr,2r )

noktalarında yatay teğeti vardır.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(d).dx

dθ= 0 ve

dy

dθ�= 0 özelliğindeki noktalarda düşey teğet vardır. Buna göre

dx

dθ= r (1− cosθ ) = 0 ve

d y

dθ= r sinθ �= 0

ise r �= 0 olduğundan1− cosθ = 0 ve sinθ �= 0

dır. Yani k ∈� olmak üzere θ = 2kπ ve θ �= kπ olmalıdır. Bu durumda k ∈� çift bir tam sayı olmak üzereθ = kπ olur. Yani k ∈� olmak üzere θ = 2kπ dir. Dolayısıyla k ∈� olmak üzere

(x ,y ) = (r (θ − sinθ ),r (1− cosθ )) = (r (2kπ− sin(2kπ)),r (1− cos(2kπ))) = (2kπr,0)

noktalarında eğrinin düşey teğeti vardır.(e). (a) gereğince

d2 y

dx 2=

−1

r (1− cosθ )2

dir. k ∈� olmak üzere θ �= 2kπ özelliğindeki her θ içind2 y

dx 2< 0

olduğundan eğri konkavdır. Yani k ∈ � olmak üzere (2kπr,2(k + 1)πr ) aralıkları üzerinde eğri konkavdır.Şekil .? a bakınız.

x

y

O−2πr 2πr 4πr 6πr

(−πr, 2r ) (πr, 2r ) (3πr, 2r ) (5πr, 2r )

Parametrik . . .

Parametrik . . .





17/33

Kutupsal Koordinatlar

Düzlemde bir koordinat sistemi sabit bir noktaya göre diğer noktaların belirli bir şekilde işaretlenmesidir. Düzlem-de bir çok koordinatlama sistemi vardır. Kutupsal koordinatlar dik koordinatların bir alternatifidir. Dik koordinatsisteminde bir P(x ,y ) noktası şu şekilde tanımlanır. (0,0) noktası sabit başlangıç noktası olarak alınır ve x -ekseniboyunca x kadar yatay gidilir sonra y kadar dikey gidilerek (x ,y ) noktası işaretlenir.Şekil .? ya bakınız.Düzlemde kutupsal koordinat sistemi kurmak için bir O noktası ve başlangıç noktası O olan bir x -ışını alalım.Düzlemde O noktasından farklı olan bir P noktası alalım ve yönlendirilmiş OP doğru parçasını çizelim. x -ışını ileOP doğrusu arasındaki yönlendirilmiş açı radyan cinsinden θ olsun. Bu açı saatin dönme yönünün tersi yönündeise açıyı radyan cinsinden pozitif olarak, saatin dönme yönünde ise açıyı radyan cinsinden negatif olarak ölçelim.Şekil .? , Şekil .? ve Şekil .? e bakınız. OP nin uzunluğu r ve saatin dönme yönönün tersi yönünde x -ışını ileOP doğrusu arasındaki açı radyan cinsinden θ olsun. Bu durumda (r,θ ) sıralı ikilisine P noktasının kutupsalkoordinatı denir. O nun kutupsal koordinatı herhangi bir θ için (0,θ ) dır. Bu şekilde oluşturulan sistemekutupsal koordinat sistemi denir. O ya kutup ve x -ışınına kutupsal eksen denir.

Açıkça görülebileceği gibi P noktasının kutupsal koordinatı (r,θ ) ise her k ∈� için (r,θ +2kπ) ve (r,θ −2kπ) deP noktasının kutupsal koordinatıdır. Şekil .? e bakınız.Her ne kadar r > 0 için bu tanımlar yapıldı ise de negatif r sayıları içinde bir P noktasının kutupsal koordinatıtanımlanabilir. Örneğin r > 0 olmak üzere bir P noktasının kutupsal koordinatı (r,θ ) ise yönlendirilmiş OPışınının tersi yönde r birim gidilirse (−r,θ ) de O noktasına göre P noktasının simetriği olan P ′ noktasının kutupsalkoordinatı olur. P ′ noktasının diğer bir kutupsal koordinatı da (r,θ +π) dir. Şekil .? e bakınız.

P ′

P

xO

(r,θ )

(−r,θ ) = (r,θ +π)

θπ+θ

xO

(r,θ )(r,θ +2kπ)

θ

xO

(r,−θ )

P

−θ

xO

(r,θ )P

θ

xO

(r,θ )P

θ

x

y

(0,0)

(x ,y )P

Parametrik . . .

Parametrik . . .





Kutupsal Koordinatlar 18/33

Dik koordinat sistemine kutupsal koordinat sistemi yerleştirildiğinde kutup noktası O olarak (0,0) noktası vekutup ekseni olarak x -ekseninin pozitif yönü alınır.

P noktasının kutupsal koordinatı (r,θ ) ise Şekil .? de görüldüğü gibi r =

x 2+ y 2 olmak üzere P noktasının dikkoordinat sistemindeki koordinatı

x = r cosθ ve y = r sinθ

olmak üzere (x ,y ) olur. P noktasının kartezyen koordinatı (x ,y ) ise r =

x 2+ y 2 ve θ da

x = r cosθ , y = r sinθ

eşitliklerinden bulunur. x �= 0 olmak üzere tanθ =y

xveya arctan

y

x= θ eşitliklerini kullanarak θ yı bulurken

dikkatli olmalıyız. Örneğin (1,1) ve (−1,−1) noktaları için bu eşitlikler kullanılırsa

arctan

�1

1

�= arctan(1) =

π

4ve arctan

�−1

−1

�= arctan(1) =

π

4

olur. Fakat (1,1) ve (−1,−1) noktaları için gerçek θ değerleri sırasıyla θ =π

4ve θ =

5π

4dür. Şekil .? ya bakınız.

x

y

O

(1,1)

(−1,−1)

π

4

5π4

x

y

O

P (r,θ )y = r sinθ

x = r cosθ

θr = x

2 +y2

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Not 2 tanθ =y

xveya arctan

y

x= θ eşitliklerini kullanarak θ bulurken genellikle aşağıdaki yol izlenir.

(i). x = 0 olsun. Bu durumda y > 0 ise θ =π

2ve y < 0 ise θ =

3π

2olur. Şekil .? ya bakınız.

(ii). Eğer x > 0 ise tanθ =y

xveya θ = arctan

y

xdir. Şekil .? ya bakınız.

(iii). x < 0 ve y ≥ 0 ise tan(θ −π) = y

xveya θ = arctan

y

x+π dir. Şekil .? ya bakınız.

(iv). x < 0, y < 0 ise tan(θ +π) =y

xveya θ = arctan

y

x−π dir. Şekil .? ya bakınız.

Örnek 6 Aşağıda verilen kartezyen koordinatlara karşı gelen kutupsal koordinatları bulalım.(a). (2,2) (b). (0,4) (c). (−2,2) (d). (−2,−2) (e). (3,−3) (f). (−2,0) (g). (0,−2) (h). (2,0).

Çözüm.

(a). r =

x 2+ y 2 =

22+22 =�

2.4= 2�

2 olur. x = 2> 0 olduğundan (ii) gereğince

θ = arctany

x= arctan

2

2= arctan1=

π

4

olur. O halde (2,2) noktasının kutupsal koordinatı

2�

2,π4

dür.

x

y

O

(x ,y )

θ

x

y

O

(x ,y )

θ

x

y

O

(x ,y )

θ x

y

O

(0,y )

(0,y )

3π2

π

2

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(b). r =

x 2+ y 2 =

02+42 =�

16 = 4 olur. x = 0, y = 4 > 0 olduğundan (i) gereğince θ =π

2olur. O halde

(0,4) noktasının kutupsal koordinatı

4,π2

dir.

(c). r =

x 2+ y 2 = (−2)2+(2)2 =

�4.2= 2

�2 olur. x =−2< 0, y = 2≥ 0 olduğundan (iii) gereğince

θ = arctany

x+π= arctan

�2

−2

�+π= arctan(−1)+π=−π

4+π=

3π

4

olur. O halde (−2,2) noktasının kutupsal koordinatı�

2�

2,3π

4

�dür.

(d). r =

x 2+ y 2 = (−2)2+(−2)2 =

�4+4= 2

�2 olur. x =−2< 0, y =−2< 0 olduğundan (iv) gereğince

θ = arctany

x−π= arctan

�−2

−2

�−π= arctan(1)−π= π

4−π= −3π

4

veya θ =5π

4olur. O halde (−2,−2) noktasının kutupsal koordinatı

�2�

2,−3π

4

�veya�

2�

2,5π

4

�dür.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(e). r =

x 2+ y 2 = (3)2+(−3)2 =

�9+9= 2

�3 olur. x = 3> 0 olduğundan (ii) gereğince

θ = arctany

x= arctan

�−3

3

�= arctan(−1) =−π

4

veya θ =7π

4olur. O halde (3,−3) noktasının kutupsal koordinatı

�2�

3,−π4

�veya�

2�

3,7π

4

�dür.

(f). r =

x 2+ y 2 = (−2)2+02 =

�4= 2 olur. x =−2< 0, y = 0≥ olduğundan (iii) gereğince

θ = arctany

x+π= arctan

�0

−2

�+π= arctan(0)+π= 0+π=π

olur. O halde (−2,0) noktasının kutupsal koordinatı (2,π) dir.

(g). r =

x 2+ y 2 =

02+(−2)2 =�

4 = 2 olur. x = 0, y = −2 < 0 olduğundan (i) gereğince θ =3π

2olur. O

halde (0,−2) noktasının kutupsal koordinatı

2,3π2

dir.

(h). r =

x 2+ y 2 =

22+02 =�

4= 2 olur. x = 2> 0, y = 0 olduğundan (ii) gereğince

θ = arctany

x= arctan

0

2= arctan0= 0

olur. O halde (2,0) noktasının kutupsal koordinatı (2,0) dır.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Örnek 7 Aşağıda verilen kutupsal koordinatlara karşı gelen kartezyen koordinatları bulalım.

(a).

2,π2

(b).−3,

π2

(c).�

3,5π

4

�(d).�

2,3π

4

�(e).�

2,−π6

�

Çözüm.

(a). r = 2 ve θ =π

2dir. Buna göre

x = r cosθ = 2 cos�π

2

�= 0 ve y = r sinθ = 2 sin

�π

2

�= 2×1= 2

olur. O halde

2,π2

nin kartezyen koordinatı (x ,y ) = (0,2) olur.

(b). r =−3 ve θ =π

2dir. Buna göre

x = r cosθ =−3 cos�π

2

�= 0 ve y = r sinθ =−3 sin

�π

2

�=−3×1=−3

olur. O halde−3,

π2

nin kartezyen koordinatı (x ,y ) = (0,−3) olur.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(c). r = 3 ve θ =5π

4dir. Buna göre

x = r cosθ = 3 cos

�5π

4

�= 3−�2

2=−3�

2

2ve y = r sinθ = 3 sin

�5π

4

�= 3−�2

2=−3�

2

2

olur. O halde�

3,5π

4

�nin kartezyen koordinatı (x ,y ) =

�−3�

2

2,−3�

2

2

�olur.

(d). r = 2 ve θ =3π

4dir. Buna göre

x = r cosθ = 2 cos

�3π

4

�= 2−�2

2=−�2 ve y = r sinθ = 2 sin

�3π

4

�= 2

�2

2=�

2

olur. O halde�

2,3π

4

�nin kartezyen koordinatı (x ,y ) = (−�2,

�2) olur.

(e). r = 2 ve θ =−π6

dir. Buna göre

x = r cosθ = 2 cos�−π

6

�= 2

�3

2=�

3 ve y = r sinθ = 2 sin�−π

6

�= 2−1

2=−1

olur. O halde�

2,−π

6

�nin kartezyen koordinatı (x ,y ) = (

�3,−1) olur.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Örnek 8 Aşağıda verilen kutupsal koordinatlardaki denklemleri kartezyen koordinatlarda ifade edelim.

(a). r = 5 (b). r = 2 cosθ tanθ (c). tanθ = 6 (d). r cotθ = 3(e). r = sin2θ (f). r = 1− cosθ (g). r = 3 cosθ

Çözüm.

(a). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan 52 = x 2+ y 2 olur.(b). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan

x 2+ y 2 = 2 cosθsinθ

cosθ⇒ x 2+ y 2 = 2 sinθ = 2

y

r= 2

y x 2+ y 2

⇒ x 2+ y 2 = 2y

elde edilir.(c). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan

tanθ =sinθ

cosθ= 6⇒

y

rx

r

= 6⇒ y

x= 6⇒ y = 6x

olur.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(d). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan

r cotθ =

x 2+ y 2cosθ

sinθ=

x 2+ y 2

x

ry

r

=

x 2+ y 2x

y= 3

⇒ 3y = x

x 2+ y 2

⇒ y 2 =1

9

�x 4+x 2y 2�

olur.(e). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan sin(2θ ) = 2 sinθ cosθ olduğu göz önüne alınırsa

x 2+ y 2 = sin2θ = 2 sinθ cosθ = 2y

r

x

r=

2y x

x 2+ y 2

⇒ �x 2+ y 2�

x 2+ y 2 = 2x y

⇒ �x 2+ y 2�3/2= 2x y

⇒ �x 2+ y 2�3= 4x 2y 2

olur.

Parametrik . . .

Parametrik . . .






(f). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan x 2+ y 2 = 1− cosθ ⇒ x 2+ y 2 = 1− x

r⇒ x 2+ y 2 = 1− x

x 2+ y 2

⇒ x 2+ y 2 =

x 2+ y 2−x

x 2+ y 2

⇒ x 2+ y 2 =

x 2+ y 2−x

⇒ x 2+ y 2− x 2+ y 2+x = 0

olur.

(g). r 2 = x 2+ y 2 ve x = r cosθ ve y = r sinθ olduğundan x 2+ y 2 = 3

x

r⇒ x 2+ y 2

x 2+ y 2 = 3x

⇒ 3x = x 2+ y 2⇒ x 2−3x + y 2 = 0

⇒�

x − 3

2

�2−�

3

2

�2+ y 2 = 0

⇒�

x − 3

2

�2+ y 2 =�

3

2

�2olur.

Parametrik . . .

Parametrik . . .





27/33

Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi

Kutupsal koordinatlarda verilen bir r = f (θ ) fonksiyonun grafiği kartezyen koordinatlarda ve kutupsal koordinat-larda olmak üzere iki farklı yol ile çizilebilir.

Kartezyen Koordinatlarda Çizim

x = r cosθ , y = r sinθ olduğundan r = f (θ ) fonksiyonu kartezyen koordinat sisteminde x = f (θ )cosθ , y =f (θ )sinθ parametrik denklemiyle ifade edilerek r = f (θ ) fonksiyonunun grafiği çizilir.

Kutupsal Koordinatlarda ÇizimKutupsal koordinatlarda verilen bir r = f (θ ) fonksiyonun grafiği kutupsal koordinatlarda çizilirken genellikleaşağıdaki yol izlenir.

(i). Fonksiyon periyodik ise periyodu belirlenir.(ii). r = f (π+θ ) ise fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.(iii). f (θ ) = f (−θ ) ise fonksiyonun grafiği x -eksenine göre simetriktir.(iv). f (θ ) = f (π−θ ) ise fonksiyonun grafiği y -eksenine göre simetriktir.

x

y

O

(r, f (θ ))(r, f (π−θ ))

(r, f (−θ ))(−r, f (θ ))

Parametrik . . .

Parametrik . . .





Kutupsal Koordinatlarda Çizim 28/33

(v). Bazı θ değerleri için (θ , f (θ )) noktaları bulunur fonksiyonun bazı özellikleri kullanılarak grafik tamamlanır.Şekil .? ye bakınız.

Örnek 9 θ =π

4ün grafiğini çizelim.

Çözüm. θ =π

4sabit olduğundan kutupsal koordinatlarda bu bir doğru belirtir. Bu doğru üzerindeki noktaların

kurupsal koordinatları r ∈� olmak üzere

r,π4

şeklindedir. Bu eğrinin grafiği Şekil .? deki gibi olur.

Örnek 10 a ∈� olmak üzere r = 2a fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm. Her θ için |r |= 2 |a | olduğundan bu eğri yarı çapı 2 |a | olan çemberdir. Bu eğrinin grafiği Şekil .? dekigibi olur.

Örnek 11 a > 0 olmak üzere r = a (1− cosθ ) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm. Bu fonksiyon periyodik ve periyodu 2π dir. Diğer yandan θ ∈ [0,π] için

a (1− cosθ ) = a (1− cos(−θ ))olduğundan eğri x -eksenine göre simetriktir. O halde grafiği önce [0,π] aralığında çizelim.

x

y

2|a|1

2

−1

−2

1 2−1−2x

y

π

4

1

2

3

−1

−2

1 2 3−1−2

Parametrik . . .

Parametrik . . .






−1≤ cos(θ )≤ 1

olduğundan0≤ 1− cos(θ )≤ 2

olur. Böylece0≤ a (1− cosθ )≤ 2a

olur. Yani 0≤ r ≤ 2a olur. 1−cos 0= 0 olduğundan fonksiyon 0 da minimum değerini alır. 1−cosθ fonksiyonumaksimum değerini π noktasında alır. Dolayısıyla r = a (1−cosθ ) fonksiyonuda maksimum değerini π noktasındaalır ve

r = a (1− cosπ) = a (1− (−1)) = 2a

dır. θ , 0 dan π ye artarken cos(θ ) değerleri 1 den −1 a azalır. Böylece θ , 0 dan π ye artarken 1−cos(θ ) değerleri0 dan 2 ye artar. Diğer bir deyişle θ , 0 dan π ye artarken a (1− cos(θ )) değerleri 0 dan 2a ya artar. Yani r,0dan 2a ya artar. Bazı θ değerleri için r değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre eğrinin grafiği Şekil .?

de görüldüğü gibi olur.θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

r 0 a�

1−�3/2� a

2a 3a/2 a��

2/2+1�

a��

3/2+1�

2a

x

y

2a

π

6

π

3

2π33π

45π6

Parametrik . . .

Parametrik . . .






Örnek 12 r = cos2θ fonksiyonunun kartezyen koordinatlardaki parametrik denklemini yazarak

(a).dy

dxve

d2 y

dx 2türevlerini bulalım.

(b). θ =π

3noktasında eğrinin teğetini ve normalini bulalım

Çözüm. Bu fonksiyonun kartezyen koordinatlardaki parametrik denklemi

x (θ ) = cos 2θ cosθ ve y (θ ) = cos 2θ sinθ

olur.

(a).x (θ ) = f (θ )cosθ = cos2θ cosθ ve y (θ ) = f (θ )sinθ = cos2θ sinθ

olduğundan

x ′(θ ) =−2 sin2θ cosθ − sinθ cos 2θ =−1

2(3 sin3θ + sinθ )

vey ′(θ ) =−2 sin2θ sinθ + cos2θ cosθ ) =

1

2(3 cos 3θ − cosθ )

olur. Böylece

Parametrik . . .

Parametrik . . .






d y

dx=

dy

dθ/dx

dθ=

1

2(3 cos3θ − cosθ )

−1


=cosθ −3 cos3θ

3 sin3θ + sinθ

olur.x ′′(θ ) =−1

2(9 cos3θ + cosθ ) ve y ′′(θ ) = 1

2(−9 sin3θ + sinθ )

olduğundan

d2 y

dx 2=−1


1

2(−9 sin3θ + sinθ )− 1

2(3 cos3θ − cosθ )

�−1

2(9 cos 3θ + cosθ )

�

−1

8(3 sin3θ + sinθ )3

=−1

4(3 sin3θ + sinθ )(−9 sin3θ + sinθ )+

1

4(3 cos 3θ − cosθ )(9 cos 3θ + cosθ )

−1


Parametrik . . .

Parametrik . . .






=

13

2− 3

2cos 4θ

−1


= 8

3

2cos 4θ − 13


=12 cos4θ −52

(3 sin3θ + sinθ )3

olur.

(b). θ =π

3noktasında

x = x�π

3

�= cos

2π

3cosπ

3=−1

4, y = y�π

3

�= cos

2π

3sinπ

3=−1

4

�3

d y

dx

��θ=π3

=cosπ

3−3 cos�

3π

3

�

3 sin�

3π

3

�+ sin

π

3

=7

3

�3

olur. Böylece teğet eğimi7�

3

3olan ve (x ,y ) =

�−1

4,−1

4

�3

�noktasından geçen

y =7

3

�3x +�

3

3

Parametrik . . .

Parametrik . . .






doğrusu ve normali

y =−3

7�

3x − 9

14�

3doğrusudur. Şekil .? e bakınız.

x

y

1

1

−1

−1

7�

33

x +�

33

−37�

3 x − 914�

3

PARAMETRIK DENKLEMLER ve KUTUPSAL …fef.ogu.edu.tr/mkocak/pdf/dersNotlari/19.pdfparametrik denklem...

Documents

Transcript of PARAMETRIK DENKLEMLER ve KUTUPSAL …fef.ogu.edu.tr/mkocak/pdf/dersNotlari/19.pdfparametrik denklem...