paradoja del conjunto vacio
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Rafael Félix Mora Ramirez
Paradoja de
“Algunas de las tesis que sostengo son tesis que pueden parecer a primera vista obviamente equivocadas. Mi ejemplo favorito es éste (el cual probablemente no defenderé en estas conferencias, ya que nunca convence a nadie): es una afirmación común en la filosofía contemporánea que hay ciertos predicados que aunque de hecho son vacíos, esto es, tienen una extensión nula, la tienen como cuestión de hecho contingente y no por razón de alguna clase de necesidad. Bueno, eso no lo discuto; pero un ejemplo que suele aducirse es el ejemplo de unicornio. Así, se dice que aunque todos hemos descubierto que no hay unicornios, desde luego podría haber habido unicornios. Bajo ciertas circunstancias habría habido unicornios. Esto es un ejemplo de algo que yo pienso no es el caso.”
SAÚL KRIPKE, El Nombrar y la Necesidad..
Resumen: Explicamos la noción intuitiva de conjunto. Definimos conjunto y número y señalamos la dificultad de aceptar conjuntos vacíos. La definición por comprensión de los elementos del conjunto vacío puede darse mediante una propiedad quimérica, o una contradicción. Pero, también, dicha definición puede darse mediante una propiedad cualquiera, habida cuenta de la inexistencia de elementos en su interior. Gracias a esta peculiaridad, podemos formular la paradoja del conjunto vacío. Los problemas que plantea esta paradoja se relacionan con la posibilidad de utilizar el conjunto vacío para formular la paradoja de Russell.
Palabras clave: Conjunto, conjunto vacío, definición por comprensión, definición por extensión, ordinal, cardinal.
1. Definición de conjunto
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Se suele definir el conjunto como una colección de objetos. Así decimos que el
conjunto de los jugadores de fútbol en la cancha por equipo tiene 11 elementos o
que la agrupación de todos los peruanos en la actualidad conforma una colección
de 27.219.264 elementos (INEI, 2008). Pero, esta forma de definición es circular.
En primer lugar, así como un ‘conjunto’ puede definirse como una ‘colección’,
fácilmente una ‘colección’ también podría definirse como un ‘conjunto’. En
segundo lugar, el término ‘colección’ resulta tan oscuro como el término ‘conjunto’:
lo único que puede decirse es que en el primer caso se alude a una actividad y en
el segundo caso al resultado de esa actividad. Sin embargo, algunas notas
específicas de los conjuntos tienen que darse para que podamos manejar una
noción mínimamente clara. Necesariamente, las palabras que definan al conjunto
deberán incluir información sobre su número de elementos y sus tipos de
elementos. Tanto uno como el otro dato determinan de alguna manera la
existencia de los conjuntos. Por ejemplo, una colección de 7 pares de medias no
es la misma que 14 medias, pues difieren en sus cardinales (o números de
elementos) y, además, mientras que los elementos del primer conjunto son
conjuntos pares, los del segundo son conjuntos unitarios. El conjunto tiene la
propiedad de estar asociado a un número que resulta ser su cardinal: es la
cantidad de elementos la que hace la diferencia entre uno y otro conjunto pero si
dos conjuntos tuvieran el mismo número de elementos será el tipo de elementos el
que determine una diferencia posterior. Particularmente, no estamos interesados
en diferenciar un conjunto de 34 manzanas de uno de 34 duraznos o de otro de 34
rascacielos: nos interesa saber si esos elementos son a su vez conjuntos o no.
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Las discusiones en torno a las paradojas de conjuntos han concluido en que los
elementos propios de cualquier conjunto no pueden ser otros conjuntos; de ser así
se daría paso a la paradoja de Russell (nacida de la aceptación ontológica de
aquél conjunto cuyos elementos son todos conjuntos que no se contienen a sí
mismos (Russell, 1983, p. 135s)). De aquí, la importancia en determinar el “tipo”
de elemento. Intuitivamente, podemos decir que un conjunto es el resultado de
reunir un grupo de elementos cualesquiera en forma explícita por extensión y por
comprensión (Sartorio, 2000, pp. 15-17). Formalmente, un conjunto se representa
mediante llaves. Por ejemplo: A = { X } (X representa el interior de un conjunto que
podría estar dado por una sucesión). Si definimos por extensión (=E) al conjunto A,
dentro de esas llaves y en lugar de esa X escribiremos todos y cada uno de sus
elementos. Por ejemplo: S1 =E {a, e, i, o, u} y S2 =E {2, 4, 6, ... }. Si definimos por
comprensión (=C) al conjunto A, escribiremos una fórmula, regla, propiedad o
característica que se cumpla para todos y cada uno de sus elementos. Por
ejemplo: S1=C {x / x es una vocal del castellano } y S2=C {x / x es un número par}
2. Definición de conjunto vacío
El problema de esta definición de conjunto es que no se aplica a los
conjuntos unitarios y tampoco al conjunto vacío. Esto es un problema. No se ve
cómo un solo objeto podría formar un conjunto, y tampoco cómo la nada o la
ausencia de cosas podrían alcanzar el nombre de conjunto. Siguiendo la
argumentación con Russell:
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“(…) La clase vacía es la clase que no tiene términos en absoluto. (…), por ejemplo, (…) “Los primos pares distintos de 2 son números” (…). Sin embargo, bajo el punto de vista estrictamente extensional “(…), una clase que no tiene términos deja de ser cosa alguna por completo: lo que es simple y solamente una colección de términos no puede subsistir cuando se quitan todos los términos.” (1983, p. 105)
El conjunto vacío es un conjunto de cero elementos, si atendemos por extensión a
su número de elementos. Si A es el conjunto vacío, entonces A=E { } = . La
debilidad de este único conjunto se ve minimizada por la axiomática moderna que
postula su existencia o la entiende como una consecuencia de unos axiomas más
genéricos: el axioma de extensionalidad 1 y el de separación 2. Además, si 1 Este axioma establece que dos conjuntos que tienen exactamente los mismos miembros son el mismo conjunto. En símbolos, se escribe: x (xA↔xB) → A=B, que se lee “Si para todo elemento x, x es un miembro del conjunto A si y sólo si es un miembro del conjunto B, entonces A es idéntico a B”. Este axioma se extrae del principio de extensionalidad que fija condiciones suficientes para afirmar si dos conjuntos son idénticos o no. Este principio tiene la consecuencia de que hay sólo un conjunto vacío (suponiendo que hay al menos uno que sea el referente de aquéllas expresiones cuyos objetos aludidos no existen por ignorancia nuestra. Por ejemplo, “los ganadores del concurso de ensayo “Augusto Salazar Bondy” del año 2007” referirá a un conjunto que puede ser vacío si resultase que dicho concurso fuese declarado desierto (como de hecho sucedió en la Escuela Académico Profesional de Filosofía de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. (Dicho sea de paso la acostumbrada realización anual de este concurso ha sido suspendida hasta esta fecha: miércoles 21 de mayo del 2008)). Esta es una razón de que tenga sentido postular en una teoría de conjuntos la existencia de un conjunto vacío). Pues si V1 y V2 son ambos conjuntos vacíos, como sus elementos son los mismos (ninguno), por el principio de extensionalidad, deben ser el mismo conjunto. Más precisamente si hubiera dos conjuntos vacíos V1 y V2 , tendríamos por un lado que para todo x, x V1 (x no pertenece a V1) y, por otro lado, que para todo x, x V2. Pero entonces, consideremos estos dos enunciados:(x) (xV1 → xV2)(x) (xV2 → xV1)Como para cualquier x tanto ‘xV1’ como ‘xV2’ son falsos, los antecedentes de ambos condicionales resultarían falsos para cualquier valor de x. Pero en la lógica clásica un condicional sólo es considerado falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Luego, ambos enunciados son verdaderos. De la unión de estos enunciados se obtiene:(x) (xV1↔xV2)Y entonces por el principio de extensionalidad se infiere que V1=V2. (Sartorio, 2000, p. 20s)2 Dado un conjunto cuya existencia ya está garantizada, este axioma permite agrupar en un nuevo conjunto todos los miembros de ese conjunto dado que satisfacen cierta propiedad. El conjunto que resulta es un subconjunto del conjunto dado y resulta de “separar” los elementos que tienen la propiedad en cuestión de los que no la tienen. De este axioma se infiere la existencia de un conjunto vacío. Pues, dado un conjunto
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atendemos por comprensión a los elementos de , notaremos que es un conjunto
cuyos elementos tienen ciertas propiedades. Por un lado, está muy difundida la
creencia de que una propiedad quimérica (o imposible de cumplir) podría dar lugar
al conjunto vacío. Podemos dar una propiedad, una función proposicional que se
convierte en una proposición falsa cualquiera que sea el valor de la variable que
satura a la función, por ejemplo: x es frankenstein, x es una esfera cúbica, x está
montado en un unicornio, x es el amigo de un centauro, etc. En nuestro mundo de
relaciones causales, reemplazar la variable x por algún elemento del conjunto
universal en todas las funciones proposicionales anteriores, produce una falsedad
3. También las propiedades contradictorias, aluden a conjuntos vacíos, por
ejemplo: la propiedad de ser caliente y frío, o la de ser un humano inmortal, o la de
ser un vigilante ciego. Aquí tanto la falta de sentido como la falsedad del
pensamiento expresada en la oración, definen por comprensión al conjunto vacío.
Veamos algunos ejemplos más con sus respectivos conjuntos universales.
A =C {x / x es un mes de 32 días} y U1 =E {Enero, Febrero, Marzo, Abril,…, Octubre,
Noviembre, Diciembre}
B =C {x / (x · 0 = 1)} y U2 = R = Q I. 4
cualquiera A, tomando la propiedad de no pertenecer a A, se obtiene el subconjunto de A formado por los elementos que no pertenecen a A (o sea, el conjunto vacío, ) (Sartorio, 2000, p. 111)3 Podrían haber mundos posibles en los cuales se estipule la existencia de los unicornios tal y como Kripke propone. Pero para ello algunas otras condiciones tendrían que darse y desde luego se tendría que dar algún criterio para identificar los unicornios que no existen y que son relativos a éste mundo con los unicornios que existen y que son relativos a ese mundo. Sin embargo, tomando en cuenta el dicto kripkeano (que toma a los nombres como designadores rígidos) recordemos que el que un nombre sea un designador rígido y que designe la misma cosa en todo mundo posible significa que está en lugar de esa cosa cuando nosotros hablamos de situaciones contrafácticas. (Kripke, 2005, p. 51) Por ello, en vez de hablar de unicornios existentes y no existentes optaremos por elegir otro nombre para estos unicornios que existen, a saber, E-uniconios.
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Los anteriores ejemplos de conjuntos, son el conjunto vacío. Es decir: A = B =
Con esto logramos reivindicar lo que nos dice Heidegger acerca de la nada, a
saber, que “(…) es la negación pura y simple de la omnitud del ente.” (1967, p.
86). La negación pura y simple de la omnitud del ente estará representada por la
negación explícita de los tres principios lógicos. La nada como la negación del ser
resulta en el conjunto vacío cuyos elementos satisfacen propiedades imposibles
de tener desde la perspectiva de la ciencia.
Ahora bien, el conjunto vacío no sólo se puede definir por comprensión
mediante una fórmula lógicamente falsa sino que también se puede definir por
comprensión mediante cualquier propiedad sea o no sea ésta anómala. Esto
último, no obstante, no parece estar respaldado por el sentido común. Pero
deberíamos preguntarnos: “¿el sentido común de quién?”, pues ciertamente lo que
es obvio para unos resulta borroso para otros. Por ello nos vemos en la necesidad
de recurrir al examen de las relaciones que los matemáticos pueden encontrar
entre todos los elementos de todos los conjuntos y los elementos del conjunto
vacío. Escribe Knuth (en la autodenominada novela matemática Números
Surreales) el diálogo entre Alicia y Ben, dos amantes matemáticos aficionados que
discuten sobre el significado de las inscripciones de una piedra muy antigua que
explica cómo J. H. W. H. Conway creó los números:
“A[licia]. x=(xI,xD). [Esto es lo que Alicia cree haber descifrado de la piedra]
4 Donde R = Números Reales; Q= Números Racionales=C { / p, q Z, q 0} y
Z=Z-0N, Z=Números Enteros=E{- …, -2, -1, 0, 1, 2, …+}, N=Números Naturales=E{1, 2, 3, 4, …}, I=Números Irracionales=C {x / x tiene representación decimal infinita no periódica}
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Estos xI y xD no son números sino conjuntos de números y cada número que pertenece al conjunto a su vez es un par de conjuntos; etc.; etc.B[en]. Espera, tu notación me enreda. No sé que es un conjunto o qué es un número.A. Bueno, emplearé mayúsculas para los conjuntos y minúsculas para los números.x=(XI,XD) donde XI XD (1)Esto quiere decir que si xI es un número de XI y si xD es un número de XD debe verificarse que xI xD o sea que xI no es mayor ni igual a xD.B. (rascándose la cabeza) Vas demasiado aprisa para mí. Hazte cargo. Tú has concebido todo esto, pero yo estoy empezando. Si un número es un par de conjuntos de números, que a su vez son pares de conjuntos de números, etc., ¿cómo quieres que la cosa arranque de buen principio?A. Excelente observación, pero aquí viene lo bueno del sistema de Conway. Cada elemento de XI o XD tiene que haber sido creado antes, dice la piedra; como el primer día de la creación no había números preexistentes se toma el conjunto vacío tanto para XI como para XD. B. Nunca pensé vivir lo bastante como para ver que el conjunto vacío servía de algo. Viene a ser como crear algo de la nada, ¿eh? Pero ¿se cumple que XI XD
cuando ambos son el conjunto vacío? ¿Cómo puede algo no ser igual a sí mismo?Ah, ya veo. Se cumple puesto que solo significa que ningún elemento del conjunto vacío es mayor o igual que algún elemento del conjunto vacío … Verdad pura; porque no hay elementos del conjunto vacío.A. Así que todo va bien al principio. Al número se le llama “cero”. Usando el símbolo para el conjunto vacío podemos escribir0=(,).B. Increíble.A. Ahora, en el segundo día, ya se puede usar el cero en el conjunto izquierdo o en el derecho y por tanto Conway obtiene dos números más-1=(,{0}) y 1=({0},).Pongo entre llaves un conjunto, dado por sus elementos.B. Veamos si se verifican las condiciones. Para que -1 sea un número ha de cumplirse que ningún elemento del conjunto vacío sea mayor o igual a cero. Y para el 1 ha de ser que 0 no sea mayor ni igual que ningún elemento del conjunto vacío. Cielos, ¡el conjunto vacío se sale de todas! Algún día escribiré un libro titulado “Propiedades del conjunto vacío”.A. No acabarías nunca. Si XI o XD es vacío, XI XD se cumple sea cual sea el otro conjunto. Por tanto sea van a crear un infinidad de números.” (Knuth, 1979, p. 10s)
Según Conway, el número x se define como un par ordenado de conjuntos XI y XD
cuyos elementos están en la relación de “ser menor que”, es decir, x=(XI,XD)
donde XI XD. Los elementos del conjunto vacío son menores que ellos mismos
pues el conjunto vacío no tiene elementos. Esto generará al número “0” el cual se
define como 0=(,), donde < (bajo la notación de Conway). Los elementos
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del conjunto vacío son menores que los elementos del conjunto cuyo único
elemento es el número cero y los elementos del conjunto cuyo único elemento es
el número cero son menores que cualquier elemento del conjunto vacío. Esto
generará la definición de los números -1 y 1, es decir, -1=(,{0}) y 1=({0},). Pero
esto aún no acaba. Si XI o XD es vacío, XI<XD (v. g. <XD XI<) se cumple sea
cual sea el otro conjunto. Los elementos de tienen la propiedad de ser menores
que cualquier elemento de cualquier conjunto, al igual que los elementos de los
conjuntos tienen la propiedad de ser menores que cualquier elemento del conjunto
vacío. Pongamos otros ejemplos, si A es el conjunto vacío, A =C {x/ x es un
centauro} = , pero también A =C {x/x es un caballo} = . Lo anterior será
verdadero en un mundo posible 5 donde los caballos se han extinguido o nunca
existieron; y también en un mundo posible donde los caballos existan pues los
elementos del conjunto vacío no son caballos ni no-caballos, ellos no existen. Esto
significa que el conjunto vacío no tiene elementos o referentes que hagan
verdadera o falsa a la propiedad de ser un caballo o un centauro o cualquier otra
cosa. Esto podría explicarse diciendo que el conjunto vacío tiene elementos que
satisfacen todas las funciones proposicionales porque existen 0 cosas de todo.
Por ejemplo, si estuviera solitario sumergido debajo del agua donde solo hay
peces y coral, podría afirmar que en estos momentos hay: 0 vacas, 0 agricultores,
0 computadoras, 0 manzanas, etc. Podríamos decir que hay cero cosas que no
están presentes en estos momentos. Si no hubiera borradores en un lugar donde 5 Siguiendo a Saúl Kripke en “ El Nombrar y la Necesidad ” (2005, p. 47) señalamos que el mundo posible no es un país lejano con el que nos topamos o un universo alterno al que vemos a través de un telescopio. Definiremos referencialmente al mundo posible como una situación contrafáctica y diremos que un mundo posible es un estado de cosas y condiciones asociadas. “Los “mundos posibles” se estipulan, no se descubren mediante poderosos telescopios”.
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suele haber borradores (una cartuchera, por ejemplo) diríamos que hay cero
borradores. En estas circunstancias podríamos formar el conjunto de cero
borradores, A = =C {x/x es un borrador}. Pero también pudieran darse
circunstancias totalmente diferentes y aún así podríamos afirmar que el conjunto
de borradores es un conjunto vacío. En síntesis, el conjunto vacío estará definido
por cualquier propiedad porque el cero como una cantidad aplicada a una
magnitud, es verdadero de todo. Por ejemplo, decir que existan cero televisores no
implica decir que no existan televisores sino que más bien implica decir que
aunque nuestra reserva de televisores está agotada podría ser reabastecida tarde
o temprano.
3. Definición de número
No olvidemos lo que se acaba de decir sobre el conjunto vacío, a saber, que no
tiene elementos. Utilizando la terminología correspondiente diríamos que la
cardinalidad del conjunto vacío (su cantidad o número de elementos) es el número
cero, es decir, Card () = 0. Esto nos llevará a utilizar otros conceptos tales como
equivalencia, número, pertenencia, etc. De acuerdo a la definición de equivalencia
“(…) Un conjunto se llama “[equivalente]” con otro cuando hay una relación de
“uno a uno” (…)” (Russell, 1945, p. 31) o, lo que es lo mismo, cuando hay una
relación biunívoca entre los 2 conjuntos. Ahora bien: “(…) Formemos una clase
con la clase que no tiene elementos: esta será la del número cero. (…)” (Russell,
1945, p. 33) La clase de las clases que tienen un solo elemento, es la clase del
número uno. La clase de las clases que tienen dos elementos, es la clase del
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número dos, y así sucesivamente. Con esto ya podemos decir que un número es
“(…) todo aquello que es el número [o cardinal] de una clase” (Russell, 1945, p.
36). Analicemos el cero: si un conjunto tiene cero elementos, la clase de todos los
elementos que son equivalentes con este conjunto que no tiene elementos (o que
tiene cero elementos) es la clase conformada únicamente por el conjunto vacío (o
clase nula). Escribe Russell:
“(…) El número “cero” es el número de elementos de una clase que no tiene ningún componente, es decir, de la clase que se llama “clase-nula”. Por la definición general de número, el número de elementos de la clase-nula es el grupo formado por todas las clases [equivalentes] con la clase nula, es decir (…) el grupo formado por solo la clase nula, grupo cuyo único elemento es esta misma clase nula. (...)“ (Russell, 1945, p. 42)
Con esto aseguramos que “(…) [c]ero es la clase cuyo único elemento es la clase-
nula” (Russell, 1945, p. 42). Esta es la posición cardinalista con respecto a la
naturaleza del número cero. Sin embargo, la postura ordinalista que considera
relaciones inter-numéricas de orden bajo la función “el sucesor de” también ha
sido desarrollada (Sartorio, 2000, p. 96). Según esta postura, el número ordinal es
un número que denota la posición de un elemento perteneciente a una sucesión
ordenada. Por ejemplo, en la sucesión a b c d … , el ordinal del elemento a es el
0-ésimo, el ordinal de b, el primero, el de c, el segundo, etc. (En símbolos:
Ord(a)=0, Ord(b)=1, Ord(c)=2 y así sucesivamente) Hay un 0-ésimo, un primero, y
un segundo, etc, y cada número ordinal sucesivo contiene a todos los números
ordinales anteriores:
“Como consecuencia de esto, se volvió una práctica común identificar los ordinales con el conjunto de sus predecesores. (…) [E]l número 7 es el conjunto {0,1,2,3,4,5,6}, el 1 es el conjunto {0} y el 0, dado que no tiene ningún predecesor, es (…) Dado que el 0 es , el 1 (el conjunto cuyo único miembro es el número 0) es el conjunto {}, el 2 (el conjunto cuyos miembros son el 0 y el 1) es el conjunto {,{}}, el 3 (cuyos miembros son el 0, el 1 y el 2) es el conjunto { ,{},
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{,{}} }, (el conjunto de los números naturales, incluyendo al cero) es el conjunto {, {}, {,{}}, { ,{},{,{}} }, ...}, etc. Los conjuntos que resultan de la identificación mencionada son conjuntos puros (…), y forman parte de la jerarquía de conjuntos conocida que surge de la noción “iterativa” de los conjuntos. El 0 se obtiene en el paso inicial de la construcción de la jerarquía, el 1 en el paso siguiente, el 2 en el siguiente, etc.” (Sartorio, 2000, p. 101s)
Por construcción, el 0-ésimo ordinal es el conjunto vacío; el primero, el conjunto
que contiene al conjunto vacío; el segundo, el conjunto que incluye a los dos
anteriores; el tercero, el conjunto que incluye a los tres anteriores, y así
sucesivamente. A será el conjunto de todos los ordinales.
A= {, {}, {,{}}, {,{}, {, {}}}, ...}
Dejando de lado las múltiples apariciones de adviértase que el 0-ésimo ordinal
carece de elementos, el primero tiene un único elemento, el segundo tiene dos
elementos, etc. Por cuestiones de simplicidad notacional en vez de poner
Ord(e)= #, donde e es un elemento del conjunto A y # es un número entre [0,>,
pondremos e = # (eliminado “Ord”) en los siguientes números ordinales:
=0
{}=1
{,{}}=2
{,{}, {, {}}}=3
…
11
{0, 1, 2, 3, …}=
El número a diferencia de 0, 1, 2, 3 y todos los demás números es un conjunto
de números ordinales o de orden. Es el primer ordinal transfinito y en ese sentido
es diferente de 0, 1, 2, 3 y todos los demás, pues estos últimos son números
ordinales finitos. Pero, ¿cómo podría explicar esto un filósofo metafísico esta
situación sin hacer uso de la matemática? Según Heidegger: “La esencia de esta
nada, originariamente anonadante, es: que lleva, al existir, por primera vez, ante el
ente en cuanto tal” (1967, p. 96). La nada como el conjunto vacío o el número cero
(=0) son claves para determinar todos los otros elementos propios de la
matemática como los números y las funciones: la nada hace posible que podamos
construir edificios formales. Además:
“La nada no es objeto ni ente alguno. (…) La nada es la posibilitación de la patencia del ente (…). La nada no nos proporciona el contraconcepto de ente, sino que pertenece originariamente a la esencia del ser mismo. En el ser del ente acontece el anonadar de la nada. “ (Heidegger, 1967, p. 97s)
La nada no es un objeto pero hablamos de ella como si lo fuera. Esto también
ocurre con el conjunto vacío y el número cero, ellos por definición no podrían ser
conjuntos ni números pero lo son porque necesitamos un punto de inicio para la
determinación de conjuntos y números. Ellos le dan su sentido a la jerarquía
iterativa de conjuntos y a la sucesión infinita de números y por ello pertenecen
originariamente a la esencia del ser de la matemática.
4. Definición de número cero
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Ahora bien, si quisiéramos saber en serio qué no podrían ser los números
podríamos optar por citar opiniones “no autorizadas”. Algunos filósofos de la
matemática como Paul Benacerraf prefieren hacer una digresión interna a la
matemática para contemplar lo que los números podrían o no podrían ser. No
obstante, pienso que podríamos seguir un tratamiento extramatemático del
número cero con la promesa de criticarla tanto como se pueda, no tanto para tener
la seguridad de lo que es (creo que no podemos deshacernos de la idea de que el
número en sí es algo intrínsecamente matemático) sino para estar aún más
seguros de lo que no es. Por ello, cito al numerólogo Harish Johari:
“El cero no es un número (…). Todos los números del 1 al 9, se hallan presentes en el cero, y cuando el cero se combina con estos números, se desarrolla toda una serie de números. (…) La introducción del cero ayudó al desarrollo de las matemáticas, la ciencia y la tecnología modernas, que llevaron a la humanidad a la era de las computadoras, pero él no “existe”. ” (Johari, 1995, p. 12s)
Ciertamente, la intuición numerológica de Johari está invadida de absurdos tales
como que el número cero no es un número, que dicho número no existe y que
contiene a todos los números naturales del 1 al 9. Decir que el conejo blanco no
es un conejo no es verdadero. De igual modo no se puede decir del número cero
que no es un número: esto sería como decir que el conjunto vacío no es un
conjunto. La misma necesidad de utilizar el conjunto vacío para respaldar nuestros
usos lingüísticos cotidianos puede explicar la necesidad de utilizar el número cero:
el cero garantiza posiciones sucesivas. El número cero existe, aunque su forma de
existencia depende de una convención de matemáticos. Según el filósofo de la
matemática ya mencionado los números no son objetos (él no discute si existen o
no pero creo que es sensato pensar que asume que existen), sino algo así como
13
eslabones de una cadena, es decir, no objetos propiamente sino los puntos de
encuentro resultantes de la conjunción de dos argollas. Según “What Numbers
could not be”: “Ser el número tres no es más ni menos que estar predecedido por
2, 1, y posiblemente 0, y que estar sucedido por 4, 5, y así sucesivamente”
(Benacerraf, 1965, p. 291). Los números son roles desempeñados con el fin de
establecer cierto orden de sucesividad. El cero es el comienzo de la cadena (no es
una cadena ni una argolla pero puede ser el extremo izquierdo de dicha argolla), el
uno es el punto de encuentro entre la argolla y la otra cadena más grande, el dos
es el punto de encuentro entre una cadena de dos argollas y otra cadena más
grande, el tres es el punto de encuentro entre una cadena de tres argollas y otra
cadena más larga, y así sucesivamente. Pero que los números del 1 al 9 se hallen
presentes en el número cero sí que es algo falso, pues el cero bien podría ser la
ausencia de cosas así como el primer lugar de una sucesión (o el 0-ésimo). En
ninguna de las dos presentaciones del cero se detectan presentes los números del
1 al 9. Lo que sí es cierto es que de la combinación de los números del 1 al 9 con
el cero resultan todos y cada uno de nuestros números, pero esto es gracias a que
nuestro sistema de numeración es decimal y no se debe a que los números del 1
al 9 estén contenidos en el cero.
5. Paradoja de
Por una parte, el conjunto vacío reunirá elementos cuya propiedad sea la de
ir en contra de algún principio lógico. Por otra parte, sus elementos cumplirán
todas las propiedades vayan o no en contra de la lógica. En esto consiste la
paradoja del conjunto vacío:
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PARTE 1: “Los elementos del conjunto vacío no tienen todas las propiedades.
Pero, no hay elementos dentro del conjunto vacío, es decir, el número cardinal de
es igual a cero. Por ello, los elementos del conjunto vacío tienen todas las
propiedades.”
PARTE 2: “Los elementos del conjunto vacío tienen todas las propiedades. Sin
embargo, hay una propiedad que también deben tener, la propiedad de no tener
todas las propiedades. Luego, los elementos del conjunto vacío no tienen todas
las propiedades.”
El cero aplicado a cualquier magnitud genera equivalencias que se deshacen
conforme se va agregando más cantidad a tal o cual magnitud. Por ejemplo, 0
plátanos= 0 libros = 0 dinosaurios = 0 hombres. Con esto queremos explicar la
PARTE 1 de la paradoja del conjunto vacío: este conjunto tiene todas las
propiedades en tanto “ser un plátano” y “ser un hombre” sean propiedades que
refieran la misma ausencia. Además, la explicación de Knuth acerca de las
infinitas propiedades del conjunto vacío representa otro apoyo en favor de esta
parte de la paradoja. 6
La PARTE 2 de la paradoja en cambio parece ser ingenua. Pero en sentido
estricto se trata de algo realmente problemático si nos movemos en el ámbito de la
lógica clásica 7. En cambio, si adoptamos una lógica paraconsistente que admita
6 Veáse p. 7 de este artículo.7 La propiedad de tener todas las propiedades, es también una propiedad. Pero no es del mismo tipo que el “ser blanco”, “ser pequeño” o “ser sólido”. Estas últimas son propiedades descriptivas pues dan cuenta de las características perceptibles de cierto objeto. En cambio, la propiedad de tener todas las propiedades, no es una propiedad tan simple como las anteriores, se trata de una meta-propiedad del objeto en cuestión.
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que algunas contradicciones son verdaderas sin que esto signifique que nuestro
sistema lógico se trivialice admitiendo toda formula como lógicamente válida,
entonces, siguiendo a Graham Priest (2008, pp. 2-5), afirmaremos que si a la frase
“la metapropiedad de no tener metapropiedades” la denominamos “a”, y si P(x)
quiere decir x tiene la propiedad P, y si además, (P) quiere decir P tiene la
metapropiedad , entonces (a)&¬(a) (esto se lee: “a tiene y no tiene la
metapropiedad ”) será una dialeteia, es decir, una contradicción verdadera.
El conjunto vacío resulta ser un conjunto infundado cuyos inexistentes
elementos tienen y no tienen todas las propiedades. Esta paradoja resalta la
necesidad de limitar las aplicaciones de las propiedades en el caso de los
conjuntos vacíos. Las axiomáticas de las teorías de conjuntos incluyen entre sus
axiomas el de la existencia del conjunto vacío, o, en su defecto, un axioma como
el de separación o formación de subconjuntos que permita inferir que existe el
conjunto . Entonces, podemos afirmar que es necesario en la matemática.
6. La Verdad filosófica del conjunto
También podemos admitir la existencia de meta-meta-propiedades y postular toda una jerarquía de propiedades de la misma manera en la que Tarski (1997, pp. 63-108) y Russell (1983, pp.594-600) propusieron: a las propiedades descriptivas podemos llamarlas de primer nivel, a las propiedades sobre propiedades podemos llamarlas de segundo nivel, a las propiedades sobre propiedades sobre propiedades podemos llamarlas de tercer nivel. Por ello, la propiedad de no tener todas las propiedades no puede ser una propiedad del conjunto vacío, sino una metapropiedad de nivel 2º pues está aludiendo a otras propiedades. Sin embargo, esta forma de solución resulta ser muy artificial por introducir distinciones contraintuitivas para descifrar “la propiedad de no tener propiedades”. Además, la aparente solución puede ser refutada mediante un contraejemplo: x “la metapropiedad de nivel x de no tener metapropiedades de nivel x” es una metapropiedad. Igual suerte correría la pretendida solución de Kripke presentada en su Outline (1997, pp. 109-143) respecto a su teoría de puntos fijos: “la metapropiedad de punto fijo x de no tener metapropiedades de punto fijo x” es una propiedad y no lo es.
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Frente a estos hallazgos Russell se había preguntado ¿“cuál es la verdad
filosófica respecto a la clase vacía”? (1983, p. 106), ya que “[c]on la clase vacía se
hallan asociadas grandes dificultades y generalmente con la idea de nada” (1983,
p. 105). Esta última parte pretende ser un simulacro de respuesta a la pregunta
señalada. Pienso que si la verdad en este caso está relacionada con el origen
debemos ver si alguna paradoja necesita o requiere del conjunto vacío como
mínimo ingrediente para ser formulada. Y esto ocurre con la paradoja de Russell.
La paradoja de Russell puede ser reformulada con la ayuda del conjunto vacío
gracias a que éste no se contiene a sí mismo. Sin embargo, hemos se señalar que
esto no significa que no sea posible utilizar otro conjunto; podemos utilizar
cualquier otro conjunto que no se contenga a sí mismo. Pero el conjunto vacío
debido a que no contiene a ningún elemento, es más específico que cualquier otro
conjunto que por casualidad no se contiene a sí mismo, pudiendo contenerse a sí
mismo como ocurre en U ó . Si no contiene ningún conjunto, con mayor razón
no se contendrá a sí mismo. Supongamos que existe el conjunto vacío. . Como
sabemos, este conjunto no se contiene a sí mismo, es decir =E{ }. Imaginemos
que no existen otros conjuntos que no se contengan a sí mismos aunque pueden
existir conjuntos que se contengan a sí mismos, por ejemplo U=E{U}, donde U es
el conjunto universal (o de todos los conjuntos). Construyamos el conjunto de
todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Llamémoslo R. Entonces
tenemos que R=E{}. A simple vista la definición por extensión del conjunto R
muestra que no se pertenece a sí mismo. Pero, si R es el conjunto de todos los
conjuntos que no se contienen a sí mismos, entonces R que es un conjunto que
no se contiene a sí mismo, debería pertenecer a R. Luego, tenemos que
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R=E{, R}. Sin embargo, si R es un conjunto que tiene la propiedad de no estar
contenido en sí mismo, tendríamos que quitar la R de este último conjunto R para
estar nuevamente con R=E{}. Y nuevamente si R no pertenece a R entonces R
no se pertenece a sí mismo y debería ser un elemento del conjunto de todos los
conjuntos que no se pertenecen a sí mismos: R=E{, R}. R resulta ser el conjunto
infundado de la paradoja de Russell la misma que puede ser reconstruida con la
sola existencia del conjunto vacío. La verdad filosófica del conjunto vacío es que
con su sola presencia se puede construir iterativamente cualquier sucesión de
números y, además, podemos reconstruir la vieja paradoja de Russell con su
ayuda. Por ello, dado que la paradoja de Russell está basada en las de Cantor y
Burali-Forti, el conjunto podría ser comparable a las totalidades inconsistentes
de las paradojas del máximo cardinal (U) y máximo ordinal (), respectivamente.
Quizá la denominación más apropiada entonces sea la de ‘extremo inconsistente’.
En este sentido, no solo el todo genera inconsistencias sino que también la nada
misma. En términos conjuntistas, tanto U, el conjunto universal; , el máximo
número ordinal, como , el conjunto vacío son extremos absolutos que generan
contradicciones que nos sugiere la idea de utilizar otro tipo de lógica diferente de
la clásica para su tratamiento.
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